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Theorem elfznelfzo 11147
Description: A value in a finite set of sequential integers is a border value if it is not contained in the half-open integer range contained in the finite set of sequential integers. (Contributed by Alexander van der Vekens, 31-Oct-2017.)
Assertion
Ref Expression
elfznelfzo  |-  ( ( y  e.  ( 0 ... K )  /\  -.  y  e.  (
1..^ K ) )  ->  ( y  =  0  \/  y  =  K ) )

Proof of Theorem elfznelfzo
StepHypRef Expression
1 elfz2nn0 11038 . . 3  |-  ( y  e.  ( 0 ... K )  <->  ( y  e.  NN0  /\  K  e. 
NN0  /\  y  <_  K ) )
2 nn0z 10260 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  NN0  ->  y  e.  ZZ )
3 nn0z 10260 . . . . . . . 8  |-  ( K  e.  NN0  ->  K  e.  ZZ )
42, 3anim12i 550 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  K  e.  NN0 )  -> 
( y  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ ) )
543adant3 977 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  K  e.  NN0  /\  y  <_  K )  ->  (
y  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )
)
6 elfzom1b 11146 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( y  e.  ( 1..^ K )  <->  ( y  -  1 )  e.  ( 0..^ ( K  -  1 ) ) ) )
75, 6syl 16 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  K  e.  NN0  /\  y  <_  K )  ->  (
y  e.  ( 1..^ K )  <->  ( y  -  1 )  e.  ( 0..^ ( K  -  1 ) ) ) )
87notbid 286 . . . 4  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  K  e.  NN0  /\  y  <_  K )  ->  ( -.  y  e.  (
1..^ K )  <->  -.  (
y  -  1 )  e.  ( 0..^ ( K  -  1 ) ) ) )
9 elfzo0 11126 . . . . . . 7  |-  ( ( y  -  1 )  e.  ( 0..^ ( K  -  1 ) )  <->  ( ( y  -  1 )  e. 
NN0  /\  ( K  -  1 )  e.  NN  /\  ( y  -  1 )  < 
( K  -  1 ) ) )
109a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  K  e.  NN0  /\  y  <_  K )  ->  (
( y  -  1 )  e.  ( 0..^ ( K  -  1 ) )  <->  ( (
y  -  1 )  e.  NN0  /\  ( K  -  1 )  e.  NN  /\  (
y  -  1 )  <  ( K  - 
1 ) ) ) )
1110notbid 286 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  K  e.  NN0  /\  y  <_  K )  ->  ( -.  ( y  -  1 )  e.  ( 0..^ ( K  -  1 ) )  <->  -.  (
( y  -  1 )  e.  NN0  /\  ( K  -  1
)  e.  NN  /\  ( y  -  1 )  <  ( K  -  1 ) ) ) )
12 3ianor 951 . . . . . . 7  |-  ( -.  ( ( y  - 
1 )  e.  NN0  /\  ( K  -  1 )  e.  NN  /\  ( y  -  1 )  <  ( K  -  1 ) )  <-> 
( -.  ( y  -  1 )  e. 
NN0  \/  -.  ( K  -  1 )  e.  NN  \/  -.  ( y  -  1 )  <  ( K  -  1 ) ) )
13 elnnne0 10191 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  e.  NN  <->  ( y  e.  NN0  /\  y  =/=  0 ) )
14 df-ne 2569 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  =/=  0  <->  -.  y  =  0 )
1514anbi2i 676 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  y  =/=  0 )  <->  ( y  e.  NN0  /\  -.  y  =  0 ) )
1613, 15bitr2i 242 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  -.  y  =  0
)  <->  y  e.  NN )
17 nnm1nn0 10217 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  e.  NN  ->  (
y  -  1 )  e.  NN0 )
1816, 17sylbi 188 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  -.  y  =  0
)  ->  ( y  -  1 )  e. 
