Theorem nnexpcld 12021

Description: Closure of exponentiation of nonnegative integers. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
nnexpcld.1	|- ( ph -> A e. NN )
nnexpcld.2	|- ( ph -> N e. NN0 )

Assertion

Ref	Expression
nnexpcld	|- ( ph -> ( A ^ N ) e. NN )

Proof of Theorem nnexpcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnexpcld.1	. 2 |- ( ph -> A e. NN )
2		nnexpcld.2	. 2 |- ( ph -> N e. NN0 )
3		nnexpcl 11870	. 2 |- ( ( A e. NN /\ N e. NN0 ) -> ( A ^ N ) e. NN )
4	1, 2, 3	syl2anc 661	1 |- ( ph -> ( A ^ N ) e. NN )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 1756  (class class class)co 6086   NNcn 10314   NN0cn0 10571   ^cexp 11857

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367  ax-cnex 9330  ax-resscn 9331  ax-1cn 9332  ax-icn 9333  ax-addcl 9334  ax-addrcl 9335  ax-mulcl 9336  ax-mulrcl 9337  ax-mulcom 9338  ax-addass 9339  ax-mulass 9340  ax-distr 9341  ax-i2m1 9342  ax-1ne0 9343  ax-1rid 9344  ax-rnegex 9345  ax-rrecex 9346  ax-cnre 9347  ax-pre-lttri 9348  ax-pre-lttrn 9349  ax-pre-ltadd 9350  ax-pre-mulgt0 9351

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2715  df-rex 2716  df-reu 2717  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-pss 3339  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-tp 3877  df-op 3879  df-uni 4087  df-iun 4168  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-tr 4381  df-eprel 4627  df-id 4631  df-po 4636  df-so 4637  df-fr 4674  df-we 4676  df-ord 4717  df-on 4718  df-lim 4719  df-suc 4720  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-riota 6047  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-om 6472  df-2nd 6573  df-recs 6824  df-rdg 6858  df-er 7093  df-en 7303  df-dom 7304  df-sdom 7305  df-pnf 9412  df-mnf 9413  df-xr 9414  df-ltxr 9415  df-le 9416  df-sub 9589  df-neg 9590  df-nn 10315  df-n0 10572  df-z 10639  df-uz 10854  df-seq 11799  df-exp 11858

This theorem is referenced by:  bitsp1  13619  bitsfzolem  13622  bitsfzo  13623  bitsmod  13624  bitsfi  13625  bitscmp  13626  bitsinv1lem  13629  bitsinv1  13630  2ebits  13635  bitsinvp1  13637  sadcaddlem  13645  sadadd3  13649  sadaddlem  13654  sadasslem  13658  bitsres  13661  bitsuz  13662  bitsshft  13663  smumullem  13680  smumul  13681  rplpwr  13732  rppwr  13733  pclem  13897  pcprendvds2  13900  pcpre1  13901  pcpremul  13902  pcdvdsb  13927  pcidlem  13930  pcid  13931  pcdvdstr  13934  pcgcd1  13935  pcprmpw2  13940  pcaddlem  13942  pcadd  13943  pcfaclem  13952  pcfac  13953  pcbc  13954  prmpwdvds  13957  pockthlem  13958  2expltfac  14111  pgpfi1  16085  sylow1lem1  16088  sylow1lem3  16090  sylow1lem4  16091  sylow1lem5  16092  pgpfi  16095  gexexlem  16325  ablfac1lem  16557  ablfac1b  16559  ablfac1eu  16562  aalioulem2  21774  aalioulem5  21777  aaliou3lem9  21791  isppw2  22428  sgmppw  22511  fsumvma2  22528  pclogsum  22529  chpchtsum  22533  logfacubnd  22535  bposlem1  22598  bposlem5  22602  lgseisen  22667  chebbnd1lem1  22693  rpvmasumlem  22711  dchrisum0flblem1  22732  dchrisum0flblem2  22733  ostth2lem2  22858  ostth2lem3  22859  oddpwdc  26689  eulerpartlemgh  26713  jm3.1lem3  29321  stoweidlem25  29773  stoweidlem45  29793  wallispi2lem1  29819