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Theorem elfznelfzob 11148
Description: A value in a finite set of sequential integers is a border value if and only if it is not contained in the half-open integer range contained in the finite set of sequential integerss. (Contributed by Alexander van der Vekens, 17-Jan-2018.)
Assertion
Ref Expression
elfznelfzob  |-  ( y  e.  ( 0 ... K )  ->  ( -.  y  e.  (
1..^ K )  <->  ( y  =  0  \/  y  =  K ) ) )

Proof of Theorem elfznelfzob
StepHypRef Expression
1 elfznelfzo 11147 . . 3  |-  ( ( y  e.  ( 0 ... K )  /\  -.  y  e.  (
1..^ K ) )  ->  ( y  =  0  \/  y  =  K ) )
21ex 424 . 2  |-  ( y  e.  ( 0 ... K )  ->  ( -.  y  e.  (
1..^ K )  -> 
( y  =  0  \/  y  =  K ) ) )
3 elfzole1 11102 . . . . . 6  |-  ( y  e.  ( 1..^ K )  ->  1  <_  y )
4 elfzolt2 11103 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  ( 1..^ K )  ->  y  <  K )
5 elfzoel2 11094 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  ( 1..^ K )  ->  K  e.  ZZ )
6 elfzoelz 11095 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  ( 1..^ K )  ->  y  e.  ZZ )
7 0lt1 9506 . . . . . . . . . . 11  |-  0  <  1
8 breq1 4175 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  0  ->  (
y  <  1  <->  0  <  1 ) )
97, 8mpbiri 225 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  0  ->  y  <  1 )
10 zre 10242 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  ZZ  ->  y  e.  RR )
1110adantl 453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( y  <  K  /\  K  e.  ZZ )  /\  y  e.  ZZ )  ->  y  e.  RR )
12 1re 9046 . . . . . . . . . . . 12  |-  1  e.  RR
1312a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( y  <  K  /\  K  e.  ZZ )  /\  y  e.  ZZ )  ->  1  e.  RR )
1411, 13ltnled 9176 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( y  <  K  /\  K  e.  ZZ )  /\  y  e.  ZZ )  ->  ( y  <  1  <->  -.  1  <_  y ) )
159, 14syl5ib 211 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( y  <  K  /\  K  e.  ZZ )  /\  y  e.  ZZ )  ->  ( y  =  0  ->  -.  1  <_  y ) )
1615con2d 109 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( y  <  K  /\  K  e.  ZZ )  /\  y  e.  ZZ )  ->  ( 1  <_ 
y  ->  -.  y  =  0 ) )
17 zre 10242 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( K  e.  ZZ  ->  K  e.  RR )
18 ltlen 9131 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  e.  RR  /\  K  e.  RR )  ->  ( y  <  K  <->  ( y  <_  K  /\  K  =/=  y ) ) )
1910, 17, 18syl2anr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  ->  ( y  <  K  <->  ( y  <_  K  /\  K  =/=  y ) ) )
20 necom 2648 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( K  =/=  y  <->  y  =/=  K )
21 df-ne 2569 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  =/=  K  <->  -.  y  =  K )
2221biimpi 187 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =/=  K  ->  -.  y  =  K )
2320, 22sylbi 188 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( K  =/=  y  ->  -.  y  =  K )
2423adantl 453 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  <_  K  /\  K  =/=  y )  ->  -.  y  =  K
)
2519, 24syl6bi 220 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  ->  ( y  <  K  ->  -.  y  =  K ) )
2625ex 424 . . . . . . . . . . 11  |-  ( K  e.  ZZ  ->  (
y  e.  ZZ  ->  ( y  <  K  ->  -.  y  =  K
) ) )
2726com23 74 . . . . . . . . . 10  |-  ( K  e.  ZZ  ->  (
y  <  K  ->  ( y  e.  ZZ  ->  -.  y  =  K ) ) )
2827impcom 420 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  <  K  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( y  e.  ZZ  ->  -.  y  =  K ) )
2928imp 419 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( y  <  K  /\  K  e.  ZZ )  /\  y  e.  ZZ )  ->  -.  y  =  K )
3016, 29jctird 529 . . . . . . 7  |-  ( ( ( y  <  K  /\  K  e.  ZZ )  /\  y  e.  ZZ )  ->  ( 1  <_ 
y  ->  ( -.  y  =  0  /\  -.  y  =  K
) ) )
314, 5, 6, 30syl21anc 1183 . . . . . 6  |-  ( y  e.  ( 1..^ K )  ->  ( 1  <_  y  ->  ( -.  y  =  0  /\  -.  y  =  K ) ) )
323, 31mpd 15 . . . . 5  |-  ( y  e.  ( 1..^ K )  ->  ( -.  y  =  0  /\  -.  y  =  K
) )
33 ioran 477 . . . . 5  |-  ( -.  ( y  =  0  \/  y  =  K )  <->  ( -.  y  =  0  /\  -.  y  =  K )
)
3432, 33sylibr 204 . . . 4  |-  ( y  e.  ( 1..^ K )  ->  -.  (
y  =  0  \/  y  =  K ) )
3534a1i 11 . . 3  |-  ( y  e.  ( 0 ... K )  ->  (
y  e.  ( 1..^ K )  ->  -.  ( y  =  0  \/  y  =  K ) ) )
3635con2d 109 . 2  |-  ( y  e.  ( 0 ... K )  ->  (
( y  =  0  \/  y  =  K )  ->  -.  y  e.  ( 1..^ K ) ) )
372, 36impbid 184 1  |-  ( y  e.  ( 0 ... K )  ->  ( -.  y  e.  (
1..^ K )  <->  ( y  =  0  \/  y  =  K ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    \/ wo 358    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721    =/= wne 2567   class class class wbr 4172  (class class class)co 6040   RRcr 8945   0cc0 8946   1c1 8947    < clt 9076    <_ cle 9077   ZZcz 10238   ...cfz 10999  ..^cfzo 11090
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-er 6864  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-nn 9957  df-n0 10178  df-z 10239  df-uz 10445  df-fz 11000  df-fzo 11091
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