NN0 )
1918ex 424 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  NN0  ->  ( -.  y  =  0  -> 
( y  -  1 )  e.  NN0 )
)
2019con1d 118 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  NN0  ->  ( -.  ( y  -  1 )  e.  NN0  ->  y  =  0 ) )
2120imp 419 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  -.  ( y  -  1 )  e.  NN0 )  ->  y  =  0 )
2221orcd 382 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  -.  ( y  -  1 )  e.  NN0 )  ->  ( y  =  0  \/  y  =  K ) )
2322ex 424 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  NN0  ->  ( -.  ( y  -  1 )  e.  NN0  ->  ( y  =  0  \/  y  =  K ) ) )
24233ad2ant1 978 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  K  e.  NN0  /\  y  <_  K )  ->  ( -.  ( y  -  1 )  e.  NN0  ->  ( y  =  0  \/  y  =  K ) ) )
2524com12 29 . . . . . . . 8  |-  ( -.  ( y  -  1 )  e.  NN0  ->  ( ( y  e.  NN0  /\  K  e.  NN0  /\  y  <_  K )  -> 
( y  =  0  \/  y  =  K ) ) )
26 ioran 477 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -.  ( y  =  0  \/  y  =  K )  <->  ( -.  y  =  0  /\  -.  y  =  K )
)
27 nn1m1nn 9976 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( y  e.  NN  ->  (
y  =  1  \/  ( y  -  1 )  e.  NN ) )
28 df-ne 2569 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( y  =/=  K  <->  -.  y  =  K )
29 nn0re 10186 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( y  e.  NN0  ->  y  e.  RR )
3029ad2antlr 708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( ( ( K  e.  NN0  /\  y  e.  NN0 )  /\  y  <_  K )  ->  y  e.  RR )
31 nn0re 10186 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36  |-  ( K  e.  NN0  ->  K  e.  RR )
3231adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  y  e.  NN0 )  ->  K  e.  RR )
3332adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( ( ( K  e.  NN0  /\  y  e.  NN0 )  /\  y  <_  K )  ->  K  e.  RR )
34 simpr 448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( ( ( K  e.  NN0  /\  y  e.  NN0 )  /\  y  <_  K )  ->  y  <_  K
)
3530, 33, 34leltned 9180 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( ( ( K  e.  NN0  /\  y  e.  NN0 )  /\  y  <_  K )  ->  ( y  < 
K  <->  K  =/=  y
) )
36 necom 2648 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( y  =/=  K  <->  K  =/=  y )
3735, 36syl6rbbr 256 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ( ( K  e.  NN0  /\  y  e.  NN0 )  /\  y  <_  K )  ->  ( y  =/= 
K  <->  y  <  K
) )
3837adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( ( ( K  e. 
NN0  /\  y  e.  NN0 )  /\  y  <_  K )  /\  y  =  1 )  -> 
( y  =/=  K  <->  y  <  K ) )
39 breq1 4175 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36  |-  ( y  =  1  ->  (
y  <  K  <->  1  <  K ) )
4039biimpa 471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( ( y  =  1  /\  y  <  K )  ->  1  <  K
)
41 1re 9046 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38  |-  1  e.  RR
4241a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  y  e.  NN0 )  -> 
1  e.  RR )
4342, 32, 42ltsub1d 9591 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  y  e.  NN0 )  -> 
( 1  <  K  <->  ( 1  -  1 )  <  ( K  - 
1 ) ) )
44 1m1e0 10024 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38  |-  ( 1  -  1 )  =  0
4544breq1i 4179 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37  |-  ( ( 1  -  1 )  <  ( K  - 
1 )  <->  0  <  ( K  -  1 ) )
46 1z 10267 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43  |-  1  e.  ZZ
4746a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42  |-  ( K  e.  NN0  ->  1  e.  ZZ )
483, 47zsubcld 10336 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41  |-  ( K  e.  NN0  ->  ( K  -  1 )  e.  ZZ )
4948adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  y  e.  NN0 )  -> 
( K  -  1 )  e.  ZZ )
5049adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39  |-  ( ( ( K  e.  NN0  /\  y  e.  NN0 )  /\  0  <  ( K  -  1 ) )  ->  ( K  - 
