MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  clwlkisclwwlklem2a4 Structured version   Unicode version

Theorem clwlkisclwwlklem2a4 24911
Description: Lemma 4 for clwlkisclwwlklem2a 24912. (Contributed by Alexander van der Vekens, 21-Jun-2018.)
Hypothesis
Ref Expression
clwlkisclwwlklem2.f  |-  F  =  ( x  e.  ( 0..^ ( ( # `  P )  -  1 ) )  |->  if ( x  <  ( (
# `  P )  -  2 ) ,  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1 ) ) } ) ,  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P ` 
0 ) } ) ) )
Assertion
Ref Expression
clwlkisclwwlklem2a4  |-  ( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `
 P ) )  ->  ( ( ( lastS  `  P )  =  ( P `  0 )  /\  I  e.  ( 0..^ ( ( # `  P )  -  1 ) ) )  -> 
( { ( P `
 I ) ,  ( P `  (
I  +  1 ) ) }  e.  ran  E  ->  ( E `  ( F `  I ) )  =  { ( P `  I ) ,  ( P `  ( I  +  1
) ) } ) ) )
Distinct variable groups:    x, E    x, I    x, P    x, V
Allowed substitution hint:    F( x)

Proof of Theorem clwlkisclwwlklem2a4
StepHypRef Expression
1 fveq2 5872 . . . . . . . . . 10  |-  ( I  =  ( ( # `  P )  -  2 )  ->  ( F `  I )  =  ( F `  ( (
# `  P )  -  2 ) ) )
2 lencl 12569 . . . . . . . . . . 11  |-  ( P  e. Word  V  ->  ( # `
 P )  e. 
NN0 )
3 clwlkisclwwlklem2.f . . . . . . . . . . . 12  |-  F  =  ( x  e.  ( 0..^ ( ( # `  P )  -  1 ) )  |->  if ( x  <  ( (
# `  P )  -  2 ) ,  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1 ) ) } ) ,  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P ` 
0 ) } ) ) )
43clwlkisclwwlklem2fv2 24910 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( # `  P
)  e.  NN0  /\  2  <_  ( # `  P
) )  ->  ( F `  ( ( # `
 P )  - 
2 ) )  =  ( `' E `  { ( P `  ( ( # `  P
)  -  2 ) ) ,  ( P `
 0 ) } ) )
52, 4sylan 471 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  P
) )  ->  ( F `  ( ( # `
 P )  - 
2 ) )  =  ( `' E `  { ( P `  ( ( # `  P
)  -  2 ) ) ,  ( P `
 0 ) } ) )
61, 5sylan9eqr 2520 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  P ) )  /\  I  =  ( ( # `
 P )  - 
2 ) )  -> 
( F `  I
)  =  ( `' E `  { ( P `  ( (
# `  P )  -  2 ) ) ,  ( P ` 
0 ) } ) )
76ex 434 . . . . . . . 8  |-  ( ( P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  P
) )  ->  (
I  =  ( (
# `  P )  -  2 )  -> 
( F `  I
)  =  ( `' E `  { ( P `  ( (
# `  P )  -  2 ) ) ,  ( P ` 
0 ) } ) ) )
873adant1 1014 . . . . . . 7  |-  ( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `
 P ) )  ->  ( I  =  ( ( # `  P
)  -  2 )  ->  ( F `  I )  =  ( `' E `  { ( P `  ( (
# `  P )  -  2 ) ) ,  ( P ` 
0 ) } ) ) )
98ad2antrr 725 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  (
( lastS  `  P )  =  ( P `  0
)  /\  I  e.  ( 0..^ ( ( # `  P )  -  1 ) ) ) )  /\  { ( P `
 I ) ,  ( P `  (
I  +  1 ) ) }  e.  ran  E )  ->  ( I  =  ( ( # `  P )  -  2 )  ->  ( F `  I )  =  ( `' E `  { ( P `  ( (
# `  P )  -  2 ) ) ,  ( P ` 
0 ) } ) ) )
109impcom 430 . . . . 5  |-  ( ( I  =  ( (
# `  P )  -  2 )  /\  ( ( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  P ) )  /\  ( ( lastS  `  P )  =  ( P ` 
0 )  /\  I  e.  ( 0..^ ( (
# `  P )  -  1 ) ) ) )  /\  {
( P `  I
) ,  ( P `
 ( I  + 
1 ) ) }  e.  ran  E ) )  ->  ( F `  I )  =  ( `' E `  { ( P `  ( (
# `  P )  -  2 ) ) ,  ( P ` 
0 ) } ) )
1110fveq2d 5876 . . . 4  |-  ( ( I  =  ( (
# `  P )  -  2 )  /\  ( ( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  P ) )  /\  ( ( lastS  `  P )  =  ( P ` 
0 )  /\  I  e.  ( 0..^ ( (
# `  P )  -  1 ) ) ) )  /\  {
( P `  I
) ,  ( P `
 ( I  + 
1 ) ) }  e.  ran  E ) )  ->  ( E `  ( F `  I
) )  =  ( E `  ( `' E `  { ( P `  ( (
# `  P )  -  2 ) ) ,  ( P ` 
0 ) } ) ) )
12 usgraf1o 24485 . . . . . . . 8  |-  ( V USGrph  E  ->  E : dom  E -1-1-onto-> ran 
E )
13123ad2ant1 1017 . . . . . . 7  |-  ( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `
 P ) )  ->  E : dom  E -1-1-onto-> ran 
E )
1413ad2antrr 725 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  (
( lastS  `  P )  =  ( P `  0
)  /\  I  e.  ( 0..^ ( ( # `  P )  -  1 ) ) ) )  /\  { ( P `
 I ) ,  ( P `  (
I  +  1 ) ) }  e.  ran  E )  ->  E : dom  E -1-1-onto-> ran  E )
1514adantl 466 . . . . 5  |-  ( ( I  =  ( (
# `  P )  -  2 )  /\  ( ( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  P ) )  /\  ( ( lastS  `  P )  =  ( P ` 
0 )  /\  I  e.  ( 0..^ ( (
# `  P )  -  1 ) ) ) )  /\  {
( P `  I
) ,  ( P `
 ( I  + 
1 ) ) }  e.  ran  E ) )  ->  E : dom  E -1-1-onto-> ran  E )
16 lsw 12593 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( P  e. Word  V  ->  ( lastS  `  P )  =  ( P `  ( (
# `  P )  -  1 ) ) )
1716eqeq1d 2459 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( P  e. Word  V  ->  (
( lastS  `  P )  =  ( P `  0
)  <->  ( P `  ( ( # `  P
)  -  1 ) )  =  ( P `
 0 ) ) )
18 nn0cn 10826 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
# `  P )  e.  NN0  ->  ( # `  P
)  e.  CC )
19 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( (
# `  P )  e.  CC  ->  ( # `  P
)  e.  CC )
20 2cnd 10629 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( (
# `  P )  e.  CC  ->  2  e.  CC )
21 1cnd 9629 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( (
# `  P )  e.  CC  ->  1  e.  CC )
2219, 20, 21subsubd 9978 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( (
# `  P )  e.  CC  ->  ( ( # `
 P )  -  ( 2  -  1 ) )  =  ( ( ( # `  P
)  -  2 )  +  1 ) )
23 2m1e1 10671 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( 2  -  1 )  =  1
2423a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( (
# `  P )  e.  CC  ->  ( 2  -  1 )  =  1 )
2524oveq2d 6312 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( (
# `  P )  e.  CC  ->  ( ( # `
 P )  -  ( 2  -  1 ) )  =  ( ( # `  P
)  -  1 ) )
2622, 25eqtr3d 2500 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
