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Theorem clwlkisclwwlklem2a4 24446
Description: Lemma 4 for clwlkisclwwlklem2a 24447. (Contributed by Alexander van der Vekens, 21-Jun-2018.)
Hypothesis
Ref Expression
clwlkisclwwlklem2.f  |-  F  =  ( x  e.  ( 0..^ ( ( # `  P )  -  1 ) )  |->  if ( x  <  ( (
# `  P )  -  2 ) ,  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1 ) ) } ) ,  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P ` 
0 ) } ) ) )
Assertion
Ref Expression
clwlkisclwwlklem2a4  |-  ( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `
 P ) )  ->  ( ( ( lastS  `  P )  =  ( P `  0 )  /\  I  e.  ( 0..^ ( ( # `  P )  -  1 ) ) )  -> 
( { ( P `
 I ) ,  ( P `  (
I  +  1 ) ) }  e.  ran  E  ->  ( E `  ( F `  I ) )  =  { ( P `  I ) ,  ( P `  ( I  +  1
) ) } ) ) )
Distinct variable groups:    x, E    x, I    x, P    x, V
Allowed substitution hint:    F( x)

Proof of Theorem clwlkisclwwlklem2a4
StepHypRef Expression
1 fveq2 5857 . . . . . . . . . 10  |-  ( I  =  ( ( # `  P )  -  2 )  ->  ( F `  I )  =  ( F `  ( (
# `  P )  -  2 ) ) )
2 lencl 12515 . . . . . . . . . . 11  |-  ( P  e. Word  V  ->  ( # `
 P )  e. 
NN0 )
3 clwlkisclwwlklem2.f . . . . . . . . . . . 12  |-  F  =  ( x  e.  ( 0..^ ( ( # `  P )  -  1 ) )  |->  if ( x  <  ( (
# `  P )  -  2 ) ,  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1 ) ) } ) ,  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P ` 
0 ) } ) ) )
43clwlkisclwwlklem2fv2 24445 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( # `  P
)  e.  NN0  /\  2  <_  ( # `  P
) )  ->  ( F `  ( ( # `
 P )  - 
2 ) )  =  ( `' E `  { ( P `  ( ( # `  P
)  -  2 ) ) ,  ( P `
 0 ) } ) )
52, 4sylan 471 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  P
) )  ->  ( F `  ( ( # `
 P )  - 
2 ) )  =  ( `' E `  { ( P `  ( ( # `  P
)  -  2 ) ) ,  ( P `
 0 ) } ) )
61, 5sylan9eqr 2523 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  P ) )  /\  I  =  ( ( # `
 P )  - 
2 ) )  -> 
( F `  I
)  =  ( `' E `  { ( P `  ( (
# `  P )  -  2 ) ) ,  ( P ` 
0 ) } ) )
76ex 434 . . . . . . . 8  |-  ( ( P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  P
) )  ->  (
I  =  ( (
# `  P )  -  2 )  -> 
( F `  I
)  =  ( `' E `  { ( P `  ( (
# `  P )  -  2 ) ) ,  ( P ` 
0 ) } ) ) )
873adant1 1009 . . . . . . 7  |-  ( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `
 P ) )  ->  ( I  =  ( ( # `  P
)  -  2 )  ->  ( F `  I )  =  ( `' E `  { ( P `  ( (
# `  P )  -  2 ) ) ,  ( P ` 
0 ) } ) ) )
98ad2antrr 725 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  (
( lastS  `  P )  =  ( P `  0
)  /\  I  e.  ( 0..^ ( ( # `  P )  -  1 ) ) ) )  /\  { ( P `
 I ) ,  ( P `  (
I  +  1 ) ) }  e.  ran  E )  ->  ( I  =  ( ( # `  P )  -  2 )  ->  ( F `  I )  =  ( `' E `  { ( P `  ( (
# `  P )  -  2 ) ) ,  ( P ` 
0 ) } ) ) )
109impcom 430 . . . . 5  |-  ( ( I  =  ( (
# `  P )  -  2 )  /\  ( ( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  P ) )  /\  ( ( lastS  `  P )  =  ( P ` 
0 )  /\  I  e.  ( 0..^ ( (
# `  P )  -  1 ) ) ) )  /\  {
( P `  I
) ,  ( P `
 ( I  + 
1 ) ) }  e.  ran  E ) )  ->  ( F `  I )  =  ( `' E `  { ( P `  ( (
# `  P )  -  2 ) ) ,  ( P ` 
0 ) } ) )
1110fveq2d 5861 . . . 4  |-  ( ( I  =  ( (
# `  P )  -  2 )  /\  ( ( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  P ) )  /\  ( ( lastS  `  P )  =  ( P ` 
0 )  /\  I  e.  ( 0..^ ( (
# `  P )  -  1 ) ) ) )  /\  {
( P `  I
) ,  ( P `
 ( I  + 
1 ) ) }  e.  ran  E ) )  ->  ( E `  ( F `  I
) )  =  ( E `  ( `' E `  { ( P `  ( (
# `  P )  -  2 ) ) ,  ( P ` 
0 ) } ) ) )
12 usgraf1o 24021 . . . . . . . 8  |-  ( V USGrph  E  ->  E : dom  E -1-1-onto-> ran 
E )
13123ad2ant1 1012 . . . . . . 7  |-  ( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `
 P ) )  ->  E : dom  E -1-1-onto-> ran 
E )
1413ad2antrr 725 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  (
( lastS  `  P )  =  ( P `  0
)  /\  I  e.  ( 0..^ ( ( # `  P )  -  1 ) ) ) )  /\  { ( P `
 I ) ,  ( P `  (
I  +  1 ) ) }  e.  ran  E )  ->  E : dom  E -1-1-onto-> ran  E )
1514adantl 466 . . . . 5  |-  ( ( I  =  ( (
# `  P )  -  2 )  /\  ( ( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  P ) )  /\  ( ( lastS  `  P )  =  ( P ` 
0 )  /\  I  e.  ( 0..^ ( (
# `  P )  -  1 ) ) ) )  /\  {
( P `  I
) ,  ( P `
 ( I  + 
1 ) ) }  e.  ran  E ) )  ->  E : dom  E -1-1-onto-> ran  E )
16 lsw 12537 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( P  e. Word  V  ->  ( lastS  `  P )  =  ( P `  ( (
# `  P )  -  1 ) ) )
1716eqeq1d 2462 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( P  e. Word  V  ->  (
( lastS  `  P )  =  ( P `  0
)  <->  ( P `  ( ( # `  P
)  -  1 ) )  =  ( P `
 0 ) ) )
18 nn0cn 10794 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
# `  P )  e.  NN0  ->  ( # `  P
)  e.  CC )
19 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( (
# `  P )  e.  CC  ->  ( # `  P
)  e.  CC )
20 2cnd 10597 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( (
# `  P )  e.  CC  ->  2  e.  CC )
21 ax-1cn 9539 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  1  e.  CC
2221a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( (
# `  P )  e.  CC  ->  1  e.  CC )
2319, 20, 22subsubd 9947 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( (
# `  P )  e.  CC  ->  ( ( # `
 P )  -  ( 2  -  1 ) )  =  ( ( ( # `  P
)  -  2 )  +  1 ) )
24 2m1e1 10639 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( 2  -  1 )  =  1
2524a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( (
# `  P )  e.  CC  ->  ( 2  -  1 )  =  1 )
2625oveq2d 6291 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( (
# `  P )  e.  CC  ->  ( ( # `
 P )  -  ( 2  -  1 ) )  =  ( ( # `  P
)  -  1 ) )
2723, 26eqtr3d 2503 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