1 )  e.  ZZ )
51 simpr 448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39  |-  ( ( ( K  e.  NN0  /\  y  e.  NN0 )  /\  0  <  ( K  -  1 ) )  ->  0  <  ( K  -  1 ) )
52 elnnz 10248 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39  |-  ( ( K  -  1 )  e.  NN  <->  ( ( K  -  1 )  e.  ZZ  /\  0  <  ( K  -  1 ) ) )
5350, 51, 52sylanbrc 646 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38  |-  ( ( ( K  e.  NN0  /\  y  e.  NN0 )  /\  0  <  ( K  -  1 ) )  ->  ( K  - 
1 )  e.  NN )
5453ex 424 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  y  e.  NN0 )  -> 
( 0  <  ( K  -  1 )  ->  ( K  - 
1 )  e.  NN ) )
5545, 54syl5bi 209 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  y  e.  NN0 )  -> 
( ( 1  -  1 )  <  ( K  -  1 )  ->  ( K  - 
1 )  e.  NN ) )
5643, 55sylbid 207 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  y  e.  NN0 )  -> 
( 1  <  K  ->  ( K  -  1 )  e.  NN ) )
5740, 56syl5 30 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  y  e.  NN0 )  -> 
( ( y  =  1  /\  y  < 
K )  ->  ( K  -  1 )  e.  NN ) )
5857exp3a 426 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  y  e.  NN0 )  -> 
( y  =  1  ->  ( y  < 
K  ->  ( K  -  1 )  e.  NN ) ) )
5958adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ( ( K  e.  NN0  /\  y  e.  NN0 )  /\  y  <_  K )  ->  ( y  =  1  ->  ( y  <  K  ->  ( K  -  1 )  e.  NN ) ) )
6059imp 419 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( ( ( K  e. 
NN0  /\  y  e.  NN0 )  /\  y  <_  K )  /\  y  =  1 )  -> 
( y  <  K  ->  ( K  -  1 )  e.  NN ) )
6138, 60sylbid 207 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( ( ( K  e. 
NN0  /\  y  e.  NN0 )  /\  y  <_  K )  /\  y  =  1 )  -> 
( y  =/=  K  ->  ( K  -  1 )  e.  NN ) )
6261exp31 588 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  y  e.  NN0 )  -> 
( y  <_  K  ->  ( y  =  1  ->  ( y  =/= 
K  ->  ( K  -  1 )  e.  NN ) ) ) )
6362com14 84 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( y  =/=  K  ->  (
y  <_  K  ->  ( y  =  1  -> 
( ( K  e. 
NN0  /\  y  e.  NN0 )  ->  ( K  -  1 )  e.  NN ) ) ) )
6428, 63sylbir 205 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( -.  y  =  K  -> 
( y  <_  K  ->  ( y  =  1  ->  ( ( K  e.  NN0  /\  y  e.  NN0 )  ->  ( K  -  1 )  e.  NN ) ) ) )
6564com23 74 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( -.  y  =  K  -> 
( y  =  1  ->  ( y  <_  K  ->  ( ( K  e.  NN0  /\  y  e.  NN0 )  ->  ( K  -  1 )  e.  NN ) ) ) )
6665com14 84 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  y  e.  NN0 )  -> 
( y  =  1  ->  ( y  <_  K  ->  ( -.  y  =  K  ->  ( K  -  1 )  e.  NN ) ) ) )
6766ex 424 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( K  e.  NN0  ->  ( y  e.  NN0  ->  ( y  =  1  ->  (
y  <_  K  ->  ( -.  y  =  K  ->  ( K  - 
1 )  e.  NN ) ) ) ) )
6867com14 84 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( y  <_  K  ->  (
y  e.  NN0  ->  ( y  =  1  -> 
( K  e.  NN0  ->  ( -.  y  =  K  ->  ( K  -  1 )  e.  NN ) ) ) ) )
6968com13 76 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( y  =  1  ->  (
y  e.  NN0  ->  ( y  <_  K  ->  ( K  e.  NN0  ->  ( -.  y  =  K  ->  ( K  - 
1 )  e.  NN ) ) ) ) )
7029ad2antlr 708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ( y  - 
1 )  e.  NN  /\  y  e.  NN0 )  /\  K  e.  NN0 )  ->  y  e.  RR )
7131adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ( y  - 
1 )  e.  NN  /\  y  e.  NN0 )  /\  K  e.  NN0 )  ->  K  e.  RR )
7241a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ( y  - 
1 )  e.  NN  /\  y  e.  NN0 )  /\  K  e.  NN0 )  ->  1  e.  RR )
7370, 71, 72lesub1d 9589 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( y  - 
1 )  e.  NN  /\  y  e.  NN0 )  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( y  <_  K 
<->  ( y  -  1 )  <_  ( K  -  1 ) ) )
743ad2antlr 708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( ( ( ( y  -  1 )  e.  NN  /\  y  e. 
