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Theorem elfznelfzo 12439
Description: A value in a finite set of sequential integers is a border value if it is not contained in the half-open integer range contained in the finite set of sequential integers. (Contributed by Alexander van der Vekens, 31-Oct-2017.)
Assertion
Ref Expression
elfznelfzo ((𝑦 ∈ (0...𝐾) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (1..^𝐾)) → (𝑦 = 0 ∨ 𝑦 = 𝐾))

Proof of Theorem elfznelfzo
StepHypRef Expression
1 elfz2nn0 12300 . . 3 (𝑦 ∈ (0...𝐾) ↔ (𝑦 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ0𝑦𝐾))
2 nn0z 11277 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℤ)
3 nn0z 11277 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℤ)
42, 3anim12i 588 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ0) → (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ))
543adant3 1074 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ0𝑦𝐾) → (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ))
6 elfzom1b 12433 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑦 ∈ (1..^𝐾) ↔ (𝑦 − 1) ∈ (0..^(𝐾 − 1))))
75, 6syl 17 . . . . 5 ((𝑦 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ0𝑦𝐾) → (𝑦 ∈ (1..^𝐾) ↔ (𝑦 − 1) ∈ (0..^(𝐾 − 1))))
87notbid 307 . . . 4 ((𝑦 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ0𝑦𝐾) → (¬ 𝑦 ∈ (1..^𝐾) ↔ ¬ (𝑦 − 1) ∈ (0..^(𝐾 − 1))))
9 elfzo0 12376 . . . . . . 7 ((𝑦 − 1) ∈ (0..^(𝐾 − 1)) ↔ ((𝑦 − 1) ∈ ℕ0 ∧ (𝐾 − 1) ∈ ℕ ∧ (𝑦 − 1) < (𝐾 − 1)))
109a1i 11 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ0𝑦𝐾) → ((𝑦 − 1) ∈ (0..^(𝐾 − 1)) ↔ ((𝑦 − 1) ∈ ℕ0 ∧ (𝐾 − 1) ∈ ℕ ∧ (𝑦 − 1) < (𝐾 − 1))))
1110notbid 307 . . . . 5 ((𝑦 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ0𝑦𝐾) → (¬ (𝑦 − 1) ∈ (0..^(𝐾 − 1)) ↔ ¬ ((𝑦 − 1) ∈ ℕ0 ∧ (𝐾 − 1) ∈ ℕ ∧ (𝑦 − 1) < (𝐾 − 1))))
12 3ianor 1048 . . . . . . 7 (¬ ((𝑦 − 1) ∈ ℕ0 ∧ (𝐾 − 1) ∈ ℕ ∧ (𝑦 − 1) < (𝐾 − 1)) ↔ (¬ (𝑦 − 1) ∈ ℕ0 ∨ ¬ (𝐾 − 1) ∈ ℕ ∨ ¬ (𝑦 − 1) < (𝐾 − 1)))
13 elnnne0 11183 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 ∈ ℕ ↔ (𝑦 ∈ ℕ0𝑦 ≠ 0))
14 df-ne 2782 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑦 ≠ 0 ↔ ¬ 𝑦 = 0)
1514anbi2i 726 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑦 ∈ ℕ0𝑦 ≠ 0) ↔ (𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 𝑦 = 0))
1613, 15bitr2i 264 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 𝑦 = 0) ↔ 𝑦 ∈ ℕ)
17 nnm1nn0 11211 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 ∈ ℕ → (𝑦 − 1) ∈ ℕ0)
1816, 17sylbi 206 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 𝑦 = 0) → (𝑦 − 1) ∈ ℕ0)
1918ex 449 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 ∈ ℕ0 → (¬ 𝑦 = 0 → (𝑦 − 1) ∈ ℕ0))
2019con1d 138 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ ℕ0 → (¬ (𝑦 − 1) ∈ ℕ0𝑦 = 0))
2120imp 444 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ¬ (𝑦 − 1) ∈ ℕ0) → 𝑦 = 0)
2221orcd 406 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ¬ (𝑦 − 1) ∈ ℕ0) → (𝑦 = 0 ∨ 𝑦 = 𝐾))
2322ex 449 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ ℕ0 → (¬ (𝑦 − 1) ∈ ℕ0 → (𝑦 = 0 ∨ 𝑦 = 𝐾)))