# `  P )  e.  CC  ->  ( (
( # `  P )  -  2 )  +  1 )  =  ( ( # `  P
)  -  1 ) )
272, 18, 263syl 20 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( P  e. Word  V  ->  (
( ( # `  P
)  -  2 )  +  1 )  =  ( ( # `  P
)  -  1 ) )
2827adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( P  e. Word  V  /\  ( P `  ( (
# `  P )  -  1 ) )  =  ( P ` 
0 ) )  -> 
( ( ( # `  P )  -  2 )  +  1 )  =  ( ( # `  P )  -  1 ) )
2928fveq2d 5876 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( P  e. Word  V  /\  ( P `  ( (
# `  P )  -  1 ) )  =  ( P ` 
0 ) )  -> 
( P `  (
( ( # `  P
)  -  2 )  +  1 ) )  =  ( P `  ( ( # `  P
)  -  1 ) ) )
30 eqeq2 2472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( P `  0 )  =  ( P `  ( ( # `  P
)  -  1 ) )  ->  ( ( P `  ( (
( # `  P )  -  2 )  +  1 ) )  =  ( P `  0
)  <->  ( P `  ( ( ( # `  P )  -  2 )  +  1 ) )  =  ( P `
 ( ( # `  P )  -  1 ) ) ) )
3130eqcoms 2469 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( P `  ( (
# `  P )  -  1 ) )  =  ( P ` 
0 )  ->  (
( P `  (
( ( # `  P
)  -  2 )  +  1 ) )  =  ( P ` 
0 )  <->  ( P `  ( ( ( # `  P )  -  2 )  +  1 ) )  =  ( P `
 ( ( # `  P )  -  1 ) ) ) )
3231adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( P  e. Word  V  /\  ( P `  ( (
# `  P )  -  1 ) )  =  ( P ` 
0 ) )  -> 
( ( P `  ( ( ( # `  P )  -  2 )  +  1 ) )  =  ( P `
 0 )  <->  ( P `  ( ( ( # `  P )  -  2 )  +  1 ) )  =  ( P `
 ( ( # `  P )  -  1 ) ) ) )
3329, 32mpbird 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( P  e. Word  V  /\  ( P `  ( (
# `  P )  -  1 ) )  =  ( P ` 
0 ) )  -> 
( P `  (
( ( # `  P
)  -  2 )  +  1 ) )  =  ( P ` 
0 ) )
3433ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( P  e. Word  V  ->  (
( P `  (
( # `  P )  -  1 ) )  =  ( P ` 
0 )  ->  ( P `  ( (
( # `  P )  -  2 )  +  1 ) )  =  ( P `  0
) ) )
3517, 34sylbid 215 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( P  e. Word  V  ->  (
( lastS  `  P )  =  ( P `  0
)  ->  ( P `  ( ( ( # `  P )  -  2 )  +  1 ) )  =  ( P `
 0 ) ) )
36353ad2ant2 1018 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `
 P ) )  ->  ( ( lastS  `  P
)  =  ( P `
 0 )  -> 
( P `  (
( ( # `  P
)  -  2 )  +  1 ) )  =  ( P ` 
0 ) ) )
3736com12 31 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( lastS  `  P )  =  ( P `  0 )  ->  ( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  P ) )  -> 
( P `  (
( ( # `  P
)  -  2 )  +  1 ) )  =  ( P ` 
0 ) ) )
3837adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( lastS  `  P )  =  ( P ` 
0 )  /\  I  e.  ( 0..^ ( (
# `  P )  -  1 ) ) )  ->  ( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `
 P ) )  ->  ( P `  ( ( ( # `  P )  -  2 )  +  1 ) )  =  ( P `
 0 ) ) )
3938impcom 430 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  (
( lastS  `  P )  =  ( P `  0
)  /\  I  e.  ( 0..^ ( ( # `  P )  -  1 ) ) ) )  ->  ( P `  ( ( ( # `  P )  -  2 )  +  1 ) )  =  ( P `
 0 ) )
4039adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  (
( lastS  `  P )  =  ( P `  0
)  /\  I  e.  ( 0..^ ( ( # `  P )  -  1 ) ) ) )  /\  I  =  ( ( # `  P
)  -  2 ) )  ->  ( P `  ( ( ( # `  P )  -  2 )  +  1 ) )  =  ( P `
 0 ) )
4140preq2d 4118 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  (
( lastS  `  P )  =  ( P `  0
)  /\  I  e.  ( 0..^ ( ( # `  P )  -  1 ) ) ) )  /\  I  =  ( ( # `  P
)  -  2 ) )  ->  { ( P `  ( ( # `
 P )  - 
2 ) ) ,  ( P `  (
( ( # `  P
)  -  2 )  +  1 ) ) }  =  { ( P `  ( (
# `  P )  -  2 ) ) ,  ( P ` 
0 ) } )
42 fveq2 5872 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( I  =  ( ( # `  P )  -  2 )  ->  ( P `  I )  =  ( P `  ( (
# `  P )  -  2 ) ) )
43 oveq1 6303 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( I  =  ( ( # `  P )  -  2 )  ->  ( I  +  1 )  =  ( ( ( # `  P )  -  2 )  +  1 ) )
4443fveq2d 5876 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( I  =  ( ( # `  P )  -  2 )  ->  ( P `  ( I  +  1 ) )  =  ( P `  ( ( ( # `  P
)  -  2 )  +  1 ) ) )
4542, 44preq12d 4119 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( I  =  ( ( # `  P )  -  2 )  ->  { ( P `  I ) ,  ( P `  ( I  +  1
) ) }  =  { ( P `  ( ( # `  P
)  -  2 ) ) ,  ( P `
 ( ( (
# `  P )  -  2 )  +  1 ) ) } )
4645eqeq1d 2459 . . . . . . . . . . 11  |-  ( I  =  ( ( # `  P )  -  2 )  ->  ( {
( P `  I
) ,  ( P `
 ( I  + 
1 ) ) }  =  { ( P `
 ( ( # `  P )  -  2 ) ) ,  ( P `  0 ) }  <->  { ( P `  ( ( # `  P
)  -  2 ) ) ,  ( P `
 ( ( (
# `  P )  -  2 )  +  1 ) ) }  =  { ( P `
 ( ( # `  P )  -  2 ) ) ,  ( P `  0 ) } ) )
4746adantl 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  (
( lastS  `  P )  =  ( P `  0
)  /\  I  e.  ( 0..^ ( ( # `  P )  -  1 ) ) ) )  /\  I  =  ( ( # `  P
)  -  2 ) )  ->  ( {
( P `  I
) ,  ( P `
 ( I  + 
1 ) ) }  =  { ( P `
 ( ( # `  P )  -  2 ) ) ,  ( P `  0 ) }  <->  { ( P `  ( ( # `  P
)  -  2 ) ) ,  ( P `
 ( ( (
# `  P )  -  2 )  +  1 ) ) }  =  { ( P `
 ( ( # `  P )  -  2 ) ) ,  ( P `  0 ) } ) )
4841, 47mpbird 232 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  (
( lastS  `  P )  =  ( P `  0
)  /\  I  e.  ( 0..^ ( ( # `  P )  -  1 ) ) ) )  /\  I  =  ( ( # `  P
)  -  2 ) )  ->  { ( P `  I ) ,  ( P `  ( I  +  1
) ) }  =  { ( P `  ( ( # `  P
)  -  2 ) ) ,  ( P `
 0 ) } )
4948eleq1d 2526 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  (
( lastS  `  P )  =  ( P `  0
)  /\  I  e.  ( 0..^ ( ( # `  P )  -  1 ) ) ) )  /\  I  =  ( ( # `  P
)  -  2 ) )  ->  ( {
( P `  I
) ,  ( P `
 ( I  + 
1 ) ) }  e.  ran  E  <->  { ( P `  ( ( # `
 P )  - 
2 ) ) ,  ( P `  0
) }  e.  ran  E ) )
5049biimpd 207 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  (
( lastS  `  P )  =  ( P `  0
)  /\  I  e.  ( 0..^ ( ( # `  P )  -  1 ) ) ) )  /\  I  =  ( ( # `  P
)  -  2 ) )  ->  ( {
( P `  I
) ,  ( P `