NN0 )  /\  K  e.  NN0 )  /\  (
y  -  1 )  <_  ( K  - 
1 ) )  ->  K  e.  ZZ )
7546a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( ( ( ( y  -  1 )  e.  NN  /\  y  e. 
NN0 )  /\  K  e.  NN0 )  /\  (
y  -  1 )  <_  ( K  - 
1 ) )  -> 
1  e.  ZZ )
7674, 75zsubcld 10336 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( ( ( y  -  1 )  e.  NN  /\  y  e. 
NN0 )  /\  K  e.  NN0 )  /\  (
y  -  1 )  <_  ( K  - 
1 ) )  -> 
( K  -  1 )  e.  ZZ )
77 nngt0 9985 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( y  -  1 )  e.  NN  ->  0  <  ( y  -  1 ) )
78 0re 9047 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37  |-  0  e.  RR
7978a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  K  e.  NN0 )  -> 
0  e.  RR )
80 peano2rem 9323 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38  |-  ( y  e.  RR  ->  (
y  -  1 )  e.  RR )
8129, 80syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37  |-  ( y  e.  NN0  ->  ( y  -  1 )  e.  RR )
8281adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  K  e.  NN0 )  -> 
( y  -  1 )  e.  RR )
83 peano2rem 9323 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38  |-  ( K  e.  RR  ->  ( K  -  1 )  e.  RR )
8431, 83syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37  |-  ( K  e.  NN0  ->  ( K  -  1 )  e.  RR )
8584adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  K  e.  NN0 )  -> 
( K  -  1 )  e.  RR )
86 ltletr 9122 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  ( y  -  1 )  e.  RR  /\  ( K  -  1
)  e.  RR )  ->  ( ( 0  <  ( y  - 
1 )  /\  (
y  -  1 )  <_  ( K  - 
1 ) )  -> 
0  <  ( K  -  1 ) ) )
8779, 82, 85, 86syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  K  e.  NN0 )  -> 
( ( 0  < 
( y  -  1 )  /\  ( y  -  1 )  <_ 
( K  -  1 ) )  ->  0  <  ( K  -  1 ) ) )
8887ex 424 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( y  e.  NN0  ->  ( K  e.  NN0  ->  ( ( 0  <  ( y  -  1 )  /\  ( y  -  1 )  <_  ( K  -  1 ) )  ->  0  <  ( K  -  1 ) ) ) )
8988com13 76 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( ( 0  <  ( y  -  1 )  /\  ( y  -  1 )  <_  ( K  -  1 ) )  ->  ( K  e. 
NN0  ->  ( y  e. 
