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Theorem monotoddzzfi 36525
 Description: A function which is odd and monotonic on ℕ0 is monotonic on ℤ. This proof is far too long. (Contributed by Stefan O'Rear, 25-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
monotoddzzfi.1 ((𝜑𝑥 ∈ ℤ) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ)
monotoddzzfi.2 ((𝜑𝑥 ∈ ℤ) → (𝐹‘-𝑥) = -(𝐹𝑥))
monotoddzzfi.3 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) → (𝑥 < 𝑦 → (𝐹𝑥) < (𝐹𝑦)))
Assertion
Ref Expression
monotoddzzfi ((𝜑𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 < 𝐵 ↔ (𝐹𝐴) < (𝐹𝐵)))
Distinct variable groups:   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐹,𝑦

Proof of Theorem monotoddzzfi
Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 6103 . . 3 (𝑎 = 𝑏 → (𝐹𝑎) = (𝐹𝑏))
2 fveq2 6103 . . 3 (𝑎 = 𝐴 → (𝐹𝑎) = (𝐹𝐴))
3 fveq2 6103 . . 3 (𝑎 = 𝐵 → (𝐹𝑎) = (𝐹𝐵))
4 zssre 11261 . . 3 ℤ ⊆ ℝ
5 eleq1 2676 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑎 → (𝑥 ∈ ℤ ↔ 𝑎 ∈ ℤ))
65anbi2d 736 . . . . 5 (𝑥 = 𝑎 → ((𝜑𝑥 ∈ ℤ) ↔ (𝜑𝑎 ∈ ℤ)))
7 fveq2 6103 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑎 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑎))
87eleq1d 2672 . . . . 5 (𝑥 = 𝑎 → ((𝐹𝑥) ∈ ℝ ↔ (𝐹𝑎) ∈ ℝ))
96, 8imbi12d 333 . . . 4 (𝑥 = 𝑎 → (((𝜑𝑥 ∈ ℤ) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ) ↔ ((𝜑𝑎 ∈ ℤ) → (𝐹𝑎) ∈ ℝ)))
10 monotoddzzfi.1 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ℤ) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ)
119, 10chvarv 2251 . . 3 ((𝜑𝑎 ∈ ℤ) → (𝐹𝑎) ∈ ℝ)
12 elznn 11270 . . . . . . 7 (𝑎 ∈ ℤ ↔ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∨ -𝑎 ∈ ℕ0)))
1312simprbi 479 . . . . . 6 (𝑎 ∈ ℤ → (𝑎 ∈ ℕ ∨ -𝑎 ∈ ℕ0))
14 elznn 11270 . . . . . . 7 (𝑏 ∈ ℤ ↔ (𝑏 ∈ ℝ ∧ (𝑏 ∈ ℕ ∨ -𝑏 ∈ ℕ0)))
1514simprbi 479 . . . . . 6 (𝑏 ∈ ℤ → (𝑏 ∈ ℕ ∨ -𝑏 ∈ ℕ0))
1613, 15anim12i 588 . . . . 5 ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → ((𝑎 ∈ ℕ ∨ -𝑎 ∈ ℕ0) ∧ (𝑏 ∈ ℕ ∨ -𝑏 ∈ ℕ0)))
1716adantl 481 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → ((𝑎 ∈ ℕ ∨ -𝑎 ∈ ℕ0) ∧ (𝑏 ∈ ℕ ∨ -𝑏 ∈ ℕ0)))
18 simpll 786 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) → 𝜑)
19 nnnn0 11176 . . . . . . . 8 (𝑎 ∈ ℕ → 𝑎 ∈ ℕ0)
2019ad2antrl 760 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) → 𝑎 ∈ ℕ0)
21 nnnn0 11176 . . . . . . . 8 (𝑏 ∈ ℕ → 𝑏 ∈ ℕ0)
2221ad2antll 761 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) → 𝑏 ∈ ℕ0)
23 vex 3176 . . . . . . . 8 𝑎 ∈ V
24 vex 3176 . . . . . . . 8 𝑏 ∈ V
25 simpl 472 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 = 𝑎𝑦 = 𝑏) → 𝑥 = 𝑎)
2625eleq1d 2672 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 = 𝑎𝑦 = 𝑏) → (𝑥 ∈ ℕ0𝑎 ∈ ℕ0))
27 simpr 476 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 = 𝑎𝑦 = 𝑏) → 𝑦 = 𝑏)
2827eleq1d 2672 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 = 𝑎𝑦 = 𝑏) → (𝑦 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℕ0))
2926, 283anbi23d 1394 . . . . . . . . 9 ((𝑥 = 𝑎𝑦 = 𝑏) → ((𝜑𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) ↔ (𝜑𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℕ0)))