 ( I  + 
1 ) ) }  e.  ran  E  ->  { ( P `  ( ( # `  P
)  -  2 ) ) ,  ( P `
 0 ) }  e.  ran  E ) )
5150impancom 440 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  (
( lastS  `  P )  =  ( P `  0
)  /\  I  e.  ( 0..^ ( ( # `  P )  -  1 ) ) ) )  /\  { ( P `
 I ) ,  ( P `  (
I  +  1 ) ) }  e.  ran  E )  ->  ( I  =  ( ( # `  P )  -  2 )  ->  { ( P `  ( ( # `
 P )  - 
2 ) ) ,  ( P `  0
) }  e.  ran  E ) )
5251impcom 430 . . . . 5  |-  ( ( I  =  ( (
# `  P )  -  2 )  /\  ( ( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  P ) )  /\  ( ( lastS  `  P )  =  ( P ` 
0 )  /\  I  e.  ( 0..^ ( (
# `  P )  -  1 ) ) ) )  /\  {
( P `  I
) ,  ( P `
 ( I  + 
1 ) ) }  e.  ran  E ) )  ->  { ( P `  ( ( # `
 P )  - 
2 ) ) ,  ( P `  0
) }  e.  ran  E )
53 f1ocnvfv2 6184 . . . . 5  |-  ( ( E : dom  E -1-1-onto-> ran  E  /\  { ( P `
 ( ( # `  P )  -  2 ) ) ,  ( P `  0 ) }  e.  ran  E
)  ->  ( E `  ( `' E `  { ( P `  ( ( # `  P
)  -  2 ) ) ,  ( P `
 0 ) } ) )  =  {
( P `  (
( # `  P )  -  2 ) ) ,  ( P ` 
0 ) } )
5415, 52, 53syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ( I  =  ( (
# `  P )  -  2 )  /\  ( ( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  P ) )  /\  ( ( lastS  `  P )  =  ( P ` 
0 )  /\  I  e.  ( 0..^ ( (
# `  P )  -  1 ) ) ) )  /\  {
( P `  I
) ,  ( P `
 ( I  + 
1 ) ) }  e.  ran  E ) )  ->  ( E `  ( `' E `  { ( P `  ( ( # `  P
)  -  2 ) ) ,  ( P `
 0 ) } ) )  =  {
( P `  (
( # `  P )  -  2 ) ) ,  ( P ` 
0 ) } )
55 eqcom 2466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( P `  ( (
# `  P )  -  1 ) )  =  ( P ` 
0 )  <->  ( P `  0 )  =  ( P `  (
( # `  P )  -  1 ) ) )
5655biimpi 194 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( P `  ( (
# `  P )  -  1 ) )  =  ( P ` 
0 )  ->  ( P `  0 )  =  ( P `  ( ( # `  P
)  -  1 ) ) )
57 1e2m1 10672 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  1  =  ( 2  -  1 )
5857a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( P  e. Word  V  ->  1  =  ( 2  -  1 ) )
5958oveq2d 6312 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( P  e. Word  V  ->  (
( # `  P )  -  1 )  =  ( ( # `  P
)  -  ( 2  -  1 ) ) )
602, 18syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( P  e. Word  V  ->  ( # `
 P )  e.  CC )
61 2cnd 10629 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( P  e. Word  V  ->  2  e.  CC )
62 1cnd 9629 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( P  e. Word  V  ->  1  e.  CC )
6360, 61, 62subsubd 9978 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( P  e. Word  V  ->  (
( # `  P )  -  ( 2  -  1 ) )  =  ( ( ( # `  P )  -  2 )  +  1 ) )
6459, 63eqtrd 2498 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( P  e. Word  V  ->  (
( # `  P )  -  1 )  =  ( ( ( # `  P )  -  2 )  +  1 ) )
6564fveq2d 5876 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( P  e. Word  V  ->  ( P `  ( ( # `
 P )  - 
1 ) )  =  ( P `  (
( ( # `  P
)  -  2 )  +  1 ) ) )
6656, 65sylan9eqr 2520 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( P  e. Word  V  /\  ( P `  ( (
# `  P )  -  1 ) )  =  ( P ` 
0 ) )  -> 
( P `  0
)  =  ( P `
 ( ( (
# `  P )  -  2 )  +  1 ) ) )
6766ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( P  e. Word  V  ->  (
( P `  (
( # `  P )  -  1 ) )  =  ( P ` 
0 )  ->  ( P `  0 )  =  ( P `  ( ( ( # `  P )  -  2 )  +  1 ) ) ) )
6817, 67sylbid 215 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( P  e. Word  V  ->  (
( lastS  `  P )  =  ( P `  0
)  ->  ( P `  0 )  =  ( P `  (
( ( # `  P
)  -  2 )  +  1 ) ) ) )
6968imp 429 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( P  e. Word  V  /\  ( lastS  `  P )  =  ( P `  0
) )  ->  ( P `  0 )  =  ( P `  ( ( ( # `  P )  -  2 )  +  1 ) ) )
7069preq2d 4118 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( P  e. Word  V  /\  ( lastS  `  P )  =  ( P `  0
) )  ->  { ( P `  ( (
# `  P )  -  2 ) ) ,  ( P ` 
0 ) }  =  { ( P `  ( ( # `  P
)  -  2 ) ) ,  ( P `
 ( ( (
# `  P )  -  2 )  +  1 ) ) } )
7170adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( P  e. Word  V  /\  ( lastS  `  P )  =  ( P ` 
0 ) )  /\  I  =  ( ( # `
 P )  - 
2 ) )  ->  { ( P `  ( ( # `  P
)  -  2 ) ) ,  ( P `
 0 ) }  =  { ( P `
 ( ( # `  P )  -  2 ) ) ,  ( P `  ( ( ( # `  P
)  -  2 )  +  1 ) ) } )
7245adantl 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( P  e. Word  V  /\  ( lastS  `  P )  =  ( P ` 
0 ) )  /\  I  =  ( ( # `
 P )  - 
2 ) )  ->  { ( P `  I ) ,  ( P `  ( I  +  1 ) ) }  =  { ( P `  ( (
# `  P )  -  2 ) ) ,  ( P `  ( ( ( # `  P )  -  2 )  +  1 ) ) } )
7371, 72eqtr4d 2501 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( P  e. Word  V  /\  ( lastS  `  P )  =  ( P ` 
0 ) )  /\  I  =  ( ( # `
 P )  - 
2 ) )  ->  { ( P `  ( ( # `  P
)  -  2 ) ) ,  ( P `
 0 ) }  =  { ( P `
 I ) ,  ( P `  (
I  +  1 ) ) } )
7473exp31 604 . . . . . . . . . 10  |-  ( P  e. Word  V  ->  (
( lastS  `  P )  =  ( P `  0
)  ->  ( I  =  ( ( # `  P )  -  2 )  ->  { ( P `  ( ( # `
 P )  - 
2 ) ) ,  ( P `  0
) }  =  {
( P `  I
) ,  ( P `
 ( I  + 
1 ) ) } ) ) )
75743ad2ant2 1018 . . . . . . . . 9  |-  ( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `
 P ) )  ->  ( ( lastS  `  P
)  =  ( P `
 0 )  -> 
( I  =  ( ( # `  P
)  -  2 )  ->  { ( P `
 ( ( # `  P )  -  2 ) ) ,  ( P `  0 ) }  =  { ( P `  I ) ,  ( P `  ( I  +  1
) ) } ) ) )
7675com12 31 . . . . . . . 8  |-  ( ( lastS  `  P )  =  ( P `  0 )  ->  ( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  P ) )  -> 
( I  =  ( ( # `  P
)  -  2 )  ->  { ( P `
 ( ( # `  P )  -  2 ) ) ,  ( P `  0 ) }  =  { ( P `  I ) ,  ( P `  ( I  +  1
) ) } ) ) )
7776adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( ( lastS  `  P )  =  ( P ` 
0 )  /\  I  e.  ( 0..^ ( (
