Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  plydivex Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem plydivex 23856
 Description: Lemma for plydivalg 23858. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
plydiv.pl ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
plydiv.tm ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑆)
plydiv.rc ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑥 ≠ 0)) → (1 / 𝑥) ∈ 𝑆)
plydiv.m1 (𝜑 → -1 ∈ 𝑆)
plydiv.f (𝜑𝐹 ∈ (Poly‘𝑆))
plydiv.g (𝜑𝐺 ∈ (Poly‘𝑆))
plydiv.z (𝜑𝐺 ≠ 0𝑝)
plydiv.r 𝑅 = (𝐹𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞))
Assertion
Ref Expression
plydivex (𝜑 → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)(𝑅 = 0𝑝 ∨ (deg‘𝑅) < (deg‘𝐺)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑞,𝐹   𝜑,𝑥,𝑦   𝐺,𝑞,𝑥,𝑦   𝑥,𝑅,𝑦   𝑆,𝑞,𝑥,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑞)   𝑅(𝑞)

Proof of Theorem plydivex
Dummy variables 𝑧 𝑓 𝑑 𝑝 𝑔 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 plydiv.f . . . . . 6 (𝜑𝐹 ∈ (Poly‘𝑆))
2 dgrcl 23793 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (deg‘𝐹) ∈ ℕ0)
31, 2syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (deg‘𝐹) ∈ ℕ0)
43nn0red 11229 . . . 4 (𝜑 → (deg‘𝐹) ∈ ℝ)
5 plydiv.g . . . . . 6 (𝜑𝐺 ∈ (Poly‘𝑆))
6 dgrcl 23793 . . . . . 6 (𝐺 ∈ (Poly‘𝑆) → (deg‘𝐺) ∈ ℕ0)
75, 6syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (deg‘𝐺) ∈ ℕ0)
87nn0red 11229 . . . 4 (𝜑 → (deg‘𝐺) ∈ ℝ)
94, 8resubcld 10337 . . 3 (𝜑 → ((deg‘𝐹) − (deg‘𝐺)) ∈ ℝ)
10 arch 11166 . . 3 (((deg‘𝐹) − (deg‘𝐺)) ∈ ℝ → ∃𝑑 ∈ ℕ ((deg‘𝐹) − (deg‘𝐺)) < 𝑑)
119, 10syl 17 . 2 (𝜑 → ∃𝑑 ∈ ℕ ((deg‘𝐹) − (deg‘𝐺)) < 𝑑)
12 olc 398 . . . 4 (((deg‘𝐹) − (deg‘𝐺)) < 𝑑 → (𝐹 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝐹) − (deg‘𝐺)) < 𝑑))
131adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑑 ∈ ℕ) → 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆))
14 nnnn0 11176 . . . . . . 7 (𝑑 ∈ ℕ → 𝑑 ∈ ℕ0)
15 breq2 4587 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 0 → (((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑥 ↔ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 0))
1615orbi2d 734 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 0 → ((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑥) ↔ (𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 0)))
1716imbi1d 330 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 0 → (((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑥) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞))) < (deg‘𝐺))) ↔ ((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 0) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞))) < (deg‘𝐺)))))
1817ralbidv 2969 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 0 → (∀𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑥) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞))) < (deg‘𝐺))) ↔ ∀𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 0) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞))) < (deg‘𝐺)))))
1918imbi2d 329 . . . . . . . 8 (𝑥 = 0 → ((𝜑 → ∀𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑥) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞))) < (deg‘𝐺)))) ↔ (𝜑 → ∀𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 0) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞))) < (deg‘𝐺))))))
20 breq2 4587 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝑑 → (((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑥 ↔ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑑))
2120orbi2d 734 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑑 → ((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑥) ↔ (𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑑)))
2221imbi1d 330 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑑 → (((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑥) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞))) < (deg‘𝐺))) ↔ ((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑑) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞))) < (deg‘𝐺)))))
2322ralbidv 2969 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑑 → (∀𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑥) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞))) < (deg‘𝐺))) ↔ ∀𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑑) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞))) < (deg‘𝐺)))))
2423imbi2d 329 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑑 → ((𝜑 → ∀𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑥) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞))) < (deg‘𝐺)))) ↔ (𝜑 → ∀𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑑) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞))) < (deg‘𝐺))))))
25 breq2 4587 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = (𝑑 + 1) → (((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑥 ↔ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < (𝑑 + 1)))
2625orbi2d 734 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = (𝑑 + 1) → ((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑥) ↔ (𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < (𝑑 + 1))))
2726imbi1d 330 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = (𝑑 + 1) → (((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑥) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞))) < (deg‘𝐺))) ↔ ((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < (𝑑 + 1)) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞))) < (deg‘𝐺)))))
2827ralbidv 2969 . . . . . . . . 9 (𝑥 = (𝑑 + 1) → (∀𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑥) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞))) < (deg‘𝐺))) ↔ ∀𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < (𝑑 + 1)) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞))) < (deg‘𝐺)))))