30 breq12 4588 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 = 𝑎𝑦 = 𝑏) → (𝑥 < 𝑦𝑎 < 𝑏))
31 fveq2 6103 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = 𝑏 → (𝐹𝑦) = (𝐹𝑏))
327, 31breqan12d 4599 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 = 𝑎𝑦 = 𝑏) → ((𝐹𝑥) < (𝐹𝑦) ↔ (𝐹𝑎) < (𝐹𝑏)))
3330, 32imbi12d 333 . . . . . . . . 9 ((𝑥 = 𝑎𝑦 = 𝑏) → ((𝑥 < 𝑦 → (𝐹𝑥) < (𝐹𝑦)) ↔ (𝑎 < 𝑏 → (𝐹𝑎) < (𝐹𝑏))))
3429, 33imbi12d 333 . . . . . . . 8 ((𝑥 = 𝑎𝑦 = 𝑏) → (((𝜑𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) → (𝑥 < 𝑦 → (𝐹𝑥) < (𝐹𝑦))) ↔ ((𝜑𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℕ0) → (𝑎 < 𝑏 → (𝐹𝑎) < (𝐹𝑏)))))
35 monotoddzzfi.3 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) → (𝑥 < 𝑦 → (𝐹𝑥) < (𝐹𝑦)))
3623, 24, 34, 35vtocl2 3234 . . . . . . 7 ((𝜑𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℕ0) → (𝑎 < 𝑏 → (𝐹𝑎) < (𝐹𝑏)))
3718, 20, 22, 36syl3anc 1318 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) → (𝑎 < 𝑏 → (𝐹𝑎) < (𝐹𝑏)))
3837ex 449 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → ((𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → (𝑎 < 𝑏 → (𝐹𝑎) < (𝐹𝑏))))
3911adantrr 749 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (𝐹𝑎) ∈ ℝ)
4039adantr 480 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (-𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℕ)) → (𝐹𝑎) ∈ ℝ)
41 0red 9920 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (-𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℕ)) → 0 ∈ ℝ)
42 eleq1 2676 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 𝑏 → (𝑥 ∈ ℤ ↔ 𝑏 ∈ ℤ))
4342anbi2d 736 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝑏 → ((𝜑𝑥 ∈ ℤ) ↔ (𝜑𝑏 ∈ ℤ)))
44 fveq2 6103 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 𝑏 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑏))
4544eleq1d 2672 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝑏 → ((𝐹𝑥) ∈ ℝ ↔ (𝐹𝑏) ∈ ℝ))
4643, 45imbi12d 333 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑏 → (((𝜑𝑥 ∈ ℤ) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ) ↔ ((𝜑𝑏 ∈ ℤ) → (𝐹𝑏) ∈ ℝ)))
4746, 10chvarv 2251 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑏 ∈ ℤ) → (𝐹𝑏) ∈ ℝ)
4847adantrl 748 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (𝐹𝑏) ∈ ℝ)
4948adantr 480 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (-𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℕ)) → (𝐹𝑏) ∈ ℝ)
50 0red 9920 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (-𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℕ)) ∧ -𝑎 ∈ ℕ) → 0 ∈ ℝ)
51 znegcl 11289 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑎 ∈ ℤ → -𝑎 ∈ ℤ)
5251ad2antrl 760 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → -𝑎 ∈ ℤ)
53 negex 10158 . . . . . . . . . . . . . . 15 -𝑎 ∈ V
54 eleq1 2676 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 = -𝑎 → (𝑥 ∈ ℤ ↔ -𝑎 ∈ ℤ))
5554anbi2d 736 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = -𝑎 → ((𝜑𝑥 ∈ ℤ) ↔ (𝜑 ∧ -𝑎 ∈ ℤ)))
56 fveq2 6103 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 = -𝑎 → (𝐹𝑥) = (𝐹‘-𝑎))
5756eleq1d 2672 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = -𝑎 → ((𝐹𝑥) ∈ ℝ ↔ (𝐹‘-𝑎) ∈ ℝ))
