Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  clwlkisclwwlklem2a4 Structured version   Unicode version

Theorem clwlkisclwwlklem2a4 30446
Description: Lemma 4 for clwlkisclwwlklem2a 30447. (Contributed by Alexander van der Vekens, 21-Jun-2018.)
Hypothesis
Ref Expression
clwlkisclwwlklem2.f  |-  F  =  ( x  e.  ( 0..^ ( ( # `  P )  -  1 ) )  |->  if ( x  <  ( (
# `  P )  -  2 ) ,  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1 ) ) } ) ,  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P ` 
0 ) } ) ) )
Assertion
Ref Expression
clwlkisclwwlklem2a4  |-  ( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `
 P ) )  ->  ( ( ( lastS  `  P )  =  ( P `  0 )  /\  I  e.  ( 0..^ ( ( # `  P )  -  1 ) ) )  -> 
( { ( P `
 I ) ,  ( P `  (
I  +  1 ) ) }  e.  ran  E  ->  ( E `  ( F `  I ) )  =  { ( P `  I ) ,  ( P `  ( I  +  1
) ) } ) ) )
Distinct variable groups:    x, E    x, I    x, P    x, V
Allowed substitution hint:    F( x)

Proof of Theorem clwlkisclwwlklem2a4
StepHypRef Expression
1 fveq2 5691 . . . . . . . . . 10  |-  ( I  =  ( ( # `  P )  -  2 )  ->  ( F `  I )  =  ( F `  ( (
# `  P )  -  2 ) ) )
2 lencl 12249 . . . . . . . . . . 11  |-  ( P  e. Word  V  ->  ( # `
 P )  e. 
NN0 )
3 clwlkisclwwlklem2.f . . . . . . . . . . . 12  |-  F  =  ( x  e.  ( 0..^ ( ( # `  P )  -  1 ) )  |->  if ( x  <  ( (
# `  P )  -  2 ) ,  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1 ) ) } ) ,  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P ` 
0 ) } ) ) )
43clwlkisclwwlklem2fv2 30445 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( # `  P
)  e.  NN0  /\  2  <_  ( # `  P
) )  ->  ( F `  ( ( # `
 P )  - 
2 ) )  =  ( `' E `  { ( P `  ( ( # `  P
)  -  2 ) ) ,  ( P `
 0 ) } ) )
52, 4sylan 471 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  P
) )  ->  ( F `  ( ( # `
 P )  - 
2 ) )  =  ( `' E `  { ( P `  ( ( # `  P
)  -  2 ) ) ,  ( P `
 0 ) } ) )
61, 5sylan9eqr 2497 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  P ) )  /\  I  =  ( ( # `
 P )  - 
2 ) )  -> 
( F `  I
)  =  ( `' E `  { ( P `  ( (
# `  P )  -  2 ) ) ,  ( P ` 
0 ) } ) )
76ex 434 . . . . . . . 8  |-  ( ( P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  P
) )  ->  (
I  =  ( (
# `  P )  -  2 )  -> 
( F `  I
)  =  ( `' E `  { ( P `  ( (
# `  P )  -  2 ) ) ,  ( P ` 
0 ) } ) ) )
873adant1 1006 . . . . . . 7  |-  ( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `
 P ) )  ->  ( I  =  ( ( # `  P
)  -  2 )  ->  ( F `  I )  =  ( `' E `  { ( P `  ( (
# `  P )  -  2 ) ) ,  ( P ` 
0 ) } ) ) )
98ad2antrr 725 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  (
( lastS  `  P )  =  ( P `  0
)  /\  I  e.  ( 0..^ ( ( # `  P )  -  1 ) ) ) )  /\  { ( P `
 I ) ,  ( P `  (
I  +  1 ) ) }  e.  ran  E )  ->  ( I  =  ( ( # `  P )  -  2 )  ->  ( F `  I )  =  ( `' E `  { ( P `  ( (
# `  P )  -  2 ) ) ,  ( P ` 
0 ) } ) ) )
109impcom 430 . . . . 5  |-  ( ( I  =  ( (
# `  P )  -  2 )  /\  ( ( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  P ) )  /\  ( ( lastS  `  P )  =  ( P ` 
0 )  /\  I  e.  ( 0..^ ( (
# `  P )  -  1 ) ) ) )  /\  {
( P `  I
) ,  ( P `
 ( I  + 
1 ) ) }  e.  ran  E ) )  ->  ( F `  I )  =  ( `' E `  { ( P `  ( (
# `  P )  -  2 ) ) ,  ( P ` 
0 ) } ) )
1110fveq2d 5695 . . . 4  |-  ( ( I  =  ( (
# `  P )  -  2 )  /\  ( ( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  P ) )  /\  ( ( lastS  `  P )  =  ( P ` 
0 )  /\  I  e.  ( 0..^ ( (
# `  P )  -  1 ) ) ) )  /\  {
( P `  I
) ,  ( P `
 ( I  + 
1 ) ) }  e.  ran  E ) )  ->  ( E `  ( F `  I
) )  =  ( E `  ( `' E `  { ( P `  ( (
# `  P )  -  2 ) ) ,  ( P ` 
0 ) } ) ) )
12 usgraf1o 23281 . . . . . . . 8  |-  ( V USGrph  E  ->  E : dom  E -1-1-onto-> ran 
E )
13123ad2ant1 1009 . . . . . . 7  |-  ( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `
 P ) )  ->  E : dom  E -1-1-onto-> ran 
E )
1413ad2antrr 725 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  (
( lastS  `  P )  =  ( P `  0
)  /\  I  e.  ( 0..^ ( ( # `  P )  -  1 ) ) ) )  /\  { ( P `
 I ) ,  ( P `  (
I  +  1 ) ) }  e.  ran  E )  ->  E : dom  E -1-1-onto-> ran  E )
1514adantl 466 . . . . 5  |-  ( ( I  =  ( (
# `  P )  -  2 )  /\  ( ( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  P ) )  /\  ( ( lastS  `  P )  =  ( P ` 
0 )  /\  I  e.  ( 0..^ ( (
# `  P )  -  1 ) ) ) )  /\  {
( P `  I
) ,  ( P `
 ( I  + 
1 ) ) }  e.  ran  E ) )  ->  E : dom  E -1-1-onto-> ran  E )
16 lsw 12266 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( P  e. Word  V  ->  ( lastS  `  P )  =  ( P `  ( (
# `  P )  -  1 ) ) )
1716eqeq1d 2451 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( P  e. Word  V  ->  (
( lastS  `  P )  =  ( P `  0
)  <->  ( P `  ( ( # `  P
)  -  1 ) )  =  ( P `
 0 ) ) )
18 nn0cn 10589 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
# `  P )  e.  NN0  ->  ( # `  P
)  e.  CC )
19 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( (
# `  P )  e.  CC  ->  ( # `  P
)  e.  CC )
20 2cnd 10394 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( (
# `  P )  e.  CC  ->  2  e.  CC )
21 ax-1cn 9340 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  1  e.  CC
2221a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( (
# `  P )  e.  CC  ->  1  e.  CC )
2319, 20, 22subsubd 9747 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( (
# `  P )  e.  CC  ->  ( ( # `
 P )  -  ( 2  -  1 ) )  =  ( ( ( # `  P
)  -  2 )  +  1 ) )
24 2m1e1 10436 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( 2  -  1 )  =  1
2524a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( (
# `  P )  e.  CC  ->  ( 2  -  1 )  =  1 )
2625oveq2d 6107 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( (
# `  P )  e.  CC  ->  ( ( # `
 P )  -  ( 2  -  1 ) )  =  ( ( # `  P
)  -  1 ) )
2723, 26eqtr3d 2477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