2928imbi2d 329 . . . . . . . 8 (𝑥 = (𝑑 + 1) → ((𝜑 → ∀𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑥) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞))) < (deg‘𝐺)))) ↔ (𝜑 → ∀𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < (𝑑 + 1)) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞))) < (deg‘𝐺))))))
30 plydiv.pl . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
3130adantlr 747 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 0))) ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
32 plydiv.tm . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑆)
3332adantlr 747 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 0))) ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑆)
34 plydiv.rc . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑥 ≠ 0)) → (1 / 𝑥) ∈ 𝑆)
3534adantlr 747 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 0))) ∧ (𝑥𝑆𝑥 ≠ 0)) → (1 / 𝑥) ∈ 𝑆)
36 plydiv.m1 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → -1 ∈ 𝑆)
3736adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 0))) → -1 ∈ 𝑆)
38 simprl 790 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 0))) → 𝑓 ∈ (Poly‘𝑆))
395adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 0))) → 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆))
40 plydiv.z . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐺 ≠ 0𝑝)
4140adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 0))) → 𝐺 ≠ 0𝑝)
42 eqid 2610 . . . . . . . . . . 11 (𝑓𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞)) = (𝑓𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞))
43 simprr 792 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 0))) → (𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 0))
4431, 33, 35, 37, 38, 39, 41, 42, 43plydivlem3 23854 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 0))) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞))) < (deg‘𝐺)))
4544expr 641 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)) → ((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 0) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞))) < (deg‘𝐺))))
4645ralrimiva 2949 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∀𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 0) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞))) < (deg‘𝐺))))
47 eqeq1 2614 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑓 = 𝑔 → (𝑓 = 0𝑝𝑔 = 0𝑝))
48 fveq2 6103 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑓 = 𝑔 → (deg‘𝑓) = (deg‘𝑔))
4948oveq1d 6564 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑓 = 𝑔 → ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) = ((deg‘𝑔) − (deg‘𝐺)))
5049breq1d 4593 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑓 = 𝑔 → (((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑑 ↔ ((deg‘𝑔) − (deg‘𝐺)) < 𝑑))
5147, 50orbi12d 742 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑓 = 𝑔 → ((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑑) ↔ (𝑔 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑔) − (deg‘𝐺)) < 𝑑)))
52 oveq1 6556 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑓 = 𝑔 → (𝑓𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞)) = (𝑔𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞)))
5352eqeq1d 2612 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑓 = 𝑔 → ((𝑓𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞)) = 0𝑝 ↔ (𝑔𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞)) = 0𝑝))
5452fveq2d 6107 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑓 = 𝑔 → (deg‘(𝑓𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞))) = (deg‘(𝑔𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞))))
5554breq1d 4593 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑓 = 𝑔 → ((deg‘(𝑓𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞))) < (deg‘𝐺) ↔ (deg‘(𝑔𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞))) < (deg‘𝐺)))
5653, 55orbi12d 742 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑓 = 𝑔 → (((𝑓𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞))) < (deg‘𝐺)) ↔ ((𝑔𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑔𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞))) < (deg‘𝐺))))
5756rexbidv 3034 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑓 = 𝑔 → (∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞))) < (deg‘𝐺)) ↔ ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑔𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑔𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞))) < (deg‘𝐺))))
5851, 57imbi12d 333 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑓 = 𝑔 → (((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑑) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞))) < (deg‘𝐺))) ↔ ((𝑔 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑔) − (deg‘𝐺)) < 𝑑) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑔𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑔𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞))) < (deg‘𝐺)))))
5958cbvralv 3147 . . . . . . . . . . . . 13 (∀𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑑) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞))) < (deg‘𝐺))) ↔ ∀𝑔 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑔 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑔) − (deg‘𝐺)) < 𝑑) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑔𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑔𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞))) < (deg‘𝐺))))