5855, 57imbi12d 333 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = -𝑎 → (((𝜑𝑥 ∈ ℤ) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ) ↔ ((𝜑 ∧ -𝑎 ∈ ℤ) → (𝐹‘-𝑎) ∈ ℝ)))
5953, 58, 10vtocl 3232 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ -𝑎 ∈ ℤ) → (𝐹‘-𝑎) ∈ ℝ)
6052, 59syldan 486 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (𝐹‘-𝑎) ∈ ℝ)
6160ad2antrr 758 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (-𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℕ)) ∧ -𝑎 ∈ ℕ) → (𝐹‘-𝑎) ∈ ℝ)
62 0z 11265 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 0 ∈ ℤ
63 c0ex 9913 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 0 ∈ V
64 eleq1 2676 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑥 = 0 → (𝑥 ∈ ℤ ↔ 0 ∈ ℤ))
6564anbi2d 736 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 = 0 → ((𝜑𝑥 ∈ ℤ) ↔ (𝜑 ∧ 0 ∈ ℤ)))
66 fveq2 6103 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑥 = 0 → (𝐹𝑥) = (𝐹‘0))
6766eleq1d 2672 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 = 0 → ((𝐹𝑥) ∈ ℝ ↔ (𝐹‘0) ∈ ℝ))
6865, 67imbi12d 333 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 = 0 → (((𝜑𝑥 ∈ ℤ) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ) ↔ ((𝜑 ∧ 0 ∈ ℤ) → (𝐹‘0) ∈ ℝ)))
6963, 68, 10vtocl 3232 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ 0 ∈ ℤ) → (𝐹‘0) ∈ ℝ)
7062, 69mpan2 703 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝐹‘0) ∈ ℝ)
7170recnd 9947 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝐹‘0) ∈ ℂ)
72 neg0 10206 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 -0 = 0
7372fveq2i 6106 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐹‘-0) = (𝐹‘0)
74 negeq 10152 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑥 = 0 → -𝑥 = -0)
7574fveq2d 6107 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑥 = 0 → (𝐹‘-𝑥) = (𝐹‘-0))
7666negeqd 10154 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑥 = 0 → -(𝐹𝑥) = -(𝐹‘0))
7775, 76eqeq12d 2625 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 = 0 → ((𝐹‘-𝑥) = -(𝐹𝑥) ↔ (𝐹‘-0) = -(𝐹‘0)))
7865, 77imbi12d 333 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 = 0 → (((𝜑𝑥 ∈ ℤ) → (𝐹‘-𝑥) = -(𝐹𝑥)) ↔ ((𝜑 ∧ 0 ∈ ℤ) → (𝐹‘-0) = -(𝐹‘0))))
79 monotoddzzfi.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑥 ∈ ℤ) → (𝐹‘-𝑥) = -(𝐹𝑥))
8063, 78, 79vtocl 3232 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ 0 ∈ ℤ) → (𝐹‘-0) = -(𝐹‘0))
8162, 80mpan2 703 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝐹‘-0) = -(𝐹‘0))
8273, 81syl5eqr 2658 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝐹‘0) = -(𝐹‘0))
8371, 82eqnegad 10626 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝐹‘0) = 0)
8483adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (𝐹‘0) = 0)
8584ad2antrr 758 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (-𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℕ)) ∧ -𝑎 ∈ ℕ) → (𝐹‘0) = 0)
86 nngt0 10926 . . . . . . . . . . . . . . 15 (-𝑎 ∈ ℕ → 0 < -𝑎)
8786adantl 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (-𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℕ)) ∧ -𝑎 ∈ ℕ) → 0 < -𝑎)