# `  P )  -  1 ) ) )  ->  ( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `
 P ) )  ->  ( I  =  ( ( # `  P
)  -  2 )  ->  { ( P `
 ( ( # `  P )  -  2 ) ) ,  ( P `  0 ) }  =  { ( P `  I ) ,  ( P `  ( I  +  1
) ) } ) ) )
7877impcom 430 . . . . . 6  |-  ( ( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  (
( lastS  `  P )  =  ( P `  0
)  /\  I  e.  ( 0..^ ( ( # `  P )  -  1 ) ) ) )  ->  ( I  =  ( ( # `  P
)  -  2 )  ->  { ( P `
 ( ( # `  P )  -  2 ) ) ,  ( P `  0 ) }  =  { ( P `  I ) ,  ( P `  ( I  +  1
) ) } ) )
7978adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( ( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  (
( lastS  `  P )  =  ( P `  0
)  /\  I  e.  ( 0..^ ( ( # `  P )  -  1 ) ) ) )  /\  { ( P `
 I ) ,  ( P `  (
I  +  1 ) ) }  e.  ran  E )  ->  ( I  =  ( ( # `  P )  -  2 )  ->  { ( P `  ( ( # `
 P )  - 
2 ) ) ,  ( P `  0
) }  =  {
( P `  I
) ,  ( P `
 ( I  + 
1 ) ) } ) )
8079impcom 430 . . . 4  |-  ( ( I  =  ( (
# `  P )  -  2 )  /\  ( ( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  P ) )  /\  ( ( lastS  `  P )  =  ( P ` 
0 )  /\  I  e.  ( 0..^ ( (
# `  P )  -  1 ) ) ) )  /\  {
( P `  I
) ,  ( P `
 ( I  + 
1 ) ) }  e.  ran  E ) )  ->  { ( P `  ( ( # `
 P )  - 
2 ) ) ,  ( P `  0
) }  =  {
( P `  I
) ,  ( P `
 ( I  + 
1 ) ) } )
8111, 54, 803eqtrd 2502 . . 3  |-  ( ( I  =  ( (
# `  P )  -  2 )  /\  ( ( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  P ) )  /\  ( ( lastS  `  P )  =  ( P ` 
0 )  /\  I  e.  ( 0..^ ( (
# `  P )  -  1 ) ) ) )  /\  {
( P `  I
) ,  ( P `
 ( I  + 
1 ) ) }  e.  ran  E ) )  ->  ( E `  ( F `  I
) )  =  {
( P `  I
) ,  ( P `
 ( I  + 
1 ) ) } )
82 simpll 753 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( # `  P
)  e.  NN0  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  (
I  e.  ( 0..^ ( ( # `  P
)  -  1 ) )  /\  -.  I  =  ( ( # `  P )  -  2 ) ) )  -> 
( # `  P )  e.  NN0 )
83 oveq1 6303 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( (
# `  P )  =  2  ->  (
( # `  P )  -  1 )  =  ( 2  -  1 ) )
8483, 23syl6eq 2514 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( (
# `  P )  =  2  ->  (
( # `  P )  -  1 )  =  1 )
8584oveq2d 6312 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( (
# `  P )  =  2  ->  (
0..^ ( ( # `  P )  -  1 ) )  =  ( 0..^ 1 ) )
8685eleq2d 2527 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
# `  P )  =  2  ->  (
I  e.  ( 0..^ ( ( # `  P
)  -  1 ) )  <->  I  e.  (
0..^ 1 ) ) )
87 oveq1 6303 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( (
# `  P )  =  2  ->  (
( # `  P )  -  2 )  =  ( 2  -  2 ) )
88 2cn 10627 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  2  e.  CC
8988subidi 9909 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( 2  -  2 )  =  0
9087, 89syl6eq 2514 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( (
# `  P )  =  2  ->  (
( # `  P )  -  2 )  =  0 )
9190eqeq2d 2471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( (
# `  P )  =  2  ->  (
I  =  ( (
# `  P )  -  2 )  <->  I  = 
0 ) )
9291notbid 294 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
# `  P )  =  2  ->  ( -.  I  =  (
( # `  P )  -  2 )  <->  -.  I  =  0 ) )
9386, 92anbi12d 710 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
# `  P )  =  2  ->  (
( I  e.  ( 0..^ ( ( # `  P )  -  1 ) )  /\  -.  I  =  ( ( # `
 P )  - 
2 ) )  <->  ( I  e.  ( 0..^ 1 )  /\  -.  I  =  0 ) ) )
94 elsni 4057 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( I  e.  { 0 }  ->  I  =  0 )
9594pm2.24d 143 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( I  e.  { 0 }  ->  ( -.  I  =  0  ->  (
I  e.  NN0  /\  ( ( # `  P
)  -  2 )  e.  NN  /\  I  <  ( ( # `  P
)  -  2 ) ) ) )
96 fzo01 11900 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( 0..^ 1 )  =  {
0 }
9795, 96eleq2s 2565 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( I  e.  ( 0..^ 1 )  ->  ( -.  I  =  0  ->  ( I  e.  NN0  /\  ( ( # `  P
)  -  2 )  e.  NN  /\  I  <  ( ( # `  P
)  -  2 ) ) ) )
9897imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( I  e.  ( 0..^ 1 )  /\  -.  I  =  0 )  ->  ( I  e. 
NN0  /\  ( ( # `
 P )  - 
2 )  e.  NN  /\  I  <  ( (
# `  P )  -  2 ) ) )
9993, 98syl6bi 228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
# `  P )  =  2  ->  (
( I  e.  ( 0..^ ( ( # `  P )  -  1 ) )  /\  -.  I  =  ( ( # `
 P )  - 
2 ) )  -> 
( I  e.  NN0  /\  ( ( # `  P
)  -  2 )  e.  NN  /\  I  <  ( ( # `  P
)  -  2 ) ) ) )
10099adantld 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
# `  P )  =  2  ->  (
( ( ( # `  P )  e.  NN0  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  (
I  e.  ( 0..^ ( ( # `  P
)  -  1 ) )  /\  -.  I  =  ( ( # `  P )  -  2 ) ) )  -> 
( I  e.  NN0  /\  ( ( # `  P
)  -  2 )  e.  NN  /\  I  <  ( ( # `  P
)  -  2 ) ) ) )
101 df-ne 2654 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( (
# `  P )  =/=  2  <->  -.  ( # `  P
)  =  2 )
102 2re 10626 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  2  e.  RR
103102a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( # `  P
)  e.  NN0  /\  2  <_  ( # `  P
) )  ->  2  e.  RR )
104 nn0re 10825 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( (
# `  P )  e.  NN0  ->  ( # `  P
)  e.  RR )
105104adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( # `  P
)  e.  NN0  /\  2  <_  ( # `  P
) )  ->  ( # `
 P )  e.  RR )
106 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( # `  P
)  e.  NN0  /\  2  <_  ( # `  P
) )  ->  2  <_  ( # `  P
) )
107103, 105, 106leltned 9753 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( # `  P
)  e.  NN0  /\  2  <_  ( # `  P
) )  ->  (
2  <  ( # `  P
)  <->  ( # `  P
)  =/=  2 ) )
108 elfzo0 11862 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( I  e.  ( 0..^ ( ( # `  P
)  -  1 ) )  <->  ( I  e. 