60 simplll 794 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)) ∧ (∀𝑔 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑔 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑔) − (deg‘𝐺)) < 𝑑) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑔𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑔𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞))) < (deg‘𝐺))) ∧ (𝑓 ≠ 0𝑝 ∧ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) = 𝑑))) → 𝜑)
6160, 30sylan 487 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)) ∧ (∀𝑔 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑔 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑔) − (deg‘𝐺)) < 𝑑) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑔𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑔𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞))) < (deg‘𝐺))) ∧ (𝑓 ≠ 0𝑝 ∧ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) = 𝑑))) ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
6260, 32sylan 487 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)) ∧ (∀𝑔 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑔 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑔) − (deg‘𝐺)) < 𝑑) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑔𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑔𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞))) < (deg‘𝐺))) ∧ (𝑓 ≠ 0𝑝 ∧ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) = 𝑑))) ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑆)
6360, 34sylan 487 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)) ∧ (∀𝑔 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑔 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑔) − (deg‘𝐺)) < 𝑑) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑔𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑔𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞))) < (deg‘𝐺))) ∧ (𝑓 ≠ 0𝑝 ∧ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) = 𝑑))) ∧ (𝑥𝑆𝑥 ≠ 0)) → (1 / 𝑥) ∈ 𝑆)
6460, 36syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)) ∧ (∀𝑔 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑔 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑔) − (deg‘𝐺)) < 𝑑) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑔𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑔𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞))) < (deg‘𝐺))) ∧ (𝑓 ≠ 0𝑝 ∧ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) = 𝑑))) → -1 ∈ 𝑆)
65 simplr 788 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)) ∧ (∀𝑔 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑔 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑔) − (deg‘𝐺)) < 𝑑) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑔𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑔𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞))) < (deg‘𝐺))) ∧ (𝑓 ≠ 0𝑝 ∧ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) = 𝑑))) → 𝑓 ∈ (Poly‘𝑆))
6660, 5syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)) ∧ (∀𝑔 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑔 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑔) − (deg‘𝐺)) < 𝑑) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑔𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑔𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞))) < (deg‘𝐺))) ∧ (𝑓 ≠ 0𝑝 ∧ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) = 𝑑))) → 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆))
6760, 40syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)) ∧ (∀𝑔 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑔 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑔) − (deg‘𝐺)) < 𝑑) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑔𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑔𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞))) < (deg‘𝐺))) ∧ (𝑓 ≠ 0𝑝 ∧ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) = 𝑑))) → 𝐺 ≠ 0𝑝)
68 simpllr 795 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)) ∧ (∀𝑔 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑔 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑔) − (deg‘𝐺)) < 𝑑) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑔𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑔𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞))) < (deg‘𝐺))) ∧ (𝑓 ≠ 0𝑝 ∧ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) = 𝑑))) → 𝑑 ∈ ℕ0)
69 simprrr 801 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)) ∧ (∀𝑔 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑔 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑔) − (deg‘𝐺)) < 𝑑) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑔𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑔𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞))) < (deg‘𝐺))) ∧ (𝑓 ≠ 0𝑝 ∧ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) = 𝑑))) → ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) = 𝑑)
70 simprrl 800 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)) ∧ (∀𝑔 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑔 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑔) − (deg‘𝐺)) < 𝑑) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑔𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑔𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞))) < (deg‘𝐺))) ∧ (𝑓 ≠ 0𝑝 ∧ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) = 𝑑))) → 𝑓 ≠ 0𝑝)
71 eqid 2610 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑔𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑝)) = (𝑔𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑝))
72 oveq1 6556 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑤 = 𝑧 → (𝑤𝑑) = (𝑧𝑑))