88 simplll 794 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (-𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℕ)) ∧ -𝑎 ∈ ℕ) → 𝜑)
89 0nn0 11184 . . . . . . . . . . . . . . . 16 0 ∈ ℕ0
9089a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (-𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℕ)) ∧ -𝑎 ∈ ℕ) → 0 ∈ ℕ0)
91 simplrl 796 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (-𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℕ)) ∧ -𝑎 ∈ ℕ) → -𝑎 ∈ ℕ0)
92 simpl 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑥 = 0 ∧ 𝑦 = -𝑎) → 𝑥 = 0)
9392eleq1d 2672 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑥 = 0 ∧ 𝑦 = -𝑎) → (𝑥 ∈ ℕ0 ↔ 0 ∈ ℕ0))
94 simpr 476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑥 = 0 ∧ 𝑦 = -𝑎) → 𝑦 = -𝑎)
9594eleq1d 2672 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑥 = 0 ∧ 𝑦 = -𝑎) → (𝑦 ∈ ℕ0 ↔ -𝑎 ∈ ℕ0))
9693, 953anbi23d 1394 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑥 = 0 ∧ 𝑦 = -𝑎) → ((𝜑𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) ↔ (𝜑 ∧ 0 ∈ ℕ0 ∧ -𝑎 ∈ ℕ0)))
97 breq12 4588 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑥 = 0 ∧ 𝑦 = -𝑎) → (𝑥 < 𝑦 ↔ 0 < -𝑎))
9892fveq2d 6107 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑥 = 0 ∧ 𝑦 = -𝑎) → (𝐹𝑥) = (𝐹‘0))
9994fveq2d 6107 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑥 = 0 ∧ 𝑦 = -𝑎) → (𝐹𝑦) = (𝐹‘-𝑎))
10098, 99breq12d 4596 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑥 = 0 ∧ 𝑦 = -𝑎) → ((𝐹𝑥) < (𝐹𝑦) ↔ (𝐹‘0) < (𝐹‘-𝑎)))
10197, 100imbi12d 333 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑥 = 0 ∧ 𝑦 = -𝑎) → ((𝑥 < 𝑦 → (𝐹𝑥) < (𝐹𝑦)) ↔ (0 < -𝑎 → (𝐹‘0) < (𝐹‘-𝑎))))
10296, 101imbi12d 333 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥 = 0 ∧ 𝑦 = -𝑎) → (((𝜑𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) → (𝑥 < 𝑦 → (𝐹𝑥) < (𝐹𝑦))) ↔ ((𝜑 ∧ 0 ∈ ℕ0 ∧ -𝑎 ∈ ℕ0) → (0 < -𝑎 → (𝐹‘0) < (𝐹‘-𝑎)))))
10363, 53, 102, 35vtocl2 3234 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ 0 ∈ ℕ0 ∧ -𝑎 ∈ ℕ0) → (0 < -𝑎 → (𝐹‘0) < (𝐹‘-𝑎)))
10488, 90, 91, 103syl3anc 1318 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (-𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℕ)) ∧ -𝑎 ∈ ℕ) → (0 < -𝑎 → (𝐹‘0) < (𝐹‘-𝑎)))
10587, 104mpd 15 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (-𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℕ)) ∧ -𝑎 ∈ ℕ) → (𝐹‘0) < (𝐹‘-𝑎))
10685, 105eqbrtrrd 4607 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (-𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℕ)) ∧ -𝑎 ∈ ℕ) → 0 < (𝐹‘-𝑎))
10750, 61, 106ltled 10064 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (-𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℕ)) ∧ -𝑎 ∈ ℕ) → 0 ≤ (𝐹‘-𝑎))
108 0le0 10987 . . . . . . . . . . . . 13 0 ≤ 0
10984ad2antrr 758 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (-𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℕ)) ∧ -𝑎 = 0) → (𝐹‘0) = 0)
110108, 109syl5breqr 4621 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (-𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℕ)) ∧ -𝑎 = 0) → 0 ≤ (𝐹‘0))
111 fveq2 6103 . . . . . . . . . . . . . 14 (-𝑎 = 0 → (𝐹‘-𝑎) = (𝐹‘0))
