Theorem nnexpcld 12375

Description: Closure of exponentiation of nonnegative integers. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
nnexpcld.1	|- ( ph -> A e. NN )
nnexpcld.2	|- ( ph -> N e. NN0 )

Assertion

Ref	Expression
nnexpcld	|- ( ph -> ( A ^ N ) e. NN )

Proof of Theorem nnexpcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnexpcld.1	. 2 |- ( ph -> A e. NN )
2		nnexpcld.2	. 2 |- ( ph -> N e. NN0 )
3		nnexpcl 12223	. 2 |- ( ( A e. NN /\ N e. NN0 ) -> ( A ^ N ) e. NN )
4	1, 2, 3	syl2anc 659	1 |- ( ph -> ( A ^ N ) e. NN )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 1842  (class class class)co 6278   NNcn 10576   NN0cn0 10836   ^cexp 12210

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574  ax-cnex 9578  ax-resscn 9579  ax-1cn 9580  ax-icn 9581  ax-addcl 9582  ax-addrcl 9583  ax-mulcl 9584  ax-mulrcl 9585  ax-mulcom 9586  ax-addass 9587  ax-mulass 9588  ax-distr 9589  ax-i2m1 9590  ax-1ne0 9591  ax-1rid 9592  ax-rnegex 9593  ax-rrecex 9594  ax-cnre 9595  ax-pre-lttri 9596  ax-pre-lttrn 9597  ax-pre-ltadd 9598  ax-pre-mulgt0 9599

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2759  df-rex 2760  df-reu 2761  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-csb 3374  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-pss 3430  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-tp 3977  df-op 3979  df-uni 4192  df-iun 4273  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4490  df-eprel 4734  df-id 4738  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-we 4784  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-pred 5367  df-ord 5413  df-on 5414  df-lim 5415  df-suc 5416  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-f1 5574  df-fo 5575  df-f1o 5576  df-fv 5577  df-riota 6240  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-om 6684  df-2nd 6785  df-wrecs 7013  df-recs 7075  df-rdg 7113  df-er 7348  df-en 7555  df-dom 7556  df-sdom 7557  df-pnf 9660  df-mnf 9661  df-xr 9662  df-ltxr 9663  df-le 9664  df-sub 9843  df-neg 9844  df-nn 10577  df-n0 10837  df-z 10906  df-uz 11128  df-seq 12152  df-exp 12211

This theorem is referenced by:  bitsp1  14290  bitsfzolem  14293  bitsfzo  14294  bitsmod  14295  bitsfi  14296  bitscmp  14297  bitsinv1lem  14300  bitsinv1  14301  2ebits  14306  bitsinvp1  14308  sadcaddlem  14316  sadadd3  14320  sadaddlem  14325  sadasslem  14329  bitsres  14332  bitsuz  14333  bitsshft  14334  smumullem  14351  smumul  14352  rplpwr  14403  rppwr  14404  pclem  14571  pcprendvds2  14574  pcpre1  14575  pcpremul  14576  pcdvdsb  14601  pcidlem  14604  pcid  14605  pcdvdstr  14608  pcgcd1  14609  pcprmpw2  14614  pcaddlem  14616  pcadd  14617  pcfaclem  14626  pcfac  14627  pcbc  14628  prmpwdvds  14631  pockthlem  14632  2expltfac  14786  pgpfi1  16939  sylow1lem1  16942  sylow1lem3  16944  sylow1lem4  16945  sylow1lem5  16946  pgpfi  16949  gexexlem  17182  ablfac1lem  17439  ablfac1b  17441  ablfac1eu  17444  aalioulem2  23021  aalioulem5  23024  aaliou3lem9  23038  isppw2  23770  sgmppw  23853  fsumvma2  23870  pclogsum  23871  chpchtsum  23875  logfacubnd  23877  bposlem1  23940  bposlem5  23944  lgseisen  24009  chebbnd1lem1  24035  rpvmasumlem  24053  dchrisum0flblem1  24074  dchrisum0flblem2  24075  ostth2lem2  24200  ostth2lem3  24201  oddpwdc  28799  eulerpartlemgh  28823  jm3.1lem3  35323  inductionexd  35978  stoweidlem25  37175  stoweidlem45  37195  wallispi2lem1  37221  proththdlem  37859  proththd  37860  pw2m1lepw2m1  38638  nnpw2even  38656  logbpw2m1  38698  nnpw2pmod  38714  nnpw2p  38717  nnolog2flm1  38721  dignn0flhalflem1  38746