# `  P )  e.  CC  ->  ( (
( # `  P )  -  2 )  +  1 )  =  ( ( # `  P
)  -  1 ) )
282, 18, 273syl 20 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( P  e. Word  V  ->  (
( ( # `  P
)  -  2 )  +  1 )  =  ( ( # `  P
)  -  1 ) )
2928adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( P  e. Word  V  /\  ( P `  ( (
# `  P )  -  1 ) )  =  ( P ` 
0 ) )  -> 
( ( ( # `  P )  -  2 )  +  1 )  =  ( ( # `  P )  -  1 ) )
3029fveq2d 5695 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( P  e. Word  V  /\  ( P `  ( (
# `  P )  -  1 ) )  =  ( P ` 
0 ) )  -> 
( P `  (
( ( # `  P
)  -  2 )  +  1 ) )  =  ( P `  ( ( # `  P
)  -  1 ) ) )
31 eqeq2 2452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( P `  0 )  =  ( P `  ( ( # `  P
)  -  1 ) )  ->  ( ( P `  ( (
( # `  P )  -  2 )  +  1 ) )  =  ( P `  0
)  <->  ( P `  ( ( ( # `  P )  -  2 )  +  1 ) )  =  ( P `
 ( ( # `  P )  -  1 ) ) ) )
3231eqcoms 2446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( P `  ( (
# `  P )  -  1 ) )  =  ( P ` 
0 )  ->  (
( P `  (
( ( # `  P
)  -  2 )  +  1 ) )  =  ( P ` 
0 )  <->  ( P `  ( ( ( # `  P )  -  2 )  +  1 ) )  =  ( P `
 ( ( # `  P )  -  1 ) ) ) )
3332adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( P  e. Word  V  /\  ( P `  ( (
# `  P )  -  1 ) )  =  ( P ` 
0 ) )  -> 
( ( P `  ( ( ( # `  P )  -  2 )  +  1 ) )  =  ( P `
 0 )  <->  ( P `  ( ( ( # `  P )  -  2 )  +  1 ) )  =  ( P `
 ( ( # `  P )  -  1 ) ) ) )
3430, 33mpbird 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( P  e. Word  V  /\  ( P `  ( (
# `  P )  -  1 ) )  =  ( P ` 
0 ) )  -> 
( P `  (
( ( # `  P
)  -  2 )  +  1 ) )  =  ( P ` 
0 ) )
3534ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( P  e. Word  V  ->  (
( P `  (
( # `  P )  -  1 ) )  =  ( P ` 
0 )  ->  ( P `  ( (
( # `  P )  -  2 )  +  1 ) )  =  ( P `  0
) ) )
3617, 35sylbid 215 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( P  e. Word  V  ->  (
( lastS  `  P )  =  ( P `  0
)  ->  ( P `  ( ( ( # `  P )  -  2 )  +  1 ) )  =  ( P `
 0 ) ) )
37363ad2ant2 1010 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `
 P ) )  ->  ( ( lastS  `  P
)  =  ( P `
 0 )  -> 
( P `  (
( ( # `  P
)  -  2 )  +  1 ) )  =  ( P ` 
0 ) ) )
3837com12 31 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( lastS  `  P )  =  ( P `  0 )  ->  ( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  P ) )  -> 
( P `  (
( ( # `  P
)  -  2 )  +  1 ) )  =  ( P ` 
0 ) ) )
3938adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( lastS  `  P )  =  ( P ` 
0 )  /\  I  e.  ( 0..^ ( (
# `  P )  -  1 ) ) )  ->  ( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `
 P ) )  ->  ( P `  ( ( ( # `  P )  -  2 )  +  1 ) )  =  ( P `
 0 ) ) )
4039impcom 430 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  (
( lastS  `  P )  =  ( P `  0
)  /\  I  e.  ( 0..^ ( ( # `  P )  -  1 ) ) ) )  ->  ( P `  ( ( ( # `  P )  -  2 )  +  1 ) )  =  ( P `
 0 ) )
4140adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  (
( lastS  `  P )  =  ( P `  0
)  /\  I  e.  ( 0..^ ( ( # `  P )  -  1 ) ) ) )  /\  I  =  ( ( # `  P
)  -  2 ) )  ->  ( P `  ( ( ( # `  P )  -  2 )  +  1 ) )  =  ( P `
 0 ) )
4241preq2d 3961 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  (
( lastS  `  P )  =  ( P `  0
)  /\  I  e.  ( 0..^ ( ( # `  P )  -  1 ) ) ) )  /\  I  =  ( ( # `  P
)  -  2 ) )  ->  { ( P `  ( ( # `
 P )  - 
2 ) ) ,  ( P `  (
( ( # `  P
)  -  2 )  +  1 ) ) }  =  { ( P `  ( (
# `  P )  -  2 ) ) ,  ( P ` 
0 ) } )
43 fveq2 5691 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( I  =  ( ( # `  P )  -  2 )  ->  ( P `  I )  =  ( P `  ( (
# `  P )  -  2 ) ) )
44 oveq1 6098 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( I  =  ( ( # `  P )  -  2 )  ->  ( I  +  1 )  =  ( ( ( # `  P )  -  2 )  +  1 ) )
4544fveq2d 5695 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( I  =  ( ( # `  P )  -  2 )  ->  ( P `  ( I  +  1 ) )  =  ( P `  ( ( ( # `  P
)  -  2 )  +  1 ) ) )
4643, 45preq12d 3962 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( I  =  ( ( # `  P )  -  2 )  ->  { ( P `  I ) ,  ( P `  ( I  +  1
) ) }  =  { ( P `  ( ( # `  P
)  -  2 ) ) ,  ( P `
 ( ( (
# `  P )  -  2 )  +  1 ) ) } )
4746eqeq1d 2451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( I  =  ( ( # `  P )  -  2 )  ->  ( {
( P `  I
) ,  ( P `
 ( I  + 
1 ) ) }  =  { ( P `
 ( ( # `  P )  -  2 ) ) ,  ( P `  0 ) }  <->  { ( P `  ( ( # `  P
)  -  2 ) ) ,  ( P `
 ( ( (
# `  P )  -  2 )  +  1 ) ) }  =  { ( P `
 ( ( # `  P )  -  2 ) ) ,  ( P `  0 ) } ) )
4847adantl 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  (
( lastS  `  P )  =  ( P `  0
)  /\  I  e.  ( 0..^ ( ( # `  P )  -  1 ) ) ) )  /\  I  =  ( ( # `  P
)  -  2 ) )  ->  ( {
( P `  I
) ,  ( P `
 ( I  + 
1 ) ) }  =  { ( P `
 ( ( # `  P )  -  2 ) ) ,  ( P `  0 ) }  <->  { ( P `  ( ( # `  P
)  -  2 ) ) ,  ( P `
 ( ( (
# `  P )  -  2 )  +  1 ) ) }  =  { ( P `
 ( ( # `  P )  -  2 ) ) ,  ( P `  0 ) } ) )
4942, 48mpbird 232 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  (
( lastS  `  P )  =  ( P `  0
)  /\  I  e.  ( 0..^ ( ( # `  P )  -  1 ) ) ) )  /\  I  =  ( ( # `  P
)  -  2 ) )  ->  { ( P `  I ) ,  ( P `  ( I  +  1
) ) }  =  { ( P `  ( ( # `  P
)  -  2 ) ) ,  ( P `
 0 ) } )
5049eleq1d 2509 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  (
( lastS  `  P )  =  ( P `  0
)  /\  I  e.  ( 0..^ ( ( # `  P )  -  1 ) ) ) )  /\  I  =  ( ( # `  P
)  -  2 ) )  ->  ( {
( P `  I
) ,  ( P `
 ( I  + 
1 ) ) }  e.  ran  E  <->  { ( P `  ( ( # `
 P )  - 
2 ) ) ,  ( P `  0
) }  e.  ran  E ) )
5150biimpd 207 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  (
( lastS  `  P )  =  ( P `  0
)  /\  I  e.  ( 0..^ ( ( # `  P )  -  1 ) ) ) )  /\  I  =  ( ( # `  P
)  -  2 ) )  ->  ( {
( P `  I
) ,  ( P `
 ( I  + 
1 ) ) }  e.  ran  E  ->  { ( P `  ( ( # `  P