112111breq2d 4595 . . . . . . . . . . . . 13 (-𝑎 = 0 → (0 ≤ (𝐹‘-𝑎) ↔ 0 ≤ (𝐹‘0)))
113112adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (-𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℕ)) ∧ -𝑎 = 0) → (0 ≤ (𝐹‘-𝑎) ↔ 0 ≤ (𝐹‘0)))
114110, 113mpbird 246 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (-𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℕ)) ∧ -𝑎 = 0) → 0 ≤ (𝐹‘-𝑎))
115 elnn0 11171 . . . . . . . . . . . . 13 (-𝑎 ∈ ℕ0 ↔ (-𝑎 ∈ ℕ ∨ -𝑎 = 0))
116115biimpi 205 . . . . . . . . . . . 12 (-𝑎 ∈ ℕ0 → (-𝑎 ∈ ℕ ∨ -𝑎 = 0))
117116ad2antrl 760 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (-𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℕ)) → (-𝑎 ∈ ℕ ∨ -𝑎 = 0))
118107, 114, 117mpjaodan 823 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (-𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℕ)) → 0 ≤ (𝐹‘-𝑎))
119 negeq 10152 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = 𝑎 → -𝑥 = -𝑎)
120119fveq2d 6107 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = 𝑎 → (𝐹‘-𝑥) = (𝐹‘-𝑎))
1217negeqd 10154 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = 𝑎 → -(𝐹𝑥) = -(𝐹𝑎))
122120, 121eqeq12d 2625 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 𝑎 → ((𝐹‘-𝑥) = -(𝐹𝑥) ↔ (𝐹‘-𝑎) = -(𝐹𝑎)))
1236, 122imbi12d 333 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 𝑎 → (((𝜑𝑥 ∈ ℤ) → (𝐹‘-𝑥) = -(𝐹𝑥)) ↔ ((𝜑𝑎 ∈ ℤ) → (𝐹‘-𝑎) = -(𝐹𝑎))))
124123, 79chvarv 2251 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑎 ∈ ℤ) → (𝐹‘-𝑎) = -(𝐹𝑎))
125124adantrr 749 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (𝐹‘-𝑎) = -(𝐹𝑎))
126125adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (-𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℕ)) → (𝐹‘-𝑎) = -(𝐹𝑎))
127118, 126breqtrd 4609 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (-𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℕ)) → 0 ≤ -(𝐹𝑎))
12840le0neg1d 10478 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (-𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℕ)) → ((𝐹𝑎) ≤ 0 ↔ 0 ≤ -(𝐹𝑎)))
129127, 128mpbird 246 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (-𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℕ)) → (𝐹𝑎) ≤ 0)
13084adantr 480 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (-𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℕ)) → (𝐹‘0) = 0)
131 nngt0 10926 . . . . . . . . . . 11 (𝑏 ∈ ℕ → 0 < 𝑏)
132131ad2antll 761 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (-𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℕ)) → 0 < 𝑏)
133 simpll 786 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (-𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℕ)) → 𝜑)
13489a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (-𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℕ)) → 0 ∈ ℕ0)
13521ad2antll 761 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (-𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℕ)) → 𝑏 ∈ ℕ0)
136 simpl 472 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 = 0 ∧ 𝑦 = 𝑏) → 𝑥 = 0)
137136eleq1d 2672 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 = 0 ∧ 𝑦 = 𝑏) → (𝑥 ∈ ℕ0 ↔ 0 ∈ ℕ0))
