Theorem elfznelfzob 12440

Description: A value in a finite set of sequential integers is a border value if and only if it is not contained in the half-open integer range contained in the finite set of sequential integers. (Contributed by Alexander van der Vekens, 17-Jan-2018.)

Assertion

Ref	Expression
elfznelfzob	⊢ (𝑦 ∈ (0...𝐾) → (¬ 𝑦 ∈ (1..^𝐾) ↔ (𝑦 = 0 ∨ 𝑦 = 𝐾)))

Proof of Theorem elfznelfzob

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfznelfzo 12439	. . 3 ⊢ ((𝑦 ∈ (0...𝐾) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (1..^𝐾)) → (𝑦 = 0 ∨ 𝑦 = 𝐾))
2	1	ex 449	. 2 ⊢ (𝑦 ∈ (0...𝐾) → (¬ 𝑦 ∈ (1..^𝐾) → (𝑦 = 0 ∨ 𝑦 = 𝐾)))
3		elfzole1 12347	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ (1..^𝐾) → 1 ≤ 𝑦)
4		elfzolt2 12348	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ (1..^𝐾) → 𝑦 < 𝐾)
5		elfzoel2 12338	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ (1..^𝐾) → 𝐾 ∈ ℤ)
6		elfzoelz 12339	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ (1..^𝐾) → 𝑦 ∈ ℤ)
7		0lt1 10429	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 < 1
8		breq1 4586	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = 0 → (𝑦 < 1 ↔ 0 < 1))
9	7, 8	mpbiri 247	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = 0 → 𝑦 < 1)
10		zre 11258	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → 𝑦 ∈ ℝ)
11	10	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑦 < 𝐾 ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → 𝑦 ∈ ℝ)
12		1red 9934	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑦 < 𝐾 ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → 1 ∈ ℝ)
13	11, 12	ltnled 10063	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑦 < 𝐾 ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (𝑦 < 1 ↔ ¬ 1 ≤ 𝑦))
14	9, 13	syl5ib 233	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑦 < 𝐾 ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (𝑦 = 0 → ¬ 1 ≤ 𝑦))
15	14	con2d 128	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑦 < 𝐾 ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (1 ≤ 𝑦 → ¬ 𝑦 = 0))
16		zre 11258	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → 𝐾 ∈ ℝ)
17		ltlen 10017	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → (𝑦 < 𝐾 ↔ (𝑦 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≠ 𝑦)))
18	10, 16, 17	syl2anr 494	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (𝑦 < 𝐾 ↔ (𝑦 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≠ 𝑦)))
19		necom 2835	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐾 ≠ 𝑦 ↔ 𝑦 ≠ 𝐾)
20		df-ne 2782	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑦 ≠ 𝐾 ↔ ¬ 𝑦 = 𝐾)
21	19, 20	sylbb 208	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐾 ≠ 𝑦 → ¬ 𝑦 = 𝐾)
22	21	adantl 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑦 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≠ 𝑦) → ¬ 𝑦 = 𝐾)
23	18, 22	syl6bi 242	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (𝑦 < 𝐾 → ¬ 𝑦 = 𝐾))
24	23	ex 449	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → (𝑦 ∈ ℤ → (𝑦 < 𝐾 → ¬ 𝑦 = 𝐾)))
25	24	com23 84	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → (𝑦 < 𝐾 → (𝑦 ∈ ℤ → ¬ 𝑦 = 𝐾)))
26	25	impcom 445	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 < 𝐾 ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑦 ∈ ℤ → ¬ 𝑦 = 𝐾))
27	26	imp 444	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑦 < 𝐾 ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → ¬ 𝑦 = 𝐾)
28	15, 27	jctird 565	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑦 < 𝐾 ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (1 ≤ 𝑦 → (¬ 𝑦 = 0 ∧ ¬ 𝑦 = 𝐾)))
29	4, 5, 6, 28	syl21anc 1317	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ (1..^𝐾) → (1 ≤ 𝑦 → (¬ 𝑦 = 0 ∧ ¬ 𝑦 = 𝐾)))
30	3, 29	mpd 15	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ (1..^𝐾) → (¬ 𝑦 = 0 ∧ ¬ 𝑦 = 𝐾))
31		ioran 510	. . . . 5 ⊢ (¬ (𝑦 = 0 ∨ 𝑦 = 𝐾) ↔ (¬ 𝑦 = 0 ∧ ¬ 𝑦 = 𝐾))
32	30, 31	sylibr 223	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ (1..^𝐾) → ¬ (𝑦 = 0 ∨ 𝑦 = 𝐾))
33	32	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑦 ∈ (0...𝐾) → (𝑦 ∈ (1..^𝐾) → ¬ (𝑦 = 0 ∨ 𝑦 = 𝐾)))
34	33	con2d 128	. 2 ⊢ (𝑦 ∈ (0...𝐾) → ((𝑦 = 0 ∨ 𝑦 = 𝐾) → ¬ 𝑦 ∈ (1..^𝐾)))
35	2, 34	impbid 201	1 ⊢ (𝑦 ∈ (0...𝐾) → (¬ 𝑦 ∈ (1..^𝐾) ↔ (𝑦 = 0 ∨ 𝑦 = 𝐾)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 195   ∨ wo 382   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780   class class class wbr 4583  (class class class)co 6549  ℝcr 9814  0cc0 9815  1c1 9816   < clt 9953   ≤ cle 9954  ℤcz 11254  ...cfz 12197  ..^cfzo 12334

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-fzo 12335

This theorem is referenced by: (None)