NN0  /\  ( ( # `
 P )  - 
1 )  e.  NN  /\  I  <  ( (
# `  P )  -  1 ) ) )
109 simp-4l 767 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( ( ( ( ( I  e.  NN0  /\  ( # `
 P )  e. 
NN0 )  /\  -.  I  =  ( ( # `
 P )  - 
2 ) )  /\  2  <  ( # `  P
) )  /\  I  <  ( ( # `  P
)  -  1 ) )  ->  I  e.  NN0 )
110 nn0z 10908 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41  |-  ( (
# `  P )  e.  NN0  ->  ( # `  P
)  e.  ZZ )
111 2z 10917 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42  |-  2  e.  ZZ
112111a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41  |-  ( (
# `  P )  e.  NN0  ->  2  e.  ZZ )
113110, 112zsubcld 10995 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40  |-  ( (
# `  P )  e.  NN0  ->  ( ( # `
 P )  - 
2 )  e.  ZZ )
114113adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39  |-  ( ( ( # `  P
)  e.  NN0  /\  2  <  ( # `  P
) )  ->  (
( # `  P )  -  2 )  e.  ZZ )
115102a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41  |-  ( (
# `  P )  e.  NN0  ->  2  e.  RR )
116115, 104posdifd 10160 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40  |-  ( (
# `  P )  e.  NN0  ->  ( 2  <  ( # `  P
)  <->  0  <  (
( # `  P )  -  2 ) ) )
117116biimpa 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39  |-  ( ( ( # `  P
)  e.  NN0  /\  2  <  ( # `  P
) )  ->  0  <  ( ( # `  P
)  -  2 ) )
118 elnnz 10895 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39  |-  ( ( ( # `  P
)  -  2 )  e.  NN  <->  ( (
( # `  P )  -  2 )  e.  ZZ  /\  0  < 
( ( # `  P
)  -  2 ) ) )
119114, 117, 118sylanbrc 664 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38  |-  ( ( ( # `  P
)  e.  NN0  /\  2  <  ( # `  P
) )  ->  (
( # `  P )  -  2 )  e.  NN )
120119ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37  |-  ( (
# `  P )  e.  NN0  ->  ( 2  <  ( # `  P
)  ->  ( ( # `
 P )  - 
2 )  e.  NN ) )
121120ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36  |-  ( ( ( I  e.  NN0  /\  ( # `  P
)  e.  NN0 )  /\  -.  I  =  ( ( # `  P
)  -  2 ) )  ->  ( 2  <  ( # `  P
)  ->  ( ( # `
 P )  - 
2 )  e.  NN ) )
122121imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( ( ( ( I  e. 
NN0  /\  ( # `  P
)  e.  NN0 )  /\  -.  I  =  ( ( # `  P
)  -  2 ) )  /\  2  < 
( # `  P ) )  ->  ( ( # `
 P )  - 
2 )  e.  NN )
123122adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( ( ( ( ( I  e.  NN0  /\  ( # `
 P )  e. 
NN0 )  /\  -.  I  =  ( ( # `
 P )  - 
2 ) )  /\  2  <  ( # `  P
) )  /\  I  <  ( ( # `  P
)  -  1 ) )  ->  ( ( # `
 P )  - 
2 )  e.  NN )
124 nn0z 10908 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41  |-  ( I  e.  NN0  ->  I  e.  ZZ )
125 peano2zm 10928 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42  |-  ( (
# `  P )  e.  ZZ  ->  ( ( # `
 P )  - 
1 )  e.  ZZ )
126110, 125syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41  |-  ( (
# `  P )  e.  NN0  ->  ( ( # `
 P )  - 
1 )  e.  ZZ )
127 zltlem1 10937 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41  |-  ( ( I  e.  ZZ  /\  ( ( # `  P
)  -  1 )  e.  ZZ )  -> 
( I  <  (
( # `  P )  -  1 )  <->  I  <_  ( ( ( # `  P
)  -  1 )  -  1 ) ) )
128124, 126, 127syl2an 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40  |-  ( ( I  e.  NN0  /\  ( # `  P )  e.  NN0 )  -> 
( I  <  (
( # `  P )  -  1 )  <->  I  <_  ( ( ( # `  P
)  -  1 )  -  1 ) ) )
12918adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43  |-  ( ( I  e.  NN0  /\  ( # `  P )  e.  NN0 )  -> 
( # `  P )  e.  CC )
130 1cnd 9629 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43  |-  ( ( I  e.  NN0  /\  ( # `  P )  e.  NN0 )  -> 
1  e.  CC )
131129, 130, 130subsub4d 9981 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42  |-  ( ( I  e.  NN0  /\  ( # `  P )  e.  NN0 )  -> 
( ( ( # `  P )  -  1 )  -  1 )  =  ( ( # `  P )  -  (
1  +  1 ) ) )
132 1p1e2 10670 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44  |-  ( 1  +  1 )  =  2
133132a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43  |-  ( ( I  e.  NN0  /\  ( # `  P )  e.  NN0 )  -> 
( 1  +  1 )  =  2 )
134133oveq2d 6312 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42  |-  ( ( I  e.  NN0  /\  ( # `  P )  e.  NN0 )  -> 
( ( # `  P
)  -  ( 1  +  1 ) )  =  ( ( # `  P )  -  2 ) )
135131, 134eqtrd 2498 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41  |-  ( ( I  e.  NN0  /\  ( # `  P )  e.  NN0 )  -> 
( ( ( # `  P )  -  1 )  -  1 )  =  ( ( # `  P )  -  2 ) )
136135breq2d 4468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40  |-  ( ( I  e.  NN0  /\  ( # `  P )  e.  NN0 )  -> 
( I  <_  (
( ( # `  P
)  -  1 )  -  1 )  <->  I  <_  ( ( # `  P
)  -  2 ) ) )
137128, 136bitrd 253 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39  |-  ( ( I  e.  NN0  /\  ( # `  P )  e.  NN0 )  -> 
( I  <  (
( # `  P )  -  1 )  <->  I  <_  ( ( # `  P
)  -  2 ) ) )
138 necom 2726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42  |-  ( ( ( # `  P
)  -  2 )  =/=  I  <->  I  =/=  ( ( # `  P
)  -  2 ) )
139 df-ne 2654 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42  |-  ( I  =/=  ( ( # `  P )  -  2 )  <->  -.  I  =  ( ( # `  P
)  -  2 ) )
140138, 139bitr2i 250 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41  |-  ( -.  I  =  ( (
# `  P )  -  2 )  <->  ( ( # `
 P )  - 
2 )  =/=  I
)
141 nn0re 10825 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44  |-  ( I  e.  NN0  ->  I  e.  RR )
142141ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43  |-  ( ( ( I  e.  NN0  /\  ( # `  P
