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Theorem bitsshft 12942
Description: Shifting a bit sequence to the left (toward the more significant bits) causes the number to be multiplied by a power of two. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Sep-2016.)
Assertion
Ref Expression
bitsshft  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN0 )  ->  { n  e.  NN0  |  ( n  -  N
)  e.  (bits `  A ) }  =  (bits `  ( A  x.  ( 2 ^ N
) ) ) )
Distinct variable groups:    A, n    n, N

Proof of Theorem bitsshft
StepHypRef Expression
1 bitsss 12893 . . 3  |-  (bits `  ( A  x.  (
2 ^ N ) ) )  C_  NN0
2 dfss1 3505 . . 3  |-  ( (bits `  ( A  x.  (
2 ^ N ) ) )  C_  NN0  <->  ( NN0  i^i  (bits `  ( A  x.  ( 2 ^ N
) ) ) )  =  (bits `  ( A  x.  ( 2 ^ N ) ) ) )
31, 2mpbi 200 . 2  |-  ( NN0 
i^i  (bits `  ( A  x.  ( 2 ^ N
) ) ) )  =  (bits `  ( A  x.  ( 2 ^ N ) ) )
4 simpll 731 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN0 )  /\  n  e.  NN0 )  ->  A  e.  ZZ )
5 2nn 10089 . . . . . . . . . . 11  |-  2  e.  NN
65a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN0 )  /\  n  e.  NN0 )  ->  2  e.  NN )
7 simplr 732 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN0 )  /\  n  e.  NN0 )  ->  N  e.  NN0 )
86, 7nnexpcld 11499 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN0 )  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( 2 ^ N )  e.  NN )
98nnzd 10330 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN0 )  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( 2 ^ N )  e.  ZZ )
10 dvdsmul2 12827 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  ( 2 ^ N
)  e.  ZZ )  ->  ( 2 ^ N )  ||  ( A  x.  ( 2 ^ N ) ) )
114, 9, 10syl2anc 643 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN0 )  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( 2 ^ N )  ||  ( A  x.  ( 2 ^ N ) ) )
124, 9zmulcld 10337 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN0 )  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( A  x.  ( 2 ^ N
) )  e.  ZZ )
13 bitsuz 12941 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  x.  (
2 ^ N ) )  e.  ZZ  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( ( 2 ^ N )  ||  ( A  x.  ( 2 ^ N ) )  <-> 
(bits `  ( A  x.  ( 2 ^ N
) ) )  C_  ( ZZ>= `  N )
) )
1412, 7, 13syl2anc 643 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN0 )  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( ( 2 ^ N )  ||  ( A  x.  (
2 ^ N ) )  <->  (bits `  ( A  x.  ( 2 ^ N
) ) )  C_  ( ZZ>= `  N )
) )
1511, 14mpbid 202 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN0 )  /\  n  e.  NN0 )  ->  (bits `  ( A  x.  ( 2 ^ N ) ) )  C_  ( ZZ>= `  N ) )
1615sseld 3307 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN0 )  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( n  e.  (bits `  ( A  x.  ( 2 ^ N
) ) )  ->  n  e.  ( ZZ>= `  N ) ) )
17 uznn0sub 10473 . . . . 5  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  N
)  ->  ( n  -  N )  e.  NN0 )
1816, 17syl6 31 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN0 )  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( n  e.  (bits `  ( A  x.  ( 2 ^ N
) ) )  -> 
( n  -  N
)  e.  NN0 )
)
19 bitsss 12893 . . . . . 6  |-  (bits `  A )  C_  NN0
2019a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN0 )  /\  n  e.  NN0 )  ->  (bits `  A
)  C_  NN0 )
2120sseld 3307 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN0 )  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( ( n  -  N )  e.  (bits `  A )  ->  ( n  -  N