NN0  ->  0  <  ( K  -  1 ) ) ) )
9089ex 424 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( 0  <  ( y  - 
1 )  ->  (
( y  -  1 )  <_  ( K  -  1 )  -> 
( K  e.  NN0  ->  ( y  e.  NN0  ->  0  <  ( K  -  1 ) ) ) ) )
9190com24 83 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( 0  <  ( y  - 
1 )  ->  (
y  e.  NN0  ->  ( K  e.  NN0  ->  ( ( y  -  1 )  <_  ( K  -  1 )  -> 
0  <  ( K  -  1 ) ) ) ) )
9277, 91syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( y  -  1 )  e.  NN  ->  (
y  e.  NN0  ->  ( K  e.  NN0  ->  ( ( y  -  1 )  <_  ( K  -  1 )  -> 
0  <  ( K  -  1 ) ) ) ) )
9392imp41 577 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( ( ( y  -  1 )  e.  NN  /\  y  e. 
NN0 )  /\  K  e.  NN0 )  /\  (
y  -  1 )  <_  ( K  - 
1 ) )  -> 
0  <  ( K  -  1 ) )
9476, 93, 52sylanbrc 646 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( ( ( y  -  1 )  e.  NN  /\  y  e. 
NN0 )  /\  K  e.  NN0 )  /\  (
y  -  1 )  <_  ( K  - 
1 ) )  -> 
( K  -  1 )  e.  NN )
9594a1d 23 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ( ( y  -  1 )  e.  NN  /\  y  e. 
NN0 )  /\  K  e.  NN0 )  /\  (
y  -  1 )  <_  ( K  - 
1 ) )  -> 
( -.  y  =  K  ->  ( K  -  1 )  e.  NN ) )
9695ex 424 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( y  - 
1 )  e.  NN  /\  y  e.  NN0 )  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( ( y  -  1 )  <_ 
( K  -  1 )  ->  ( -.  y  =  K  ->  ( K  -  1 )  e.  NN ) ) )
9773, 96sylbid 207 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( y  - 
1 )  e.  NN  /\  y  e.  NN0 )  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( y  <_  K  ->  ( -.  y  =  K  ->  ( K  -  1 )  e.  NN ) ) )
9897ex 424 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( y  -  1 )  e.  NN  /\  y  e.  NN0 )  -> 
( K  e.  NN0  ->  ( y  <_  K  ->  ( -.  y  =  K  ->  ( K  -  1 )  e.  NN ) ) ) )
9998com23 74 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( y  -  1 )  e.  NN  /\  y  e.  NN0 )  -> 
( y  <_  K  ->  ( K  e.  NN0  ->  ( -.  y  =  K  ->  ( K  -  1 )  e.  NN ) ) ) )
10099ex 424 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( y  -  1 )  e.  NN  ->  (
y  e.  NN0  ->  ( y  <_  K  ->  ( K  e.  NN0  ->  ( -.  y  =  K  ->  ( K  - 
1 )  e.  NN ) ) ) ) )
10169, 100jaoi 369 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( y  =  1  \/  ( y  -  1 )  e.  NN )  ->  ( y  e. 
NN0  ->  ( y  <_  K  ->  ( K  e. 
NN0  ->  ( -.  y  =  K  ->  ( K  -  1 )  e.  NN ) ) ) ) )
10227, 101syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( y  e.  NN  ->  (
y  e.  NN0  ->  ( y  <_  K  ->  ( K  e.  NN0  ->  ( -.  y  =  K  ->  ( K  - 
1 )  e.  NN ) ) ) ) )
10313, 102sylbir 205 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  y  =/=  0 )  -> 
( y  e.  NN0  ->  ( y  <_  K  ->  ( K  e.  NN0  ->  ( -.  y  =  K  ->  ( K  -  1 )  e.  NN ) ) ) ) )
104103ex 424 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  e.  NN0  ->  ( y  =/=  0  ->  (
y  e.  NN0  ->  ( y  <_  K  ->  ( K  e.  NN0  ->  ( -.  y  =  K  ->  ( K  - 
1 )  e.  NN ) ) ) ) ) )
105104pm2.43a 47 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  e.  NN0  ->  ( y  =/=  0  ->  (
y  <_  K  ->  ( K  e.  NN0  ->  ( -.  y  =  K  ->  ( K  - 
1 )  e.  NN ) ) ) ) )
106105com24 83 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  e.  NN0  ->  ( K  e.  NN0  ->  ( y  <_  K  ->  (
y  =/=  0  -> 
( -.  y  =  K  ->  ( K  -  1 )  e.  NN ) ) ) ) )
1071063imp 1147 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  K  e.  NN0  /\  y  <_  K )  ->  (
y  =/=  0  -> 
( -.  y  =  K  ->  ( K  -  1 )  e.  NN ) ) )
108107com3l 77 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =/=  0  ->  ( -.  y  =  K  ->  ( ( y  e. 