24233ad2ant1 1075 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ0𝑦𝐾) → (¬ (𝑦 − 1) ∈ ℕ0 → (𝑦 = 0 ∨ 𝑦 = 𝐾)))
2524com12 32 . . . . . . . 8 (¬ (𝑦 − 1) ∈ ℕ0 → ((𝑦 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ0𝑦𝐾) → (𝑦 = 0 ∨ 𝑦 = 𝐾)))
26 ioran 510 . . . . . . . . . . . 12 (¬ (𝑦 = 0 ∨ 𝑦 = 𝐾) ↔ (¬ 𝑦 = 0 ∧ ¬ 𝑦 = 𝐾))
27 nn1m1nn 10917 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑦 ∈ ℕ → (𝑦 = 1 ∨ (𝑦 − 1) ∈ ℕ))
28 df-ne 2782 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑦𝐾 ↔ ¬ 𝑦 = 𝐾)
29 nn0re 11178 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝑦 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℝ)
3029ad2antlr 759 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((𝐾 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦𝐾) → 𝑦 ∈ ℝ)
31 nn0re 11178 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (𝐾 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℝ)
3231adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) → 𝐾 ∈ ℝ)
3332adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((𝐾 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦𝐾) → 𝐾 ∈ ℝ)
34 simpr 476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((𝐾 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦𝐾) → 𝑦𝐾)
3530, 33, 34leltned 10069 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((𝐾 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦𝐾) → (𝑦 < 𝐾𝐾𝑦))
36 necom 2835 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑦𝐾𝐾𝑦)
3735, 36syl6rbbr 278 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((𝐾 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦𝐾) → (𝑦𝐾𝑦 < 𝐾))
3837adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((((𝐾 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦𝐾) ∧ 𝑦 = 1) → (𝑦𝐾𝑦 < 𝐾))
39 breq1 4586 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (𝑦 = 1 → (𝑦 < 𝐾 ↔ 1 < 𝐾))
4039biimpa 500 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((𝑦 = 1 ∧ 𝑦 < 𝐾) → 1 < 𝐾)
41 1red 9934 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) → 1 ∈ ℝ)
4241, 32, 41ltsub1d 10515 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) → (1 < 𝐾 ↔ (1 − 1) < (𝐾 − 1)))
43 1m1e0 10966 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (1 − 1) = 0
4443breq1i 4590 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((1 − 1) < (𝐾 − 1) ↔ 0 < (𝐾 − 1))
45 1zzd 11285 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 (𝐾 ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℤ)
463, 45zsubcld 11363 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 (𝐾 ∈ ℕ0 → (𝐾 − 1) ∈ ℤ)
4746adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) → (𝐾 − 1) ∈ ℤ)
4847adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (((𝐾 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) ∧ 0 < (𝐾 − 1)) → (𝐾 − 1) ∈ ℤ)
49 simpr 476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (((𝐾 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) ∧ 0 < (𝐾 − 1)) → 0 < (𝐾 − 1))
50 elnnz 11264 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ((𝐾 − 1) ∈ ℕ ↔ ((𝐾 − 1) ∈ ℤ ∧ 0 < (𝐾 − 1)))