)  e.  NN0 )
)
22 2cn 10026 . . . . . . . . . . . . 13  |-  2  e.  CC
2322a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( n  e.  NN0  /\  ( n  -  N
)  e.  NN0 )
)  ->  2  e.  CC )
245a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( n  e.  NN0  /\  ( n  -  N
)  e.  NN0 )
)  ->  2  e.  NN )
2524nnne0d 10000 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( n  e.  NN0  /\  ( n  -  N
)  e.  NN0 )
)  ->  2  =/=  0 )
26 simplr 732 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( n  e.  NN0  /\  ( n  -  N
)  e.  NN0 )
)  ->  N  e.  NN0 )
2726nn0zd 10329 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( n  e.  NN0  /\  ( n  -  N
)  e.  NN0 )
)  ->  N  e.  ZZ )
28 simprl 733 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( n  e.  NN0  /\  ( n  -  N
)  e.  NN0 )
)  ->  n  e.  NN0 )
2928nn0zd 10329 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( n  e.  NN0  /\  ( n  -  N
)  e.  NN0 )
)  ->  n  e.  ZZ )
3023, 25, 27, 29expsubd 11489 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( n  e.  NN0  /\  ( n  -  N
)  e.  NN0 )
)  ->  ( 2 ^ ( n  -  N ) )  =  ( ( 2 ^ n )  /  (
2 ^ N ) ) )
3130oveq2d 6056 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( n  e.  NN0  /\  ( n  -  N
)  e.  NN0 )
)  ->  ( A  /  ( 2 ^ ( n  -  N
) ) )  =  ( A  /  (
( 2 ^ n
)  /  ( 2 ^ N ) ) ) )
32 simpl 444 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN0 )  ->  A  e.  ZZ )
3332zcnd 10332 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN0 )  ->  A  e.  CC )
3433adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( n  e.  NN0  /\  ( n  -  N
)  e.  NN0 )
)  ->  A  e.  CC )
3524, 28nnexpcld 11499 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( n  e.  NN0  /\  ( n  -  N
)  e.  NN0 )
)  ->  ( 2 ^ n )  e.  NN )
3635nncnd 9972 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( n  e.  NN0  /\  ( n  -  N
)  e.  NN0 )
)  ->  ( 2 ^ n )  e.  CC )
3724, 26nnexpcld 11499 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( n  e.  NN0  /\  ( n  -  N
)  e.  NN0 )
)  ->  ( 2 ^ N )  e.  NN )
3837nncnd 9972 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( n  e.  NN0  /\  ( n  -  N
)  e.  NN0 )
)  ->  ( 2 ^ N )  e.  CC )
3935nnne0d 10000 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( n  e.  NN0  /\  ( n  -  N
)  e.  NN0 )
)  ->  ( 2 ^ n )  =/=  0 )
4037nnne0d 10000 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( n  e.  NN0  /\  ( n  -  N
)  e.  NN0 )
)  ->  ( 2 ^ N )  =/=  0 )
4134, 36, 38, 39, 40divdiv2d 9778 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( n  e.  NN0  /\  ( n  -  N
)  e.  NN0 )
)  ->  ( A  /  ( ( 2 ^ n )  / 
( 2 ^ N
) ) )  =  ( ( A  x.  ( 2 ^ N
) )  /  (
2 ^ n ) ) )
4231, 41eqtr2d 2437 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( n  e.  NN0  /\  ( n  -  N
)  e.  NN0 )
)  ->  ( ( A  x.  ( 2 ^ N ) )  /  ( 2 ^ n ) )  =  ( A  /  (
2 ^ ( n  -  N ) ) ) )
4342fveq2d 5691 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( n  e.  NN0  /\  ( n  -  N
)  e.  NN0 )
)  ->  ( |_ `  ( ( A  x.  ( 2 ^ N
) )  /  (
2 ^ n ) ) )  =  ( |_ `  ( A  /  ( 2 ^ ( n  -  N
) ) ) ) )
4443breq2d 4184 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( n  e.  NN0  /\  ( n  -  N
)  e.  NN0 )
)  ->  ( 2 
||  ( |_ `  ( ( A  x.  ( 2 ^ N
) )  /  (
2 ^ n ) ) )  <->  2  ||  ( |_ `  ( A  /  ( 2 ^ ( n  -  N
) ) ) ) ) )
4544notbid 286 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( n  e.  NN0  /\  ( n  -  N
)  e.  NN0 )
