Theorem nnexpcld 12015

Description: Closure of exponentiation of nonnegative integers. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
nnexpcld.1	|- ( ph -> A e. NN )
nnexpcld.2	|- ( ph -> N e. NN0 )

Assertion

Ref	Expression
nnexpcld	|- ( ph -> ( A ^ N ) e. NN )

Proof of Theorem nnexpcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnexpcld.1	. 2 |- ( ph -> A e. NN )
2		nnexpcld.2	. 2 |- ( ph -> N e. NN0 )
3		nnexpcl 11864	. 2 |- ( ( A e. NN /\ N e. NN0 ) -> ( A ^ N ) e. NN )
4	1, 2, 3	syl2anc 656	1 |- ( ph -> ( A ^ N ) e. NN )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 1757  (class class class)co 6082   NNcn 10312   NN0cn0 10569   ^cexp 11851

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1671  ax-6 1709  ax-7 1729  ax-8 1759  ax-9 1761  ax-10 1776  ax-11 1781  ax-12 1793  ax-13 1944  ax-ext 2416  ax-sep 4403  ax-nul 4411  ax-pow 4460  ax-pr 4521  ax-un 6363  ax-cnex 9328  ax-resscn 9329  ax-1cn 9330  ax-icn 9331  ax-addcl 9332  ax-addrcl 9333  ax-mulcl 9334  ax-mulrcl 9335  ax-mulcom 9336  ax-addass 9337  ax-mulass 9338  ax-distr 9339  ax-i2m1 9340  ax-1ne0 9341  ax-1rid 9342  ax-rnegex 9343  ax-rrecex 9344  ax-cnre 9345  ax-pre-lttri 9346  ax-pre-lttrn 9347  ax-pre-ltadd 9348  ax-pre-mulgt0 9349

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1702  df-eu 2260  df-mo 2261  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rab 2716  df-v 2966  df-sbc 3178  df-csb 3279  df-dif 3321  df-un 3323  df-in 3325  df-ss 3332  df-pss 3334  df-nul 3628  df-if 3782  df-pw 3852  df-sn 3868  df-pr 3870  df-tp 3872  df-op 3874  df-uni 4082  df-iun 4163  df-br 4283  df-opab 4341  df-mpt 4342  df-tr 4376  df-eprel 4621  df-id 4625  df-po 4630  df-so 4631  df-fr 4668  df-we 4670  df-ord 4711  df-on 4712  df-lim 4713  df-suc 4714  df-xp 4835  df-rel 4836  df-cnv 4837  df-co 4838  df-dm 4839  df-rn 4840  df-res 4841  df-ima 4842  df-iota 5371  df-fun 5410  df-fn 5411  df-f 5412  df-f1 5413  df-fo 5414  df-f1o 5415  df-fv 5416  df-riota 6041  df-ov 6085  df-oprab 6086  df-mpt2 6087  df-om 6468  df-2nd 6569  df-recs 6820  df-rdg 6854  df-er 7091  df-en 7301  df-dom 7302  df-sdom 7303  df-pnf 9410  df-mnf 9411  df-xr 9412  df-ltxr 9413  df-le 9414  df-sub 9587  df-neg 9588  df-nn 10313  df-n0 10570  df-z 10637  df-uz 10852  df-seq 11793  df-exp 11852

This theorem is referenced by:  bitsp1  13612  bitsfzolem  13615  bitsfzo  13616  bitsmod  13617  bitsfi  13618  bitscmp  13619  bitsinv1lem  13622  bitsinv1  13623  2ebits  13628  bitsinvp1  13630  sadcaddlem  13638  sadadd3  13642  sadaddlem  13647  sadasslem  13651  bitsres  13654  bitsuz  13655  bitsshft  13656  smumullem  13673  smumul  13674  rplpwr  13725  rppwr  13726  pclem  13890  pcprendvds2  13893  pcpre1  13894  pcpremul  13895  pcdvdsb  13920  pcidlem  13923  pcid  13924  pcdvdstr  13927  pcgcd1  13928  pcprmpw2  13933  pcaddlem  13935  pcadd  13936  pcfaclem  13945  pcfac  13946  pcbc  13947  prmpwdvds  13950  pockthlem  13951  2expltfac  14104  pgpfi1  16076  sylow1lem1  16079  sylow1lem3  16081  sylow1lem4  16082  sylow1lem5  16083  pgpfi  16086  gexexlem  16316  ablfac1lem  16545  ablfac1b  16547  ablfac1eu  16550  aalioulem2  21686  aalioulem5  21689  aaliou3lem9  21703  isppw2  22340  sgmppw  22423  fsumvma2  22440  pclogsum  22441  chpchtsum  22445  logfacubnd  22447  bposlem1  22510  bposlem5  22514  lgseisen  22579  chebbnd1lem1  22605  rpvmasumlem  22623  dchrisum0flblem1  22644  dchrisum0flblem2  22645  ostth2lem2  22770  ostth2lem3  22771  oddpwdc  26587  eulerpartlemgh  26611  jm3.1lem3  29215  stoweidlem25  29668  stoweidlem45  29688  wallispi2lem1  29714