Theorem nnexpcld 11499

Description: Closure of exponentiation of nonnegative integers. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
nnexpcld.1	|- ( ph -> A e. NN )
nnexpcld.2	|- ( ph -> N e. NN0 )

Assertion

Ref	Expression
nnexpcld	|- ( ph -> ( A ^ N ) e. NN )

Proof of Theorem nnexpcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnexpcld.1	. 2 |- ( ph -> A e. NN )
2		nnexpcld.2	. 2 |- ( ph -> N e. NN0 )
3		nnexpcl 11349	. 2 |- ( ( A e. NN /\ N e. NN0 ) -> ( A ^ N ) e. NN )
4	1, 2, 3	syl2anc 643	1 |- ( ph -> ( A ^ N ) e. NN )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 1721  (class class class)co 6040   NNcn 9956   NN0cn0 10177   ^cexp 11337

This theorem is referenced by:  bitsp1  12898  bitsfzolem  12901  bitsfzo  12902  bitsmod  12903  bitsfi  12904  bitscmp  12905  bitsinv1lem  12908  bitsinv1  12909  2ebits  12914  bitsinvp1  12916  sadcaddlem  12924  sadadd3  12928  sadaddlem  12933  sadasslem  12937  bitsres  12940  bitsuz  12941  bitsshft  12942  smumullem  12959  smumul  12960  rplpwr  13011  rppwr  13012  pclem  13167  pcprendvds2  13170  pcpre1  13171  pcpremul  13172  pcdvdsb  13197  pcidlem  13200  pcid  13201  pcdvdstr  13204  pcgcd1  13205  pcprmpw2  13210  pcaddlem  13212  pcadd  13213  pcfaclem  13222  pcfac  13223  pcbc  13224  prmpwdvds  13227  pockthlem  13228  2expltfac  13381  pgpfi1  15184  sylow1lem1  15187  sylow1lem3  15189  sylow1lem4  15190  sylow1lem5  15191  pgpfi  15194  gexexlem  15422  ablfac1lem  15581  ablfac1b  15583  ablfac1eu  15586  aalioulem2  20203  aalioulem5  20206  aaliou3lem9  20220  isppw2  20851  sgmppw  20934  fsumvma2  20951  pclogsum  20952  chpchtsum  20956  logfacubnd  20958  bposlem1  21021  bposlem5  21025  lgseisen  21090  chebbnd1lem1  21116  rpvmasumlem  21134  dchrisum0flblem1  21155  dchrisum0flblem2  21156  ostth2lem2  21281  ostth2lem3  21282  jm3.1lem3  26980  stoweidlem25  27641  stoweidlem45  27661  wallispi2lem1  27687

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023

This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-er 6864  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-nn 9957  df-n0 10178  df-z 10239  df-uz 10445  df-seq 11279  df-exp 11338