)  e.  NN0 )  /\  I  <_  ( (
# `  P )  -  2 ) )  ->  I  e.  RR )
143104, 115resubcld 10008 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44  |-  ( (
# `  P )  e.  NN0  ->  ( ( # `
 P )  - 
2 )  e.  RR )
144143ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43  |-  ( ( ( I  e.  NN0  /\  ( # `  P
)  e.  NN0 )  /\  I  <_  ( (
# `  P )  -  2 ) )  ->  ( ( # `  P )  -  2 )  e.  RR )
145 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43  |-  ( ( ( I  e.  NN0  /\  ( # `  P
)  e.  NN0 )  /\  I  <_  ( (
# `  P )  -  2 ) )  ->  I  <_  (
( # `  P )  -  2 ) )
146 leltne 9691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44  |-  ( ( I  e.  RR  /\  ( ( # `  P
)  -  2 )  e.  RR  /\  I  <_  ( ( # `  P
)  -  2 ) )  ->  ( I  <  ( ( # `  P
)  -  2 )  <-> 
( ( # `  P
)  -  2 )  =/=  I ) )
147146bicomd 201 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43  |-  ( ( I  e.  RR  /\  ( ( # `  P
)  -  2 )  e.  RR  /\  I  <_  ( ( # `  P
)  -  2 ) )  ->  ( (
( # `  P )  -  2 )  =/=  I  <->  I  <  ( (
# `  P )  -  2 ) ) )
148142, 144, 145, 147syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42  |-  ( ( ( I  e.  NN0  /\  ( # `  P
)  e.  NN0 )  /\  I  <_  ( (
# `  P )  -  2 ) )  ->  ( ( (
# `  P )  -  2 )  =/=  I  <->  I  <  ( (
# `  P )  -  2 ) ) )
149148biimpd 207 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41  |-  ( ( ( I  e.  NN0  /\  ( # `  P
)  e.  NN0 )  /\  I  <_  ( (
# `  P )  -  2 ) )  ->  ( ( (
# `  P )  -  2 )  =/=  I  ->  I  <  ( ( # `  P
)  -  2 ) ) )
150140, 149syl5bi 217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40  |-  ( ( ( I  e.  NN0  /\  ( # `  P
)  e.  NN0 )  /\  I  <_  ( (
# `  P )  -  2 ) )  ->  ( -.  I  =  ( ( # `  P )  -  2 )  ->  I  <  ( ( # `  P
)  -  2 ) ) )
151150ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39  |-  ( ( I  e.  NN0  /\  ( # `  P )  e.  NN0 )  -> 
( I  <_  (
( # `  P )  -  2 )  -> 
( -.  I  =  ( ( # `  P
)  -  2 )  ->  I  <  (
( # `  P )  -  2 ) ) ) )
152137, 151sylbid 215 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38  |-  ( ( I  e.  NN0  /\  ( # `  P )  e.  NN0 )  -> 
( I  <  (
( # `  P )  -  1 )  -> 
( -.  I  =  ( ( # `  P
)  -  2 )  ->  I  <  (
( # `  P )  -  2 ) ) ) )
153152com23 78 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37  |-  ( ( I  e.  NN0  /\  ( # `  P )  e.  NN0 )  -> 
( -.  I  =  ( ( # `  P
)  -  2 )  ->  ( I  < 
( ( # `  P
)  -  1 )  ->  I  <  (
( # `  P )  -  2 ) ) ) )
154153imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36  |-  ( ( ( I  e.  NN0  /\  ( # `  P
)  e.  NN0 )  /\  -.  I  =  ( ( # `  P
)  -  2 ) )  ->  ( I  <  ( ( # `  P
)  -  1 )  ->  I  <  (
( # `  P )  -  2 ) ) )
155154adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( ( ( ( I  e. 
NN0  /\  ( # `  P
)  e.  NN0 )  /\  -.  I  =  ( ( # `  P
)  -  2 ) )  /\  2  < 
( # `  P ) )  ->  ( I  <  ( ( # `  P
)  -  1 )  ->  I  <  (
( # `  P )  -  2 ) ) )
156155imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( ( ( ( ( I  e.  NN0  /\  ( # `
 P )  e. 
NN0 )  /\  -.  I  =  ( ( # `
 P )  - 
2 ) )  /\  2  <  ( # `  P
) )  /\  I  <  ( ( # `  P
)  -  1 ) )  ->  I  <  ( ( # `  P
)  -  2 ) )
157109, 123, 1563jca 1176 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( ( ( ( ( I  e.  NN0  /\  ( # `
 P )  e. 
NN0 )  /\  -.  I  =  ( ( # `
 P )  - 
2 ) )  /\  2  <  ( # `  P
) )  /\  I  <  ( ( # `  P
)  -  1 ) )  ->  ( I  e.  NN0  /\  ( (
# `  P )  -  2 )  e.  NN  /\  I  < 
( ( # `  P
)  -  2 ) ) )
158157ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ( ( ( I  e. 
NN0  /\  ( # `  P
)  e.  NN0 )  /\  -.  I  =  ( ( # `  P
)  -  2 ) )  /\  2  < 
( # `  P ) )  ->  ( I  <  ( ( # `  P
)  -  1 )  ->  ( I  e. 
NN0  /\  ( ( # `
 P )  - 
2 )  e.  NN  /\  I  <  ( (
# `  P )  -  2 ) ) ) )
159158exp41 610 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( I  e.  NN0  ->  ( (
# `  P )  e.  NN0  ->  ( -.  I  =  ( ( # `
 P )  - 
2 )  ->  (
2  <  ( # `  P
)  ->  ( I  <  ( ( # `  P
)  -  1 )  ->  ( I  e. 
NN0  /\  ( ( # `
 P )  - 
2 )  e.  NN  /\  I  <  ( (
# `  P )  -  2 ) ) ) ) ) ) )
160159com25 91 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( I  e.  NN0  ->  ( I  <  ( ( # `  P )  -  1 )  ->  ( -.  I  =  ( ( # `
 P )  - 
2 )  ->  (
2  <  ( # `  P
)  ->  ( ( # `
 P )  e. 
NN0  ->  ( I  e. 
NN0  /\  ( ( # `
 P )  - 
2 )  e.  NN  /\  I  <  ( (
# `  P )  -  2 ) ) ) ) ) ) )
161160imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( I  e.  NN0  /\  I  <  ( ( # `  P )  -  1 ) )  ->  ( -.  I  =  (
( # `  P )  -  2 )  -> 
( 2  <  ( # `
 P )  -> 
( ( # `  P
)  e.  NN0  ->  ( I  e.  NN0  /\  ( ( # `  P
)  -  2 )  e.  NN  /\  I  <  ( ( # `  P
)  -  2 ) ) ) ) ) )
1621613adant2 1015 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( I  e.  NN0  /\  ( ( # `  P
)  -  1 )  e.  NN  /\  I  <  ( ( # `  P
)  -  1 ) )  ->  ( -.  I  =  ( ( # `
 P )  - 
2 )  ->  (
2  <  ( # `  P
)  ->  ( ( # `
 P )  e. 
NN0  ->  ( I  e. 
NN0  /\  ( ( # `
 P )  - 
2 )  e.  NN  /\  I  <  ( (
# `  P )  -  2 ) ) ) ) ) )
163108, 162sylbi 195 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( I  e.  ( 0..^ ( ( # `  P
)  -  1 ) )  ->  ( -.  I  =  ( ( # `
 P )  - 
2 )  ->  (
2  <  ( # `  P
)  ->  ( ( # `
 P )  e. 
NN0  ->  ( I  e. 
NN0  /\  ( ( # `
 P )  - 
2 )  e.  NN  /\  I  <  ( (
# `  P )  -  2 ) ) ) ) ) )
164163imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( I  e.  ( 0..^ ( ( # `  P
)  -  1 ) )  /\  -.  I  =  ( ( # `  P )  -  2 ) )  ->  (
2  <  ( # `  P
)  ->  ( ( # `
 P )  e. 