5148, 49, 50sylanbrc 695 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (((𝐾 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) ∧ 0 < (𝐾 − 1)) → (𝐾 − 1) ∈ ℕ)
5251ex 449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) → (0 < (𝐾 − 1) → (𝐾 − 1) ∈ ℕ))
5344, 52syl5bi 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) → ((1 − 1) < (𝐾 − 1) → (𝐾 − 1) ∈ ℕ))
5442, 53sylbid 229 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) → (1 < 𝐾 → (𝐾 − 1) ∈ ℕ))
5540, 54syl5 33 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) → ((𝑦 = 1 ∧ 𝑦 < 𝐾) → (𝐾 − 1) ∈ ℕ))
5655expd 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) → (𝑦 = 1 → (𝑦 < 𝐾 → (𝐾 − 1) ∈ ℕ)))
5756adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((𝐾 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦𝐾) → (𝑦 = 1 → (𝑦 < 𝐾 → (𝐾 − 1) ∈ ℕ)))
5857imp 444 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((((𝐾 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦𝐾) ∧ 𝑦 = 1) → (𝑦 < 𝐾 → (𝐾 − 1) ∈ ℕ))
5938, 58sylbid 229 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((((𝐾 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦𝐾) ∧ 𝑦 = 1) → (𝑦𝐾 → (𝐾 − 1) ∈ ℕ))
6059exp31 628 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) → (𝑦𝐾 → (𝑦 = 1 → (𝑦𝐾 → (𝐾 − 1) ∈ ℕ))))
6160com14 94 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑦𝐾 → (𝑦𝐾 → (𝑦 = 1 → ((𝐾 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) → (𝐾 − 1) ∈ ℕ))))
6228, 61sylbir 224 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 𝑦 = 𝐾 → (𝑦𝐾 → (𝑦 = 1 → ((𝐾 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) → (𝐾 − 1) ∈ ℕ))))
6362com23 84 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 𝑦 = 𝐾 → (𝑦 = 1 → (𝑦𝐾 → ((𝐾 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) → (𝐾 − 1) ∈ ℕ))))
6463com14 94 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) → (𝑦 = 1 → (𝑦𝐾 → (¬ 𝑦 = 𝐾 → (𝐾 − 1) ∈ ℕ))))
6564ex 449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝐾 ∈ ℕ0 → (𝑦 ∈ ℕ0 → (𝑦 = 1 → (𝑦𝐾 → (¬ 𝑦 = 𝐾 → (𝐾 − 1) ∈ ℕ)))))
6665com14 94 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑦𝐾 → (𝑦 ∈ ℕ0 → (𝑦 = 1 → (𝐾 ∈ ℕ0 → (¬ 𝑦 = 𝐾 → (𝐾 − 1) ∈ ℕ)))))
6766com13 86 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑦 = 1 → (𝑦 ∈ ℕ0 → (𝑦𝐾 → (𝐾 ∈ ℕ0 → (¬ 𝑦 = 𝐾 → (𝐾 − 1) ∈ ℕ)))))
6829ad2antlr 759 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝑦 − 1) ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → 𝑦 ∈ ℝ)
6931adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝑦 − 1) ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → 𝐾 ∈ ℝ)
70 1red 9934 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝑦 − 1) ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → 1 ∈ ℝ)
7168, 69, 70lesub1d 10513 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝑦 − 1) ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝑦𝐾 ↔ (𝑦 − 1) ≤ (𝐾 − 1)))
723ad2antlr 759 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((((𝑦 − 1) ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ (𝑦 − 1) ≤ (𝐾 − 1)) → 𝐾 ∈ ℤ)