)  -  2 ) ) ,  ( P `
 0 ) }  e.  ran  E ) )
5251impancom 440 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  (
( lastS  `  P )  =  ( P `  0
)  /\  I  e.  ( 0..^ ( ( # `  P )  -  1 ) ) ) )  /\  { ( P `
 I ) ,  ( P `  (
I  +  1 ) ) }  e.  ran  E )  ->  ( I  =  ( ( # `  P )  -  2 )  ->  { ( P `  ( ( # `
 P )  - 
2 ) ) ,  ( P `  0
) }  e.  ran  E ) )
5352impcom 430 . . . . 5  |-  ( ( I  =  ( (
# `  P )  -  2 )  /\  ( ( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  P ) )  /\  ( ( lastS  `  P )  =  ( P ` 
0 )  /\  I  e.  ( 0..^ ( (
# `  P )  -  1 ) ) ) )  /\  {
( P `  I
) ,  ( P `
 ( I  + 
1 ) ) }  e.  ran  E ) )  ->  { ( P `  ( ( # `
 P )  - 
2 ) ) ,  ( P `  0
) }  e.  ran  E )
54 f1ocnvfv2 5984 . . . . 5  |-  ( ( E : dom  E -1-1-onto-> ran  E  /\  { ( P `
 ( ( # `  P )  -  2 ) ) ,  ( P `  0 ) }  e.  ran  E
)  ->  ( E `  ( `' E `  { ( P `  ( ( # `  P
)  -  2 ) ) ,  ( P `
 0 ) } ) )  =  {
( P `  (
( # `  P )  -  2 ) ) ,  ( P ` 
0 ) } )
5515, 53, 54syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ( I  =  ( (
# `  P )  -  2 )  /\  ( ( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  P ) )  /\  ( ( lastS  `  P )  =  ( P ` 
0 )  /\  I  e.  ( 0..^ ( (
# `  P )  -  1 ) ) ) )  /\  {
( P `  I
) ,  ( P `
 ( I  + 
1 ) ) }  e.  ran  E ) )  ->  ( E `  ( `' E `  { ( P `  ( ( # `  P
)  -  2 ) ) ,  ( P `
 0 ) } ) )  =  {
( P `  (
( # `  P )  -  2 ) ) ,  ( P ` 
0 ) } )
56 eqcom 2445 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( P `  ( (
# `  P )  -  1 ) )  =  ( P ` 
0 )  <->  ( P `  0 )  =  ( P `  (
( # `  P )  -  1 ) ) )
5756biimpi 194 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( P `  ( (
# `  P )  -  1 ) )  =  ( P ` 
0 )  ->  ( P `  0 )  =  ( P `  ( ( # `  P
)  -  1 ) ) )
58 1e2m1 10437 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  1  =  ( 2  -  1 )
5958a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( P  e. Word  V  ->  1  =  ( 2  -  1 ) )
6059oveq2d 6107 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( P  e. Word  V  ->  (
( # `  P )  -  1 )  =  ( ( # `  P
)  -  ( 2  -  1 ) ) )
612, 18syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( P  e. Word  V  ->  ( # `
 P )  e.  CC )
62 2cnd 10394 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( P  e. Word  V  ->  2  e.  CC )
6321a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( P  e. Word  V  ->  1  e.  CC )
6461, 62, 63subsubd 9747 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( P  e. Word  V  ->  (
( # `  P )  -  ( 2  -  1 ) )  =  ( ( ( # `  P )  -  2 )  +  1 ) )
6560, 64eqtrd 2475 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( P  e. Word  V  ->  (
( # `  P )  -  1 )  =  ( ( ( # `  P )  -  2 )  +  1 ) )
6665fveq2d 5695 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( P  e. Word  V  ->  ( P `  ( ( # `
 P )  - 
1 ) )  =  ( P `  (
( ( # `  P
)  -  2 )  +  1 ) ) )
6757, 66sylan9eqr 2497 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( P  e. Word  V  /\  ( P `  ( (
# `  P )  -  1 ) )  =  ( P ` 
0 ) )  -> 
( P `  0
)  =  ( P `
 ( ( (
# `  P )  -  2 )  +  1 ) ) )
6867ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( P  e. Word  V  ->  (
( P `  (
( # `  P )  -  1 ) )  =  ( P ` 
0 )  ->  ( P `  0 )  =  ( P `  ( ( ( # `  P )  -  2 )  +  1 ) ) ) )
6917, 68sylbid 215 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( P  e. Word  V  ->  (
( lastS  `  P )  =  ( P `  0
)  ->  ( P `  0 )  =  ( P `  (
( ( # `  P
)  -  2 )  +  1 ) ) ) )
7069imp 429 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( P  e. Word  V  /\  ( lastS  `  P )  =  ( P `  0
) )  ->  ( P `  0 )  =  ( P `  ( ( ( # `  P )  -  2 )  +  1 ) ) )
7170preq2d 3961 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( P  e. Word  V  /\  ( lastS  `  P )  =  ( P `  0
) )  ->  { ( P `  ( (
# `  P )  -  2 ) ) ,  ( P ` 
0 ) }  =  { ( P `  ( ( # `  P
)  -  2 ) ) ,  ( P `
 ( ( (
# `  P )  -  2 )  +  1 ) ) } )
7271adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( P  e. Word  V  /\  ( lastS  `  P )  =  ( P ` 
0 ) )  /\  I  =  ( ( # `
 P )  - 
2 ) )  ->  { ( P `  ( ( # `  P
)  -  2 ) ) ,  ( P `
 0 ) }  =  { ( P `
 ( ( # `  P )  -  2 ) ) ,  ( P `  ( ( ( # `  P
)  -  2 )  +  1 ) ) } )
7346adantl 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( P  e. Word  V  /\  ( lastS  `  P )  =  ( P ` 
0 ) )  /\  I  =  ( ( # `
 P )  - 
2 ) )  ->  { ( P `  I ) ,  ( P `  ( I  +  1 ) ) }  =  { ( P `  ( (
# `  P )  -  2 ) ) ,  ( P `  ( ( ( # `  P )  -  2 )  +  1 ) ) } )
7472, 73eqtr4d 2478 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( P  e. Word  V  /\  ( lastS  `  P )  =  ( P ` 
0 ) )  /\  I  =  ( ( # `
 P )  - 
2 ) )  ->  { ( P `  ( ( # `  P
)  -  2 ) ) ,  ( P `
 0 ) }  =  { ( P `
 I ) ,  ( P `  (
I  +  1 ) ) } )
7574exp31 604 . . . . . . . . . 10  |-  ( P  e. Word  V  ->  (
( lastS  `  P )  =  ( P `  0
)  ->  ( I  =  ( ( # `  P )  -  2 )  ->  { ( P `  ( ( # `
 P )  - 
2 ) ) ,  ( P `  0
) }  =  {
( P `  I
) ,  ( P `
 ( I  + 
1 ) ) } ) ) )
76753ad2ant2 1010 . . . . . . . . 9  |-  ( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `
 P ) )  ->  ( ( lastS  `  P
)  =  ( P `
 0 )  -> 
( I  =  ( ( # `  P
)  -  2 )  ->  { ( P `
 ( ( # `  P )  -  2 ) ) ,  ( P `  0 ) }  =  { ( P `  I ) ,  ( P `  ( I  +  1
) ) } ) ) )
7776com12 31 . . . . . . . 8  |-  ( ( lastS  `  P )  =  ( P `  0 )  ->  ( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  P ) )  -> 
( I  =  ( ( # `  P
)  -  2 )  ->  { ( P `
 ( ( # `  P )  -  2 ) ) ,  ( P `  0 ) }  =  { ( P `  I ) ,  ( P `  ( I  +  1
) ) } ) ) )
7877adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( ( lastS  `  P )  =  ( P ` 
0 )  /\  I  e.  ( 0..^ ( (
# `  P )  -  1 ) ) )  ->  ( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `
 P ) )  ->  ( I  =  ( ( # `  P
)  -  2 )  ->  { ( P `