138 simpr 476 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 = 0 ∧ 𝑦 = 𝑏) → 𝑦 = 𝑏)
139138eleq1d 2672 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 = 0 ∧ 𝑦 = 𝑏) → (𝑦 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℕ0))
140137, 1393anbi23d 1394 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 = 0 ∧ 𝑦 = 𝑏) → ((𝜑𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) ↔ (𝜑 ∧ 0 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℕ0)))
141 breq12 4588 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 = 0 ∧ 𝑦 = 𝑏) → (𝑥 < 𝑦 ↔ 0 < 𝑏))
14266, 31breqan12d 4599 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 = 0 ∧ 𝑦 = 𝑏) → ((𝐹𝑥) < (𝐹𝑦) ↔ (𝐹‘0) < (𝐹𝑏)))
143141, 142imbi12d 333 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 = 0 ∧ 𝑦 = 𝑏) → ((𝑥 < 𝑦 → (𝐹𝑥) < (𝐹𝑦)) ↔ (0 < 𝑏 → (𝐹‘0) < (𝐹𝑏))))
144140, 143imbi12d 333 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 = 0 ∧ 𝑦 = 𝑏) → (((𝜑𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) → (𝑥 < 𝑦 → (𝐹𝑥) < (𝐹𝑦))) ↔ ((𝜑 ∧ 0 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℕ0) → (0 < 𝑏 → (𝐹‘0) < (𝐹𝑏)))))
14563, 24, 144, 35vtocl2 3234 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ 0 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℕ0) → (0 < 𝑏 → (𝐹‘0) < (𝐹𝑏)))
146133, 134, 135, 145syl3anc 1318 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (-𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℕ)) → (0 < 𝑏 → (𝐹‘0) < (𝐹𝑏)))
147132, 146mpd 15 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (-𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℕ)) → (𝐹‘0) < (𝐹𝑏))
148130, 147eqbrtrrd 4607 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (-𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℕ)) → 0 < (𝐹𝑏))
14940, 41, 49, 129, 148lelttrd 10074 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (-𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℕ)) → (𝐹𝑎) < (𝐹𝑏))
150149a1d 25 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (-𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℕ)) → (𝑎 < 𝑏 → (𝐹𝑎) < (𝐹𝑏)))
151150ex 449 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → ((-𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℕ) → (𝑎 < 𝑏 → (𝐹𝑎) < (𝐹𝑏))))
152 simp3 1056 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ -𝑏 ∈ ℕ0) ∧ 𝑎 < 𝑏) → 𝑎 < 𝑏)
153 zre 11258 . . . . . . . . . . . 12 (𝑏 ∈ ℤ → 𝑏 ∈ ℝ)
154153adantl 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → 𝑏 ∈ ℝ)
155154ad2antlr 759 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ -𝑏 ∈ ℕ0)) → 𝑏 ∈ ℝ)
156 1red 9934 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ -𝑏 ∈ ℕ0)) → 1 ∈ ℝ)
157 nnre 10904 . . . . . . . . . . 11 (𝑎 ∈ ℕ → 𝑎 ∈ ℝ)
158157ad2antrl 760 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ -𝑏 ∈ ℕ0)) → 𝑎 ∈ ℝ)
159 0red 9920 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ -𝑏 ∈ ℕ0)) → 0 ∈ ℝ)
160 nn0ge0 11195 . . . . . . . . . . . . 13 (-𝑏 ∈ ℕ0 → 0 ≤ -𝑏)
161160ad2antll 761 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ -𝑏 ∈ ℕ0)) → 0 ≤ -𝑏)
162155le0neg1d 10478 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ -𝑏 ∈ ℕ0)) → (𝑏 ≤ 0 ↔ 0 ≤ -𝑏))