NN0  ->  ( I  e. 
NN0  /\  ( ( # `
 P )  - 
2 )  e.  NN  /\  I  <  ( (
# `  P )  -  2 ) ) ) ) )
165164com13 80 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( (
# `  P )  e.  NN0  ->  ( 2  <  ( # `  P
)  ->  ( (
I  e.  ( 0..^ ( ( # `  P
)  -  1 ) )  /\  -.  I  =  ( ( # `  P )  -  2 ) )  ->  (
I  e.  NN0  /\  ( ( # `  P
)  -  2 )  e.  NN  /\  I  <  ( ( # `  P
)  -  2 ) ) ) ) )
166165adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( # `  P
)  e.  NN0  /\  2  <_  ( # `  P
) )  ->  (
2  <  ( # `  P
)  ->  ( (
I  e.  ( 0..^ ( ( # `  P
)  -  1 ) )  /\  -.  I  =  ( ( # `  P )  -  2 ) )  ->  (
I  e.  NN0  /\  ( ( # `  P
)  -  2 )  e.  NN  /\  I  <  ( ( # `  P
)  -  2 ) ) ) ) )
167107, 166sylbird 235 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( # `  P
)  e.  NN0  /\  2  <_  ( # `  P
) )  ->  (
( # `  P )  =/=  2  ->  (
( I  e.  ( 0..^ ( ( # `  P )  -  1 ) )  /\  -.  I  =  ( ( # `
 P )  - 
2 ) )  -> 
( I  e.  NN0  /\  ( ( # `  P
)  -  2 )  e.  NN  /\  I  <  ( ( # `  P
)  -  2 ) ) ) ) )
168101, 167syl5bir 218 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( # `  P
)  e.  NN0  /\  2  <_  ( # `  P
) )  ->  ( -.  ( # `  P
)  =  2  -> 
( ( I  e.  ( 0..^ ( (
# `  P )  -  1 ) )  /\  -.  I  =  ( ( # `  P
)  -  2 ) )  ->  ( I  e.  NN0  /\  ( (
# `  P )  -  2 )  e.  NN  /\  I  < 
( ( # `  P
)  -  2 ) ) ) ) )
169168com23 78 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( # `  P
)  e.  NN0  /\  2  <_  ( # `  P
) )  ->  (
( I  e.  ( 0..^ ( ( # `  P )  -  1 ) )  /\  -.  I  =  ( ( # `
 P )  - 
2 ) )  -> 
( -.  ( # `  P )  =  2  ->  ( I  e. 
NN0  /\  ( ( # `
 P )  - 
2 )  e.  NN  /\  I  <  ( (
# `  P )  -  2 ) ) ) ) )
170169imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( # `  P
)  e.  NN0  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  (
I  e.  ( 0..^ ( ( # `  P
)  -  1 ) )  /\  -.  I  =  ( ( # `  P )  -  2 ) ) )  -> 
( -.  ( # `  P )  =  2  ->  ( I  e. 
NN0  /\  ( ( # `
 P )  - 
2 )  e.  NN  /\  I  <  ( (
# `  P )  -  2 ) ) ) )
171170com12 31 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( -.  ( # `  P
)  =  2  -> 
( ( ( (
# `  P )  e.  NN0  /\  2  <_ 
( # `  P ) )  /\  ( I  e.  ( 0..^ ( ( # `  P
)  -  1 ) )  /\  -.  I  =  ( ( # `  P )  -  2 ) ) )  -> 
( I  e.  NN0  /\  ( ( # `  P
)  -  2 )  e.  NN  /\  I  <  ( ( # `  P
)  -  2 ) ) ) )
172100, 171pm2.61i 164 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( # `  P
)  e.  NN0  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  (
I  e.  ( 0..^ ( ( # `  P
)  -  1 ) )  /\  -.  I  =  ( ( # `  P )  -  2 ) ) )  -> 
( I  e.  NN0  /\  ( ( # `  P
)  -  2 )  e.  NN  /\  I  <  ( ( # `  P
)  -  2 ) ) )
173 elfzo0 11862 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( I  e.  ( 0..^ ( ( # `  P
)  -  2 ) )  <->  ( I  e. 
NN0  /\  ( ( # `
 P )  - 
2 )  e.  NN  /\  I  <  ( (
# `  P )  -  2 ) ) )
174172, 173sylibr 212 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( # `  P
)  e.  NN0  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  (
I  e.  ( 0..^ ( ( # `  P
)  -  1 ) )  /\  -.  I  =  ( ( # `  P )  -  2 ) ) )  ->  I  e.  ( 0..^ ( ( # `  P
)  -  2 ) ) )
17582, 174jca 532 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( # `  P
)  e.  NN0  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  (
I  e.  ( 0..^ ( ( # `  P
)  -  1 ) )  /\  -.  I  =  ( ( # `  P )  -  2 ) ) )  -> 
( ( # `  P
)  e.  NN0  /\  I  e.  ( 0..^ ( ( # `  P
)  -  2 ) ) ) )
176175exp31 604 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
# `  P )  e.  NN0  ->  ( 2  <_  ( # `  P
)  ->  ( (
I  e.  ( 0..^ ( ( # `  P
)  -  1 ) )  /\  -.  I  =  ( ( # `  P )  -  2 ) )  ->  (
( # `  P )  e.  NN0  /\  I  e.  ( 0..^ ( (
# `  P )  -  2 ) ) ) ) ) )
1772, 176syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( P  e. Word  V  ->  (
2  <_  ( # `  P
)  ->  ( (
I  e.  ( 0..^ ( ( # `  P
)  -  1 ) )  /\  -.  I  =  ( ( # `  P )  -  2 ) )  ->  (
( # `  P )  e.  NN0  /\  I  e.  ( 0..^ ( (
# `  P )  -  2 ) ) ) ) ) )
178177imp 429 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  P
) )  ->  (
( I  e.  ( 0..^ ( ( # `  P )  -  1 ) )  /\  -.  I  =  ( ( # `
 P )  - 
2 ) )  -> 
( ( # `  P
)  e.  NN0  /\  I  e.  ( 0..^ ( ( # `  P
)  -  2 ) ) ) ) )
1791783adant1 1014 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `
 P ) )  ->  ( ( I  e.  ( 0..^ ( ( # `  P
)  -  1 ) )  /\  -.  I  =  ( ( # `  P )  -  2 ) )  ->  (
( # `  P )  e.  NN0  /\  I  e.  ( 0..^ ( (
# `  P )  -  2 ) ) ) ) )
180179expd 436 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `
 P ) )  ->  ( I  e.  ( 0..^ ( (
# `  P )  -  1 ) )  ->  ( -.  I  =  ( ( # `  P )  -  2 )  ->  ( ( # `
 P )  e. 
NN0  /\  I  e.  ( 0..^ ( ( # `  P )  -  2 ) ) ) ) ) )
181180com12 31 . . . . . . . . . 10  |-  ( I  e.  ( 0..^ ( ( # `  P
)  -  1 ) )  ->  ( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `
 P ) )  ->  ( -.  I  =  ( ( # `  P )  -  2 )  ->  ( ( # `
 P )  e. 
NN0  /\  I  e.  ( 0..^ ( ( # `  P )  -  2 ) ) ) ) ) )
182181adantl 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( lastS  `  P )  =  ( P ` 
0 )  /\  I  e.  ( 0..^ ( (
# `  P )  -  1 ) ) )  ->  ( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `
 P ) )  ->  ( -.  I  =  ( ( # `  P )  -  2 )  ->  ( ( # `
 P )  e. 