 ( ( # `  P )  -  2 ) ) ,  ( P `  0 ) }  =  { ( P `  I ) ,  ( P `  ( I  +  1
) ) } ) ) )
7978impcom 430 . . . . . 6  |-  ( ( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  (
( lastS  `  P )  =  ( P `  0
)  /\  I  e.  ( 0..^ ( ( # `  P )  -  1 ) ) ) )  ->  ( I  =  ( ( # `  P
)  -  2 )  ->  { ( P `
 ( ( # `  P )  -  2 ) ) ,  ( P `  0 ) }  =  { ( P `  I ) ,  ( P `  ( I  +  1
) ) } ) )
8079adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( ( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  (
( lastS  `  P )  =  ( P `  0
)  /\  I  e.  ( 0..^ ( ( # `  P )  -  1 ) ) ) )  /\  { ( P `
 I ) ,  ( P `  (
I  +  1 ) ) }  e.  ran  E )  ->  ( I  =  ( ( # `  P )  -  2 )  ->  { ( P `  ( ( # `
 P )  - 
2 ) ) ,  ( P `  0
) }  =  {
( P `  I
) ,  ( P `
 ( I  + 
1 ) ) } ) )
8180impcom 430 . . . 4  |-  ( ( I  =  ( (
# `  P )  -  2 )  /\  ( ( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  P ) )  /\  ( ( lastS  `  P )  =  ( P ` 
0 )  /\  I  e.  ( 0..^ ( (
# `  P )  -  1 ) ) ) )  /\  {
( P `  I
) ,  ( P `
 ( I  + 
1 ) ) }  e.  ran  E ) )  ->  { ( P `  ( ( # `
 P )  - 
2 ) ) ,  ( P `  0
) }  =  {
( P `  I
) ,  ( P `
 ( I  + 
1 ) ) } )
8211, 55, 813eqtrd 2479 . . 3  |-  ( ( I  =  ( (
# `  P )  -  2 )  /\  ( ( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  P ) )  /\  ( ( lastS  `  P )  =  ( P ` 
0 )  /\  I  e.  ( 0..^ ( (
# `  P )  -  1 ) ) ) )  /\  {
( P `  I
) ,  ( P `
 ( I  + 
1 ) ) }  e.  ran  E ) )  ->  ( E `  ( F `  I
) )  =  {
( P `  I
) ,  ( P `
 ( I  + 
1 ) ) } )
83 simpll 753 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( # `  P
)  e.  NN0  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  (
I  e.  ( 0..^ ( ( # `  P
)  -  1 ) )  /\  -.  I  =  ( ( # `  P )  -  2 ) ) )  -> 
( # `  P )  e.  NN0 )
84 oveq1 6098 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( (
# `  P )  =  2  ->  (
( # `  P )  -  1 )  =  ( 2  -  1 ) )
8584, 24syl6eq 2491 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( (
# `  P )  =  2  ->  (
( # `  P )  -  1 )  =  1 )
8685oveq2d 6107 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( (
# `  P )  =  2  ->  (
0..^ ( ( # `  P )  -  1 ) )  =  ( 0..^ 1 ) )
8786eleq2d 2510 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
# `  P )  =  2  ->  (
I  e.  ( 0..^ ( ( # `  P
)  -  1 ) )  <->  I  e.  (
0..^ 1 ) ) )
88 oveq1 6098 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( (
# `  P )  =  2  ->  (
( # `  P )  -  2 )  =  ( 2  -  2 ) )
89 2cn 10392 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  2  e.  CC
9089subidi 9679 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( 2  -  2 )  =  0
9188, 90syl6eq 2491 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( (
# `  P )  =  2  ->  (
( # `  P )  -  2 )  =  0 )
9291eqeq2d 2454 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( (
# `  P )  =  2  ->  (
I  =  ( (
# `  P )  -  2 )  <->  I  = 
0 ) )
9392notbid 294 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
# `  P )  =  2  ->  ( -.  I  =  (
( # `  P )  -  2 )  <->  -.  I  =  0 ) )
9487, 93anbi12d 710 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
# `  P )  =  2  ->  (
( I  e.  ( 0..^ ( ( # `  P )  -  1 ) )  /\  -.  I  =  ( ( # `
 P )  - 
2 ) )  <->  ( I  e.  ( 0..^ 1 )  /\  -.  I  =  0 ) ) )
95 elsni 3902 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( I  e.  { 0 }  ->  I  =  0 )
9695pm2.24d 143 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( I  e.  { 0 }  ->  ( -.  I  =  0  ->  (
I  e.  NN0  /\  ( ( # `  P
)  -  2 )  e.  NN  /\  I  <  ( ( # `  P
)  -  2 ) ) ) )
97 fzo01 11612 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( 0..^ 1 )  =  {
0 }
9896, 97eleq2s 2535 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( I  e.  ( 0..^ 1 )  ->  ( -.  I  =  0  ->  ( I  e.  NN0  /\  ( ( # `  P
)  -  2 )  e.  NN  /\  I  <  ( ( # `  P
)  -  2 ) ) ) )
9998imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( I  e.  ( 0..^ 1 )  /\  -.  I  =  0 )  ->  ( I  e. 
NN0  /\  ( ( # `
 P )  - 
2 )  e.  NN  /\  I  <  ( (
# `  P )  -  2 ) ) )
10094, 99syl6bi 228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
# `  P )  =  2  ->  (
( I  e.  ( 0..^ ( ( # `  P )  -  1 ) )  /\  -.  I  =  ( ( # `
 P )  - 
2 ) )  -> 
( I  e.  NN0  /\  ( ( # `  P
)  -  2 )  e.  NN  /\  I  <  ( ( # `  P
)  -  2 ) ) ) )
101100adantld 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
# `  P )  =  2  ->  (
( ( ( # `  P )  e.  NN0  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  (
I  e.  ( 0..^ ( ( # `  P
)  -  1 ) )  /\  -.  I  =  ( ( # `  P )  -  2 ) ) )  -> 
( I  e.  NN0  /\  ( ( # `  P
)  -  2 )  e.  NN  /\  I  <  ( ( # `  P
)  -  2 ) ) ) )
102 df-ne 2608 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( (
# `  P )  =/=  2  <->  -.  ( # `  P
)  =  2 )
103 2re 10391 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  2  e.  RR
104103a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( # `  P
)  e.  NN0  /\  2  <_  ( # `  P
) )  ->  2  e.  RR )
105 nn0re 10588 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( (
# `  P )  e.  NN0  ->  ( # `  P
)  e.  RR )
106105adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( # `  P
)  e.  NN0  /\  2  <_  ( # `  P
) )  ->  ( # `
 P )  e.  RR )
107 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( # `  P
)  e.  NN0  /\  2  <_  ( # `  P
) )  ->  2  <_  ( # `  P
) )
108104, 106, 107leltned 9525 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( # `  P
)  e.  NN0  /\  2  <_  ( # `  P
) )  ->  (
2  <  ( # `  P
)  <->  ( # `  P
)  =/=  2 ) )
109 elfzo0 11587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( I  e.  ( 0..^ ( ( # `  P
)  -  1 ) )  <->  ( I  e. 
NN0  /\  ( ( # `
 P )  - 
1 )  e.  NN  /\  I  <  ( (
# `  P )  -  1 ) ) )
110 simp-4l 765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( ( ( ( ( I  e.  NN0  /\  ( # `
 P )  e. 