73 1zzd 11285 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((((𝑦 − 1) ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ (𝑦 − 1) ≤ (𝐾 − 1)) → 1 ∈ ℤ)
7472, 73zsubcld 11363 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((((𝑦 − 1) ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ (𝑦 − 1) ≤ (𝐾 − 1)) → (𝐾 − 1) ∈ ℤ)
75 nngt0 10926 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝑦 − 1) ∈ ℕ → 0 < (𝑦 − 1))
76 0red 9920 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝑦 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ0) → 0 ∈ ℝ)
77 peano2rem 10227 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (𝑦 ∈ ℝ → (𝑦 − 1) ∈ ℝ)
7829, 77syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (𝑦 ∈ ℕ0 → (𝑦 − 1) ∈ ℝ)
7978adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝑦 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ0) → (𝑦 − 1) ∈ ℝ)
80 peano2rem 10227 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (𝐾 ∈ ℝ → (𝐾 − 1) ∈ ℝ)
8131, 80syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (𝐾 ∈ ℕ0 → (𝐾 − 1) ∈ ℝ)
8281adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝑦 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐾 − 1) ∈ ℝ)
83 ltletr 10008 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((0 ∈ ℝ ∧ (𝑦 − 1) ∈ ℝ ∧ (𝐾 − 1) ∈ ℝ) → ((0 < (𝑦 − 1) ∧ (𝑦 − 1) ≤ (𝐾 − 1)) → 0 < (𝐾 − 1)))
8476, 79, 82, 83syl3anc 1318 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((𝑦 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ0) → ((0 < (𝑦 − 1) ∧ (𝑦 − 1) ≤ (𝐾 − 1)) → 0 < (𝐾 − 1)))
8584ex 449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝑦 ∈ ℕ0 → (𝐾 ∈ ℕ0 → ((0 < (𝑦 − 1) ∧ (𝑦 − 1) ≤ (𝐾 − 1)) → 0 < (𝐾 − 1))))
8685com13 86 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((0 < (𝑦 − 1) ∧ (𝑦 − 1) ≤ (𝐾 − 1)) → (𝐾 ∈ ℕ0 → (𝑦 ∈ ℕ0 → 0 < (𝐾 − 1))))
8786ex 449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (0 < (𝑦 − 1) → ((𝑦 − 1) ≤ (𝐾 − 1) → (𝐾 ∈ ℕ0 → (𝑦 ∈ ℕ0 → 0 < (𝐾 − 1)))))
8887com24 93 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (0 < (𝑦 − 1) → (𝑦 ∈ ℕ0 → (𝐾 ∈ ℕ0 → ((𝑦 − 1) ≤ (𝐾 − 1) → 0 < (𝐾 − 1)))))
8975, 88syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝑦 − 1) ∈ ℕ → (𝑦 ∈ ℕ0 → (𝐾 ∈ ℕ0 → ((𝑦 − 1) ≤ (𝐾 − 1) → 0 < (𝐾 − 1)))))
9089imp41 617 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((((𝑦 − 1) ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ (𝑦 − 1) ≤ (𝐾 − 1)) → 0 < (𝐾 − 1))
9174, 90, 50sylanbrc 695 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((((𝑦 − 1) ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ (𝑦 − 1) ≤ (𝐾 − 1)) → (𝐾 − 1) ∈ ℕ)
9291a1d 25 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((((𝑦 − 1) ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ (𝑦 − 1) ≤ (𝐾 − 1)) → (¬ 𝑦 = 𝐾 → (𝐾 − 1) ∈ ℕ))
9392ex 449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝑦 − 1) ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((𝑦 − 1) ≤ (𝐾 − 1) → (¬ 𝑦 = 𝐾 → (𝐾 − 1) ∈ ℕ)))
9471, 93sylbid 229 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝑦 − 1) ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝑦𝐾 → (¬ 𝑦 = 𝐾 → (𝐾 − 1) ∈ ℕ)))