# `  P )  e.  CC  ->  ( (
( # `  P )  -  2 )  +  1 )  =  ( ( # `  P
)  -  1 ) )
282, 18, 273syl 20 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( P  e. Word  V  ->  (
( ( # `  P
)  -  2 )  +  1 )  =  ( ( # `  P
)  -  1 ) )
2928adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( P  e. Word  V  /\  ( P `  ( (
# `  P )  -  1 ) )  =  ( P ` 
0 ) )  -> 
( ( ( # `  P )  -  2 )  +  1 )  =  ( ( # `  P )  -  1 ) )
3029fveq2d 5861 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( P  e. Word  V  /\  ( P `  ( (
# `  P )  -  1 ) )  =  ( P ` 
0 ) )  -> 
( P `  (
( ( # `  P
)  -  2 )  +  1 ) )  =  ( P `  ( ( # `  P
)  -  1 ) ) )
31 eqeq2 2475 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( P `  0 )  =  ( P `  ( ( # `  P
)  -  1 ) )  ->  ( ( P `  ( (
( # `  P )  -  2 )  +  1 ) )  =  ( P `  0
)  <->  ( P `  ( ( ( # `  P )  -  2 )  +  1 ) )  =  ( P `
 ( ( # `  P )  -  1 ) ) ) )
3231eqcoms 2472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( P `  ( (
# `  P )  -  1 ) )  =  ( P ` 
0 )  ->  (
( P `  (
( ( # `  P
)  -  2 )  +  1 ) )  =  ( P ` 
0 )  <->  ( P `  ( ( ( # `  P )  -  2 )  +  1 ) )  =  ( P `
 ( ( # `  P )  -  1 ) ) ) )
3332adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( P  e. Word  V  /\  ( P `  ( (
# `  P )  -  1 ) )  =  ( P ` 
0 ) )  -> 
( ( P `  ( ( ( # `  P )  -  2 )  +  1 ) )  =  ( P `
 0 )  <->  ( P `  ( ( ( # `  P )  -  2 )  +  1 ) )  =  ( P `
 ( ( # `  P )  -  1 ) ) ) )
3430, 33mpbird 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( P  e. Word  V  /\  ( P `  ( (
# `  P )  -  1 ) )  =  ( P ` 
0 ) )  -> 
( P `  (
( ( # `  P
)  -  2 )  +  1 ) )  =  ( P ` 
0 ) )
3534ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( P  e. Word  V  ->  (
( P `  (
( # `  P )  -  1 ) )  =  ( P ` 
0 )  ->  ( P `  ( (
( # `  P )  -  2 )  +  1 ) )  =  ( P `  0
) ) )
3617, 35sylbid 215 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( P  e. Word  V  ->  (
( lastS  `  P )  =  ( P `  0
)  ->  ( P `  ( ( ( # `  P )  -  2 )  +  1 ) )  =  ( P `
 0 ) ) )
37363ad2ant2 1013 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `
 P ) )  ->  ( ( lastS  `  P
)  =  ( P `
 0 )  -> 
( P `  (
( ( # `  P
)  -  2 )  +  1 ) )  =  ( P ` 
0 ) ) )
3837com12 31 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( lastS  `  P )  =  ( P `  0 )  ->  ( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  P ) )  -> 
( P `  (
( ( # `  P
)  -  2 )  +  1 ) )  =  ( P ` 
0 ) ) )
3938adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( lastS  `  P )  =  ( P ` 
0 )  /\  I  e.  ( 0..^ ( (
# `  P )  -  1 ) ) )  ->  ( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `
 P ) )  ->  ( P `  ( ( ( # `  P )  -  2 )  +  1 ) )  =  ( P `
 0 ) ) )
4039impcom 430 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  (
( lastS  `  P )  =  ( P `  0
)  /\  I  e.  ( 0..^ ( ( # `  P )  -  1 ) ) ) )  ->  ( P `  ( ( ( # `  P )  -  2 )  +  1 ) )  =  ( P `
 0 ) )
4140adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  (
( lastS  `  P )  =  ( P `  0
)  /\  I  e.  ( 0..^ ( ( # `  P )  -  1 ) ) ) )  /\  I  =  ( ( # `  P
)  -  2 ) )  ->  ( P `  ( ( ( # `  P )  -  2 )  +  1 ) )  =  ( P `
 0 ) )
4241preq2d 4106 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  (
( lastS  `  P )  =  ( P `  0
)  /\  I  e.  ( 0..^ ( ( # `  P )  -  1 ) ) ) )  /\  I  =  ( ( # `  P
)  -  2 ) )  ->  { ( P `  ( ( # `
 P )  - 
2 ) ) ,  ( P `  (
( ( # `  P
)  -  2 )  +  1 ) ) }  =  { ( P `  ( (
# `  P )  -  2 ) ) ,  ( P ` 
0 ) } )
43 fveq2 5857 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( I  =  ( ( # `  P )  -  2 )  ->  ( P `  I )  =  ( P `  ( (
# `  P )  -  2 ) ) )
44 oveq1 6282 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( I  =  ( ( # `  P )  -  2 )  ->  ( I  +  1 )  =  ( ( ( # `  P )  -  2 )  +  1 ) )
4544fveq2d 5861 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( I  =  ( ( # `  P )  -  2 )  ->  ( P `  ( I  +  1 ) )  =  ( P `  ( ( ( # `  P
)  -  2 )  +  1 ) ) )
4643, 45preq12d 4107 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( I  =  ( ( # `  P )  -  2 )  ->  { ( P `  I ) ,  ( P `  ( I  +  1
) ) }  =  { ( P `  ( ( # `  P
)  -  2 ) ) ,  ( P `
 ( ( (
# `  P )  -  2 )  +  1 ) ) } )
4746eqeq1d 2462 . . . . . . . . . . 11  |-  ( I  =  ( ( # `  P )  -  2 )  ->  ( {
( P `  I
) ,  ( P `
 ( I  + 
1 ) ) }  =  { ( P `
 ( ( # `  P )  -  2 ) ) ,  ( P `  0 ) }  <->  { ( P `  ( ( # `  P
)  -  2 ) ) ,  ( P `
 ( ( (
# `  P )  -  2 )  +  1 ) ) }  =  { ( P `
 ( ( # `  P )  -  2 ) ) ,  ( P `  0 ) } ) )
4847adantl 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  (
( lastS  `  P )  =  ( P `  0
)  /\  I  e.  ( 0..^ ( ( # `  P )  -  1 ) ) ) )  /\  I  =  ( ( # `  P
)  -  2 ) )  ->  ( {
( P `  I
) ,  ( P `
 ( I  + 
1 ) ) }  =  { ( P `
 ( ( # `  P )  -  2 ) ) ,  ( P `  0 ) }  <->  { ( P `  ( ( # `  P
)  -  2 ) ) ,  ( P `
 ( ( (
# `  P )  -  2 )  +  1 ) ) }  =  { ( P `
 ( ( # `  P )  -  2 ) ) ,  ( P `  0 ) } ) )
4942, 48mpbird 232 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  (
( lastS  `  P )  =  ( P `  0
)  /\  I  e.  ( 0..^ ( ( # `  P )  -  1 ) ) ) )  /\  I  =  ( ( # `  P
)  -  2 ) )  ->  { ( P `  I ) ,  ( P `  ( I  +  1
) ) }  =  { ( P `  ( ( # `  P
)  -  2 ) ) ,  ( P `
 0 ) } )
5049eleq1d 2529 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  (
( lastS  `  P )  =  ( P `  0
)  /\  I  e.  ( 0..^ ( ( # `  P )  -  1 ) ) ) )  /\  I  =  ( ( # `  P
)  -  2 ) )  ->  ( {
( P `  I
) ,  ( P `
 ( I  + 
1 ) ) }  e.  ran  E  <->  { ( P `  ( ( # `
 P )  - 
2 ) ) ,  ( P `  0
) }  e.  ran  E ) )
5150biimpd 207 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  (
( lastS  `  P )  =  ( P `  0
)  /\  I  e.  ( 0..^ ( ( # `  P )  -  1 ) ) ) )  /\  I  =  ( ( # `  P
)  -  2 ) )  ->  ( {
( P `  I