)  ->  ( -.  2  ||  ( |_ `  ( ( A  x.  ( 2 ^ N
) )  /  (
2 ^ n ) ) )  <->  -.  2  ||  ( |_ `  ( A  /  ( 2 ^ ( n  -  N
) ) ) ) ) )
4612adantrr 698 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( n  e.  NN0  /\  ( n  -  N
)  e.  NN0 )
)  ->  ( A  x.  ( 2 ^ N
) )  e.  ZZ )
47 bitsval2 12892 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  x.  (
2 ^ N ) )  e.  ZZ  /\  n  e.  NN0 )  -> 
( n  e.  (bits `  ( A  x.  (
2 ^ N ) ) )  <->  -.  2  ||  ( |_ `  (
( A  x.  (
2 ^ N ) )  /  ( 2 ^ n ) ) ) ) )
4846, 28, 47syl2anc 643 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( n  e.  NN0  /\  ( n  -  N
)  e.  NN0 )
)  ->  ( n  e.  (bits `  ( A  x.  ( 2 ^ N
) ) )  <->  -.  2  ||  ( |_ `  (
( A  x.  (
2 ^ N ) )  /  ( 2 ^ n ) ) ) ) )
49 bitsval2 12892 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  ( n  -  N
)  e.  NN0 )  ->  ( ( n  -  N )  e.  (bits `  A )  <->  -.  2  ||  ( |_ `  ( A  /  ( 2 ^ ( n  -  N
) ) ) ) ) )
5049ad2ant2rl 730 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( n  e.  NN0  /\  ( n  -  N
)  e.  NN0 )
)  ->  ( (
n  -  N )  e.  (bits `  A
)  <->  -.  2  ||  ( |_ `  ( A  /  ( 2 ^ ( n  -  N
) ) ) ) ) )
5145, 48, 503bitr4d 277 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( n  e.  NN0  /\  ( n  -  N
)  e.  NN0 )
)  ->  ( n  e.  (bits `  ( A  x.  ( 2 ^ N
) ) )  <->  ( n  -  N )  e.  (bits `  A ) ) )
5251expr 599 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN0 )  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( ( n  -  N )  e. 
NN0  ->  ( n  e.  (bits `  ( A  x.  ( 2 ^ N
) ) )  <->  ( n  -  N )  e.  (bits `  A ) ) ) )
5318, 21, 52pm5.21ndd 344 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN0 )  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( n  e.  (bits `  ( A  x.  ( 2 ^ N
) ) )  <->  ( n  -  N )  e.  (bits `  A ) ) )
5453rabbi2dva 3509 . 2  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( NN0  i^i  (bits `  ( A  x.  (
2 ^ N ) ) ) )  =  { n  e.  NN0  |  ( n  -  N
)  e.  (bits `  A ) } )
553, 54syl5reqr 2451 1  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN0 )  ->  { n  e.  NN0  |  ( n  -  N
)  e.  (bits `  A ) }  =  (bits `  ( A  x.  ( 2 ^ N
) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721   {crab 2670    i^i cin 3279    C_ wss 3280   class class class wbr 4172   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   CCcc 8944    x. cmul 8951    - cmin 9247    / cdiv 9633   NNcn 9956   2c2 10005   NN0cn0 10177   ZZcz 10238   ZZ>=cuz 10444   |_cfl 11156   ^cexp 11337    || cdivides 12807  bitscbits 12886
This theorem is referenced by:  smumullem  12959
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-inf2 7552  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-xor 1311  df-tru 1325  df-had 1386  df-cad 1387  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-disj 4143  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-se 4502  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-2o 6684  df-oadd 6687  df-er 6864  df-map 6979  df-pm 6980  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-sup 7404  df-oi 7435  df-card 7782  df-cda 8004  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-n0 10178  df-z 10239  df-uz 10445  df-rp 10569  df-fz 11000  df-fzo 11091  df-fl 11157  df-mod 11206  df-seq 11279  df-exp 11338  df-hash 11574  df-cj 11859  df-re 11860  df-im 11861  df-sqr 11995  df-abs 11996  df-clim 12237  df-sum 12435  df-dvds 12808  df-bits 12889  df-sad 12918
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