Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  bitsshft Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem bitsshft 15035
 Description: Shifting a bit sequence to the left (toward the more significant bits) causes the number to be multiplied by a power of two. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Sep-2016.)
Assertion
Ref Expression
bitsshft ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑛𝑁) ∈ (bits‘𝐴)} = (bits‘(𝐴 · (2↑𝑁))))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑛   𝑛,𝑁

Proof of Theorem bitsshft
StepHypRef Expression
1 bitsss 14986 . . 3 (bits‘(𝐴 · (2↑𝑁))) ⊆ ℕ0
2 sseqin2 3779 . . 3 ((bits‘(𝐴 · (2↑𝑁))) ⊆ ℕ0 ↔ (ℕ0 ∩ (bits‘(𝐴 · (2↑𝑁)))) = (bits‘(𝐴 · (2↑𝑁))))
31, 2mpbi 219 . 2 (ℕ0 ∩ (bits‘(𝐴 · (2↑𝑁)))) = (bits‘(𝐴 · (2↑𝑁)))
4 simpll 786 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℤ)
5 2nn 11062 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℕ
65a1i 11 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 2 ∈ ℕ)
7 simplr 788 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℕ0)
86, 7nnexpcld 12892 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (2↑𝑁) ∈ ℕ)
98nnzd 11357 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (2↑𝑁) ∈ ℤ)
10 dvdsmul2 14842 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (2↑𝑁) ∈ ℤ) → (2↑𝑁) ∥ (𝐴 · (2↑𝑁)))
114, 9, 10syl2anc 691 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (2↑𝑁) ∥ (𝐴 · (2↑𝑁)))
124, 9zmulcld 11364 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝐴 · (2↑𝑁)) ∈ ℤ)
13 bitsuz 15034 . . . . . . . 8 (((𝐴 · (2↑𝑁)) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((2↑𝑁) ∥ (𝐴 · (2↑𝑁)) ↔ (bits‘(𝐴 · (2↑𝑁))) ⊆ (ℤ𝑁)))
1412, 7, 13syl2anc 691 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((2↑𝑁) ∥ (𝐴 · (2↑𝑁)) ↔ (bits‘(𝐴 · (2↑𝑁))) ⊆ (ℤ𝑁)))
1511, 14mpbid 221 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (bits‘(𝐴 · (2↑𝑁))) ⊆ (ℤ𝑁))
1615sseld 3567 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑛 ∈ (bits‘(𝐴 · (2↑𝑁))) → 𝑛 ∈ (ℤ𝑁)))
17 uznn0sub 11595 . . . . 5 (𝑛 ∈ (ℤ𝑁) → (𝑛𝑁) ∈ ℕ0)
1816, 17syl6 34 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑛 ∈ (bits‘(𝐴 · (2↑𝑁))) → (𝑛𝑁) ∈ ℕ0))
19 bitsss 14986 . . . . . 6 (bits‘𝐴) ⊆ ℕ0
2019a1i 11 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (bits‘𝐴) ⊆ ℕ0)
2120sseld 3567 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝑛𝑁) ∈ (bits‘𝐴) → (𝑛𝑁) ∈ ℕ0))
22 2cnd 10970 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑛𝑁) ∈ ℕ0)) → 2 ∈ ℂ)
235a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑛𝑁) ∈ ℕ0)) → 2 ∈ ℕ)
2423nnne0d 10942 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑛𝑁) ∈ ℕ0)) → 2 ≠ 0)
25 simplr 788 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑛𝑁) ∈ ℕ0)) → 𝑁 ∈ ℕ0)
2625nn0zd 11356 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑛𝑁) ∈ ℕ0)) → 𝑁 ∈ ℤ)
27 simprl 790 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑛𝑁) ∈ ℕ0)) → 𝑛 ∈ ℕ0)
2827nn0zd 11356 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑛𝑁) ∈ ℕ0)) → 𝑛 ∈ ℤ)
2922, 24, 26, 28expsubd 12881 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑛𝑁) ∈ ℕ0)) → (2↑(𝑛𝑁)) = ((2↑𝑛) / (2↑𝑁)))
3029oveq2d 6565 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑛𝑁) ∈ ℕ0)) → (𝐴 / (2↑(𝑛𝑁))) = (𝐴 / ((2↑𝑛) / (2↑𝑁))))
31 simpl 472 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℤ)
3231zcnd 11359 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℂ)
3332adantr 480 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑛𝑁) ∈ ℕ0)) → 𝐴 ∈ ℂ)
3423, 27nnexpcld 12892 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑛𝑁) ∈ ℕ0)) → (2↑𝑛) ∈ ℕ)