) ,  ( P `
 ( I  + 
1 ) ) }  e.  ran  E  ->  { ( P `  ( ( # `  P
)  -  2 ) ) ,  ( P `
 0 ) }  e.  ran  E ) )
5251impancom 440 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  (
( lastS  `  P )  =  ( P `  0
)  /\  I  e.  ( 0..^ ( ( # `  P )  -  1 ) ) ) )  /\  { ( P `
 I ) ,  ( P `  (
I  +  1 ) ) }  e.  ran  E )  ->  ( I  =  ( ( # `  P )  -  2 )  ->  { ( P `  ( ( # `
 P )  - 
2 ) ) ,  ( P `  0
) }  e.  ran  E ) )
5352impcom 430 . . . . 5  |-  ( ( I  =  ( (
# `  P )  -  2 )  /\  ( ( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  P ) )  /\  ( ( lastS  `  P )  =  ( P ` 
0 )  /\  I  e.  ( 0..^ ( (
# `  P )  -  1 ) ) ) )  /\  {
( P `  I
) ,  ( P `
 ( I  + 
1 ) ) }  e.  ran  E ) )  ->  { ( P `  ( ( # `
 P )  - 
2 ) ) ,  ( P `  0
) }  e.  ran  E )
54 f1ocnvfv2 6162 . . . . 5  |-  ( ( E : dom  E -1-1-onto-> ran  E  /\  { ( P `
 ( ( # `  P )  -  2 ) ) ,  ( P `  0 ) }  e.  ran  E
)  ->  ( E `  ( `' E `  { ( P `  ( ( # `  P
)  -  2 ) ) ,  ( P `
 0 ) } ) )  =  {
( P `  (
( # `  P )  -  2 ) ) ,  ( P ` 
0 ) } )
5515, 53, 54syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ( I  =  ( (
# `  P )  -  2 )  /\  ( ( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  P ) )  /\  ( ( lastS  `  P )  =  ( P ` 
0 )  /\  I  e.  ( 0..^ ( (
# `  P )  -  1 ) ) ) )  /\  {
( P `  I
) ,  ( P `
 ( I  + 
1 ) ) }  e.  ran  E ) )  ->  ( E `  ( `' E `  { ( P `  ( ( # `  P
)  -  2 ) ) ,  ( P `
 0 ) } ) )  =  {
( P `  (
( # `  P )  -  2 ) ) ,  ( P ` 
0 ) } )
56 eqcom 2469 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( P `  ( (
# `  P )  -  1 ) )  =  ( P ` 
0 )  <->  ( P `  0 )  =  ( P `  (
( # `  P )  -  1 ) ) )
5756biimpi 194 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( P `  ( (
# `  P )  -  1 ) )  =  ( P ` 
0 )  ->  ( P `  0 )  =  ( P `  ( ( # `  P
)  -  1 ) ) )
58 1e2m1 10640 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  1  =  ( 2  -  1 )
5958a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( P  e. Word  V  ->  1  =  ( 2  -  1 ) )
6059oveq2d 6291 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( P  e. Word  V  ->  (
( # `  P )  -  1 )  =  ( ( # `  P
)  -  ( 2  -  1 ) ) )
612, 18syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( P  e. Word  V  ->  ( # `
 P )  e.  CC )
62 2cnd 10597 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( P  e. Word  V  ->  2  e.  CC )
6321a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( P  e. Word  V  ->  1  e.  CC )
6461, 62, 63subsubd 9947 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( P  e. Word  V  ->  (
( # `  P )  -  ( 2  -  1 ) )  =  ( ( ( # `  P )  -  2 )  +  1 ) )
6560, 64eqtrd 2501 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( P  e. Word  V  ->  (
( # `  P )  -  1 )  =  ( ( ( # `  P )  -  2 )  +  1 ) )
6665fveq2d 5861 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( P  e. Word  V  ->  ( P `  ( ( # `
 P )  - 
1 ) )  =  ( P `  (
( ( # `  P
)  -  2 )  +  1 ) ) )
6757, 66sylan9eqr 2523 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( P  e. Word  V  /\  ( P `  ( (
# `  P )  -  1 ) )  =  ( P ` 
0 ) )  -> 
( P `  0
)  =  ( P `
 ( ( (
# `  P )  -  2 )  +  1 ) ) )
6867ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( P  e. Word  V  ->  (
( P `  (
( # `  P )  -  1 ) )  =  ( P ` 
0 )  ->  ( P `  0 )  =  ( P `  ( ( ( # `  P )  -  2 )  +  1 ) ) ) )
6917, 68sylbid 215 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( P  e. Word  V  ->  (
( lastS  `  P )  =  ( P `  0
)  ->  ( P `  0 )  =  ( P `  (
( ( # `  P
)  -  2 )  +  1 ) ) ) )
7069imp 429 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( P  e. Word  V  /\  ( lastS  `  P )  =  ( P `  0
) )  ->  ( P `  0 )  =  ( P `  ( ( ( # `  P )  -  2 )  +  1 ) ) )
7170preq2d 4106 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( P  e. Word  V  /\  ( lastS  `  P )  =  ( P `  0
) )  ->  { ( P `  ( (
# `  P )  -  2 ) ) ,  ( P ` 
0 ) }  =  { ( P `  ( ( # `  P
)  -  2 ) ) ,  ( P `
 ( ( (
# `  P )  -  2 )  +  1 ) ) } )
7271adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( P  e. Word  V  /\  ( lastS  `  P )  =  ( P ` 
0 ) )  /\  I  =  ( ( # `
 P )  - 
2 ) )  ->  { ( P `  ( ( # `  P
)  -  2 ) ) ,  ( P `
 0 ) }  =  { ( P `
 ( ( # `  P )  -  2 ) ) ,  ( P `  ( ( ( # `  P
)  -  2 )  +  1 ) ) } )
7346adantl 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( P  e. Word  V  /\  ( lastS  `  P )  =  ( P ` 
0 ) )  /\  I  =  ( ( # `
 P )  - 
2 ) )  ->  { ( P `  I ) ,  ( P `  ( I  +  1 ) ) }  =  { ( P `  ( (
# `  P )  -  2 ) ) ,  ( P `  ( ( ( # `  P )  -  2 )  +  1 ) ) } )
7472, 73eqtr4d 2504 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( P  e. Word  V  /\  ( lastS  `  P )  =  ( P ` 
0 ) )  /\  I  =  ( ( # `
 P )  - 
2 ) )  ->  { ( P `  ( ( # `  P
)  -  2 ) ) ,  ( P `
 0 ) }  =  { ( P `
 I ) ,  ( P `  (
I  +  1 ) ) } )
7574exp31 604 . . . . . . . . . 10  |-  ( P  e. Word  V  ->  (
( lastS  `  P )  =  ( P `  0
)  ->  ( I  =  ( ( # `  P )  -  2 )  ->  { ( P `  ( ( # `
 P )  - 
2 ) ) ,  ( P `  0
) }  =  {
( P `  I
) ,  ( P `
 ( I  + 
1 ) ) } ) ) )
76753ad2ant2 1013 . . . . . . . . 9  |-  ( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `
 P ) )  ->  ( ( lastS  `  P
)  =  ( P `
 0 )  -> 
( I  =  ( ( # `  P
)  -  2 )  ->  { ( P `
 ( ( # `  P )  -  2 ) ) ,  ( P `  0 ) }  =  { ( P `  I ) ,  ( P `  ( I  +  1
) ) } ) ) )
7776com12 31 . . . . . . . 8  |-  ( ( lastS  `  P )  =  ( P `  0 )  ->  ( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  P ) )  -> 
( I  =  ( ( # `  P
)  -  2 )  ->  { ( P `
 ( ( # `  P )  -  2 ) ) ,  ( P `  0 ) }  =  { ( P `  I ) ,  ( P `  ( I  +  1
) ) } ) ) )
7877adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( ( lastS  `  P )  =  ( P ` 
0 )  /\  I  e.  ( 0..^ ( (
