Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pcid Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pcid 15415
 Description: The prime count of a prime power. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
pcid ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝑃 pCnt (𝑃𝐴)) = 𝐴)

Proof of Theorem pcid
StepHypRef Expression
1 elznn0nn 11268 . 2 (𝐴 ∈ ℤ ↔ (𝐴 ∈ ℕ0 ∨ (𝐴 ∈ ℝ ∧ -𝐴 ∈ ℕ)))
2 pcidlem 15414 . . 3 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → (𝑃 pCnt (𝑃𝐴)) = 𝐴)
3 prmnn 15226 . . . . . . . 8 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
43adantr 480 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ -𝐴 ∈ ℕ)) → 𝑃 ∈ ℕ)
54nncnd 10913 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ -𝐴 ∈ ℕ)) → 𝑃 ∈ ℂ)
6 simprl 790 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ -𝐴 ∈ ℕ)) → 𝐴 ∈ ℝ)
76recnd 9947 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ -𝐴 ∈ ℕ)) → 𝐴 ∈ ℂ)
8 nnnn0 11176 . . . . . . 7 (-𝐴 ∈ ℕ → -𝐴 ∈ ℕ0)
98ad2antll 761 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ -𝐴 ∈ ℕ)) → -𝐴 ∈ ℕ0)
10 expneg2 12731 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ -𝐴 ∈ ℕ0) → (𝑃𝐴) = (1 / (𝑃↑-𝐴)))
115, 7, 9, 10syl3anc 1318 . . . . 5 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ -𝐴 ∈ ℕ)) → (𝑃𝐴) = (1 / (𝑃↑-𝐴)))
1211oveq2d 6565 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ -𝐴 ∈ ℕ)) → (𝑃 pCnt (𝑃𝐴)) = (𝑃 pCnt (1 / (𝑃↑-𝐴))))
13 simpl 472 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ -𝐴 ∈ ℕ)) → 𝑃 ∈ ℙ)
14 1zzd 11285 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ -𝐴 ∈ ℕ)) → 1 ∈ ℤ)
15 ax-1ne0 9884 . . . . . . 7 1 ≠ 0
1615a1i 11 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ -𝐴 ∈ ℕ)) → 1 ≠ 0)
174, 9nnexpcld 12892 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ -𝐴 ∈ ℕ)) → (𝑃↑-𝐴) ∈ ℕ)
18 pcdiv 15395 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (1 ∈ ℤ ∧ 1 ≠ 0) ∧ (𝑃↑-𝐴) ∈ ℕ) → (𝑃 pCnt (1 / (𝑃↑-𝐴))) = ((𝑃 pCnt 1) − (𝑃 pCnt (𝑃↑-𝐴))))
1913, 14, 16, 17, 18syl121anc 1323 . . . . 5 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ -𝐴 ∈ ℕ)) → (𝑃 pCnt (1 / (𝑃↑-𝐴))) = ((𝑃 pCnt 1) − (𝑃 pCnt (𝑃↑-𝐴))))
20 pc1 15398 . . . . . . . 8 (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 pCnt 1) = 0)
2120adantr 480 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ -𝐴 ∈ ℕ)) → (𝑃 pCnt 1) = 0)
22 pcidlem 15414 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ -𝐴 ∈ ℕ0) → (𝑃 pCnt (𝑃↑-𝐴)) = -𝐴)
239, 22syldan 486 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ -𝐴 ∈ ℕ)) → (𝑃 pCnt (𝑃↑-𝐴)) = -𝐴)
2421, 23oveq12d 6567 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ -𝐴 ∈ ℕ)) → ((𝑃 pCnt 1) − (𝑃 pCnt (𝑃↑-𝐴))) = (0 − -𝐴))
25 df-neg 10148 . . . . . . 7 --𝐴 = (0 − -𝐴)
267negnegd 10262 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ -𝐴 ∈ ℕ)) → --𝐴 = 𝐴)
2725, 26syl5eqr 2658 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ -𝐴 ∈ ℕ)) → (0 − -𝐴) = 𝐴)
2824, 27eqtrd 2644 . . . . 5 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ -𝐴 ∈ ℕ)) → ((𝑃 pCnt 1) − (𝑃 pCnt (𝑃↑-𝐴))) = 𝐴)
2919, 28eqtrd 2644 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ -𝐴 ∈ ℕ)) → (𝑃 pCnt (1 / (𝑃↑-𝐴))) = 𝐴)
3012, 29eqtrd 2644 . . 3 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ -𝐴 ∈ ℕ)) → (𝑃 pCnt (𝑃𝐴)) = 𝐴)
312, 30jaodan 822 . 2 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℕ0 ∨ (𝐴 ∈ ℝ ∧ -𝐴 ∈ ℕ))) → (𝑃 pCnt (𝑃𝐴)) = 𝐴)
321, 31sylan2b 491 1 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝑃 pCnt (𝑃𝐴)) = 𝐴)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∨ wo 382   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  (class class class)co 6549  ℂcc 9813  ℝcr 9814  0cc0 9815  1c1 9816   − cmin 10145  -cneg 10146   / cdiv 10563  ℕcn 10897  ℕ0cn0 11169  ℤcz 11254  ↑cexp 12722  ℙcprime 15223   pCnt cpc 15379 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-sup 8231  df-inf 8232  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-q 11665  df-rp 11709  df-fl 12455  df-mod 12531  df-seq 12664  df-exp 12723  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-dvds 14822  df-gcd 15055  df-prm 15224  df-pc 15380 This theorem is referenced by:  pcprmpw2  15424  pcaddlem  15430  expnprm  15444  sylow1lem1  17836  pgpfi  17843  ablfaclem3  18309  isppw2  24641  dvdsppwf1o  24712  lgsval2lem  24832  dchrisum0flblem1  24997  ostth3  25127
 Copyright terms: Public domain W3C validator