NN0  /\  I  e.  ( 0..^ ( ( # `  P )  -  2 ) ) ) ) ) )
183182impcom 430 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  (
( lastS  `  P )  =  ( P `  0
)  /\  I  e.  ( 0..^ ( ( # `  P )  -  1 ) ) ) )  ->  ( -.  I  =  ( ( # `  P )  -  2 )  ->  ( ( # `
 P )  e. 
NN0  /\  I  e.  ( 0..^ ( ( # `  P )  -  2 ) ) ) ) )
184183adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  (
( lastS  `  P )  =  ( P `  0
)  /\  I  e.  ( 0..^ ( ( # `  P )  -  1 ) ) ) )  /\  { ( P `
 I ) ,  ( P `  (
I  +  1 ) ) }  e.  ran  E )  ->  ( -.  I  =  ( ( # `
 P )  - 
2 )  ->  (
( # `  P )  e.  NN0  /\  I  e.  ( 0..^ ( (
# `  P )  -  2 ) ) ) ) )
185184impcom 430 . . . . . 6  |-  ( ( -.  I  =  ( ( # `  P
)  -  2 )  /\  ( ( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `
 P ) )  /\  ( ( lastS  `  P
)  =  ( P `
 0 )  /\  I  e.  ( 0..^ ( ( # `  P
)  -  1 ) ) ) )  /\  { ( P `  I
) ,  ( P `
 ( I  + 
1 ) ) }  e.  ran  E ) )  ->  ( ( # `
 P )  e. 
NN0  /\  I  e.  ( 0..^ ( ( # `  P )  -  2 ) ) ) )
1863clwlkisclwwlklem2fv1 24909 . . . . . 6  |-  ( ( ( # `  P
)  e.  NN0  /\  I  e.  ( 0..^ ( ( # `  P
)  -  2 ) ) )  ->  ( F `  I )  =  ( `' E `  { ( P `  I ) ,  ( P `  ( I  +  1 ) ) } ) )
187185, 186syl 16 . . . . 5  |-  ( ( -.  I  =  ( ( # `  P
)  -  2 )  /\  ( ( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `
 P ) )  /\  ( ( lastS  `  P
)  =  ( P `
 0 )  /\  I  e.  ( 0..^ ( ( # `  P
)  -  1 ) ) ) )  /\  { ( P `  I
) ,  ( P `
 ( I  + 
1 ) ) }  e.  ran  E ) )  ->  ( F `  I )  =  ( `' E `  { ( P `  I ) ,  ( P `  ( I  +  1
) ) } ) )
188187fveq2d 5876 . . . 4  |-  ( ( -.  I  =  ( ( # `  P
)  -  2 )  /\  ( ( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `
 P ) )  /\  ( ( lastS  `  P
)  =  ( P `
 0 )  /\  I  e.  ( 0..^ ( ( # `  P
)  -  1 ) ) ) )  /\  { ( P `  I
) ,  ( P `
 ( I  + 
1 ) ) }  e.  ran  E ) )  ->  ( E `  ( F `  I
) )  =  ( E `  ( `' E `  { ( P `  I ) ,  ( P `  ( I  +  1
) ) } ) ) )
18914adantl 466 . . . . 5  |-  ( ( -.  I  =  ( ( # `  P
)  -  2 )  /\  ( ( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `
 P ) )  /\  ( ( lastS  `  P
)  =  ( P `
 0 )  /\  I  e.  ( 0..^ ( ( # `  P
)  -  1 ) ) ) )  /\  { ( P `  I
) ,  ( P `
 ( I  + 
1 ) ) }  e.  ran  E ) )  ->  E : dom  E -1-1-onto-> ran  E )
190 simprr 757 . . . . 5  |-  ( ( -.  I  =  ( ( # `  P
)  -  2 )  /\  ( ( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `
 P ) )  /\  ( ( lastS  `  P
)  =  ( P `
 0 )  /\  I  e.  ( 0..^ ( ( # `  P
)  -  1 ) ) ) )  /\  { ( P `  I
) ,  ( P `
 ( I  + 
1 ) ) }  e.  ran  E ) )  ->  { ( P `  I ) ,  ( P `  ( I  +  1
) ) }  e.  ran  E )
191 f1ocnvfv2 6184 . . . . 5  |-  ( ( E : dom  E -1-1-onto-> ran  E  /\  { ( P `
 I ) ,  ( P `  (
I  +  1 ) ) }  e.  ran  E )  ->  ( E `  ( `' E `  { ( P `  I ) ,  ( P `  ( I  +  1 ) ) } ) )  =  { ( P `  I ) ,  ( P `  ( I  +  1 ) ) } )
192189, 190, 191syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ( -.  I  =  ( ( # `  P
)  -  2 )  /\  ( ( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `
 P ) )  /\  ( ( lastS  `  P
)  =  ( P `
 0 )  /\  I  e.  ( 0..^ ( ( # `  P
)  -  1 ) ) ) )  /\  { ( P `  I
) ,  ( P `
 ( I  + 
1 ) ) }  e.  ran  E ) )  ->  ( E `  ( `' E `  { ( P `  I ) ,  ( P `  ( I  +  1 ) ) } ) )  =  { ( P `  I ) ,  ( P `  ( I  +  1 ) ) } )
193188, 192eqtrd 2498 . . 3  |-  ( ( -.  I  =  ( ( # `  P
)  -  2 )  /\  ( ( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `
 P ) )  /\  ( ( lastS  `  P
)  =  ( P `
 0 )  /\  I  e.  ( 0..^ ( ( # `  P
)  -  1 ) ) ) )  /\  { ( P `  I
) ,  ( P `
 ( I  + 
1 ) ) }  e.  ran  E ) )  ->  ( E `  ( F `  I
) )  =  {
( P `  I
) ,  ( P `
 ( I  + 
1 ) ) } )
19481, 193pm2.61ian 790 . 2  |-  ( ( ( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  (
( lastS  `  P )  =  ( P `  0
)  /\  I  e.  ( 0..^ ( ( # `  P )  -  1 ) ) ) )  /\  { ( P `
 I ) ,  ( P `  (
I  +  1 ) ) }  e.  ran  E )  ->  ( E `  ( F `  I
) )  =  {
( P `  I
) ,  ( P `
 ( I  + 
1 ) ) } )
195194exp31 604 1  |-  ( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `
 P ) )  ->  ( ( ( lastS  `  P )  =  ( P `  0 )  /\  I  e.  ( 0..^ ( ( # `  P )  -  1 ) ) )  -> 
( { ( P `
 I ) ,  ( P `  (
I  +  1 ) ) }  e.  ran  E  ->  ( E `  ( F `  I ) )  =  { ( P `  I ) ,  ( P `  ( I  +  1
) ) } ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1395    e. wcel 1819    =/= wne 2652   ifcif 3944   {csn 4032   {cpr 4034   class class class wbr 4456    |-> cmpt 4515   `'ccnv 5007   dom cdm 5008   ran crn 5009   -1-1-onto->wf1o 5593   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   CCcc 9507   RRcr 9508   0cc0 9509   1c1 9510    + caddc 9512    < clt 9645    <_ cle 9646    - cmin 9824   NNcn 10556   2c2 10606   NN0cn0 10816   ZZcz 10885  ..^cfzo 11821   #chash 12408  Word cword 12538   lastS clsw 12539   USGrph cusg 24457
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-oadd 7152  df-er 7329  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-card 8337  df-cda 8565  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-nn 10557  df-2 10615  df-n0 10817  df-z 10886  df-uz 11107  df-fz 11698  df-fzo 11822  df-hash 12409  df-word 12546  df-lsw 12547  df-usgra 24460
This theorem is referenced by:  clwlkisclwwlklem2a  24912
  Copyright terms: Public domain W3C validator