7372oveq2d 6565 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑤 = 𝑧 → ((((coeff‘𝑓)‘(deg‘𝑓)) / ((coeff‘𝐺)‘(deg‘𝐺))) · (𝑤𝑑)) = ((((coeff‘𝑓)‘(deg‘𝑓)) / ((coeff‘𝐺)‘(deg‘𝐺))) · (𝑧𝑑)))
7473cbvmptv 4678 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑤 ∈ ℂ ↦ ((((coeff‘𝑓)‘(deg‘𝑓)) / ((coeff‘𝐺)‘(deg‘𝐺))) · (𝑤𝑑))) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ ((((coeff‘𝑓)‘(deg‘𝑓)) / ((coeff‘𝐺)‘(deg‘𝐺))) · (𝑧𝑑)))
75 simprl 790 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)) ∧ (∀𝑔 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑔 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑔) − (deg‘𝐺)) < 𝑑) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑔𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑔𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞))) < (deg‘𝐺))) ∧ (𝑓 ≠ 0𝑝 ∧ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) = 𝑑))) → ∀𝑔 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑔 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑔) − (deg‘𝐺)) < 𝑑) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑔𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑔𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞))) < (deg‘𝐺))))
76 oveq2 6557 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑞 = 𝑝 → (𝐺𝑓 · 𝑞) = (𝐺𝑓 · 𝑝))
7776oveq2d 6565 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑞 = 𝑝 → (𝑔𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞)) = (𝑔𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑝)))
7877eqeq1d 2612 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑞 = 𝑝 → ((𝑔𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞)) = 0𝑝 ↔ (𝑔𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑝)) = 0𝑝))
7977fveq2d 6107 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑞 = 𝑝 → (deg‘(𝑔𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞))) = (deg‘(𝑔𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑝))))
8079breq1d 4593 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑞 = 𝑝 → ((deg‘(𝑔𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞))) < (deg‘𝐺) ↔ (deg‘(𝑔𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑝))) < (deg‘𝐺)))
8178, 80orbi12d 742 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑞 = 𝑝 → (((𝑔𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑔𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞))) < (deg‘𝐺)) ↔ ((𝑔𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑝)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑔𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑝))) < (deg‘𝐺))))
8281cbvrexv 3148 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑔𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑔𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞))) < (deg‘𝐺)) ↔ ∃𝑝 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑔𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑝)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑔𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑝))) < (deg‘𝐺)))
8382imbi2i 325 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑔 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑔) − (deg‘𝐺)) < 𝑑) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑔𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑔𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞))) < (deg‘𝐺))) ↔ ((𝑔 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑔) − (deg‘𝐺)) < 𝑑) → ∃𝑝 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑔𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑝)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑔𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑝))) < (deg‘𝐺))))
8483ralbii 2963 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (∀𝑔 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑔 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑔) − (deg‘𝐺)) < 𝑑) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑔𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑔𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞))) < (deg‘𝐺))) ↔ ∀𝑔 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑔 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑔) − (deg‘𝐺)) < 𝑑) → ∃𝑝 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑔𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑝)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑔𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑝))) < (deg‘𝐺))))
8575, 84sylib 207 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)) ∧ (∀𝑔 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑔 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑔) − (deg‘𝐺)) < 𝑑) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑔𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑔𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞))) < (deg‘𝐺))) ∧ (𝑓 ≠ 0𝑝 ∧ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) = 𝑑))) → ∀𝑔 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑔 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑔) − (deg‘𝐺)) < 𝑑) → ∃𝑝 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑔𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑝)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑔𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑝))) < (deg‘𝐺))))
86 eqid 2610 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (coeff‘𝑓) = (coeff‘𝑓)
87 eqid 2610 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (coeff‘𝐺) = (coeff‘𝐺)
88 eqid 2610 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (deg‘𝑓) = (deg‘𝑓)
89 eqid 2610 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (deg‘𝐺) = (deg‘𝐺)