163161, 162mpbird 246 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ -𝑏 ∈ ℕ0)) → 𝑏 ≤ 0)
164 0le1 10430 . . . . . . . . . . . 12 0 ≤ 1
165164a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ -𝑏 ∈ ℕ0)) → 0 ≤ 1)
166155, 159, 156, 163, 165letrd 10073 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ -𝑏 ∈ ℕ0)) → 𝑏 ≤ 1)
167 nnge1 10923 . . . . . . . . . . 11 (𝑎 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝑎)
168167ad2antrl 760 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ -𝑏 ∈ ℕ0)) → 1 ≤ 𝑎)
169155, 156, 158, 166, 168letrd 10073 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ -𝑏 ∈ ℕ0)) → 𝑏𝑎)
170155, 158lenltd 10062 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ -𝑏 ∈ ℕ0)) → (𝑏𝑎 ↔ ¬ 𝑎 < 𝑏))
171169, 170mpbid 221 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ -𝑏 ∈ ℕ0)) → ¬ 𝑎 < 𝑏)
1721713adant3 1074 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ -𝑏 ∈ ℕ0) ∧ 𝑎 < 𝑏) → ¬ 𝑎 < 𝑏)
173152, 172pm2.21dd 185 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ -𝑏 ∈ ℕ0) ∧ 𝑎 < 𝑏) → (𝐹𝑎) < (𝐹𝑏))
1741733exp 1256 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → ((𝑎 ∈ ℕ ∧ -𝑏 ∈ ℕ0) → (𝑎 < 𝑏 → (𝐹𝑎) < (𝐹𝑏))))
175 negex 10158 . . . . . . . . . . . 12 -𝑏 ∈ V
176 simpl 472 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 = -𝑏𝑦 = -𝑎) → 𝑥 = -𝑏)
177176eleq1d 2672 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 = -𝑏𝑦 = -𝑎) → (𝑥 ∈ ℕ0 ↔ -𝑏 ∈ ℕ0))
178 simpr 476 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 = -𝑏𝑦 = -𝑎) → 𝑦 = -𝑎)
179178eleq1d 2672 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 = -𝑏𝑦 = -𝑎) → (𝑦 ∈ ℕ0 ↔ -𝑎 ∈ ℕ0))
180177, 1793anbi23d 1394 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 = -𝑏𝑦 = -𝑎) → ((𝜑𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) ↔ (𝜑 ∧ -𝑏 ∈ ℕ0 ∧ -𝑎 ∈ ℕ0)))
181 breq12 4588 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 = -𝑏𝑦 = -𝑎) → (𝑥 < 𝑦 ↔ -𝑏 < -𝑎))
182 fveq2 6103 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = -𝑏 → (𝐹𝑥) = (𝐹‘-𝑏))
183 fveq2 6103 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 = -𝑎 → (𝐹𝑦) = (𝐹‘-𝑎))
184182, 183breqan12d 4599 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 = -𝑏𝑦 = -𝑎) → ((𝐹𝑥) < (𝐹𝑦) ↔ (𝐹‘-𝑏) < (𝐹‘-𝑎)))
185181, 184imbi12d 333 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 = -𝑏𝑦 = -𝑎) → ((𝑥 < 𝑦 → (𝐹𝑥) < (𝐹𝑦)) ↔ (-𝑏 < -𝑎 → (𝐹‘-𝑏) < (𝐹‘-𝑎))))
186180, 185imbi12d 333 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 = -𝑏𝑦 = -𝑎) → (((𝜑𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) → (𝑥 < 𝑦 → (𝐹𝑥) < (𝐹𝑦))) ↔ ((𝜑 ∧ -𝑏 ∈ ℕ0 ∧ -𝑎 ∈ ℕ0) → (-𝑏 < -𝑎 → (𝐹‘-𝑏) < (𝐹‘-𝑎)))))
187175, 53, 186, 35vtocl2 3234 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ -𝑏 ∈ ℕ0 ∧ -𝑎 ∈ ℕ0) → (-𝑏 < -𝑎 → (𝐹‘-𝑏) < (𝐹‘-𝑎)))
1881873com23 1263 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ -𝑎 ∈ ℕ0 ∧ -𝑏 ∈ ℕ0) → (-𝑏 < -𝑎 → (𝐹‘-𝑏) < (𝐹‘-𝑎)))
1891883expb 1258 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (-𝑎 ∈ ℕ0 ∧ -𝑏 ∈ ℕ0)) → (-𝑏 < -𝑎 → (𝐹‘-𝑏) < (𝐹‘-𝑎)))
190189adantlr 747 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (-𝑎 ∈ ℕ0 ∧ -𝑏 ∈ ℕ0)) → (-𝑏 < -𝑎 → (𝐹‘-𝑏) < (𝐹‘-𝑎)))
