Theorem zsubcld 10980

Description: Closure of subtraction of integers. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
zred.1	|- ( ph -> A e. ZZ )
zaddcld.1	|- ( ph -> B e. ZZ )

Assertion

Ref	Expression
zsubcld	|- ( ph -> ( A - B ) e. ZZ )

Proof of Theorem zsubcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zred.1	. 2 |- ( ph -> A e. ZZ )
2		zaddcld.1	. 2 |- ( ph -> B e. ZZ )
3		zsubcl 10913	. 2 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( A - B ) e. ZZ )
4	1, 2, 3	syl2anc 661	1 |- ( ph -> ( A - B ) e. ZZ )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 1804  (class class class)co 6281   - cmin 9810   ZZcz 10871

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571  ax-pre-mulgt0 9572

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-iun 4317  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-om 6686  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-er 7313  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-sub 9812  df-neg 9813  df-nn 10544  df-n0 10803  df-z 10872

This theorem is referenced by:  uzsubsubfz  11717  eluzgtdifelfzo  11859  ubmelm1fzo  11889  elfznelfzo  11896  intfracq  11967  modsubdir  12036  zesq  12270  bcval5  12377  ccatswrd  12662  swrdccatin12lem2b  12692  cshwidxmod  12755  2cshwcshw  12774  cshwcsh2id  12777  fzomaxdiflem  13156  iseralt  13488  fsum0diaglem  13572  mptfzshft  13574  mertenslem1  13674  eirrlem  13918  fzocongeq  14021  3dvds  14031  bitsfzolem  14065  bitsmod  14067  bitscmp  14069  bitsinv1lem  14072  sadaddlem  14097  bezoutlem3  14159  hashdvds  14286  crt  14289  eulerthlem2  14293  prmdiveq  14297  modprm0  14311  pythagtriplem4  14324  pythagtriplem6  14326  pythagtriplem7  14327  pythagtriplem11  14330  pythagtriplem13  14332  pythagtriplem15  14334  pcqcl  14361  pcaddlem  14388  pcbc  14400  gzmulcl  14437  4sqlem5  14441  4sqlem8  14444  4sqlem11  14454  4sqlem12  14455  4sqlem14  14457  4sqlem16  14459  mndodconglem  16543  sylow1lem1  16596  sylow1lem3  16598  gsummptshft  16934  znf1o  18567  zdis  21298  plydivex  22669  aaliou3lem8  22717  basellem3  23332  bcmono  23528  bcmax  23529  bposlem1  23535  lgsmod  23572  lgsdirprm  23580  lgsqrlem2  23593  lgseisenlem1  23600  lgseisenlem2  23601  lgsquadlem1  23605  2sqlem4  23618  2sqlem8  23623  pntrlog2bndlem1  23738  clwlkisclwwlklem2a1  24755  clwlkisclwwlklem2fv1  24758  clwlkisclwwlklem2a4  24760  clwlkisclwwlklem2a  24761  extwwlkfablem2  25054  fzspl  27574  fzsplit3  27575  ltesubnnd  27589  2sqmod  27613  archirngz  27710  ballotlemfp1  28407  ballotlemimin  28421  ballotlemic  28422  ballotlem1c  28423  ballotlemfrceq  28444  ballotlemfrcn0  28445  eluzmn  28468  signsplypnf  28484  signslema  28496  lzenom  30678  irrapxlem3  30735  pellexlem5  30744  rmspecnonsq  30818  congtr  30878  congmul  30880  congsym  30881  congrep  30886  acongrep  30893  acongeq  30896  dvdsacongtr  30897  jm2.18  30905  jm2.23  30913  jm2.20nn  30914  jm2.25  30916  jm2.26a  30917  jm2.26lem3  30918  jm2.27a  30922  jm2.27c  30924  jm3.1lem3  30936  jm3.1  30937  expdiophlem1  30938  hashnzfzclim  31203  oddfl  31408  fmul01lt1lem2  31507  sumnnodd  31544  stoweidlem26  31697  wallispilem4  31739  fourierdlem26  31804  fourierdlem41  31819  fourierdlem42  31820  fourierdlem48  31826  fouriersw  31903  2elfz2melfz  32172  altgsumbcALT  32675