9061, 62, 63, 64, 65, 66, 67, 42, 68, 69, 70, 71, 74, 85, 86, 87, 88, 89plydivlem4 23855 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)) ∧ (∀𝑔 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑔 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑔) − (deg‘𝐺)) < 𝑑) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑔𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑔𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞))) < (deg‘𝐺))) ∧ (𝑓 ≠ 0𝑝 ∧ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) = 𝑑))) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞))) < (deg‘𝐺)))
9190exp32 629 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)) → (∀𝑔 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑔 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑔) − (deg‘𝐺)) < 𝑑) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑔𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑔𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞))) < (deg‘𝐺))) → ((𝑓 ≠ 0𝑝 ∧ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) = 𝑑) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞))) < (deg‘𝐺)))))
9291ralrimdva 2952 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑑 ∈ ℕ0) → (∀𝑔 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑔 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑔) − (deg‘𝐺)) < 𝑑) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑔𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑔𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞))) < (deg‘𝐺))) → ∀𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 ≠ 0𝑝 ∧ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) = 𝑑) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞))) < (deg‘𝐺)))))
9359, 92syl5bi 231 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑑 ∈ ℕ0) → (∀𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑑) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞))) < (deg‘𝐺))) → ∀𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 ≠ 0𝑝 ∧ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) = 𝑑) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞))) < (deg‘𝐺)))))
9493ancld 574 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑑 ∈ ℕ0) → (∀𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑑) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞))) < (deg‘𝐺))) → (∀𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑑) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞))) < (deg‘𝐺))) ∧ ∀𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 ≠ 0𝑝 ∧ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) = 𝑑) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞))) < (deg‘𝐺))))))
95 dgrcl 23793 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑓 ∈ (Poly‘𝑆) → (deg‘𝑓) ∈ ℕ0)
9695adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)) → (deg‘𝑓) ∈ ℕ0)
9796nn0zd 11356 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)) → (deg‘𝑓) ∈ ℤ)
985ad2antrr 758 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)) → 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆))
9998, 6syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)) → (deg‘𝐺) ∈ ℕ0)
10099nn0zd 11356 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)) → (deg‘𝐺) ∈ ℤ)
10197, 100zsubcld 11363 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)) → ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) ∈ ℤ)
102 nn0z 11277 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑑 ∈ ℕ0𝑑 ∈ ℤ)
103102ad2antlr 759 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)) → 𝑑 ∈ ℤ)
104 zleltp1 11305 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ) → (((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) ≤ 𝑑 ↔ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < (𝑑 + 1)))
105101, 103, 104syl2anc 691 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)) → (((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) ≤ 𝑑 ↔ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < (𝑑 + 1)))
106101zred 11358 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)) → ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) ∈ ℝ)
107 nn0re 11178 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑑 ∈ ℕ0𝑑 ∈ ℝ)
108107ad2antlr 759 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)) → 𝑑 ∈ ℝ)
109106, 108leloed 10059 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)) → (((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) ≤ 𝑑 ↔ (((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑑 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) = 𝑑)))
110105, 109bitr3d 269 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)) → (((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < (𝑑 + 1) ↔ (((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑑 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) = 𝑑)))
111110orbi2d 734 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)) → ((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < (𝑑 + 1)) ↔ (𝑓 = 0𝑝 ∨ (((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑑 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) = 𝑑))))
112 pm5.63 961 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) = 𝑑) ↔ (𝑓 = 0𝑝 ∨ (¬ 𝑓 = 0𝑝 ∧ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) = 𝑑)))
113 df-ne 2782 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑓 ≠ 0𝑝 ↔ ¬ 𝑓 = 0𝑝)
114113anbi1i 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑓 ≠ 0𝑝 ∧ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) = 𝑑) ↔ (¬ 𝑓 = 0𝑝 ∧ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) = 𝑑))
115114orbi2i 540 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑓 = 0𝑝 ∨ (𝑓 ≠ 0𝑝 ∧ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) = 𝑑)) ↔ (𝑓 = 0𝑝 ∨ (¬ 𝑓 = 0𝑝 ∧ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) = 𝑑)))
