Theorem zsubcld 11047

Description: Closure of subtraction of integers. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
zred.1	|- ( ph -> A e. ZZ )
zaddcld.1	|- ( ph -> B e. ZZ )

Assertion

Ref	Expression
zsubcld	|- ( ph -> ( A - B ) e. ZZ )

Proof of Theorem zsubcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zred.1	. 2 |- ( ph -> A e. ZZ )
2		zaddcld.1	. 2 |- ( ph -> B e. ZZ )
3		zsubcl 10981	. 2 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( A - B ) e. ZZ )
4	1, 2, 3	syl2anc 666	1 |- ( ph -> ( A - B ) e. ZZ )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 1869  (class class class)co 6303   - cmin 9862   ZZcz 10939

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1666  ax-4 1679  ax-5 1749  ax-6 1795  ax-7 1840  ax-8 1871  ax-9 1873  ax-10 1888  ax-11 1893  ax-12 1906  ax-13 2054  ax-ext 2401  ax-sep 4544  ax-nul 4553  ax-pow 4600  ax-pr 4658  ax-un 6595  ax-resscn 9598  ax-1cn 9599  ax-icn 9600  ax-addcl 9601  ax-addrcl 9602  ax-mulcl 9603  ax-mulrcl 9604  ax-mulcom 9605  ax-addass 9606  ax-mulass 9607  ax-distr 9608  ax-i2m1 9609  ax-1ne0 9610  ax-1rid 9611  ax-rnegex 9612  ax-rrecex 9613  ax-cnre 9614  ax-pre-lttri 9615  ax-pre-lttrn 9616  ax-pre-ltadd 9617  ax-pre-mulgt0 9618

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 984  df-3an 985  df-tru 1441  df-ex 1661  df-nf 1665  df-sb 1788  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2409  df-cleq 2415  df-clel 2418  df-nfc 2573  df-ne 2621  df-nel 2622  df-ral 2781  df-rex 2782  df-reu 2783  df-rab 2785  df-v 3084  df-sbc 3301  df-csb 3397  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-pss 3453  df-nul 3763  df-if 3911  df-pw 3982  df-sn 3998  df-pr 4000  df-tp 4002  df-op 4004  df-uni 4218  df-iun 4299  df-br 4422  df-opab 4481  df-mpt 4482  df-tr 4517  df-eprel 4762  df-id 4766  df-po 4772  df-so 4773  df-fr 4810  df-we 4812  df-xp 4857  df-rel 4858  df-cnv 4859  df-co 4860  df-dm 4861  df-rn 4862  df-res 4863  df-ima 4864  df-pred 5397  df-ord 5443  df-on 5444  df-lim 5445  df-suc 5446  df-iota 5563  df-fun 5601  df-fn 5602  df-f 5603  df-f1 5604  df-fo 5605  df-f1o 5606  df-fv 5607  df-riota 6265  df-ov 6306  df-oprab 6307  df-mpt2 6308  df-om 6705  df-wrecs 7034  df-recs 7096  df-rdg 7134  df-er 7369  df-en 7576  df-dom 7577  df-sdom 7578  df-pnf 9679  df-mnf 9680  df-xr 9681  df-ltxr 9682  df-le 9683  df-sub 9864  df-neg 9865  df-nn 10612  df-n0 10872  df-z 10940

This theorem is referenced by:  uzsubsubfz  11823  fzm1  11876  eluzgtdifelfzo  11977  ubmelm1fzo  12008  elfznelfzo  12015  intfracq  12087  modsubdir  12159  zesq  12396  bcval5  12504  swrdfv2  12798  ccatswrd  12808  swrdccatin12lem2b  12838  cshwidxmod  12901  2cshwcshw  12920  cshwcsh2id  12923  fzomaxdiflem  13399  iseralt  13744  fsum0diaglem  13830  mptfzshft  13832  mertenslem1  13933  eirrlem  14249  fzocongeq  14352  3dvds  14362  bitsfzolem  14400  bitsfzolemOLD  14401  bitsmod  14403  bitscmp  14405  bitsinv1lem  14408  sadaddlem  14433  bezoutlem3OLD  14498  bezoutlem3  14501  hashdvds  14716  crt  14719  eulerthlem2  14723  prmdiveq  14727  modprm0  14749  pythagtriplem4  14762  pythagtriplem6  14764  pythagtriplem7  14765  pythagtriplem11  14768  pythagtriplem13  14770  pythagtriplem15  14772  pcqcl  14799  pcaddlem  14826  pcbc  14838  gzmulcl  14875  4sqlem5  14879  4sqlem8  14882  4sqlem11  14892  4sqlem12  14893  4sqlem14OLD  14895  4sqlem16OLD  14897  4sqlem14  14901  4sqlem16  14903  mndodconglem  17183  sylow1lem1  17243  sylow1lem3  17245  gsummptshft  17562  znf1o  19114  zdis  21826  plydivex  23242  aaliou3lem8  23293  basellem3  24001  bcmono  24197  bcmax  24198  bposlem1  24204  lgsmod  24241  lgsdirprm  24249  lgsqrlem2  24262  lgseisenlem1  24269  lgseisenlem2  24270  lgsquadlem1  24274  2sqlem4  24287  2sqlem8  24292  pntrlog2bndlem1  24407  clwlkisclwwlklem2a1  25499  clwlkisclwwlklem2fv1  25502  clwlkisclwwlklem2a4  25504  clwlkisclwwlklem2a  25505  extwwlkfablem2  25798  fzspl  28368  fzsplit3  28370  ltesubnnd  28386  2sqmod  28410  archirngz  28507  smatrcl  28624  ballotlemfp1  29326  ballotlemimin  29340  ballotlemic  29341  ballotlem1c  29342  ballotlemfrceq  29363  ballotlemfrcn0  29364  ballotlemiminOLD  29378  ballotlemicOLD  29379  ballotlem1cOLD  29380  ballotlemfrceqOLD  29401  ballotlemfrcn0OLD  29402  eluzmn  29425  signsplypnf  29441  signslema  29453  bcprod  30375  fwddifnp1  30931  lzenom  35537  irrapxlem3  35594  pellexlem5  35603  rmspecnonsq  35681  congtr  35741  congmul  35743  congsym  35744  congrep  35749  acongrep  35756  acongeq  35759  dvdsacongtr  35760  jm2.18  35769  jm2.23  35777  jm2.20nn  35778  jm2.25  35780  jm2.26a  35781  jm2.26lem3  35782  jm2.27a  35786  jm2.27c  35788  jm3.1lem3  35800  jm3.1  35801  expdiophlem1  35802  hashnzfzclim  36535  binomcxplemnn0  36562  oddfl  37335  fmul01lt1lem2  37489  sumnnodd  37536  dvnmul  37644  dvnprodlem1  37647  dvnprodlem2  37648  stoweidlem26  37712  wallispilem4  37756  fourierdlem26  37821  fourierdlem41  37837  fourierdlem42  37838  fourierdlem42OLD  37839  fourierdlem48  37844  fouriersw  37921  elaa2lem  37923  elaa2lemOLD  37924  etransclem3  37928  etransclem7  37932  etransclem10  37935  etransclem15  37940  etransclem20  37945  etransclem21  37946  etransclem22  37947  etransclem24  37949  etransclem25  37950  etransclem27  37952  etransclem35  37960  etransclem48OLD  37973  etransclem48  37974  2elfz2melfz  38753  altgsumbcALT  39440  digexp  39724  dignn0flhalflem1  39732