# `  P )  -  1 ) ) )  ->  ( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `
 P ) )  ->  ( I  =  ( ( # `  P
)  -  2 )  ->  { ( P `
 ( ( # `  P )  -  2 ) ) ,  ( P `  0 ) }  =  { ( P `  I ) ,  ( P `  ( I  +  1
) ) } ) ) )
7978impcom 430 . . . . . 6  |-  ( ( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  (
( lastS  `  P )  =  ( P `  0
)  /\  I  e.  ( 0..^ ( ( # `  P )  -  1 ) ) ) )  ->  ( I  =  ( ( # `  P
)  -  2 )  ->  { ( P `
 ( ( # `  P )  -  2 ) ) ,  ( P `  0 ) }  =  { ( P `  I ) ,  ( P `  ( I  +  1
) ) } ) )
8079adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( ( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  (
( lastS  `  P )  =  ( P `  0
)  /\  I  e.  ( 0..^ ( ( # `  P )  -  1 ) ) ) )  /\  { ( P `
 I ) ,  ( P `  (
I  +  1 ) ) }  e.  ran  E )  ->  ( I  =  ( ( # `  P )  -  2 )  ->  { ( P `  ( ( # `
 P )  - 
2 ) ) ,  ( P `  0
) }  =  {
( P `  I
) ,  ( P `
 ( I  + 
1 ) ) } ) )
8180impcom 430 . . . 4  |-  ( ( I  =  ( (
# `  P )  -  2 )  /\  ( ( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  P ) )  /\  ( ( lastS  `  P )  =  ( P ` 
0 )  /\  I  e.  ( 0..^ ( (
# `  P )  -  1 ) ) ) )  /\  {
( P `  I
) ,  ( P `
 ( I  + 
1 ) ) }  e.  ran  E ) )  ->  { ( P `  ( ( # `
 P )  - 
2 ) ) ,  ( P `  0
) }  =  {
( P `  I
) ,  ( P `
 ( I  + 
1 ) ) } )
8211, 55, 813eqtrd 2505 . . 3  |-  ( ( I  =  ( (
# `  P )  -  2 )  /\  ( ( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  P ) )  /\  ( ( lastS  `  P )  =  ( P ` 
0 )  /\  I  e.  ( 0..^ ( (
# `  P )  -  1 ) ) ) )  /\  {
( P `  I
) ,  ( P `
 ( I  + 
1 ) ) }  e.  ran  E ) )  ->  ( E `  ( F `  I
) )  =  {
( P `  I
) ,  ( P `
 ( I  + 
1 ) ) } )
83 simpll 753 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( # `  P
)  e.  NN0  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  (
I  e.  ( 0..^ ( ( # `  P
)  -  1 ) )  /\  -.  I  =  ( ( # `  P )  -  2 ) ) )  -> 
( # `  P )  e.  NN0 )
84 oveq1 6282 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( (
# `  P )  =  2  ->  (
( # `  P )  -  1 )  =  ( 2  -  1 ) )
8584, 24syl6eq 2517 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( (
# `  P )  =  2  ->  (
( # `  P )  -  1 )  =  1 )
8685oveq2d 6291 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( (
# `  P )  =  2  ->  (
0..^ ( ( # `  P )  -  1 ) )  =  ( 0..^ 1 ) )
8786eleq2d 2530 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
# `  P )  =  2  ->  (
I  e.  ( 0..^ ( ( # `  P
)  -  1 ) )  <->  I  e.  (
0..^ 1 ) ) )
88 oveq1 6282 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( (
# `  P )  =  2  ->  (
( # `  P )  -  2 )  =  ( 2  -  2 ) )
89 2cn 10595 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  2  e.  CC
9089subidi 9879 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( 2  -  2 )  =  0
9188, 90syl6eq 2517 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( (
# `  P )  =  2  ->  (
( # `  P )  -  2 )  =  0 )
9291eqeq2d 2474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( (
# `  P )  =  2  ->  (
I  =  ( (
# `  P )  -  2 )  <->  I  = 
0 ) )
9392notbid 294 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
# `  P )  =  2  ->  ( -.  I  =  (
( # `  P )  -  2 )  <->  -.  I  =  0 ) )
9487, 93anbi12d 710 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
# `  P )  =  2  ->  (
( I  e.  ( 0..^ ( ( # `  P )  -  1 ) )  /\  -.  I  =  ( ( # `
 P )  - 
2 ) )  <->  ( I  e.  ( 0..^ 1 )  /\  -.  I  =  0 ) ) )
95 elsni 4045 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( I  e.  { 0 }  ->  I  =  0 )
9695pm2.24d 143 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( I  e.  { 0 }  ->  ( -.  I  =  0  ->  (
I  e.  NN0  /\  ( ( # `  P
)  -  2 )  e.  NN  /\  I  <  ( ( # `  P
)  -  2 ) ) ) )
97 fzo01 11854 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( 0..^ 1 )  =  {
0 }
9896, 97eleq2s 2568 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( I  e.  ( 0..^ 1 )  ->  ( -.  I  =  0  ->  ( I  e.  NN0  /\  ( ( # `  P
)  -  2 )  e.  NN  /\  I  <  ( ( # `  P
)  -  2 ) ) ) )
9998imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( I  e.  ( 0..^ 1 )  /\  -.  I  =  0 )  ->  ( I  e. 
NN0  /\  ( ( # `
 P )  - 
2 )  e.  NN  /\  I  <  ( (
# `  P )  -  2 ) ) )
10094, 99syl6bi 228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
# `  P )  =  2  ->  (
( I  e.  ( 0..^ ( ( # `  P )  -  1 ) )  /\  -.  I  =  ( ( # `
 P )  - 
2 ) )  -> 
( I  e.  NN0  /\  ( ( # `  P
)  -  2 )  e.  NN  /\  I  <  ( ( # `  P
)  -  2 ) ) ) )
101100adantld 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
# `  P )  =  2  ->  (
( ( ( # `  P )  e.  NN0  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  (
I  e.  ( 0..^ ( ( # `  P
)  -  1 ) )  /\  -.  I  =  ( ( # `  P )  -  2 ) ) )  -> 
( I  e.  NN0  /\  ( ( # `  P
)  -  2 )  e.  NN  /\  I  <  ( ( # `  P
)  -  2 ) ) ) )
102 df-ne 2657 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( (
# `  P )  =/=  2  <->  -.  ( # `  P
)  =  2 )
103 2re 10594 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  2  e.  RR
104103a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( # `  P
)  e.  NN0  /\  2  <_  ( # `  P
) )  ->  2  e.  RR )
105 nn0re 10793 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( (
# `  P )  e.  NN0  ->  ( # `  P
)  e.  RR )
106105adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( # `  P
)  e.  NN0  /\  2  <_  ( # `  P
) )  ->  ( # `
 P )  e.  RR )
107 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( # `  P
)  e.  NN0  /\  2  <_  ( # `  P
) )  ->  2  <_  ( # `  P
) )
108104, 106, 107leltned 9724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( # `  P
)  e.  NN0  /\  2  <_  ( # `  P
) )  ->  (
2  <  ( # `  P
)  <->  ( # `  P
)  =/=  2 ) )
109 elfzo0 11820 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( I  e.  ( 0..^ ( ( # `  P
)  -  1 ) )  <->  ( I  e. 