116112, 115bitr4i 266 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) = 𝑑) ↔ (𝑓 = 0𝑝 ∨ (𝑓 ≠ 0𝑝 ∧ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) = 𝑑)))
117116orbi2i 540 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑑 ∨ (𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) = 𝑑)) ↔ (((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑑 ∨ (𝑓 = 0𝑝 ∨ (𝑓 ≠ 0𝑝 ∧ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) = 𝑑))))
118 or12 544 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑓 = 0𝑝 ∨ (((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑑 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) = 𝑑)) ↔ (((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑑 ∨ (𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) = 𝑑)))
119 or12 544 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑓 = 0𝑝 ∨ (((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑑 ∨ (𝑓 ≠ 0𝑝 ∧ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) = 𝑑))) ↔ (((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑑 ∨ (𝑓 = 0𝑝 ∨ (𝑓 ≠ 0𝑝 ∧ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) = 𝑑))))
120117, 118, 1193bitr4i 291 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑓 = 0𝑝 ∨ (((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑑 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) = 𝑑)) ↔ (𝑓 = 0𝑝 ∨ (((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑑 ∨ (𝑓 ≠ 0𝑝 ∧ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) = 𝑑))))
121 orass 545 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑑) ∨ (𝑓 ≠ 0𝑝 ∧ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) = 𝑑)) ↔ (𝑓 = 0𝑝 ∨ (((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑑 ∨ (𝑓 ≠ 0𝑝 ∧ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) = 𝑑))))
122120, 121bitr4i 266 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑓 = 0𝑝 ∨ (((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑑 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) = 𝑑)) ↔ ((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑑) ∨ (𝑓 ≠ 0𝑝 ∧ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) = 𝑑)))
123111, 122syl6bb 275 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)) → ((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < (𝑑 + 1)) ↔ ((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑑) ∨ (𝑓 ≠ 0𝑝 ∧ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) = 𝑑))))
124123imbi1d 330 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)) → (((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < (𝑑 + 1)) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞))) < (deg‘𝐺))) ↔ (((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑑) ∨ (𝑓 ≠ 0𝑝 ∧ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) = 𝑑)) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞))) < (deg‘𝐺)))))
125 jaob 818 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑑) ∨ (𝑓 ≠ 0𝑝 ∧ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) = 𝑑)) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞))) < (deg‘𝐺))) ↔ (((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑑) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞))) < (deg‘𝐺))) ∧ ((𝑓 ≠ 0𝑝 ∧ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) = 𝑑) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞))) < (deg‘𝐺)))))
126124, 125syl6bb 275 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)) → (((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < (𝑑 + 1)) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞))) < (deg‘𝐺))) ↔ (((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑑) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞))) < (deg‘𝐺))) ∧ ((𝑓 ≠ 0𝑝 ∧ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) = 𝑑) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞))) < (deg‘𝐺))))))
127126ralbidva 2968 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑑 ∈ ℕ0) → (∀𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < (𝑑 + 1)) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞))) < (deg‘𝐺))) ↔ ∀𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)(((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑑) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞))) < (deg‘𝐺))) ∧ ((𝑓 ≠ 0𝑝 ∧ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) = 𝑑) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞))) < (deg‘𝐺))))))
128 r19.26 3046 . . . . . . . . . . . 12 (∀𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)(((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑑) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞))) < (deg‘𝐺))) ∧ ((𝑓 ≠ 0𝑝 ∧ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) = 𝑑) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞))) < (deg‘𝐺)))) ↔ (∀𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑑) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞))) < (deg‘𝐺))) ∧ ∀𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 ≠ 0𝑝 ∧ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) = 𝑑) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞))) < (deg‘𝐺)))))
129127, 128syl6bb 275 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑑 ∈ ℕ0) → (∀𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < (𝑑 + 1)) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞))) < (deg‘𝐺))) ↔ (∀𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑑) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞))) < (deg‘𝐺))) ∧ ∀𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 ≠ 0𝑝 ∧ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) = 𝑑) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞))) < (deg‘𝐺))))))
