Theorem zsubcld 10970

Description: Closure of subtraction of integers. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
zred.1	|- ( ph -> A e. ZZ )
zaddcld.1	|- ( ph -> B e. ZZ )

Assertion

Ref	Expression
zsubcld	|- ( ph -> ( A - B ) e. ZZ )

Proof of Theorem zsubcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zred.1	. 2 |- ( ph -> A e. ZZ )
2		zaddcld.1	. 2 |- ( ph -> B e. ZZ )
3		zsubcl 10902	. 2 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( A - B ) e. ZZ )
4	1, 2, 3	syl2anc 659	1 |- ( ph -> ( A - B ) e. ZZ )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 1823  (class class class)co 6270   - cmin 9796   ZZcz 10860

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-iun 4317  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-om 6674  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-er 7303  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-nn 10532  df-n0 10792  df-z 10861

This theorem is referenced by:  uzsubsubfz  11710  fzm1  11762  eluzgtdifelfzo  11859  ubmelm1fzo  11889  elfznelfzo  11896  intfracq  11968  modsubdir  12037  zesq  12271  bcval5  12378  swrdfv2  12662  ccatswrd  12672  swrdccatin12lem2b  12702  cshwidxmod  12765  2cshwcshw  12784  cshwcsh2id  12787  fzomaxdiflem  13257  iseralt  13589  fsum0diaglem  13673  mptfzshft  13675  mertenslem1  13775  eirrlem  14019  fzocongeq  14124  3dvds  14134  bitsfzolem  14168  bitsmod  14170  bitscmp  14172  bitsinv1lem  14175  sadaddlem  14200  bezoutlem3  14262  hashdvds  14389  crt  14392  eulerthlem2  14396  prmdiveq  14400  modprm0  14414  pythagtriplem4  14427  pythagtriplem6  14429  pythagtriplem7  14430  pythagtriplem11  14433  pythagtriplem13  14435  pythagtriplem15  14437  pcqcl  14464  pcaddlem  14491  pcbc  14503  gzmulcl  14540  4sqlem5  14544  4sqlem8  14547  4sqlem11  14557  4sqlem12  14558  4sqlem14  14560  4sqlem16  14562  mndodconglem  16764  sylow1lem1  16817  sylow1lem3  16819  gsummptshft  17154  znf1o  18763  zdis  21487  plydivex  22859  aaliou3lem8  22907  basellem3  23554  bcmono  23750  bcmax  23751  bposlem1  23757  lgsmod  23794  lgsdirprm  23802  lgsqrlem2  23815  lgseisenlem1  23822  lgseisenlem2  23823  lgsquadlem1  23827  2sqlem4  23840  2sqlem8  23845  pntrlog2bndlem1  23960  clwlkisclwwlklem2a1  24981  clwlkisclwwlklem2fv1  24984  clwlkisclwwlklem2a4  24986  clwlkisclwwlklem2a  24987  extwwlkfablem2  25280  fzspl  27832  fzsplit3  27833  ltesubnnd  27846  2sqmod  27870  archirngz  27967  ballotlemfp1  28694  ballotlemimin  28708  ballotlemic  28709  ballotlem1c  28710  ballotlemfrceq  28731  ballotlemfrcn0  28732  eluzmn  28755  signsplypnf  28771  signslema  28783  lzenom  30942  irrapxlem3  30999  pellexlem5  31008  rmspecnonsq  31082  congtr  31142  congmul  31144  congsym  31145  congrep  31150  acongrep  31157  acongeq  31160  dvdsacongtr  31161  jm2.18  31169  jm2.23  31177  jm2.20nn  31178  jm2.25  31180  jm2.26a  31181  jm2.26lem3  31182  jm2.27a  31186  jm2.27c  31188  jm3.1lem3  31200  jm3.1  31201  expdiophlem1  31202  hashnzfzclim  31468  binomcxplemnn0  31495  oddfl  31699  fmul01lt1lem2  31818  sumnnodd  31875  dvnmul  31979  dvnprodlem1  31982  dvnprodlem2  31983  stoweidlem26  32047  wallispilem4  32089  fourierdlem26  32154  fourierdlem41  32169  fourierdlem42  32170  fourierdlem48  32176  fouriersw  32253  elaa2lem  32255  etransclem3  32259  etransclem7  32263  etransclem10  32266  etransclem15  32271  etransclem20  32276  etransclem21  32277  etransclem22  32278  etransclem24  32280  etransclem25  32281  etransclem27  32283  etransclem35  32291  etransclem48  32304  2elfz2melfz  32708  altgsumbcALT  33196  digexp  33482  dignn0flhalflem1  33490