NN0  /\  ( ( # `
 P )  - 
1 )  e.  NN  /\  I  <  ( (
# `  P )  -  1 ) ) )
110 simp-4l 765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( ( ( ( ( I  e.  NN0  /\  ( # `
 P )  e. 
NN0 )  /\  -.  I  =  ( ( # `
 P )  - 
2 ) )  /\  2  <  ( # `  P
) )  /\  I  <  ( ( # `  P
)  -  1 ) )  ->  I  e.  NN0 )
111 nn0z 10876 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41  |-  ( (
# `  P )  e.  NN0  ->  ( # `  P
)  e.  ZZ )
112 2z 10885 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42  |-  2  e.  ZZ
113112a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41  |-  ( (
# `  P )  e.  NN0  ->  2  e.  ZZ )
114111, 113zsubcld 10960 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40  |-  ( (
# `  P )  e.  NN0  ->  ( ( # `
 P )  - 
2 )  e.  ZZ )
115114adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39  |-  ( ( ( # `  P
)  e.  NN0  /\  2  <  ( # `  P
) )  ->  (
( # `  P )  -  2 )  e.  ZZ )
116103a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41  |-  ( (
# `  P )  e.  NN0  ->  2  e.  RR )
117116, 105posdifd 10128 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40  |-  ( (
# `  P )  e.  NN0  ->  ( 2  <  ( # `  P
)  <->  0  <  (
( # `  P )  -  2 ) ) )
118117biimpa 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39  |-  ( ( ( # `  P
)  e.  NN0  /\  2  <  ( # `  P
) )  ->  0  <  ( ( # `  P
)  -  2 ) )
119 elnnz 10863 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39  |-  ( ( ( # `  P
)  -  2 )  e.  NN  <->  ( (
( # `  P )  -  2 )  e.  ZZ  /\  0  < 
( ( # `  P
)  -  2 ) ) )
120115, 118, 119sylanbrc 664 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38  |-  ( ( ( # `  P
)  e.  NN0  /\  2  <  ( # `  P
) )  ->  (
( # `  P )  -  2 )  e.  NN )
121120ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37  |-  ( (
# `  P )  e.  NN0  ->  ( 2  <  ( # `  P
)  ->  ( ( # `
 P )  - 
2 )  e.  NN ) )
122121ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36  |-  ( ( ( I  e.  NN0  /\  ( # `  P
)  e.  NN0 )  /\  -.  I  =  ( ( # `  P
)  -  2 ) )  ->  ( 2  <  ( # `  P
)  ->  ( ( # `
 P )  - 
2 )  e.  NN ) )
123122imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( ( ( ( I  e. 
NN0  /\  ( # `  P
)  e.  NN0 )  /\  -.  I  =  ( ( # `  P
)  -  2 ) )  /\  2  < 
( # `  P ) )  ->  ( ( # `
 P )  - 
2 )  e.  NN )
124123adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( ( ( ( ( I  e.  NN0  /\  ( # `
 P )  e. 
NN0 )  /\  -.  I  =  ( ( # `
 P )  - 
2 ) )  /\  2  <  ( # `  P
) )  /\  I  <  ( ( # `  P
)  -  1 ) )  ->  ( ( # `
 P )  - 
2 )  e.  NN )
125 nn0z 10876 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41  |-  ( I  e.  NN0  ->  I  e.  ZZ )
126 peano2zm 10895 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42  |-  ( (
# `  P )  e.  ZZ  ->  ( ( # `
 P )  - 
1 )  e.  ZZ )
127111, 126syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41  |-  ( (
# `  P )  e.  NN0  ->  ( ( # `
 P )  - 
1 )  e.  ZZ )
128 zltlem1 10904 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41  |-  ( ( I  e.  ZZ  /\  ( ( # `  P
)  -  1 )  e.  ZZ )  -> 
( I  <  (
( # `  P )  -  1 )  <->  I  <_  ( ( ( # `  P
)  -  1 )  -  1 ) ) )
129125, 127, 128syl2an 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40  |-  ( ( I  e.  NN0  /\  ( # `  P )  e.  NN0 )  -> 
( I  <  (
( # `  P )  -  1 )  <->  I  <_  ( ( ( # `  P
)  -  1 )  -  1 ) ) )
13018adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43  |-  ( ( I  e.  NN0  /\  ( # `  P )  e.  NN0 )  -> 
( # `  P )  e.  CC )
13121a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43  |-  ( ( I  e.  NN0  /\  ( # `  P )  e.  NN0 )  -> 
1  e.  CC )
132130, 131, 131subsub4d 9950 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42  |-  ( ( I  e.  NN0  /\  ( # `  P )  e.  NN0 )  -> 
( ( ( # `  P )  -  1 )  -  1 )  =  ( ( # `  P )  -  (
1  +  1 ) ) )
133 1p1e2 10638 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44  |-  ( 1  +  1 )  =  2
134133a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43  |-  ( ( I  e.  NN0  /\  ( # `  P )  e.  NN0 )  -> 
( 1  +  1 )  =  2 )
135134oveq2d 6291 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42  |-  ( ( I  e.  NN0  /\  ( # `  P )  e.  NN0 )  -> 
( ( # `  P
)  -  ( 1  +  1 ) )  =  ( ( # `  P )  -  2 ) )
136132, 135eqtrd 2501 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41  |-  ( ( I  e.  NN0  /\  ( # `  P )  e.  NN0 )  -> 
( ( ( # `  P )  -  1 )  -  1 )  =  ( ( # `  P )  -  2 ) )
137136breq2d 4452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40  |-  ( ( I  e.  NN0  /\  ( # `  P )  e.  NN0 )  -> 
( I  <_  (
( ( # `  P
)  -  1 )  -  1 )  <->  I  <_  ( ( # `  P
)  -  2 ) ) )
138129, 137bitrd 253 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39  |-  ( ( I  e.  NN0  /\  ( # `  P )  e.  NN0 )  -> 
( I  <  (
( # `  P )  -  1 )  <->  I  <_  ( ( # `  P
)  -  2 ) ) )
139 necom 2729 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42  |-  ( ( ( # `  P
)  -  2 )  =/=  I  <->  I  =/=  ( ( # `  P
)  -  2 ) )
140 df-ne 2657 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42  |-  ( I  =/=  ( ( # `  P )  -  2 )  <->  -.  I  =  ( ( # `  P
)  -  2 ) )
141139, 140bitr2i 250 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41  |-  ( -.  I  =  ( (
# `  P )  -  2 )  <->  ( ( # `
 P )  - 
2 )  =/=  I
)
142 nn0re 10793 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45  |-  ( I  e.  NN0  ->  I  e.  RR )
143142ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44  |-  ( ( ( I  e.  NN0  /\  ( # `  P
)  e.  NN0 )  /\  I  <_  ( (
# `  P )  -  2 ) )  ->  I  e.  RR )
144105, 116resubcld 9976 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45  |-  ( (