NN0 )  /\  -.  I  =  ( ( # `
 P )  - 
2 ) )  /\  2  <  ( # `  P
) )  /\  I  <  ( ( # `  P
)  -  1 ) )  ->  I  e.  NN0 )
111 nn0z 10669 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41  |-  ( (
# `  P )  e.  NN0  ->  ( # `  P
)  e.  ZZ )
112 2z 10678 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42  |-  2  e.  ZZ
113112a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41  |-  ( (
# `  P )  e.  NN0  ->  2  e.  ZZ )
114111, 113zsubcld 10752 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40  |-  ( (
# `  P )  e.  NN0  ->  ( ( # `
 P )  - 
2 )  e.  ZZ )
115114adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39  |-  ( ( ( # `  P
)  e.  NN0  /\  2  <  ( # `  P
) )  ->  (
( # `  P )  -  2 )  e.  ZZ )
116103a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41  |-  ( (
# `  P )  e.  NN0  ->  2  e.  RR )
117116, 105posdifd 9926 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40  |-  ( (
# `  P )  e.  NN0  ->  ( 2  <  ( # `  P
)  <->  0  <  (
( # `  P )  -  2 ) ) )
118117biimpa 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39  |-  ( ( ( # `  P
)  e.  NN0  /\  2  <  ( # `  P
) )  ->  0  <  ( ( # `  P
)  -  2 ) )
119 elnnz 10656 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39  |-  ( ( ( # `  P
)  -  2 )  e.  NN  <->  ( (
( # `  P )  -  2 )  e.  ZZ  /\  0  < 
( ( # `  P
)  -  2 ) ) )
120115, 118, 119sylanbrc 664 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38  |-  ( ( ( # `  P
)  e.  NN0  /\  2  <  ( # `  P
) )  ->  (
( # `  P )  -  2 )  e.  NN )
121120ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37  |-  ( (
# `  P )  e.  NN0  ->  ( 2  <  ( # `  P
)  ->  ( ( # `
 P )  - 
2 )  e.  NN ) )
122121ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36  |-  ( ( ( I  e.  NN0  /\  ( # `  P
)  e.  NN0 )  /\  -.  I  =  ( ( # `  P
)  -  2 ) )  ->  ( 2  <  ( # `  P
)  ->  ( ( # `
 P )  - 
2 )  e.  NN ) )
123122imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( ( ( ( I  e. 
NN0  /\  ( # `  P
)  e.  NN0 )  /\  -.  I  =  ( ( # `  P
)  -  2 ) )  /\  2  < 
( # `  P ) )  ->  ( ( # `
 P )  - 
2 )  e.  NN )
124123adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( ( ( ( ( I  e.  NN0  /\  ( # `
 P )  e. 
NN0 )  /\  -.  I  =  ( ( # `
 P )  - 
2 ) )  /\  2  <  ( # `  P
) )  /\  I  <  ( ( # `  P
)  -  1 ) )  ->  ( ( # `
 P )  - 
2 )  e.  NN )
125 nn0z 10669 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41  |-  ( I  e.  NN0  ->  I  e.  ZZ )
126 peano2zm 10688 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42  |-  ( (
# `  P )  e.  ZZ  ->  ( ( # `
 P )  - 
1 )  e.  ZZ )
127111, 126syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41  |-  ( (
# `  P )  e.  NN0  ->  ( ( # `
 P )  - 
1 )  e.  ZZ )
128 zltlem1 10697 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41  |-  ( ( I  e.  ZZ  /\  ( ( # `  P
)  -  1 )  e.  ZZ )  -> 
( I  <  (
( # `  P )  -  1 )  <->  I  <_  ( ( ( # `  P
)  -  1 )  -  1 ) ) )
129125, 127, 128syl2an 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40  |-  ( ( I  e.  NN0  /\  ( # `  P )  e.  NN0 )  -> 
( I  <  (
( # `  P )  -  1 )  <->  I  <_  ( ( ( # `  P
)  -  1 )  -  1 ) ) )
13018adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43  |-  ( ( I  e.  NN0  /\  ( # `  P )  e.  NN0 )  -> 
( # `  P )  e.  CC )
13121a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43  |-  ( ( I  e.  NN0  /\  ( # `  P )  e.  NN0 )  -> 
1  e.  CC )
132130, 131, 131subsub4d 9750 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42  |-  ( ( I  e.  NN0  /\  ( # `  P )  e.  NN0 )  -> 
( ( ( # `  P )  -  1 )  -  1 )  =  ( ( # `  P )  -  (
1  +  1 ) ) )
133 1p1e2 10435 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44  |-  ( 1  +  1 )  =  2
134133a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43  |-  ( ( I  e.  NN0  /\  ( # `  P )  e.  NN0 )  -> 
( 1  +  1 )  =  2 )
135134oveq2d 6107 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42  |-  ( ( I  e.  NN0  /\  ( # `  P )  e.  NN0 )  -> 
( ( # `  P
)  -  ( 1  +  1 ) )  =  ( ( # `  P )  -  2 ) )
136132, 135eqtrd 2475 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41  |-  ( ( I  e.  NN0  /\  ( # `  P )  e.  NN0 )  -> 
( ( ( # `  P )  -  1 )  -  1 )  =  ( ( # `  P )  -  2 ) )
137136breq2d 4304 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40  |-  ( ( I  e.  NN0  /\  ( # `  P )  e.  NN0 )  -> 
( I  <_  (
( ( # `  P
)  -  1 )  -  1 )  <->  I  <_  ( ( # `  P
)  -  2 ) ) )
138129, 137bitrd 253 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39  |-  ( ( I  e.  NN0  /\  ( # `  P )  e.  NN0 )  -> 
( I  <  (
( # `  P )  -  1 )  <->  I  <_  ( ( # `  P
)  -  2 ) ) )
139 necom 2693 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42  |-  ( ( ( # `  P
)  -  2 )  =/=  I  <->  I  =/=  ( ( # `  P
)  -  2 ) )
140 df-ne 2608 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42  |-  ( I  =/=  ( ( # `  P )  -  2 )  <->  -.  I  =  ( ( # `  P
)  -  2 ) )
141139, 140bitr2i 250 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41  |-  ( -.  I  =  ( (
# `  P )  -  2 )  <->  ( ( # `
 P )  - 
2 )  =/=  I
)
142 nn0re 10588 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45  |-  ( I  e.  NN0  ->  I  e.  RR )
143142ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44  |-  ( ( ( I  e.  NN0  /\  ( # `  P
)  e.  NN0 )  /\  I  <_  ( (
# `  P )  -  2 ) )  ->  I  e.  RR )
144105, 116resubcld 9776 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45  |-  ( (
# `  P )  e.  NN0  ->  ( ( # `
 P )  - 
2 )  e.  RR )
145144ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44  |-  ( ( ( I  e.  NN0  /\  ( # `  P
)  e.  NN0 )  /\  I  <_  ( (
# `  P )  -  2 ) )  ->  ( ( # `  P )  -  2 )  e.  RR )
146 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44  |-  ( ( ( I  e.  NN0  /\  ( # `  P
)  e.  NN0 )  /\  I  <_  ( (
# `  P )  -  2 ) )  ->  I  <_  (
( # `  P )  -  2 ) )
147143, 145, 1463jca 1168 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43  |-  ( ( ( I  e.  NN0  /\  ( # `  P
)  e.  NN0 )  /\  I  <_  ( (
# `  P )  -  2 ) )  ->  ( I  e.  RR  /\  ( (
# `  P )  -  2 )  e.  RR  /\  I  <_ 
( ( # `  P
)  -  2 ) ) )
148 leltne 9464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44  |-  ( ( I  e.  RR  /\  ( ( # `  P
)  -  2 )  e.  RR  /\  I  <_  ( ( # `  P
)  -  2 ) )  ->  ( I  <  ( ( # `  P