9594ex 449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝑦 − 1) ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → (𝐾 ∈ ℕ0 → (𝑦𝐾 → (¬ 𝑦 = 𝐾 → (𝐾 − 1) ∈ ℕ))))
9695com23 84 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑦 − 1) ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → (𝑦𝐾 → (𝐾 ∈ ℕ0 → (¬ 𝑦 = 𝐾 → (𝐾 − 1) ∈ ℕ))))
9796ex 449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑦 − 1) ∈ ℕ → (𝑦 ∈ ℕ0 → (𝑦𝐾 → (𝐾 ∈ ℕ0 → (¬ 𝑦 = 𝐾 → (𝐾 − 1) ∈ ℕ)))))
9867, 97jaoi 393 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑦 = 1 ∨ (𝑦 − 1) ∈ ℕ) → (𝑦 ∈ ℕ0 → (𝑦𝐾 → (𝐾 ∈ ℕ0 → (¬ 𝑦 = 𝐾 → (𝐾 − 1) ∈ ℕ)))))
9927, 98syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦 ∈ ℕ → (𝑦 ∈ ℕ0 → (𝑦𝐾 → (𝐾 ∈ ℕ0 → (¬ 𝑦 = 𝐾 → (𝐾 − 1) ∈ ℕ)))))
10013, 99sylbir 224 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑦 ∈ ℕ0𝑦 ≠ 0) → (𝑦 ∈ ℕ0 → (𝑦𝐾 → (𝐾 ∈ ℕ0 → (¬ 𝑦 = 𝐾 → (𝐾 − 1) ∈ ℕ)))))
101100ex 449 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑦 ∈ ℕ0 → (𝑦 ≠ 0 → (𝑦 ∈ ℕ0 → (𝑦𝐾 → (𝐾 ∈ ℕ0 → (¬ 𝑦 = 𝐾 → (𝐾 − 1) ∈ ℕ))))))
102101pm2.43a 52 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 ∈ ℕ0 → (𝑦 ≠ 0 → (𝑦𝐾 → (𝐾 ∈ ℕ0 → (¬ 𝑦 = 𝐾 → (𝐾 − 1) ∈ ℕ)))))
103102com24 93 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 ∈ ℕ0 → (𝐾 ∈ ℕ0 → (𝑦𝐾 → (𝑦 ≠ 0 → (¬ 𝑦 = 𝐾 → (𝐾 − 1) ∈ ℕ)))))
1041033imp 1249 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑦 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ0𝑦𝐾) → (𝑦 ≠ 0 → (¬ 𝑦 = 𝐾 → (𝐾 − 1) ∈ ℕ)))
105104com3l 87 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 ≠ 0 → (¬ 𝑦 = 𝐾 → ((𝑦 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ0𝑦𝐾) → (𝐾 − 1) ∈ ℕ)))
10614, 105sylbir 224 . . . . . . . . . . . . 13 𝑦 = 0 → (¬ 𝑦 = 𝐾 → ((𝑦 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ0𝑦𝐾) → (𝐾 − 1) ∈ ℕ)))
107106imp 444 . . . . . . . . . . . 12 ((¬ 𝑦 = 0 ∧ ¬ 𝑦 = 𝐾) → ((𝑦 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ0𝑦𝐾) → (𝐾 − 1) ∈ ℕ))
10826, 107sylbi 206 . . . . . . . . . . 11 (¬ (𝑦 = 0 ∨ 𝑦 = 𝐾) → ((𝑦 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ0𝑦𝐾) → (𝐾 − 1) ∈ ℕ))
109108com12 32 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ0𝑦𝐾) → (¬ (𝑦 = 0 ∨ 𝑦 = 𝐾) → (𝐾 − 1) ∈ ℕ))
110109con1d 138 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ0𝑦𝐾) → (¬ (𝐾 − 1) ∈ ℕ → (𝑦 = 0 ∨ 𝑦 = 𝐾)))
111110com12 32 . . . . . . . 8 (¬ (𝐾 − 1) ∈ ℕ → ((𝑦 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ0𝑦𝐾) → (𝑦 = 0 ∨ 𝑦 = 𝐾)))
11229adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑦 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ0) → 𝑦 ∈ ℝ)
11331adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑦 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ0) → 𝐾 ∈ ℝ)
114 1red 9934 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑦 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ0) → 1 ∈ ℝ)
115112, 113, 1143jca 1235 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑦 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ0) → (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ))