NN0  /\  K  e.  NN0 
/\  y  <_  K
)  ->  ( K  -  1 )  e.  NN ) ) )
10914, 108sylbir 205 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( -.  y  =  0  -> 
( -.  y  =  K  ->  ( (
y  e.  NN0  /\  K  e.  NN0  /\  y  <_  K )  ->  ( K  -  1 )  e.  NN ) ) )
110109imp 419 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( -.  y  =  0  /\  -.  y  =  K )  ->  (
( y  e.  NN0  /\  K  e.  NN0  /\  y  <_  K )  -> 
( K  -  1 )  e.  NN ) )
11126, 110sylbi 188 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -.  ( y  =  0  \/  y  =  K )  ->  ( (
y  e.  NN0  /\  K  e.  NN0  /\  y  <_  K )  ->  ( K  -  1 )  e.  NN ) )
112111com12 29 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  K  e.  NN0  /\  y  <_  K )  ->  ( -.  ( y  =  0  \/  y  =  K )  ->  ( K  -  1 )  e.  NN ) )
113112con1d 118 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  K  e.  NN0  /\  y  <_  K )  ->  ( -.  ( K  -  1 )  e.  NN  ->  ( y  =  0  \/  y  =  K ) ) )
114113com12 29 . . . . . . . 8  |-  ( -.  ( K  -  1 )  e.  NN  ->  ( ( y  e.  NN0  /\  K  e.  NN0  /\  y  <_  K )  -> 
( y  =  0  \/  y  =  K ) ) )
11529adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  K  e.  NN0 )  -> 
y  e.  RR )
11631adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  K  e.  NN0 )  ->  K  e.  RR )
11741a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  K  e.  NN0 )  -> 
1  e.  RR )
118115, 116, 1173jca 1134 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  K  e.  NN0 )  -> 
( y  e.  RR  /\  K  e.  RR  /\  1  e.  RR )
)
1191183adant3 977 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  K  e.  NN0  /\  y  <_  K )  ->  (
y  e.  RR  /\  K  e.  RR  /\  1  e.  RR ) )
120 ltsub1 9480 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  e.  RR  /\  K  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  (
y  <  K  <->  ( y  -  1 )  < 
( K  -  1 ) ) )
121119, 120syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  K  e.  NN0  /\  y  <_  K )  ->  (
y  <  K  <->  ( y  -  1 )  < 
( K  -  1 ) ) )
122121bicomd 193 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  K  e.  NN0  /\  y  <_  K )  ->  (
( y  -  1 )  <  ( K  -  1 )  <->  y  <  K ) )
123122notbid 286 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  K  e.  NN0  /\  y  <_  K )  ->  ( -.  ( y  -  1 )  <  ( K  -  1 )  <->  -.  y  <  K ) )
124 eqlelt 9118 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( y  e.  RR  /\  K  e.  RR )  ->  ( y  =  K  <-> 
( y  <_  K  /\  -.  y  <  K
) ) )
12529, 31, 124syl2an 464 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  K  e.  NN0 )  -> 
( y  =  K  <-> 
( y  <_  K  /\  -.  y  <  K
) ) )
126125biimpar 472 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( y  e.  NN0  /\  K  e.  NN0 )  /\  ( y  <_  K  /\  -.  y  <  K
) )  ->  y  =  K )
127126olcd 383 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( y  e.  NN0  /\  K  e.  NN0 )  /\  ( y  <_  K  /\  -.  y  <  K
) )  ->  (
y  =  0  \/  y  =  K ) )
128127exp43 596 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  NN0  ->  ( K  e.  NN0  ->  ( y  <_  K  ->  ( -.  y  <  K  -> 
( y  =  0  \/  y  =  K ) ) ) ) )
1291283imp 1147 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  K  e.  NN0  /\  y  <_  K )  ->  ( -.  y  <  K  -> 
( y  =  0  \/  y  =  K ) ) )
130123, 129sylbid 207 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  K  e.  NN0  /\  y  <_  K )  ->  ( -.  ( y  -  1 )  <  ( K  -  1 )  -> 
( y  =  0  \/  y  =  K ) ) )
131130com12 29 . . . . . . . 8  |-  ( -.  ( y  -  1 )  <  ( K  -  1 )  -> 
( ( y  e. 
