Theorem mptfzshft 14352

Description: 1-1 onto function in maps-to notation which shifts a finite set of sequential integers. Formerly part of proof for fsumshft 14354. (Contributed by AV, 24-Aug-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
mptfzshft.1	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℤ)
mptfzshft.2	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
mptfzshft.3	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)

Assertion

Ref	Expression
mptfzshft	⊢ (𝜑 → (𝑗 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)) ↦ (𝑗 − 𝐾)):((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾))–1-1-onto→(𝑀...𝑁))

Distinct variable groups:   𝑗,𝐾   𝑗,𝑀   𝑗,𝑁   𝜑,𝑗

Proof of Theorem mptfzshft

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ovex 6577	. . . 4 ⊢ (𝑗 − 𝐾) ∈ V
2		eqid 2610	. . . 4 ⊢ (𝑗 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)) ↦ (𝑗 − 𝐾)) = (𝑗 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)) ↦ (𝑗 − 𝐾))
3	1, 2	fnmpti 5935	. . 3 ⊢ (𝑗 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)) ↦ (𝑗 − 𝐾)) Fn ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾))
4	3	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑗 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)) ↦ (𝑗 − 𝐾)) Fn ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)))
5		ovex 6577	. . . 4 ⊢ (𝑘 + 𝐾) ∈ V
6		eqid 2610	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ (𝑘 + 𝐾)) = (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ (𝑘 + 𝐾))
7	5, 6	fnmpti 5935	. . 3 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ (𝑘 + 𝐾)) Fn (𝑀...𝑁)
8		simprr 792	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)) ∧ 𝑘 = (𝑗 − 𝐾))) → 𝑘 = (𝑗 − 𝐾))
9	8	oveq1d 6564	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)) ∧ 𝑘 = (𝑗 − 𝐾))) → (𝑘 + 𝐾) = ((𝑗 − 𝐾) + 𝐾))
10		elfzelz 12213	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑗 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)) → 𝑗 ∈ ℤ)
11	10	ad2antrl 760	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)) ∧ 𝑘 = (𝑗 − 𝐾))) → 𝑗 ∈ ℤ)
12		mptfzshft.1	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℤ)
13	12	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)) ∧ 𝑘 = (𝑗 − 𝐾))) → 𝐾 ∈ ℤ)
14		zcn 11259	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑗 ∈ ℤ → 𝑗 ∈ ℂ)
15		zcn 11259	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → 𝐾 ∈ ℂ)
16		npcan 10169	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑗 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℂ) → ((𝑗 − 𝐾) + 𝐾) = 𝑗)
17	14, 15, 16	syl2an 493	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((𝑗 − 𝐾) + 𝐾) = 𝑗)
18	11, 13, 17	syl2anc 691	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)) ∧ 𝑘 = (𝑗 − 𝐾))) → ((𝑗 − 𝐾) + 𝐾) = 𝑗)
19	9, 18	eqtr2d 2645	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)) ∧ 𝑘 = (𝑗 − 𝐾))) → 𝑗 = (𝑘 + 𝐾))
20		simprl 790	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)) ∧ 𝑘 = (𝑗 − 𝐾))) → 𝑗 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)))
21	19, 20	eqeltrrd 2689	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)) ∧ 𝑘 = (𝑗 − 𝐾))) → (𝑘 + 𝐾) ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)))
22		mptfzshft.2	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
23	22	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)) ∧ 𝑘 = (𝑗 − 𝐾))) → 𝑀 ∈ ℤ)
24		mptfzshft.3	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
25	24	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)) ∧ 𝑘 = (𝑗 − 𝐾))) → 𝑁 ∈ ℤ)
26	11, 13	zsubcld 11363	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)) ∧ 𝑘 = (𝑗 − 𝐾))) → (𝑗 − 𝐾) ∈ ℤ)
27	8, 26	eqeltrd 2688	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)) ∧ 𝑘 = (𝑗 − 𝐾))) → 𝑘 ∈ ℤ)
28		fzaddel 12246	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ)) → (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝑘 + 𝐾) ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾))))
29	23, 25, 27, 13, 28	syl22anc 1319	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)) ∧ 𝑘 = (𝑗 − 𝐾))) → (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝑘 + 𝐾) ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾))))