13094, 129sylibrd 248 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑑 ∈ ℕ0) → (∀𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑑) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞))) < (deg‘𝐺))) → ∀𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < (𝑑 + 1)) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞))) < (deg‘𝐺)))))
131130expcom 450 . . . . . . . . 9 (𝑑 ∈ ℕ0 → (𝜑 → (∀𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑑) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞))) < (deg‘𝐺))) → ∀𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < (𝑑 + 1)) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞))) < (deg‘𝐺))))))
132131a2d 29 . . . . . . . 8 (𝑑 ∈ ℕ0 → ((𝜑 → ∀𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑑) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞))) < (deg‘𝐺)))) → (𝜑 → ∀𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < (𝑑 + 1)) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞))) < (deg‘𝐺))))))
13319, 24, 29, 24, 46, 132nn0ind 11348 . . . . . . 7 (𝑑 ∈ ℕ0 → (𝜑 → ∀𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑑) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞))) < (deg‘𝐺)))))
13414, 133syl 17 . . . . . 6 (𝑑 ∈ ℕ → (𝜑 → ∀𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑑) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞))) < (deg‘𝐺)))))
135134impcom 445 . . . . 5 ((𝜑𝑑 ∈ ℕ) → ∀𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑑) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞))) < (deg‘𝐺))))
136 eqeq1 2614 . . . . . . . 8 (𝑓 = 𝐹 → (𝑓 = 0𝑝𝐹 = 0𝑝))
137 fveq2 6103 . . . . . . . . . 10 (𝑓 = 𝐹 → (deg‘𝑓) = (deg‘𝐹))
138137oveq1d 6564 . . . . . . . . 9 (𝑓 = 𝐹 → ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) = ((deg‘𝐹) − (deg‘𝐺)))
139138breq1d 4593 . . . . . . . 8 (𝑓 = 𝐹 → (((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑑 ↔ ((deg‘𝐹) − (deg‘𝐺)) < 𝑑))
140136, 139orbi12d 742 . . . . . . 7 (𝑓 = 𝐹 → ((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑑) ↔ (𝐹 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝐹) − (deg‘𝐺)) < 𝑑)))
141 oveq1 6556 . . . . . . . . . . 11 (𝑓 = 𝐹 → (𝑓𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞)) = (𝐹𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞)))
142 plydiv.r . . . . . . . . . . 11 𝑅 = (𝐹𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞))
143141, 142syl6eqr 2662 . . . . . . . . . 10 (𝑓 = 𝐹 → (𝑓𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞)) = 𝑅)
144143eqeq1d 2612 . . . . . . . . 9 (𝑓 = 𝐹 → ((𝑓𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞)) = 0𝑝𝑅 = 0𝑝))
145143fveq2d 6107 . . . . . . . . . 10 (𝑓 = 𝐹 → (deg‘(𝑓𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞))) = (deg‘𝑅))
146145breq1d 4593 . . . . . . . . 9 (𝑓 = 𝐹 → ((deg‘(𝑓𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞))) < (deg‘𝐺) ↔ (deg‘𝑅) < (deg‘𝐺)))
147144, 146orbi12d 742 . . . . . . . 8 (𝑓 = 𝐹 → (((𝑓𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞))) < (deg‘𝐺)) ↔ (𝑅 = 0𝑝 ∨ (deg‘𝑅) < (deg‘𝐺))))
148147rexbidv 3034 . . . . . . 7 (𝑓 = 𝐹 → (∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞))) < (deg‘𝐺)) ↔ ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)(𝑅 = 0𝑝 ∨ (deg‘𝑅) < (deg‘𝐺))))
149140, 148imbi12d 333 . . . . . 6 (𝑓 = 𝐹 → (((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑑) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞))) < (deg‘𝐺))) ↔ ((𝐹 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝐹) − (deg‘𝐺)) < 𝑑) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)(𝑅 = 0𝑝 ∨ (deg‘𝑅) < (deg‘𝐺)))))
150149rspcv 3278 . . . . 5 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (∀𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑑) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞))) < (deg‘𝐺))) → ((𝐹 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝐹) − (deg‘𝐺)) < 𝑑) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)(𝑅 = 0𝑝 ∨ (deg‘𝑅) < (deg‘𝐺)))))
15113, 135, 150sylc 63 . . . 4 ((𝜑𝑑 ∈ ℕ) → ((𝐹 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝐹) − (deg‘𝐺)) < 𝑑) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)(𝑅 = 0𝑝 ∨ (deg‘𝑅) < (deg‘𝐺))))
15212, 151syl5 33 . . 3 ((𝜑𝑑 ∈ ℕ) → (((deg‘𝐹) − (deg‘𝐺)) < 𝑑 → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)(𝑅 = 0𝑝 ∨ (deg‘𝑅) < (deg‘𝐺))))
153152rexlimdva 3013 . 2 (𝜑 → (∃𝑑 ∈ ℕ ((deg‘𝐹) − (deg‘𝐺)) < 𝑑 → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)(𝑅 = 0𝑝 ∨ (deg‘𝑅) < (deg‘𝐺))))
15411, 153mpd 15 1 (𝜑 → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)(𝑅 = 0𝑝 ∨ (deg‘𝑅) < (deg‘𝐺)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 195   ∨ wo 382   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  ∀wral 2896  ∃wrex 2897   class class class wbr 4583   ↦ cmpt 4643  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549   ∘𝑓 cof 6793  ℂcc 9813  ℝcr 9814  0cc0 9815  1c1 9816   + caddc 9818   · cmul 9820   < clt 9953   ≤ cle 9954   − cmin 10145  -cneg 10146   / cdiv 10563  ℕcn 10897  ℕ0cn0 11169  ℤcz 11254  ↑cexp 12722  0𝑝c0p 23242  Polycply 23744  coeffccoe 23746  degcdgr 23747 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893  ax-addf 9894 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-of 6795  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-sup 8231  df-inf 8232  df-oi 8298  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-rp 11709  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-fl 12455  df-seq 12664  df-exp 12723  df-hash 12980  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-clim 14067  df-rlim 14068  df-sum 14265  df-0p 23243  df-ply 23748  df-coe 23750  df-dgr 23751 This theorem is referenced by:  plydivalg  23858
 Copyright terms: Public domain W3C validator