1161153adant3 1074 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ0𝑦𝐾) → (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ))
117 ltsub1 10403 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (𝑦 < 𝐾 ↔ (𝑦 − 1) < (𝐾 − 1)))
118116, 117syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ0𝑦𝐾) → (𝑦 < 𝐾 ↔ (𝑦 − 1) < (𝐾 − 1)))
119118bicomd 212 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ0𝑦𝐾) → ((𝑦 − 1) < (𝐾 − 1) ↔ 𝑦 < 𝐾))
120119notbid 307 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ0𝑦𝐾) → (¬ (𝑦 − 1) < (𝐾 − 1) ↔ ¬ 𝑦 < 𝐾))
121 eqlelt 10004 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → (𝑦 = 𝐾 ↔ (𝑦𝐾 ∧ ¬ 𝑦 < 𝐾)))
12229, 31, 121syl2an 493 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑦 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ0) → (𝑦 = 𝐾 ↔ (𝑦𝐾 ∧ ¬ 𝑦 < 𝐾)))
123122biimpar 501 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑦 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ0) ∧ (𝑦𝐾 ∧ ¬ 𝑦 < 𝐾)) → 𝑦 = 𝐾)
124123olcd 407 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑦 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ0) ∧ (𝑦𝐾 ∧ ¬ 𝑦 < 𝐾)) → (𝑦 = 0 ∨ 𝑦 = 𝐾))
125124exp43 638 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ ℕ0 → (𝐾 ∈ ℕ0 → (𝑦𝐾 → (¬ 𝑦 < 𝐾 → (𝑦 = 0 ∨ 𝑦 = 𝐾)))))
1261253imp 1249 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ0𝑦𝐾) → (¬ 𝑦 < 𝐾 → (𝑦 = 0 ∨ 𝑦 = 𝐾)))
127120, 126sylbid 229 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ0𝑦𝐾) → (¬ (𝑦 − 1) < (𝐾 − 1) → (𝑦 = 0 ∨ 𝑦 = 𝐾)))
128127com12 32 . . . . . . . 8 (¬ (𝑦 − 1) < (𝐾 − 1) → ((𝑦 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ0𝑦𝐾) → (𝑦 = 0 ∨ 𝑦 = 𝐾)))
12925, 111, 1283jaoi 1383 . . . . . . 7 ((¬ (𝑦 − 1) ∈ ℕ0 ∨ ¬ (𝐾 − 1) ∈ ℕ ∨ ¬ (𝑦 − 1) < (𝐾 − 1)) → ((𝑦 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ0𝑦𝐾) → (𝑦 = 0 ∨ 𝑦 = 𝐾)))
13012, 129sylbi 206 . . . . . 6 (¬ ((𝑦 − 1) ∈ ℕ0 ∧ (𝐾 − 1) ∈ ℕ ∧ (𝑦 − 1) < (𝐾 − 1)) → ((𝑦 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ0𝑦𝐾) → (𝑦 = 0 ∨ 𝑦 = 𝐾)))
131130com12 32 . . . . 5 ((𝑦 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ0𝑦𝐾) → (¬ ((𝑦 − 1) ∈ ℕ0 ∧ (𝐾 − 1) ∈ ℕ ∧ (𝑦 − 1) < (𝐾 − 1)) → (𝑦 = 0 ∨ 𝑦 = 𝐾)))
13211, 131sylbid 229 . . . 4 ((𝑦 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ0𝑦𝐾) → (¬ (𝑦 − 1) ∈ (0..^(𝐾 − 1)) → (𝑦 = 0 ∨ 𝑦 = 𝐾)))
1338, 132sylbid 229 . . 3 ((𝑦 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ0𝑦𝐾) → (¬ 𝑦 ∈ (1..^𝐾) → (𝑦 = 0 ∨ 𝑦 = 𝐾)))
1341, 133sylbi 206 . 2 (𝑦 ∈ (0...𝐾) → (¬ 𝑦 ∈ (1..^𝐾) → (𝑦 = 0 ∨ 𝑦 = 𝐾)))
135134imp 444 1 ((𝑦 ∈ (0...𝐾) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (1..^𝐾)) → (𝑦 = 0 ∨ 𝑦 = 𝐾))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 195  wo 382  wa 383  w3o 1030  w3a 1031   = wceq 1475  wcel 1977  wne 2780   class class class wbr 4583  (class class class)co 6549  cr 9814  0cc0 9815  1c1 9816   < clt 9953  cle 9954  cmin 10145  cn 10897  0cn0 11169  cz 11254  ...cfz 12197  ..^cfzo 12334
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-fzo 12335
This theorem is referenced by:  elfznelfzob  12440  injresinjlem  12450
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