NN0  /\  K  e.  NN0 
/\  y  <_  K
)  ->  ( y  =  0  \/  y  =  K ) ) )
13225, 114, 1313jaoi 1247 . . . . . . 7  |-  ( ( -.  ( y  - 
1 )  e.  NN0  \/ 
-.  ( K  - 
1 )  e.  NN  \/  -.  ( y  - 
1 )  <  ( K  -  1 ) )  ->  ( (
y  e.  NN0  /\  K  e.  NN0  /\  y  <_  K )  ->  (
y  =  0  \/  y  =  K ) ) )
13312, 132sylbi 188 . . . . . 6  |-  ( -.  ( ( y  - 
1 )  e.  NN0  /\  ( K  -  1 )  e.  NN  /\  ( y  -  1 )  <  ( K  -  1 ) )  ->  ( ( y  e.  NN0  /\  K  e. 
NN0  /\  y  <_  K )  ->  ( y  =  0  \/  y  =  K ) ) )
134133com12 29 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  K  e.  NN0  /\  y  <_  K )  ->  ( -.  ( ( y  - 
1 )  e.  NN0  /\  ( K  -  1 )  e.  NN  /\  ( y  -  1 )  <  ( K  -  1 ) )  ->  ( y  =  0  \/  y  =  K ) ) )
13511, 134sylbid 207 . . . 4  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  K  e.  NN0  /\  y  <_  K )  ->  ( -.  ( y  -  1 )  e.  ( 0..^ ( K  -  1 ) )  ->  (
y  =  0  \/  y  =  K ) ) )
1368, 135sylbid 207 . . 3  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  K  e.  NN0  /\  y  <_  K )  ->  ( -.  y  e.  (
1..^ K )  -> 
( y  =  0  \/  y  =  K ) ) )
1371, 136sylbi 188 . 2  |-  ( y  e.  ( 0 ... K )  ->  ( -.  y  e.  (
1..^ K )  -> 
( y  =  0  \/  y  =  K ) ) )
138137imp 419 1  |-  ( ( y  e.  ( 0 ... K )  /\  -.  y  e.  (
1..^ K ) )  ->  ( y  =  0  \/  y  =  K ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    \/ wo 358    /\ wa 359    \/ w3o 935    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1721    =/= wne 2567   class class class wbr 4172  (class class class)co 6040   RRcr 8945   0cc0 8946   1c1 8947    < clt 9076    <_ cle 9077    - cmin 9247   NNcn 9956   NN0cn0 10177   ZZcz 10238   ...cfz 10999  ..^cfzo 11090
This theorem is referenced by:  elfznelfzob  11148  injresinjlem  11154
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-er 6864  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-nn 9957  df-n0 10178  df-z 10239  df-uz 10445  df-fz 11000  df-fzo 11091
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