)  -  2 )  <-> 
( ( # `  P
)  -  2 )  =/=  I ) )
149148bicomd 201 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43  |-  ( ( I  e.  RR  /\  ( ( # `  P
)  -  2 )  e.  RR  /\  I  <_  ( ( # `  P
)  -  2 ) )  ->  ( (
( # `  P )  -  2 )  =/=  I  <->  I  <  ( (
# `  P )  -  2 ) ) )
150147, 149syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42  |-  ( ( ( I  e.  NN0  /\  ( # `  P
)  e.  NN0 )  /\  I  <_  ( (
# `  P )  -  2 ) )  ->  ( ( (
# `  P )  -  2 )  =/=  I  <->  I  <  ( (
# `  P )  -  2 ) ) )
151150biimpd 207 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41  |-  ( ( ( I  e.  NN0  /\  ( # `  P
)  e.  NN0 )  /\  I  <_  ( (
# `  P )  -  2 ) )  ->  ( ( (
# `  P )  -  2 )  =/=  I  ->  I  <  ( ( # `  P
)  -  2 ) ) )
152141, 151syl5bi 217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40  |-  ( ( ( I  e.  NN0  /\  ( # `  P
)  e.  NN0 )  /\  I  <_  ( (
# `  P )  -  2 ) )  ->  ( -.  I  =  ( ( # `  P )  -  2 )  ->  I  <  ( ( # `  P
)  -  2 ) ) )
153152ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39  |-  ( ( I  e.  NN0  /\  ( # `  P )  e.  NN0 )  -> 
( I  <_  (
( # `  P )  -  2 )  -> 
( -.  I  =  ( ( # `  P
)  -  2 )  ->  I  <  (
( # `  P )  -  2 ) ) ) )
154138, 153sylbid 215 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38  |-  ( ( I  e.  NN0  /\  ( # `  P )  e.  NN0 )  -> 
( I  <  (
( # `  P )  -  1 )  -> 
( -.  I  =  ( ( # `  P
)  -  2 )  ->  I  <  (
( # `  P )  -  2 ) ) ) )
155154com23 78 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37  |-  ( ( I  e.  NN0  /\  ( # `  P )  e.  NN0 )  -> 
( -.  I  =  ( ( # `  P
)  -  2 )  ->  ( I  < 
( ( # `  P
)  -  1 )  ->  I  <  (
( # `  P )  -  2 ) ) ) )
156155imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36  |-  ( ( ( I  e.  NN0  /\  ( # `  P
)  e.  NN0 )  /\  -.  I  =  ( ( # `  P
)  -  2 ) )  ->  ( I  <  ( ( # `  P
)  -  1 )  ->  I  <  (
( # `  P )  -  2 ) ) )
157156adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( ( ( ( I  e. 
NN0  /\  ( # `  P
)  e.  NN0 )  /\  -.  I  =  ( ( # `  P
)  -  2 ) )  /\  2  < 
( # `  P ) )  ->  ( I  <  ( ( # `  P
)  -  1 )  ->  I  <  (
( # `  P )  -  2 ) ) )
158157imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( ( ( ( ( I  e.  NN0  /\  ( # `
 P )  e. 
NN0 )  /\  -.  I  =  ( ( # `
 P )  - 
2 ) )  /\  2  <  ( # `  P
) )  /\  I  <  ( ( # `  P
)  -  1 ) )  ->  I  <  ( ( # `  P
)  -  2 ) )
159110, 124, 1583jca 1168 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( ( ( ( ( I  e.  NN0  /\  ( # `
 P )  e. 
NN0 )  /\  -.  I  =  ( ( # `
 P )  - 
2 ) )  /\  2  <  ( # `  P
) )  /\  I  <  ( ( # `  P
)  -  1 ) )  ->  ( I  e.  NN0  /\  ( (
# `  P )  -  2 )  e.  NN  /\  I  < 
( ( # `  P
)  -  2 ) ) )
160159ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ( ( ( I  e. 
NN0  /\  ( # `  P
)  e.  NN0 )  /\  -.  I  =  ( ( # `  P
)  -  2 ) )  /\  2  < 
( # `  P ) )  ->  ( I  <  ( ( # `  P
)  -  1 )  ->  ( I  e. 
NN0  /\  ( ( # `
 P )  - 
2 )  e.  NN  /\  I  <  ( (
# `  P )  -  2 ) ) ) )
161160exp41 610 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( I  e.  NN0  ->  ( (
# `  P )  e.  NN0  ->  ( -.  I  =  ( ( # `
 P )  - 
2 )  ->  (
2  <  ( # `  P
)  ->  ( I  <  ( ( # `  P
)  -  1 )  ->  ( I  e. 
NN0  /\  ( ( # `
 P )  - 
2 )  e.  NN  /\  I  <  ( (
# `  P )  -  2 ) ) ) ) ) ) )
162161com25 91 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( I  e.  NN0  ->  ( I  <  ( ( # `  P )  -  1 )  ->  ( -.  I  =  ( ( # `
 P )  - 
2 )  ->  (
2  <  ( # `  P
)  ->  ( ( # `
 P )  e. 
NN0  ->  ( I  e. 
NN0  /\  ( ( # `
 P )  - 
2 )  e.  NN  /\  I  <  ( (
# `  P )  -  2 ) ) ) ) ) ) )
163162imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( I  e.  NN0  /\  I  <  ( ( # `  P )  -  1 ) )  ->  ( -.  I  =  (
( # `  P )  -  2 )  -> 
( 2  <  ( # `
 P )  -> 
( ( # `  P
)  e.  NN0  ->  ( I  e.  NN0  /\  ( ( # `  P
)  -  2 )  e.  NN  /\  I  <  ( ( # `  P
)  -  2 ) ) ) ) ) )
1641633adant2 1007 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( I  e.  NN0  /\  ( ( # `  P
)  -  1 )  e.  NN  /\  I  <  ( ( # `  P
)  -  1 ) )  ->  ( -.  I  =  ( ( # `
 P )  - 
2 )  ->  (
2  <  ( # `  P
)  ->  ( ( # `
 P )  e. 
NN0  ->  ( I  e. 
NN0  /\  ( ( # `
 P )  - 
2 )  e.  NN  /\  I  <  ( (
# `  P )  -  2 ) ) ) ) ) )
165109, 164sylbi 195 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( I  e.  ( 0..^ ( ( # `  P
)  -  1 ) )  ->  ( -.  I  =  ( ( # `
 P )  - 
2 )  ->  (
2  <  ( # `  P
)  ->  ( ( # `
 P )  e. 
NN0  ->  ( I  e. 
NN0  /\  ( ( # `
 P )  - 
2 )  e.  NN  /\  I  <  ( (
# `  P )  -  2 ) ) ) ) ) )
166165imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( I  e.  ( 0..^ ( ( # `  P
)  -  1 ) )  /\  -.  I  =  ( ( # `  P )  -  2 ) )  ->  (
2  <  ( # `  P
)  ->  ( ( # `
 P )  e. 
NN0  ->  ( I  e. 
NN0  /\  ( ( # `
 P )  - 
2 )  e.  NN  /\  I  <  ( (
# `  P )  -  2 ) ) ) ) )
167166com13 80 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( (
# `  P )  e.  NN0  ->  ( 2  <  ( # `  P
)  ->  ( (
I  e.  ( 0..^ ( ( # `  P
)  -  1 ) )  /\  -.  I  =  ( ( # `  P )  -  2 ) )  ->  (
I  e.  NN0  /\  ( ( # `  P
)  -  2 )  e.  NN  /\  I  <  ( ( # `  P
)  -  2 ) ) ) ) )
168167adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( # `  P
)  e.  NN0  /\  2  <_  ( # `  P
) )  ->  (
2  <  ( # `  P
)  ->  ( (
I  e.  ( 0..^ ( ( # `  P
)  -  1 ) )  /\  -.  I  =  ( ( # `  P )  -  2 ) )  ->  (
I  e.  NN0  /\  ( ( # `  P
)  -  2 )  e.  NN  /\  I  <  ( ( # `  P
)  -  2 ) ) ) ) )
169108, 168sylbird 235 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( # `  P
)  e.  NN0  /\  2  <_  ( # `  P
) )  ->  (
( # `  P )  =/=  2  ->  (
( I  e.  ( 0..^ ( ( # `  P )  -  1 ) )  /\  -.  I  =  ( ( # `
 P )  - 
2 ) )  -> 
( I  e.  NN0  /\  ( ( # `  P
)  -  2 )  e.  NN  /\  I  <  ( ( # `  P
)  -  2 ) ) ) ) )
170102, 169syl5bir 218 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( # `  P
)  e.  NN0  /\  2  <_  ( # `  P
) )  ->  ( -.  ( # `  P
)  =  2  -> 
( ( I  e.  ( 0..^ ( (
# `  P )  -  1 ) )  /\  -.  I  =  ( ( # `  P
)  -  2 ) )  ->  ( I  e.  NN0  /\  ( (
# `  P )  -  2 )  e.  NN  /\  I  < 
( ( # `  P
)  -  2 ) ) ) ) )
171170com23 78 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( # `  P
)  e.  NN0  /\  2  <_  ( # `  P
) )  ->  (
( I  e.  ( 0..^ ( ( # `  P )  -  1 ) )  /\  -.  I  =  ( ( # `
 P )  - 
2 ) )  -> 
( -.  ( # `  P )  =  2  ->  ( I  e. 
