Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pgpfi1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pgpfi1 17833
 Description: A finite group with order a power of a prime 𝑃 is a 𝑃-group. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Jan-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
pgpfi1.1 𝑋 = (Base‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
pgpfi1 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((#‘𝑋) = (𝑃𝑁) → 𝑃 pGrp 𝐺))

Proof of Theorem pgpfi1
Dummy variables 𝑛 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl2 1058 . . 3 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (#‘𝑋) = (𝑃𝑁)) → 𝑃 ∈ ℙ)
2 simpl1 1057 . . 3 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (#‘𝑋) = (𝑃𝑁)) → 𝐺 ∈ Grp)
3 simpll3 1095 . . . . . 6 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (#‘𝑋) = (𝑃𝑁)) ∧ 𝑥𝑋) → 𝑁 ∈ ℕ0)
42adantr 480 . . . . . . . 8 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (#‘𝑋) = (𝑃𝑁)) ∧ 𝑥𝑋) → 𝐺 ∈ Grp)
5 simplr 788 . . . . . . . . . 10 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (#‘𝑋) = (𝑃𝑁)) ∧ 𝑥𝑋) → (#‘𝑋) = (𝑃𝑁))
61adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (#‘𝑋) = (𝑃𝑁)) ∧ 𝑥𝑋) → 𝑃 ∈ ℙ)
7 prmnn 15226 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
86, 7syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (#‘𝑋) = (𝑃𝑁)) ∧ 𝑥𝑋) → 𝑃 ∈ ℕ)
98, 3nnexpcld 12892 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (#‘𝑋) = (𝑃𝑁)) ∧ 𝑥𝑋) → (𝑃𝑁) ∈ ℕ)
109nnnn0d 11228 . . . . . . . . . 10 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (#‘𝑋) = (𝑃𝑁)) ∧ 𝑥𝑋) → (𝑃𝑁) ∈ ℕ0)
115, 10eqeltrd 2688 . . . . . . . . 9 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (#‘𝑋) = (𝑃𝑁)) ∧ 𝑥𝑋) → (#‘𝑋) ∈ ℕ0)
12 pgpfi1.1 . . . . . . . . . . 11 𝑋 = (Base‘𝐺)
13 fvex 6113 . . . . . . . . . . 11 (Base‘𝐺) ∈ V
1412, 13eqeltri 2684 . . . . . . . . . 10 𝑋 ∈ V
15 hashclb 13011 . . . . . . . . . 10 (𝑋 ∈ V → (𝑋 ∈ Fin ↔ (#‘𝑋) ∈ ℕ0))
1614, 15ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (𝑋 ∈ Fin ↔ (#‘𝑋) ∈ ℕ0)
1711, 16sylibr 223 . . . . . . . 8 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (#‘𝑋) = (𝑃𝑁)) ∧ 𝑥𝑋) → 𝑋 ∈ Fin)
18 simpr 476 . . . . . . . 8 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (#‘𝑋) = (𝑃𝑁)) ∧ 𝑥𝑋) → 𝑥𝑋)
19 eqid 2610 . . . . . . . . 9 (od‘𝐺) = (od‘𝐺)
2012, 19oddvds2 17806 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑥𝑋) → ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ (#‘𝑋))
214, 17, 18, 20syl3anc 1318 . . . . . . 7 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (#‘𝑋) = (𝑃𝑁)) ∧ 𝑥𝑋) → ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ (#‘𝑋))
2221, 5breqtrd 4609 . . . . . 6 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (#‘𝑋) = (𝑃𝑁)) ∧ 𝑥𝑋) → ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ (𝑃𝑁))
23 oveq2 6557 . . . . . . . 8 (𝑛 = 𝑁 → (𝑃𝑛) = (𝑃𝑁))
2423breq2d 4595 . . . . . . 7 (𝑛 = 𝑁 → (((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ (𝑃𝑛) ↔ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ (𝑃𝑁)))
2524rspcev 3282 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ (𝑃𝑁)) → ∃𝑛 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ (𝑃𝑛))
263, 22, 25syl2anc 691 . . . . 5 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (#‘𝑋) = (𝑃𝑁)) ∧ 𝑥𝑋) → ∃𝑛 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ (𝑃𝑛))
2712, 19odcl2 17805 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑥𝑋) → ((od‘𝐺)‘𝑥) ∈ ℕ)
284, 17, 18, 27syl3anc 1318 . . . . . 6 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (#‘𝑋) = (𝑃𝑁)) ∧ 𝑥𝑋) → ((od‘𝐺)‘𝑥) ∈ ℕ)
29 pcprmpw2 15424 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∈ ℕ) → (∃𝑛 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ (𝑃𝑛) ↔ ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃↑(𝑃 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑥)))))
30 pcprmpw 15425 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∈ ℕ) → (∃𝑛 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃𝑛) ↔ ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃↑(𝑃 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑥)))))
3129, 30bitr4d 270 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∈ ℕ) → (∃𝑛 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ (𝑃𝑛) ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃𝑛)))
326, 28, 31syl2anc 691 . . . . 5 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (#‘𝑋) = (𝑃𝑁)) ∧ 𝑥𝑋) → (∃𝑛 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ (𝑃𝑛) ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃𝑛)))
3326, 32mpbid 221 . . . 4 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (#‘𝑋) = (𝑃𝑁)) ∧ 𝑥𝑋) → ∃𝑛 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃𝑛))
3433ralrimiva 2949 . . 3 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (#‘𝑋) = (𝑃𝑁)) → ∀𝑥𝑋𝑛 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃𝑛))
3512, 19ispgp 17830 . . 3 (𝑃 pGrp 𝐺 ↔ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐺 ∈ Grp ∧ ∀𝑥𝑋𝑛 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃𝑛)))
361, 2, 34, 35syl3anbrc 1239 . 2 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (#‘𝑋) = (𝑃𝑁)) → 𝑃 pGrp 𝐺)
3736ex 449 1 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((#‘𝑋) = (𝑃𝑁) → 𝑃 pGrp 𝐺))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ∀wral 2896  ∃wrex 2897  Vcvv 3173   class class class wbr 4583  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  Fincfn 7841  ℕcn 10897  ℕ0cn0 11169  ↑cexp 12722  #chash 12979   ∥ cdvds 14821  ℙcprime 15223   pCnt cpc 15379  Basecbs 15695  Grpcgrp 17245  odcod 17767   pGrp cpgp 17769 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-disj 4554  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-omul 7452  df-er 7629  df-ec 7631  df-qs 7635  df-map 7746  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-sup 8231  df-inf 8232  df-oi 8298  df-card 8648  df-acn 8651  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-q 11665  df-rp 11709  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-fl 12455  df-mod 12531  df-seq 12664  df-exp 12723  df-hash 12980  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-clim 14067  df-sum 14265  df-dvds 14822  df-gcd 15055  df-prm 15224  df-pc 15380  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-0g 15925  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-grp 17248  df-minusg 17249  df-sbg 17250  df-mulg 17364  df-subg 17414  df-eqg 17416  df-od 17771  df-pgp 17773 This theorem is referenced by:  pgp0  17834  pgpfi  17843
 Copyright terms: Public domain W3C validator