Theorem nnexpcld 12145

Description: Closure of exponentiation of nonnegative integers. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
nnexpcld.1	|- ( ph -> A e. NN )
nnexpcld.2	|- ( ph -> N e. NN0 )

Assertion

Ref	Expression
nnexpcld	|- ( ph -> ( A ^ N ) e. NN )

Proof of Theorem nnexpcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnexpcld.1	. 2 |- ( ph -> A e. NN )
2		nnexpcld.2	. 2 |- ( ph -> N e. NN0 )
3		nnexpcl 11994	. 2 |- ( ( A e. NN /\ N e. NN0 ) -> ( A ^ N ) e. NN )
4	1, 2, 3	syl2anc 661	1 |- ( ph -> ( A ^ N ) e. NN )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 1758  (class class class)co 6199   NNcn 10432   NN0cn0 10689   ^cexp 11981

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-sep 4520  ax-nul 4528  ax-pow 4577  ax-pr 4638  ax-un 6481  ax-cnex 9448  ax-resscn 9449  ax-1cn 9450  ax-icn 9451  ax-addcl 9452  ax-addrcl 9453  ax-mulcl 9454  ax-mulrcl 9455  ax-mulcom 9456  ax-addass 9457  ax-mulass 9458  ax-distr 9459  ax-i2m1 9460  ax-1ne0 9461  ax-1rid 9462  ax-rnegex 9463  ax-rrecex 9464  ax-cnre 9465  ax-pre-lttri 9466  ax-pre-lttrn 9467  ax-pre-ltadd 9468  ax-pre-mulgt0 9469

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2649  df-nel 2650  df-ral 2803  df-rex 2804  df-reu 2805  df-rab 2807  df-v 3078  df-sbc 3293  df-csb 3395  df-dif 3438  df-un 3440  df-in 3442  df-ss 3449  df-pss 3451  df-nul 3745  df-if 3899  df-pw 3969  df-sn 3985  df-pr 3987  df-tp 3989  df-op 3991  df-uni 4199  df-iun 4280  df-br 4400  df-opab 4458  df-mpt 4459  df-tr 4493  df-eprel 4739  df-id 4743  df-po 4748  df-so 4749  df-fr 4786  df-we 4788  df-ord 4829  df-on 4830  df-lim 4831  df-suc 4832  df-xp 4953  df-rel 4954  df-cnv 4955  df-co 4956  df-dm 4957  df-rn 4958  df-res 4959  df-ima 4960  df-iota 5488  df-fun 5527  df-fn 5528  df-f 5529  df-f1 5530  df-fo 5531  df-f1o 5532  df-fv 5533  df-riota 6160  df-ov 6202  df-oprab 6203  df-mpt2 6204  df-om 6586  df-2nd 6687  df-recs 6941  df-rdg 6975  df-er 7210  df-en 7420  df-dom 7421  df-sdom 7422  df-pnf 9530  df-mnf 9531  df-xr 9532  df-ltxr 9533  df-le 9534  df-sub 9707  df-neg 9708  df-nn 10433  df-n0 10690  df-z 10757  df-uz 10972  df-seq 11923  df-exp 11982

This theorem is referenced by:  bitsp1  13744  bitsfzolem  13747  bitsfzo  13748  bitsmod  13749  bitsfi  13750  bitscmp  13751  bitsinv1lem  13754  bitsinv1  13755  2ebits  13760  bitsinvp1  13762  sadcaddlem  13770  sadadd3  13774  sadaddlem  13779  sadasslem  13783  bitsres  13786  bitsuz  13787  bitsshft  13788  smumullem  13805  smumul  13806  rplpwr  13857  rppwr  13858  pclem  14022  pcprendvds2  14025  pcpre1  14026  pcpremul  14027  pcdvdsb  14052  pcidlem  14055  pcid  14056  pcdvdstr  14059  pcgcd1  14060  pcprmpw2  14065  pcaddlem  14067  pcadd  14068  pcfaclem  14077  pcfac  14078  pcbc  14079  prmpwdvds  14082  pockthlem  14083  2expltfac  14236  pgpfi1  16214  sylow1lem1  16217  sylow1lem3  16219  sylow1lem4  16220  sylow1lem5  16221  pgpfi  16224  gexexlem  16454  ablfac1lem  16690  ablfac1b  16692  ablfac1eu  16695  aalioulem2  21931  aalioulem5  21934  aaliou3lem9  21948  isppw2  22585  sgmppw  22668  fsumvma2  22685  pclogsum  22686  chpchtsum  22690  logfacubnd  22692  bposlem1  22755  bposlem5  22759  lgseisen  22824  chebbnd1lem1  22850  rpvmasumlem  22868  dchrisum0flblem1  22889  dchrisum0flblem2  22890  ostth2lem2  23015  ostth2lem3  23016  oddpwdc  26880  eulerpartlemgh  26904  jm3.1lem3  29515  stoweidlem25  29967  stoweidlem45  29987  wallispi2lem1  30013