Theorem zsubcld 10752

Description: Closure of subtraction of integers. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
zred.1	|- ( ph -> A e. ZZ )
zaddcld.1	|- ( ph -> B e. ZZ )

Assertion

Ref	Expression
zsubcld	|- ( ph -> ( A - B ) e. ZZ )

Proof of Theorem zsubcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zred.1	. 2 |- ( ph -> A e. ZZ )
2		zaddcld.1	. 2 |- ( ph -> B e. ZZ )
3		zsubcl 10687	. 2 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( A - B ) e. ZZ )
4	1, 2, 3	syl2anc 661	1 |- ( ph -> ( A - B ) e. ZZ )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 1756  (class class class)co 6091   - cmin 9595   ZZcz 10646

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531  ax-un 6372  ax-resscn 9339  ax-1cn 9340  ax-icn 9341  ax-addcl 9342  ax-addrcl 9343  ax-mulcl 9344  ax-mulrcl 9345  ax-mulcom 9346  ax-addass 9347  ax-mulass 9348  ax-distr 9349  ax-i2m1 9350  ax-1ne0 9351  ax-1rid 9352  ax-rnegex 9353  ax-rrecex 9354  ax-cnre 9355  ax-pre-lttri 9356  ax-pre-lttrn 9357  ax-pre-ltadd 9358  ax-pre-mulgt0 9359

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-nel 2609  df-ral 2720  df-rex 2721  df-reu 2722  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-csb 3289  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-pss 3344  df-nul 3638  df-if 3792  df-pw 3862  df-sn 3878  df-pr 3880  df-tp 3882  df-op 3884  df-uni 4092  df-iun 4173  df-br 4293  df-opab 4351  df-mpt 4352  df-tr 4386  df-eprel 4632  df-id 4636  df-po 4641  df-so 4642  df-fr 4679  df-we 4681  df-ord 4722  df-on 4723  df-lim 4724  df-suc 4725  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-res 4852  df-ima 4853  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fn 5421  df-f 5422  df-f1 5423  df-fo 5424  df-f1o 5425  df-fv 5426  df-riota 6052  df-ov 6094  df-oprab 6095  df-mpt2 6096  df-om 6477  df-recs 6832  df-rdg 6866  df-er 7101  df-en 7311  df-dom 7312  df-sdom 7313  df-pnf 9420  df-mnf 9421  df-xr 9422  df-ltxr 9423  df-le 9424  df-sub 9597  df-neg 9598  df-nn 10323  df-n0 10580  df-z 10647

This theorem is referenced by:  uzsubsubfz  11471  ubmelm1fzo  11623  elfznelfzo  11630  intfracq  11698  modsubdir  11767  zesq  11987  bcval5  12094  ccatswrd  12350  swrdccatin12lem2b  12377  cshwidxmod  12440  fzomaxdiflem  12830  iseralt  13162  fsum0diaglem  13243  mptfzshft  13245  mertenslem1  13344  eirrlem  13486  fzocongeq  13587  3dvds  13596  bitsfzolem  13630  bitsmod  13632  bitscmp  13634  bitsinv1lem  13637  sadaddlem  13662  bezoutlem3  13724  hashdvds  13850  crt  13853  eulerthlem2  13857  prmdiveq  13861  modprm0  13873  pythagtriplem4  13886  pythagtriplem6  13888  pythagtriplem7  13889  pythagtriplem11  13892  pythagtriplem13  13894  pythagtriplem15  13896  pcqcl  13923  pcaddlem  13950  pcbc  13962  gzmulcl  13999  4sqlem5  14003  4sqlem8  14006  4sqlem11  14016  4sqlem12  14017  4sqlem14  14019  4sqlem16  14021  mndodconglem  16044  sylow1lem1  16097  sylow1lem3  16099  gsummptshft  16429  znf1o  17984  zdis  20393  plydivex  21763  aaliou3lem8  21811  basellem3  22420  bcmono  22616  bcmax  22617  bposlem1  22623  lgsmod  22660  lgsdirprm  22668  lgsqrlem2  22681  lgseisenlem1  22688  lgseisenlem2  22689  lgsquadlem1  22693  2sqlem4  22706  2sqlem8  22711  pntrlog2bndlem1  22826  fzspl  26077  fzsplit3  26078  ltesubnnd  26091  archirngz  26206  ballotlemfp1  26874  ballotlemimin  26888  ballotlemic  26889  ballotlem1c  26890  ballotlemfrceq  26911  ballotlemfrcn0  26912  eluzmn  26935  signsplypnf  26951  signslema  26963  fprodshft  27487  lzenom  29108  irrapxlem3  29165  pellexlem5  29174  rmspecnonsq  29248  congtr  29308  congmul  29310  congsym  29311  congrep  29316  acongrep  29323  acongeq  29326  dvdsacongtr  29327  jm2.18  29337  jm2.23  29345  jm2.20nn  29346  jm2.25  29348  jm2.26a  29349  jm2.26lem3  29350  jm2.27a  29354  jm2.27c  29356  jm3.1lem3  29368  jm3.1  29369  expdiophlem1  29370  fmul01lt1lem2  29766  stoweidlem26  29821  wallispilem4  29863  2elfz2melfz  30202  eluzgtdifelfzo  30219  clwlkisclwwlklem2a1  30441  clwlkisclwwlklem2fv1  30444  clwlkisclwwlklem2a4  30446  clwlkisclwwlklem2a  30447  erclwwlktr0  30479  cshwlemma1  30489  extwwlkfablem2  30671  altgsumbcALT  30750