# `  P )  e.  NN0  ->  ( ( # `
 P )  - 
2 )  e.  RR )
145144ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44  |-  ( ( ( I  e.  NN0  /\  ( # `  P
)  e.  NN0 )  /\  I  <_  ( (
# `  P )  -  2 ) )  ->  ( ( # `  P )  -  2 )  e.  RR )
146 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44  |-  ( ( ( I  e.  NN0  /\  ( # `  P
)  e.  NN0 )  /\  I  <_  ( (
# `  P )  -  2 ) )  ->  I  <_  (
( # `  P )  -  2 ) )
147143, 145, 1463jca 1171 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43  |-  ( ( ( I  e.  NN0  /\  ( # `  P
)  e.  NN0 )  /\  I  <_  ( (
# `  P )  -  2 ) )  ->  ( I  e.  RR  /\  ( (
# `  P )  -  2 )  e.  RR  /\  I  <_ 
( ( # `  P
)  -  2 ) ) )
148 leltne 9663 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44  |-  ( ( I  e.  RR  /\  ( ( # `  P
)  -  2 )  e.  RR  /\  I  <_  ( ( # `  P
)  -  2 ) )  ->  ( I  <  ( ( # `  P
)  -  2 )  <-> 
( ( # `  P
)  -  2 )  =/=  I ) )
149148bicomd 201 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43  |-  ( ( I  e.  RR  /\  ( ( # `  P
)  -  2 )  e.  RR  /\  I  <_  ( ( # `  P
)  -  2 ) )  ->  ( (
( # `  P )  -  2 )  =/=  I  <->  I  <  ( (
# `  P )  -  2 ) ) )
150147, 149syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42  |-  ( ( ( I  e.  NN0  /\  ( # `  P
)  e.  NN0 )  /\  I  <_  ( (
# `  P )  -  2 ) )  ->  ( ( (
# `  P )  -  2 )  =/=  I  <->  I  <  ( (
# `  P )  -  2 ) ) )
151150biimpd 207 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41  |-  ( ( ( I  e.  NN0  /\  ( # `  P
)  e.  NN0 )  /\  I  <_  ( (
# `  P )  -  2 ) )  ->  ( ( (
# `  P )  -  2 )  =/=  I  ->  I  <  ( ( # `  P
)  -  2 ) ) )
152141, 151syl5bi 217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40  |-  ( ( ( I  e.  NN0  /\  ( # `  P
)  e.  NN0 )  /\  I  <_  ( (
# `  P )  -  2 ) )  ->  ( -.  I  =  ( ( # `  P )  -  2 )  ->  I  <  ( ( # `  P
)  -  2 ) ) )
153152ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39  |-  ( ( I  e.  NN0  /\  ( # `  P )  e.  NN0 )  -> 
( I  <_  (
( # `  P )  -  2 )  -> 
( -.  I  =  ( ( # `  P
)  -  2 )  ->  I  <  (
( # `  P )  -  2 ) ) ) )
154138, 153sylbid 215 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38  |-  ( ( I  e.  NN0  /\  ( # `  P )  e.  NN0 )  -> 
( I  <  (
( # `  P )  -  1 )  -> 
( -.  I  =  ( ( # `  P
)  -  2 )  ->  I  <  (
( # `  P )  -  2 ) ) ) )
155154com23 78 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37  |-  ( ( I  e.  NN0  /\  ( # `  P )  e.  NN0 )  -> 
( -.  I  =  ( ( # `  P
)  -  2 )  ->  ( I  < 
( ( # `  P
)  -  1 )  ->  I  <  (
( # `  P )  -  2 ) ) ) )
156155imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36  |-  ( ( ( I  e.  NN0  /\  ( # `  P
)  e.  NN0 )  /\  -.  I  =  ( ( # `  P
)  -  2 ) )  ->  ( I  <  ( ( # `  P
)  -  1 )  ->  I  <  (
( # `  P )  -  2 ) ) )
157156adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( ( ( ( I  e. 
NN0  /\  ( # `  P
)  e.  NN0 )  /\  -.  I  =  ( ( # `  P
)  -  2 ) )  /\  2  < 
( # `  P ) )  ->  ( I  <  ( ( # `  P
)  -  1 )  ->  I  <  (
( # `  P )  -  2 ) ) )
158157imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( ( ( ( ( I  e.  NN0  /\  ( # `
 P )  e. 
NN0 )  /\  -.  I  =  ( ( # `
 P )  - 
2 ) )  /\  2  <  ( # `  P
) )  /\  I  <  ( ( # `  P
)  -  1 ) )  ->  I  <  ( ( # `  P
)  -  2 ) )
159110, 124, 1583jca 1171 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( ( ( ( ( I  e.  NN0  /\  ( # `
 P )  e. 
NN0 )  /\  -.  I  =  ( ( # `
 P )  - 
2 ) )  /\  2  <  ( # `  P
) )  /\  I  <  ( ( # `  P
)  -  1 ) )  ->  ( I  e.  NN0  /\  ( (
# `  P )  -  2 )  e.  NN  /\  I  < 
( ( # `  P
)  -  2 ) ) )
160159ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ( ( ( I  e. 
NN0  /\  ( # `  P
)  e.  NN0 )  /\  -.  I  =  ( ( # `  P
)  -  2 ) )  /\  2  < 
( # `  P ) )  ->  ( I  <  ( ( # `  P
)  -  1 )  ->  ( I  e. 
NN0  /\  ( ( # `
 P )  - 
2 )  e.  NN  /\  I  <  ( (
# `  P )  -  2 ) ) ) )
161160exp41 610 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( I  e.  NN0  ->  ( (
# `  P )  e.  NN0  ->  ( -.  I  =  ( ( # `
 P )  - 
2 )  ->  (
2  <  ( # `  P
)  ->  ( I  <  ( ( # `  P
)  -  1 )  ->  ( I  e. 
NN0  /\  ( ( # `
 P )  - 
2 )  e.  NN  /\  I  <  ( (
# `  P )  -  2 ) ) ) ) ) ) )
162161com25 91 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( I  e.  NN0  ->  ( I  <  ( ( # `  P )  -  1 )  ->  ( -.  I  =  ( ( # `
 P )  - 
2 )  ->  (
2  <  ( # `  P
)  ->  ( ( # `
 P )  e. 
NN0  ->  ( I  e. 
NN0  /\  ( ( # `
 P )  - 
2 )  e.  NN  /\  I  <  ( (
# `  P )  -  2 ) ) ) ) ) ) )
163162imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( I  e.  NN0  /\  I  <  ( ( # `  P )  -  1 ) )  ->  ( -.  I  =  (
( # `  P )  -  2 )  -> 
( 2  <  ( # `
 P )  -> 
( ( # `  P
)  e.  NN0  ->  ( I  e.  NN0  /\  ( ( # `  P
)  -  2 )  e.  NN  /\  I  <  ( ( # `  P
)  -  2 ) ) ) ) ) )
1641633adant2 1010 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( I  e.  NN0  /\  ( ( # `  P
)  -  1 )  e.  NN  /\  I  <  ( ( # `  P
)  -  1 ) )  ->  ( -.  I  =  ( ( # `
 P )  - 
2 )  ->  (
2  <  ( # `  P
)  ->  ( ( # `
 P )  e. 
NN0  ->  ( I  e. 
NN0  /\  ( ( # `
 P )  - 
2 )  e.  NN  /\  I  <  ( (
# `  P )  -  2 ) ) ) ) ) )
165109, 164sylbi 195 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( I  e.  ( 0..^ ( ( # `  P
)  -  1 ) )  ->  ( -.  I  =  ( ( # `
 P )  - 
2 )  ->  (
2  <  ( # `  P
)  ->  ( ( # `
 P )  e. 
NN0  ->  ( I  e. 
NN0  /\  ( ( # `
 P )  - 
2 )  e.  NN  /\  I  <  ( (
# `  P )  -  2 ) ) ) ) ) )
166165imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( I  e.  ( 0..^ ( ( # `  P
)  -  1 ) )  /\  -.  I  =  ( ( # `  P )  -  2 ) )  ->  (
2  <  ( # `  P
)  ->  ( ( # `
 P )  e. 
NN0  ->  ( I  e. 