NN0  /\  ( ( # `
 P )  - 
2 )  e.  NN  /\  I  <  ( (
# `  P )  -  2 ) ) ) ) )
172171imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( # `  P
)  e.  NN0  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  (
I  e.  ( 0..^ ( ( # `  P
)  -  1 ) )  /\  -.  I  =  ( ( # `  P )  -  2 ) ) )  -> 
( -.  ( # `  P )  =  2  ->  ( I  e. 
NN0  /\  ( ( # `
 P )  - 
2 )  e.  NN  /\  I  <  ( (
# `  P )  -  2 ) ) ) )
173172com12 31 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( -.  ( # `  P
)  =  2  -> 
( ( ( (
# `  P )  e.  NN0  /\  2  <_ 
( # `  P ) )  /\  ( I  e.  ( 0..^ ( ( # `  P
)  -  1 ) )  /\  -.  I  =  ( ( # `  P )  -  2 ) ) )  -> 
( I  e.  NN0  /\  ( ( # `  P
)  -  2 )  e.  NN  /\  I  <  ( ( # `  P
)  -  2 ) ) ) )
174101, 173pm2.61i 164 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( # `  P
)  e.  NN0  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  (
I  e.  ( 0..^ ( ( # `  P
)  -  1 ) )  /\  -.  I  =  ( ( # `  P )  -  2 ) ) )  -> 
( I  e.  NN0  /\  ( ( # `  P
)  -  2 )  e.  NN  /\  I  <  ( ( # `  P
)  -  2 ) ) )
175 elfzo0 11587 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( I  e.  ( 0..^ ( ( # `  P
)  -  2 ) )  <->  ( I  e. 
NN0  /\  ( ( # `
 P )  - 
2 )  e.  NN  /\  I  <  ( (
# `  P )  -  2 ) ) )
176174, 175sylibr 212 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( # `  P
)  e.  NN0  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  (
I  e.  ( 0..^ ( ( # `  P
)  -  1 ) )  /\  -.  I  =  ( ( # `  P )  -  2 ) ) )  ->  I  e.  ( 0..^ ( ( # `  P
)  -  2 ) ) )
17783, 176jca 532 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( # `  P
)  e.  NN0  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  (
I  e.  ( 0..^ ( ( # `  P
)  -  1 ) )  /\  -.  I  =  ( ( # `  P )  -  2 ) ) )  -> 
( ( # `  P
)  e.  NN0  /\  I  e.  ( 0..^ ( ( # `  P
)  -  2 ) ) ) )
178177exp31 604 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
# `  P )  e.  NN0  ->  ( 2  <_  ( # `  P
)  ->  ( (
I  e.  ( 0..^ ( ( # `  P
)  -  1 ) )  /\  -.  I  =  ( ( # `  P )  -  2 ) )  ->  (
( # `  P )  e.  NN0  /\  I  e.  ( 0..^ ( (
# `  P )  -  2 ) ) ) ) ) )
1792, 178syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( P  e. Word  V  ->  (
2  <_  ( # `  P
)  ->  ( (
I  e.  ( 0..^ ( ( # `  P
)  -  1 ) )  /\  -.  I  =  ( ( # `  P )  -  2 ) )  ->  (
( # `  P )  e.  NN0  /\  I  e.  ( 0..^ ( (
# `  P )  -  2 ) ) ) ) ) )
180179imp 429 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  P
) )  ->  (
( I  e.  ( 0..^ ( ( # `  P )  -  1 ) )  /\  -.  I  =  ( ( # `
 P )  - 
2 ) )  -> 
( ( # `  P
)  e.  NN0  /\  I  e.  ( 0..^ ( ( # `  P
)  -  2 ) ) ) ) )
1811803adant1 1006 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `
 P ) )  ->  ( ( I  e.  ( 0..^ ( ( # `  P
)  -  1 ) )  /\  -.  I  =  ( ( # `  P )  -  2 ) )  ->  (
( # `  P )  e.  NN0  /\  I  e.  ( 0..^ ( (
# `  P )  -  2 ) ) ) ) )
182181expd 436 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `
 P ) )  ->  ( I  e.  ( 0..^ ( (
# `  P )  -  1 ) )  ->  ( -.  I  =  ( ( # `  P )  -  2 )  ->  ( ( # `
 P )  e. 
NN0  /\  I  e.  ( 0..^ ( ( # `  P )  -  2 ) ) ) ) ) )
183182com12 31 . . . . . . . . . 10  |-  ( I  e.  ( 0..^ ( ( # `  P
)  -  1 ) )  ->  ( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `
 P ) )  ->  ( -.  I  =  ( ( # `  P )  -  2 )  ->  ( ( # `
 P )  e. 
NN0  /\  I  e.  ( 0..^ ( ( # `  P )  -  2 ) ) ) ) ) )
184183adantl 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( lastS  `  P )  =  ( P ` 
0 )  /\  I  e.  ( 0..^ ( (
# `  P )  -  1 ) ) )  ->  ( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `
 P ) )  ->  ( -.  I  =  ( ( # `  P )  -  2 )  ->  ( ( # `
 P )  e. 
NN0  /\  I  e.  ( 0..^ ( ( # `  P )  -  2 ) ) ) ) ) )
185184impcom 430 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  (
( lastS  `  P )  =  ( P `  0
)  /\  I  e.  ( 0..^ ( ( # `  P )  -  1 ) ) ) )  ->  ( -.  I  =  ( ( # `  P )  -  2 )  ->  ( ( # `
 P )  e. 
NN0  /\  I  e.  ( 0..^ ( ( # `  P )  -  2 ) ) ) ) )
186185adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  (
( lastS  `  P )  =  ( P `  0
)  /\  I  e.  ( 0..^ ( ( # `  P )  -  1 ) ) ) )  /\  { ( P `
 I ) ,  ( P `  (
I  +  1 ) ) }  e.  ran  E )  ->  ( -.  I  =  ( ( # `
 P )  - 
2 )  ->  (
( # `  P )  e.  NN0  /\  I  e.  ( 0..^ ( (
# `  P )  -  2 ) ) ) ) )
187186impcom 430 . . . . . 6  |-  ( ( -.  I  =  ( ( # `  P
)  -  2 )  /\  ( ( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `
 P ) )  /\  ( ( lastS  `  P
)  =  ( P `
 0 )  /\  I  e.  ( 0..^ ( ( # `  P
)  -  1 ) ) ) )  /\  { ( P `  I
) ,  ( P `
 ( I  + 
1 ) ) }  e.  ran  E ) )  ->  ( ( # `
 P )  e. 