3534nncnd 10913 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑛𝑁) ∈ ℕ0)) → (2↑𝑛) ∈ ℂ)
3623, 25nnexpcld 12892 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑛𝑁) ∈ ℕ0)) → (2↑𝑁) ∈ ℕ)
3736nncnd 10913 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑛𝑁) ∈ ℕ0)) → (2↑𝑁) ∈ ℂ)
3834nnne0d 10942 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑛𝑁) ∈ ℕ0)) → (2↑𝑛) ≠ 0)
3936nnne0d 10942 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑛𝑁) ∈ ℕ0)) → (2↑𝑁) ≠ 0)
4033, 35, 37, 38, 39divdiv2d 10712 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑛𝑁) ∈ ℕ0)) → (𝐴 / ((2↑𝑛) / (2↑𝑁))) = ((𝐴 · (2↑𝑁)) / (2↑𝑛)))
4130, 40eqtr2d 2645 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑛𝑁) ∈ ℕ0)) → ((𝐴 · (2↑𝑁)) / (2↑𝑛)) = (𝐴 / (2↑(𝑛𝑁))))
4241fveq2d 6107 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑛𝑁) ∈ ℕ0)) → (⌊‘((𝐴 · (2↑𝑁)) / (2↑𝑛))) = (⌊‘(𝐴 / (2↑(𝑛𝑁)))))
4342breq2d 4595 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑛𝑁) ∈ ℕ0)) → (2 ∥ (⌊‘((𝐴 · (2↑𝑁)) / (2↑𝑛))) ↔ 2 ∥ (⌊‘(𝐴 / (2↑(𝑛𝑁))))))
4443notbid 307 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑛𝑁) ∈ ℕ0)) → (¬ 2 ∥ (⌊‘((𝐴 · (2↑𝑁)) / (2↑𝑛))) ↔ ¬ 2 ∥ (⌊‘(𝐴 / (2↑(𝑛𝑁))))))
4512adantrr 749 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑛𝑁) ∈ ℕ0)) → (𝐴 · (2↑𝑁)) ∈ ℤ)
46 bitsval2 14985 . . . . . . 7 (((𝐴 · (2↑𝑁)) ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑛 ∈ (bits‘(𝐴 · (2↑𝑁))) ↔ ¬ 2 ∥ (⌊‘((𝐴 · (2↑𝑁)) / (2↑𝑛)))))
4745, 27, 46syl2anc 691 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑛𝑁) ∈ ℕ0)) → (𝑛 ∈ (bits‘(𝐴 · (2↑𝑁))) ↔ ¬ 2 ∥ (⌊‘((𝐴 · (2↑𝑁)) / (2↑𝑛)))))
48 bitsval2 14985 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝑛𝑁) ∈ ℕ0) → ((𝑛𝑁) ∈ (bits‘𝐴) ↔ ¬ 2 ∥ (⌊‘(𝐴 / (2↑(𝑛𝑁))))))
4948ad2ant2rl 781 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑛𝑁) ∈ ℕ0)) → ((𝑛𝑁) ∈ (bits‘𝐴) ↔ ¬ 2 ∥ (⌊‘(𝐴 / (2↑(𝑛𝑁))))))
5044, 47, 493bitr4d 299 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑛𝑁) ∈ ℕ0)) → (𝑛 ∈ (bits‘(𝐴 · (2↑𝑁))) ↔ (𝑛𝑁) ∈ (bits‘𝐴)))
5150expr 641 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝑛𝑁) ∈ ℕ0 → (𝑛 ∈ (bits‘(𝐴 · (2↑𝑁))) ↔ (𝑛𝑁) ∈ (bits‘𝐴))))
5218, 21, 51pm5.21ndd 368 . . 3 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑛 ∈ (bits‘(𝐴 · (2↑𝑁))) ↔ (𝑛𝑁) ∈ (bits‘𝐴)))
5352rabbi2dva 3783 . 2 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (ℕ0 ∩ (bits‘(𝐴 · (2↑𝑁)))) = {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑛𝑁) ∈ (bits‘𝐴)})
543, 53syl5reqr 2659 1 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑛𝑁) ∈ (bits‘𝐴)} = (bits‘(𝐴 · (2↑𝑁))))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  {crab 2900   ∩ cin 3539   ⊆ wss 3540   class class class wbr 4583  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  ℂcc 9813   · cmul 9820   − cmin 10145   / cdiv 10563  ℕcn 10897  2c2 10947  ℕ0cn0 11169  ℤcz 11254  ℤ≥cuz 11563  ⌊cfl 12453  ↑cexp 12722   ∥ cdvds 14821  bitscbits 14979 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-xor 1457  df-tru 1478  df-fal 1481  df-had 1524  df-cad 1537  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-disj 4554  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-sup 8231  df-inf 8232  df-oi 8298  df-card 8648  df-cda 8873  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-n0 11170  df-xnn0 11241  df-z 11255  df-uz 11564  df-rp 11709  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-fl 12455  df-mod 12531  df-seq 12664  df-exp 12723  df-hash 12980  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-clim 14067  df-sum 14265  df-dvds 14822  df-bits 14982  df-sad 15011 This theorem is referenced by:  smumullem  15052
 Copyright terms: Public domain W3C validator