NN0  /\  ( ( # `
 P )  - 
2 )  e.  NN  /\  I  <  ( (
# `  P )  -  2 ) ) ) ) )
167166com13 80 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( (
# `  P )  e.  NN0  ->  ( 2  <  ( # `  P
)  ->  ( (
I  e.  ( 0..^ ( ( # `  P
)  -  1 ) )  /\  -.  I  =  ( ( # `  P )  -  2 ) )  ->  (
I  e.  NN0  /\  ( ( # `  P
)  -  2 )  e.  NN  /\  I  <  ( ( # `  P
)  -  2 ) ) ) ) )
168167adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( # `  P
)  e.  NN0  /\  2  <_  ( # `  P
) )  ->  (
2  <  ( # `  P
)  ->  ( (
I  e.  ( 0..^ ( ( # `  P
)  -  1 ) )  /\  -.  I  =  ( ( # `  P )  -  2 ) )  ->  (
I  e.  NN0  /\  ( ( # `  P
)  -  2 )  e.  NN  /\  I  <  ( ( # `  P
)  -  2 ) ) ) ) )
169108, 168sylbird 235 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( # `  P
)  e.  NN0  /\  2  <_  ( # `  P
) )  ->  (
( # `  P )  =/=  2  ->  (
( I  e.  ( 0..^ ( ( # `  P )  -  1 ) )  /\  -.  I  =  ( ( # `
 P )  - 
2 ) )  -> 
( I  e.  NN0  /\  ( ( # `  P
)  -  2 )  e.  NN  /\  I  <  ( ( # `  P
)  -  2 ) ) ) ) )
170102, 169syl5bir 218 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( # `  P
)  e.  NN0  /\  2  <_  ( # `  P
) )  ->  ( -.  ( # `  P
)  =  2  -> 
( ( I  e.  ( 0..^ ( (
# `  P )  -  1 ) )  /\  -.  I  =  ( ( # `  P
)  -  2 ) )  ->  ( I  e.  NN0  /\  ( (
# `  P )  -  2 )  e.  NN  /\  I  < 
( ( # `  P
)  -  2 ) ) ) ) )
171170com23 78 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( # `  P
)  e.  NN0  /\  2  <_  ( # `  P
) )  ->  (
( I  e.  ( 0..^ ( ( # `  P )  -  1 ) )  /\  -.  I  =  ( ( # `
 P )  - 
2 ) )  -> 
( -.  ( # `  P )  =  2  ->  ( I  e. 
NN0  /\  ( ( # `
 P )  - 
2 )  e.  NN  /\  I  <  ( (
# `  P )  -  2 ) ) ) ) )
172171imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( # `  P
)  e.  NN0  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  (
I  e.  ( 0..^ ( ( # `  P
)  -  1 ) )  /\  -.  I  =  ( ( # `  P )  -  2 ) ) )  -> 
( -.  ( # `  P )  =  2  ->  ( I  e. 
NN0  /\  ( ( # `
 P )  - 
2 )  e.  NN  /\  I  <  ( (
# `  P )  -  2 ) ) ) )
173172com12 31 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( -.  ( # `  P
)  =  2  -> 
( ( ( (
# `  P )  e.  NN0  /\  2  <_ 
( # `  P ) )  /\  ( I  e.  ( 0..^ ( ( # `  P
)  -  1 ) )  /\  -.  I  =  ( ( # `  P )  -  2 ) ) )  -> 
( I  e.  NN0  /\  ( ( # `  P
)  -  2 )  e.  NN  /\  I  <  ( ( # `  P
)  -  2 ) ) ) )
174101, 173pm2.61i 164 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( # `  P
)  e.  NN0  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  (
I  e.  ( 0..^ ( ( # `  P
)  -  1 ) )  /\  -.  I  =  ( ( # `  P )  -  2 ) ) )  -> 
( I  e.  NN0  /\  ( ( # `  P
)  -  2 )  e.  NN  /\  I  <  ( ( # `  P
)  -  2 ) ) )
175 elfzo0 11820 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( I  e.  ( 0..^ ( ( # `  P
)  -  2 ) )  <->  ( I  e. 
NN0  /\  ( ( # `
 P )  - 
2 )  e.  NN  /\  I  <  ( (
# `  P )  -  2 ) ) )
176174, 175sylibr 212 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( # `  P
)  e.  NN0  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  (
I  e.  ( 0..^ ( ( # `  P
)  -  1 ) )  /\  -.  I  =  ( ( # `  P )  -  2 ) ) )  ->  I  e.  ( 0..^ ( ( # `  P
)  -  2 ) ) )
17783, 176jca 532 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( # `  P
)  e.  NN0  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  (
I  e.  ( 0..^ ( ( # `  P
)  -  1 ) )  /\  -.  I  =  ( ( # `  P )  -  2 ) ) )  -> 
( ( # `  P
)  e.  NN0  /\  I  e.  ( 0..^ ( ( # `  P
)  -  2 ) ) ) )
178177exp31 604 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
# `  P )  e.  NN0  ->  ( 2  <_  ( # `  P
)  ->  ( (
I  e.  ( 0..^ ( ( # `  P
)  -  1 ) )  /\  -.  I  =  ( ( # `  P )  -  2 ) )  ->  (
( # `  P )  e.  NN0  /\  I  e.  ( 0..^ ( (
# `  P )  -  2 ) ) ) ) ) )
1792, 178syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( P  e. Word  V  ->  (
2  <_  ( # `  P
)  ->  ( (
I  e.  ( 0..^ ( ( # `  P
)  -  1 ) )  /\  -.  I  =  ( ( # `  P )  -  2 ) )  ->  (
( # `  P )  e.  NN0  /\  I  e.  ( 0..^ ( (
# `  P )  -  2 ) ) ) ) ) )
180179imp 429 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  P
) )  ->  (
( I  e.  ( 0..^ ( ( # `  P )  -  1 ) )  /\  -.  I  =  ( ( # `
 P )  - 
2 ) )  -> 
( ( # `  P
)  e.  NN0  /\  I  e.  ( 0..^ ( ( # `  P
)  -  2 ) ) ) ) )
1811803adant1 1009 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `
 P ) )  ->  ( ( I  e.  ( 0..^ ( ( # `  P
)  -  1 ) )  /\  -.  I  =  ( ( # `  P )  -  2 ) )  ->  (
( # `  P )  e.  NN0  /\  I  e.  ( 0..^ ( (
# `  P )  -  2 ) ) ) ) )
182181expd 436 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `
 P ) )  ->  ( I  e.  ( 0..^ ( (
# `  P )  -  1 ) )  ->  ( -.  I  =  ( ( # `  P )  -  2 )  ->  ( ( # `
 P )  e. 
NN0  /\  I  e.  ( 0..^ ( ( # `  P )  -  2 ) ) ) ) ) )
183182com12 31 . . . . . . . . . 10  |-  ( I  e.  ( 0..^ ( ( # `  P
)  -  1 ) )  ->  ( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `
 P ) )  ->  ( -.  I  =  ( ( # `  P )  -  2 )  ->  ( ( # `
 P )  e. 
NN0  /\  I  e.  ( 0..^ ( ( # `  P )  -  2 ) ) ) ) ) )
184183adantl 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( lastS  `  P )  =  ( P ` 
0 )  /\  I  e.  ( 0..^ ( (
# `  P )  -  1 ) ) )  ->  ( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `
 P ) )  ->  ( -.  I  =  ( ( # `  P )  -  2 )  ->  ( ( # `
 P )  e. 
NN0  /\  I  e.  ( 0..^ ( ( # `  P )  -  2 ) ) ) ) ) )
185184impcom 430 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  (
( lastS  `  P )  =  ( P `  0
)  /\  I  e.  ( 0..^ ( ( # `  P )  -  1 ) ) ) )  ->  ( -.  I  =  ( ( # `  P )  -  2 )  ->  ( ( # `
 P )  e. 