30	21, 29	mpbird 246	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)) ∧ 𝑘 = (𝑗 − 𝐾))) → 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁))
31	30, 19	jca 553	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)) ∧ 𝑘 = (𝑗 − 𝐾))) → (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑗 = (𝑘 + 𝐾)))
32		simprr 792	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑗 = (𝑘 + 𝐾))) → 𝑗 = (𝑘 + 𝐾))
33		simprl 790	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑗 = (𝑘 + 𝐾))) → 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁))
34	22	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑗 = (𝑘 + 𝐾))) → 𝑀 ∈ ℤ)
35	24	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑗 = (𝑘 + 𝐾))) → 𝑁 ∈ ℤ)
36		elfzelz 12213	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑘 ∈ ℤ)
37	36	ad2antrl 760	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑗 = (𝑘 + 𝐾))) → 𝑘 ∈ ℤ)
38	12	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑗 = (𝑘 + 𝐾))) → 𝐾 ∈ ℤ)
39	34, 35, 37, 38, 28	syl22anc 1319	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑗 = (𝑘 + 𝐾))) → (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝑘 + 𝐾) ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾))))
40	33, 39	mpbid 221	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑗 = (𝑘 + 𝐾))) → (𝑘 + 𝐾) ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)))
41	32, 40	eqeltrd 2688	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑗 = (𝑘 + 𝐾))) → 𝑗 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)))
42	32	oveq1d 6564	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑗 = (𝑘 + 𝐾))) → (𝑗 − 𝐾) = ((𝑘 + 𝐾) − 𝐾))
43		zcn 11259	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ℤ → 𝑘 ∈ ℂ)
44		pncan 10166	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℂ) → ((𝑘 + 𝐾) − 𝐾) = 𝑘)
45	43, 15, 44	syl2an 493	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((𝑘 + 𝐾) − 𝐾) = 𝑘)
46	37, 38, 45	syl2anc 691	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑗 = (𝑘 + 𝐾))) → ((𝑘 + 𝐾) − 𝐾) = 𝑘)
47	42, 46	eqtr2d 2645	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑗 = (𝑘 + 𝐾))) → 𝑘 = (𝑗 − 𝐾))
48	41, 47	jca 553	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑗 = (𝑘 + 𝐾))) → (𝑗 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)) ∧ 𝑘 = (𝑗 − 𝐾)))
49	31, 48	impbida 873	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑗 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)) ∧ 𝑘 = (𝑗 − 𝐾)) ↔ (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑗 = (𝑘 + 𝐾))))
50	49	mptcnv 5453	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ◡(𝑗 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)) ↦ (𝑗 − 𝐾)) = (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ (𝑘 + 𝐾)))
51	50	fneq1d 5895	. . 3 ⊢ (𝜑 → (◡(𝑗 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)) ↦ (𝑗 − 𝐾)) Fn (𝑀...𝑁) ↔ (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ (𝑘 + 𝐾)) Fn (𝑀...𝑁)))
52	7, 51	mpbiri 247	. 2 ⊢ (𝜑 → ◡(𝑗 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)) ↦ (𝑗 − 𝐾)) Fn (𝑀...𝑁))
53		dff1o4 6058	. 2 ⊢ ((𝑗 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)) ↦ (𝑗 − 𝐾)):((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾))–1-1-onto→(𝑀...𝑁) ↔ ((𝑗 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)) ↦ (𝑗 − 𝐾)) Fn ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)) ∧ ◡(𝑗 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)) ↦ (𝑗 − 𝐾)) Fn (𝑀...𝑁)))
54	4, 52, 53	sylanbrc 695	1 ⊢ (𝜑 → (𝑗 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)) ↦ (𝑗 − 𝐾)):((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾))–1-1-onto→(𝑀...𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ↦ cmpt 4643  ^◡ccnv 5037   Fn wfn 5799  –1-1-onto→wf1o 5803  (class class class)co 6549  ℂcc 9813   + caddc 9818   − cmin 10145  ℤcz 11254  ...cfz 12197

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198

This theorem is referenced by:  fsumshft  14354  fprodshft  14545  gsummptshft  18159