Theorem zsubcld 10960

Description: Closure of subtraction of integers. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
zred.1	|- ( ph -> A e. ZZ )
zaddcld.1	|- ( ph -> B e. ZZ )

Assertion

Ref	Expression
zsubcld	|- ( ph -> ( A - B ) e. ZZ )

Proof of Theorem zsubcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zred.1	. 2 |- ( ph -> A e. ZZ )
2		zaddcld.1	. 2 |- ( ph -> B e. ZZ )
3		zsubcl 10894	. 2 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( A - B ) e. ZZ )
4	1, 2, 3	syl2anc 661	1 |- ( ph -> ( A - B ) e. ZZ )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 1762  (class class class)co 6275   - cmin 9794   ZZcz 10853

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-nel 2658  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-pss 3485  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-tp 4025  df-op 4027  df-uni 4239  df-iun 4320  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-tr 4534  df-eprel 4784  df-id 4788  df-po 4793  df-so 4794  df-fr 4831  df-we 4833  df-ord 4874  df-on 4875  df-lim 4876  df-suc 4877  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-riota 6236  df-ov 6278  df-oprab 6279  df-mpt2 6280  df-om 6672  df-recs 7032  df-rdg 7066  df-er 7301  df-en 7507  df-dom 7508  df-sdom 7509  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9796  df-neg 9797  df-nn 10526  df-n0 10785  df-z 10854

This theorem is referenced by:  uzsubsubfz  11696  eluzgtdifelfzo  11835  ubmelm1fzo  11865  elfznelfzo  11872  intfracq  11942  modsubdir  12011  zesq  12244  bcval5  12351  ccatswrd  12631  swrdccatin12lem2b  12661  cshwidxmod  12724  2cshwcshw  12743  cshwcsh2id  12746  fzomaxdiflem  13124  iseralt  13456  fsum0diaglem  13540  mptfzshft  13542  mertenslem1  13645  eirrlem  13787  fzocongeq  13888  3dvds  13898  bitsfzolem  13932  bitsmod  13934  bitscmp  13936  bitsinv1lem  13939  sadaddlem  13964  bezoutlem3  14026  hashdvds  14153  crt  14156  eulerthlem2  14160  prmdiveq  14164  modprm0  14178  pythagtriplem4  14191  pythagtriplem6  14193  pythagtriplem7  14194  pythagtriplem11  14197  pythagtriplem13  14199  pythagtriplem15  14201  pcqcl  14228  pcaddlem  14255  pcbc  14267  gzmulcl  14304  4sqlem5  14308  4sqlem8  14311  4sqlem11  14321  4sqlem12  14322  4sqlem14  14324  4sqlem16  14326  mndodconglem  16354  sylow1lem1  16407  sylow1lem3  16409  gsummptshft  16740  znf1o  18350  zdis  21049  plydivex  22420  aaliou3lem8  22468  basellem3  23077  bcmono  23273  bcmax  23274  bposlem1  23280  lgsmod  23317  lgsdirprm  23325  lgsqrlem2  23338  lgseisenlem1  23345  lgseisenlem2  23346  lgsquadlem1  23350  2sqlem4  23363  2sqlem8  23368  pntrlog2bndlem1  23483  clwlkisclwwlklem2a1  24441  clwlkisclwwlklem2fv1  24444  clwlkisclwwlklem2a4  24446  clwlkisclwwlklem2a  24447  extwwlkfablem2  24741  fzspl  27252  fzsplit3  27253  ltesubnnd  27266  archirngz  27381  ballotlemfp1  28056  ballotlemimin  28070  ballotlemic  28071  ballotlem1c  28072  ballotlemfrceq  28093  ballotlemfrcn0  28094  eluzmn  28117  signsplypnf  28133  signslema  28145  fprodshft  28669  lzenom  30294  irrapxlem3  30351  pellexlem5  30360  rmspecnonsq  30434  congtr  30494  congmul  30496  congsym  30497  congrep  30502  acongrep  30509  acongeq  30512  dvdsacongtr  30513  jm2.18  30523  jm2.23  30531  jm2.20nn  30532  jm2.25  30534  jm2.26a  30535  jm2.26lem3  30536  jm2.27a  30540  jm2.27c  30542  jm3.1lem3  30554  jm3.1  30555  expdiophlem1  30556  oddfl  30991  fmul01lt1lem2  31090  sumnnodd  31127  stoweidlem26  31281  wallispilem4  31323  fourierdlem26  31388  fourierdlem41  31403  fourierdlem42  31404  fourierdlem48  31410  fouriersw  31487  2elfz2melfz  31758  altgsumbcALT  31881