Theorem zsubcld 11073

Description: Closure of subtraction of integers. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
zred.1	|- ( ph -> A e. ZZ )
zaddcld.1	|- ( ph -> B e. ZZ )

Assertion

Ref	Expression
zsubcld	|- ( ph -> ( A - B ) e. ZZ )

Proof of Theorem zsubcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zred.1	. 2 |- ( ph -> A e. ZZ )
2		zaddcld.1	. 2 |- ( ph -> B e. ZZ )
3		zsubcl 11007	. 2 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( A - B ) e. ZZ )
4	1, 2, 3	syl2anc 671	1 |- ( ph -> ( A - B ) e. ZZ )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 1897  (class class class)co 6314   - cmin 9885   ZZcz 10965

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1679  ax-4 1692  ax-5 1768  ax-6 1815  ax-7 1861  ax-8 1899  ax-9 1906  ax-10 1925  ax-11 1930  ax-12 1943  ax-13 2101  ax-ext 2441  ax-sep 4538  ax-nul 4547  ax-pow 4594  ax-pr 4652  ax-un 6609  ax-resscn 9621  ax-1cn 9622  ax-icn 9623  ax-addcl 9624  ax-addrcl 9625  ax-mulcl 9626  ax-mulrcl 9627  ax-mulcom 9628  ax-addass 9629  ax-mulass 9630  ax-distr 9631  ax-i2m1 9632  ax-1ne0 9633  ax-1rid 9634  ax-rnegex 9635  ax-rrecex 9636  ax-cnre 9637  ax-pre-lttri 9638  ax-pre-lttrn 9639  ax-pre-ltadd 9640  ax-pre-mulgt0 9641

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3or 992  df-3an 993  df-tru 1457  df-ex 1674  df-nf 1678  df-sb 1808  df-eu 2313  df-mo 2314  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2591  df-ne 2634  df-nel 2635  df-ral 2753  df-rex 2754  df-reu 2755  df-rab 2757  df-v 3058  df-sbc 3279  df-csb 3375  df-dif 3418  df-un 3420  df-in 3422  df-ss 3429  df-pss 3431  df-nul 3743  df-if 3893  df-pw 3964  df-sn 3980  df-pr 3982  df-tp 3984  df-op 3986  df-uni 4212  df-iun 4293  df-br 4416  df-opab 4475  df-mpt 4476  df-tr 4511  df-eprel 4763  df-id 4767  df-po 4773  df-so 4774  df-fr 4811  df-we 4813  df-xp 4858  df-rel 4859  df-cnv 4860  df-co 4861  df-dm 4862  df-rn 4863  df-res 4864  df-ima 4865  df-pred 5398  df-ord 5444  df-on 5445  df-lim 5446  df-suc 5447  df-iota 5564  df-fun 5602  df-fn 5603  df-f 5604  df-f1 5605  df-fo 5606  df-f1o 5607  df-fv 5608  df-riota 6276  df-ov 6317  df-oprab 6318  df-mpt2 6319  df-om 6719  df-wrecs 7053  df-recs 7115  df-rdg 7153  df-er 7388  df-en 7595  df-dom 7596  df-sdom 7597  df-pnf 9702  df-mnf 9703  df-xr 9704  df-ltxr 9705  df-le 9706  df-sub 9887  df-neg 9888  df-nn 10637  df-n0 10898  df-z 10966

This theorem is referenced by:  uzsubsubfz  11849  fzm1  11902  eluzgtdifelfzo  12006  ubmelm1fzo  12037  elfznelfzo  12044  intfracq  12117  modsubdir  12189  zesq  12426  bcval5  12534  swrdfv2  12838  ccatswrd  12848  swrdccatin12lem2b  12878  cshwidxmod  12941  2cshwcshw  12960  cshwcsh2id  12963  fzomaxdiflem  13453  iseralt  13799  fsum0diaglem  13885  mptfzshft  13887  mertenslem1  13988  eirrlem  14304  fzocongeq  14407  3dvds  14417  bitsfzolem  14455  bitsfzolemOLD  14456  bitsmod  14458  bitscmp  14460  bitsinv1lem  14463  sadaddlem  14488  bezoutlem3OLD  14553  bezoutlem3  14556  hashdvds  14771  crt  14774  eulerthlem2  14778  prmdiveq  14782  modprm0  14804  pythagtriplem4  14817  pythagtriplem6  14819  pythagtriplem7  14820  pythagtriplem11  14823  pythagtriplem13  14825  pythagtriplem15  14827  pcqcl  14854  pcaddlem  14881  pcbc  14893  gzmulcl  14930  4sqlem5  14934  4sqlem8  14937  4sqlem11  14947  4sqlem12  14948  4sqlem14OLD  14950  4sqlem16OLD  14952  4sqlem14  14956  4sqlem16  14958  mndodconglem  17238  sylow1lem1  17298  sylow1lem3  17300  gsummptshft  17617  znf1o  19170  zdis  21882  plydivex  23298  aaliou3lem8  23349  basellem3  24057  bcmono  24253  bcmax  24254  bposlem1  24260  lgsmod  24297  lgsdirprm  24305  lgsqrlem2  24318  lgseisenlem1  24325  lgseisenlem2  24326  lgsquadlem1  24330  2sqlem4  24343  2sqlem8  24348  pntrlog2bndlem1  24463  clwlkisclwwlklem2a1  25555  clwlkisclwwlklem2fv1  25558  clwlkisclwwlklem2a4  25560  clwlkisclwwlklem2a  25561  extwwlkfablem2  25854  fzspl  28416  fzsplit3  28418  ltesubnnd  28433  2sqmod  28457  archirngz  28554  smatrcl  28670  ballotlemfp1  29372  ballotlemimin  29386  ballotlemic  29387  ballotlem1c  29388  ballotlemfrceq  29409  ballotlemfrcn0  29410  ballotlemiminOLD  29424  ballotlemicOLD  29425  ballotlem1cOLD  29426  ballotlemfrceqOLD  29447  ballotlemfrcn0OLD  29448  eluzmn  29471  signsplypnf  29487  signslema  29499  bcprod  30422  fwddifnp1  30980  lzenom  35656  irrapxlem3  35712  pellexlem5  35721  rmspecnonsq  35799  congtr  35859  congmul  35861  congsym  35862  congrep  35867  acongrep  35874  acongeq  35877  dvdsacongtr  35878  jm2.18  35887  jm2.23  35895  jm2.20nn  35896  jm2.25  35898  jm2.26a  35899  jm2.26lem3  35900  jm2.27a  35904  jm2.27c  35906  jm3.1lem3  35918  jm3.1  35919  expdiophlem1  35920  hashnzfzclim  36714  binomcxplemnn0  36741  oddfl  37524  fmul01lt1lem2  37700  sumnnodd  37747  dvnmul  37855  dvnprodlem1  37858  dvnprodlem2  37859  stoweidlem26  37923  wallispilem4  37967  fourierdlem26  38032  fourierdlem41  38048  fourierdlem42  38049  fourierdlem42OLD  38050  fourierdlem48  38055  fouriersw  38132  elaa2lem  38134  elaa2lemOLD  38135  etransclem3  38139  etransclem7  38143  etransclem10  38146  etransclem15  38151  etransclem20  38156  etransclem21  38157  etransclem22  38158  etransclem24  38160  etransclem25  38161  etransclem27  38163  etransclem35  38171  etransclem48OLD  38184  etransclem48  38185  2elfz2melfz  39099  altgsumbcALT  40406  digexp  40690  dignn0flhalflem1  40698