NN0  /\  I  e.  ( 0..^ ( ( # `  P )  -  2 ) ) ) ) )
186185adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  (
( lastS  `  P )  =  ( P `  0
)  /\  I  e.  ( 0..^ ( ( # `  P )  -  1 ) ) ) )  /\  { ( P `
 I ) ,  ( P `  (
I  +  1 ) ) }  e.  ran  E )  ->  ( -.  I  =  ( ( # `
 P )  - 
2 )  ->  (
( # `  P )  e.  NN0  /\  I  e.  ( 0..^ ( (
# `  P )  -  2 ) ) ) ) )
187186impcom 430 . . . . . 6  |-  ( ( -.  I  =  ( ( # `  P
)  -  2 )  /\  ( ( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `
 P ) )  /\  ( ( lastS  `  P
)  =  ( P `
 0 )  /\  I  e.  ( 0..^ ( ( # `  P
)  -  1 ) ) ) )  /\  { ( P `  I
) ,  ( P `
 ( I  + 
1 ) ) }  e.  ran  E ) )  ->  ( ( # `
 P )  e. 
NN0  /\  I  e.  ( 0..^ ( ( # `  P )  -  2 ) ) ) )
1883clwlkisclwwlklem2fv1 24444 . . . . . 6  |-  ( ( ( # `  P
)  e.  NN0  /\  I  e.  ( 0..^ ( ( # `  P
)  -  2 ) ) )  ->  ( F `  I )  =  ( `' E `  { ( P `  I ) ,  ( P `  ( I  +  1 ) ) } ) )
189187, 188syl 16 . . . . 5  |-  ( ( -.  I  =  ( ( # `  P
)  -  2 )  /\  ( ( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `
 P ) )  /\  ( ( lastS  `  P
)  =  ( P `
 0 )  /\  I  e.  ( 0..^ ( ( # `  P
)  -  1 ) ) ) )  /\  { ( P `  I
) ,  ( P `
 ( I  + 
1 ) ) }  e.  ran  E ) )  ->  ( F `  I )  =  ( `' E `  { ( P `  I ) ,  ( P `  ( I  +  1
) ) } ) )
190189fveq2d 5861 . . . 4  |-  ( ( -.  I  =  ( ( # `  P
)  -  2 )  /\  ( ( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `
 P ) )  /\  ( ( lastS  `  P
)  =  ( P `
 0 )  /\  I  e.  ( 0..^ ( ( # `  P
)  -  1 ) ) ) )  /\  { ( P `  I
) ,  ( P `
 ( I  + 
1 ) ) }  e.  ran  E ) )  ->  ( E `  ( F `  I
) )  =  ( E `  ( `' E `  { ( P `  I ) ,  ( P `  ( I  +  1
) ) } ) ) )
19114adantl 466 . . . . 5  |-  ( ( -.  I  =  ( ( # `  P
)  -  2 )  /\  ( ( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `
 P ) )  /\  ( ( lastS  `  P
)  =  ( P `
 0 )  /\  I  e.  ( 0..^ ( ( # `  P
)  -  1 ) ) ) )  /\  { ( P `  I
) ,  ( P `
 ( I  + 
1 ) ) }  e.  ran  E ) )  ->  E : dom  E -1-1-onto-> ran  E )
192 simprr 756 . . . . 5  |-  ( ( -.  I  =  ( ( # `  P
)  -  2 )  /\  ( ( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `
 P ) )  /\  ( ( lastS  `  P
)  =  ( P `
 0 )  /\  I  e.  ( 0..^ ( ( # `  P
)  -  1 ) ) ) )  /\  { ( P `  I
) ,  ( P `
 ( I  + 
1 ) ) }  e.  ran  E ) )  ->  { ( P `  I ) ,  ( P `  ( I  +  1
) ) }  e.  ran  E )
193 f1ocnvfv2 6162 . . . . 5  |-  ( ( E : dom  E -1-1-onto-> ran  E  /\  { ( P `
 I ) ,  ( P `  (
I  +  1 ) ) }  e.  ran  E )  ->  ( E `  ( `' E `  { ( P `  I ) ,  ( P `  ( I  +  1 ) ) } ) )  =  { ( P `  I ) ,  ( P `  ( I  +  1 ) ) } )
194191, 192, 193syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ( -.  I  =  ( ( # `  P
)  -  2 )  /\  ( ( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `
 P ) )  /\  ( ( lastS  `  P
)  =  ( P `
 0 )  /\  I  e.  ( 0..^ ( ( # `  P
)  -  1 ) ) ) )  /\  { ( P `  I
) ,  ( P `
 ( I  + 
1 ) ) }  e.  ran  E ) )  ->  ( E `  ( `' E `  { ( P `  I ) ,  ( P `  ( I  +  1 ) ) } ) )  =  { ( P `  I ) ,  ( P `  ( I  +  1 ) ) } )
195190, 194eqtrd 2501 . . 3  |-  ( ( -.  I  =  ( ( # `  P
)  -  2 )  /\  ( ( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `
 P ) )  /\  ( ( lastS  `  P
)  =  ( P `
 0 )  /\  I  e.  ( 0..^ ( ( # `  P
)  -  1 ) ) ) )  /\  { ( P `  I
) ,  ( P `
 ( I  + 
1 ) ) }  e.  ran  E ) )  ->  ( E `  ( F `  I
) )  =  {
( P `  I
) ,  ( P `
 ( I  + 
1 ) ) } )
19682, 195pm2.61ian 788 . 2  |-  ( ( ( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  (
( lastS  `  P )  =  ( P `  0
)  /\  I  e.  ( 0..^ ( ( # `  P )  -  1 ) ) ) )  /\  { ( P `
 I ) ,  ( P `  (
I  +  1 ) ) }  e.  ran  E )  ->  ( E `  ( F `  I
) )  =  {
( P `  I
) ,  ( P `
 ( I  + 
1 ) ) } )
197196exp31 604 1  |-  ( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `
 P ) )  ->  ( ( ( lastS  `  P )  =  ( P `  0 )  /\  I  e.  ( 0..^ ( ( # `  P )  -  1 ) ) )  -> 
( { ( P `
 I ) ,  ( P `  (
I  +  1 ) ) }  e.  ran  E  ->  ( E `  ( F `  I ) )  =  { ( P `  I ) ,  ( P `  ( I  +  1
) ) } ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 968    = wceq 1374    e. wcel 1762    =/= wne 2655   ifcif 3932   {csn 4020   {cpr 4022   class class class wbr 4440    |-> cmpt 4498   `'ccnv 4991   dom cdm 4992   ran crn 4993   -1-1-onto->wf1o 5578   ` cfv 5579  (class class class)co 6275   CCcc 9479   RRcr 9480   0cc0 9481   1c1 9482    + caddc 9484    < clt 9617    <_ cle 9618    - cmin 9794   NNcn 10525   2c2 10574   NN0cn0 10784   ZZcz 10853  ..^cfzo 11781   #chash 12360  Word cword 12487   lastS clsw 12488   USGrph cusg 23993
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-rep 4551  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-nel 2658  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-pss 3485  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-tp 4025  df-op 4027  df-uni 4239  df-int 4276  df-iun 4320  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-tr 4534  df-eprel 4784  df-id 4788  df-po 4793  df-so 4794  df-fr 4831  df-we 4833  df-ord 4874  df-on 4875  df-lim 4876  df-suc 4877  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-riota 6236  df-ov 6278  df-oprab 6279  df-mpt2 6280  df-om 6672  df-1st 6774  df-2nd 6775  df-recs 7032  df-rdg 7066  df-1o 7120  df-oadd 7124  df-er 7301  df-en 7507  df-dom 7508  df-sdom 7509  df-fin 7510  df-card 8309  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9796  df-neg 9797  df-nn 10526  df-2 10583  df-n0 10785  df-z 10854  df-uz 11072  df-fz 11662  df-fzo 11782  df-hash 12361  df-word 12495  df-lsw 12496  df-usgra 23996
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