191 negeq 10152 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = 𝑏 → -𝑥 = -𝑏)
192191fveq2d 6107 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 𝑏 → (𝐹‘-𝑥) = (𝐹‘-𝑏))
19344negeqd 10154 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 𝑏 → -(𝐹𝑥) = -(𝐹𝑏))
194192, 193eqeq12d 2625 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 𝑏 → ((𝐹‘-𝑥) = -(𝐹𝑥) ↔ (𝐹‘-𝑏) = -(𝐹𝑏)))
19543, 194imbi12d 333 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝑏 → (((𝜑𝑥 ∈ ℤ) → (𝐹‘-𝑥) = -(𝐹𝑥)) ↔ ((𝜑𝑏 ∈ ℤ) → (𝐹‘-𝑏) = -(𝐹𝑏))))
196195, 79chvarv 2251 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑏 ∈ ℤ) → (𝐹‘-𝑏) = -(𝐹𝑏))
197196adantrl 748 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (𝐹‘-𝑏) = -(𝐹𝑏))
198197adantr 480 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (-𝑎 ∈ ℕ0 ∧ -𝑏 ∈ ℕ0)) → (𝐹‘-𝑏) = -(𝐹𝑏))
199125adantr 480 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (-𝑎 ∈ ℕ0 ∧ -𝑏 ∈ ℕ0)) → (𝐹‘-𝑎) = -(𝐹𝑎))
200198, 199breq12d 4596 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (-𝑎 ∈ ℕ0 ∧ -𝑏 ∈ ℕ0)) → ((𝐹‘-𝑏) < (𝐹‘-𝑎) ↔ -(𝐹𝑏) < -(𝐹𝑎)))
201190, 200sylibd 228 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (-𝑎 ∈ ℕ0 ∧ -𝑏 ∈ ℕ0)) → (-𝑏 < -𝑎 → -(𝐹𝑏) < -(𝐹𝑎)))
202 zre 11258 . . . . . . . . . 10 (𝑎 ∈ ℤ → 𝑎 ∈ ℝ)
203202ad2antrl 760 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → 𝑎 ∈ ℝ)
204203adantr 480 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (-𝑎 ∈ ℕ0 ∧ -𝑏 ∈ ℕ0)) → 𝑎 ∈ ℝ)
205154ad2antlr 759 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (-𝑎 ∈ ℕ0 ∧ -𝑏 ∈ ℕ0)) → 𝑏 ∈ ℝ)
206204, 205ltnegd 10484 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (-𝑎 ∈ ℕ0 ∧ -𝑏 ∈ ℕ0)) → (𝑎 < 𝑏 ↔ -𝑏 < -𝑎))
20739adantr 480 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (-𝑎 ∈ ℕ0 ∧ -𝑏 ∈ ℕ0)) → (𝐹𝑎) ∈ ℝ)
20848adantr 480 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (-𝑎 ∈ ℕ0 ∧ -𝑏 ∈ ℕ0)) → (𝐹𝑏) ∈ ℝ)
209207, 208ltnegd 10484 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (-𝑎 ∈ ℕ0 ∧ -𝑏 ∈ ℕ0)) → ((𝐹𝑎) < (𝐹𝑏) ↔ -(𝐹𝑏) < -(𝐹𝑎)))
210201, 206, 2093imtr4d 282 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (-𝑎 ∈ ℕ0 ∧ -𝑏 ∈ ℕ0)) → (𝑎 < 𝑏 → (𝐹𝑎) < (𝐹𝑏)))
211210ex 449 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → ((-𝑎 ∈ ℕ0 ∧ -𝑏 ∈ ℕ0) → (𝑎 < 𝑏 → (𝐹𝑎) < (𝐹𝑏))))
21238, 151, 174, 211ccased 985 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (((𝑎 ∈ ℕ ∨ -𝑎 ∈ ℕ0) ∧ (𝑏 ∈ ℕ ∨ -𝑏 ∈ ℕ0)) → (𝑎 < 𝑏 → (𝐹𝑎) < (𝐹𝑏))))
21317, 212mpd 15 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (𝑎 < 𝑏 → (𝐹𝑎) < (𝐹𝑏)))
2141, 2, 3, 4, 11, 213ltord1 10433 . 2 ((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) → (𝐴 < 𝐵 ↔ (𝐹𝐴) < (𝐹𝐵)))
2152143impb 1252 1 ((𝜑𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 < 𝐵 ↔ (𝐹𝐴) < (𝐹𝐵)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 195   ∨ wo 382   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   class class class wbr 4583  ‘cfv 5804  ℝcr 9814  0cc0 9815  1c1 9816   < clt 9953   ≤ cle 9954  -cneg 10146  ℕcn 10897  ℕ0cn0 11169  ℤcz 11254 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-n0 11170  df-z 11255 This theorem is referenced by:  monotoddzz  36526
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