NN0  /\  I  e.  ( 0..^ ( ( # `  P )  -  2 ) ) ) )
1883clwlkisclwwlklem2fv1 30444 . . . . . 6  |-  ( ( ( # `  P
)  e.  NN0  /\  I  e.  ( 0..^ ( ( # `  P
)  -  2 ) ) )  ->  ( F `  I )  =  ( `' E `  { ( P `  I ) ,  ( P `  ( I  +  1 ) ) } ) )
189187, 188syl 16 . . . . 5  |-  ( ( -.  I  =  ( ( # `  P
)  -  2 )  /\  ( ( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `
 P ) )  /\  ( ( lastS  `  P
)  =  ( P `
 0 )  /\  I  e.  ( 0..^ ( ( # `  P
)  -  1 ) ) ) )  /\  { ( P `  I
) ,  ( P `
 ( I  + 
1 ) ) }  e.  ran  E ) )  ->  ( F `  I )  =  ( `' E `  { ( P `  I ) ,  ( P `  ( I  +  1
) ) } ) )
190189fveq2d 5695 . . . 4  |-  ( ( -.  I  =  ( ( # `  P
)  -  2 )  /\  ( ( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `
 P ) )  /\  ( ( lastS  `  P
)  =  ( P `
 0 )  /\  I  e.  ( 0..^ ( ( # `  P
)  -  1 ) ) ) )  /\  { ( P `  I
) ,  ( P `
 ( I  + 
1 ) ) }  e.  ran  E ) )  ->  ( E `  ( F `  I
) )  =  ( E `  ( `' E `  { ( P `  I ) ,  ( P `  ( I  +  1
) ) } ) ) )
19114adantl 466 . . . . 5  |-  ( ( -.  I  =  ( ( # `  P
)  -  2 )  /\  ( ( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `
 P ) )  /\  ( ( lastS  `  P
)  =  ( P `
 0 )  /\  I  e.  ( 0..^ ( ( # `  P
)  -  1 ) ) ) )  /\  { ( P `  I
) ,  ( P `
 ( I  + 
1 ) ) }  e.  ran  E ) )  ->  E : dom  E -1-1-onto-> ran  E )
192 simprr 756 . . . . 5  |-  ( ( -.  I  =  ( ( # `  P
)  -  2 )  /\  ( ( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `
 P ) )  /\  ( ( lastS  `  P
)  =  ( P `
 0 )  /\  I  e.  ( 0..^ ( ( # `  P
)  -  1 ) ) ) )  /\  { ( P `  I
) ,  ( P `
 ( I  + 
1 ) ) }  e.  ran  E ) )  ->  { ( P `  I ) ,  ( P `  ( I  +  1
) ) }  e.  ran  E )
193 f1ocnvfv2 5984 . . . . 5  |-  ( ( E : dom  E -1-1-onto-> ran  E  /\  { ( P `
 I ) ,  ( P `  (
I  +  1 ) ) }  e.  ran  E )  ->  ( E `  ( `' E `  { ( P `  I ) ,  ( P `  ( I  +  1 ) ) } ) )  =  { ( P `  I ) ,  ( P `  ( I  +  1 ) ) } )
194191, 192, 193syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ( -.  I  =  ( ( # `  P
)  -  2 )  /\  ( ( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `
 P ) )  /\  ( ( lastS  `  P
)  =  ( P `
 0 )  /\  I  e.  ( 0..^ ( ( # `  P
)  -  1 ) ) ) )  /\  { ( P `  I
) ,  ( P `
 ( I  + 
1 ) ) }  e.  ran  E ) )  ->  ( E `  ( `' E `  { ( P `  I ) ,  ( P `  ( I  +  1 ) ) } ) )  =  { ( P `  I ) ,  ( P `  ( I  +  1 ) ) } )
195190, 194eqtrd 2475 . . 3  |-  ( ( -.  I  =  ( ( # `  P
)  -  2 )  /\  ( ( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `
 P ) )  /\  ( ( lastS  `  P
)  =  ( P `
 0 )  /\  I  e.  ( 0..^ ( ( # `  P
)  -  1 ) ) ) )  /\  { ( P `  I
) ,  ( P `
 ( I  + 
1 ) ) }  e.  ran  E ) )  ->  ( E `  ( F `  I
) )  =  {
( P `  I
) ,  ( P `
 ( I  + 
1 ) ) } )
19682, 195pm2.61ian 788 . 2  |-  ( ( ( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  (
( lastS  `  P )  =  ( P `  0
)  /\  I  e.  ( 0..^ ( ( # `  P )  -  1 ) ) ) )  /\  { ( P `
 I ) ,  ( P `  (
I  +  1 ) ) }  e.  ran  E )  ->  ( E `  ( F `  I
) )  =  {
( P `  I
) ,  ( P `
 ( I  + 
1 ) ) } )
197196exp31 604 1  |-  ( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `
 P ) )  ->  ( ( ( lastS  `  P )  =  ( P `  0 )  /\  I  e.  ( 0..^ ( ( # `  P )  -  1 ) ) )  -> 
( { ( P `
 I ) ,  ( P `  (
I  +  1 ) ) }  e.  ran  E  ->  ( E `  ( F `  I ) )  =  { ( P `  I ) ,  ( P `  ( I  +  1
) ) } ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756    =/= wne 2606   ifcif 3791   {csn 3877   {cpr 3879   class class class wbr 4292    e. cmpt 4350   `'ccnv 4839   dom cdm 4840   ran crn 4841   -1-1-onto->wf1o 5417   ` cfv 5418  (class class class)co 6091   CCcc 9280   RRcr 9281   0cc0 9282   1c1 9283    + caddc 9285    < clt 9418    <_ cle 9419    - cmin 9595   NNcn 10322   2c2 10371   NN0cn0 10579   ZZcz 10646  ..^cfzo 11548   #chash 12103  Word cword 12221   lastS clsw 12222   USGrph cusg 23264
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4403  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531  ax-un 6372  ax-cnex 9338  ax-resscn 9339  ax-1cn 9340  ax-icn 9341  ax-addcl 9342  ax-addrcl 9343  ax-mulcl 9344  ax-mulrcl 9345  ax-mulcom 9346  ax-addass 9347  ax-mulass 9348  ax-distr 9349  ax-i2m1 9350  ax-1ne0 9351  ax-1rid 9352  ax-rnegex 9353  ax-rrecex 9354  ax-cnre 9355  ax-pre-lttri 9356  ax-pre-lttrn 9357  ax-pre-ltadd 9358  ax-pre-mulgt0 9359
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-nel 2609  df-ral 2720  df-rex 2721  df-reu 2722  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-csb 3289  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-pss 3344  df-nul 3638  df-if 3792  df-pw 3862  df-sn 3878  df-pr 3880  df-tp 3882  df-op 3884  df-uni 4092  df-int 4129  df-iun 4173  df-br 4293  df-opab 4351  df-mpt 4352  df-tr 4386  df-eprel 4632  df-id 4636  df-po 4641  df-so 4642  df-fr 4679  df-we 4681  df-ord 4722  df-on 4723  df-lim 4724  df-suc 4725  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-res 4852  df-ima 4853  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fn 5421  df-f 5422  df-f1 5423  df-fo 5424  df-f1o 5425  df-fv 5426  df-riota 6052  df-ov 6094  df-oprab 6095  df-mpt2 6096  df-om 6477  df-1st 6577  df-2nd 6578  df-recs 6832  df-rdg 6866  df-1o 6920  df-oadd 6924  df-er 7101  df-en 7311  df-dom 7312  df-sdom 7313  df-fin 7314  df-card 8109  df-pnf 9420  df-mnf 9421  df-xr 9422  df-ltxr 9423  df-le 9424  df-sub 9597  df-neg 9598  df-nn 10323  df-2 10380  df-n0 10580  df-z 10647  df-uz 10862  df-fz 11438  df-fzo 11549  df-hash 12104  df-word 12229  df-lsw 12230  df-usgra 23266
This theorem is referenced by:  clwlkisclwwlklem2a  30447
  Copyright terms: Public domain W3C validator