MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lelttrd Structured version   Unicode version

Theorem lelttrd 9534
Description: Transitive law deduction for 'less than or equal to', 'less than'. (Contributed by NM, 8-Jan-2006.)
Hypotheses
Ref Expression
ltd.1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
ltd.2  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
letrd.3  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
lelttrd.4  |-  ( ph  ->  A  <_  B )
lelttrd.5  |-  ( ph  ->  B  <  C )
Assertion
Ref Expression
lelttrd  |-  ( ph  ->  A  <  C )

Proof of Theorem lelttrd
StepHypRef Expression
1 lelttrd.4 . 2  |-  ( ph  ->  A  <_  B )
2 lelttrd.5 . 2  |-  ( ph  ->  B  <  C )
3 ltd.1 . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
4 ltd.2 . . 3  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
5 letrd.3 . . 3  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
6 lelttr 9470 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  (
( A  <_  B  /\  B  <  C )  ->  A  <  C
) )
73, 4, 5, 6syl3anc 1218 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( A  <_  B  /\  B  <  C
)  ->  A  <  C ) )
81, 2, 7mp2and 679 1  |-  ( ph  ->  A  <  C )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    e. wcel 1756   class class class wbr 4297   RRcr 9286    < clt 9423    <_ cle 9424
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4418  ax-nul 4426  ax-pow 4475  ax-pr 4536  ax-un 6377  ax-resscn 9344  ax-pre-lttri 9361  ax-pre-lttrn 9362
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2573  df-ne 2613  df-nel 2614  df-ral 2725  df-rex 2726  df-rab 2729  df-v 2979  df-sbc 3192  df-csb 3294  df-dif 3336  df-un 3338  df-in 3340  df-ss 3347  df-nul 3643  df-if 3797  df-pw 3867  df-sn 3883  df-pr 3885  df-op 3889  df-uni 4097  df-br 4298  df-opab 4356  df-mpt 4357  df-id 4641  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5386  df-fun 5425  df-fn 5426  df-f 5427  df-f1 5428  df-fo 5429  df-f1o 5430  df-fv 5431  df-er 7106  df-en 7316  df-dom 7317  df-sdom 7318  df-pnf 9425  df-mnf 9426  df-xr 9427  df-ltxr 9428  df-le 9429
This theorem is referenced by:  lt2msq1  10220  suprzcl  10726  ge0p1rp  11024  elfzolt3  11567  ltdifltdiv  11683  modsubdir  11772  seqf1olem1  11850  seqf1olem2  11851  expmulnbnd  12001  discr1  12005  faclbnd5  12079  bcp1nk  12098  hashfun  12204  swrds2  12550  abslt  12807  abs3lem  12831  fzomaxdiflem  12835  reccn2  13079  o1rlimmul  13101  caucvgrlem  13155  geomulcvg  13341  mertenslem1  13349  ef01bndlem  13473  sin01bnd  13474  cos01bnd  13475  sinltx  13478  eirrlem  13491  rpnnen2lem11  13512  ruclem10  13526  bitsfzolem  13635  bitsfzo  13636  bitsinv1lem  13642  smueqlem  13691  pcfaclem  13965  pockthg  13972  prmreclem5  13986  1arith  13993  4sqlem11  14021  4sqlem12  14022  4sqlem13  14023  coe1tmmul2  17734  ssblex  20008  nlmvscnlem2  20271  nlmvscnlem1  20272  nrginvrcnlem  20276  blcvx  20380  icccmplem2  20405  reconnlem2  20409  metdcnlem  20418  icopnfcnv  20519  nmoleub2lem3  20675  ipcnlem2  20761  ipcnlem1  20762  minveclem3b  20920  minveclem3  20921  pjthlem1  20929  pmltpclem2  20938  ivthlem2  20941  ovollb2lem  20976  iundisj  21034  uniioombllem3  21070  opnmbllem  21086  itg2monolem3  21235  itg2cnlem2  21245  dveflem  21456  dvferm2lem  21463  lhop1lem  21490  dvcnvre  21496  ftc1a  21514  ftc1lem4  21516  coeeulem  21697  dgradd2  21740  aaliou2b  21812  ulmdvlem1  21870  itgulm  21878  radcnvlem1  21883  radcnvlt1  21888  radcnvle  21890  psercnlem1  21895  pserdvlem1  21897  pserdv  21899  abelthlem2  21902  abelthlem7  21908  cosordlem  21992  tanord1  21998  efif1olem1  22003  logcnlem3  22094  logcnlem4  22095  efopnlem1  22106  logtayl  22110  cxpcn3lem  22190  birthdaylem3  22352  efrlim  22368  ftalem1  22415  ftalem2  22416  ftalem5  22419  basellem1  22423  basellem3  22425  perfectlem2  22574  bposlem1  22628  bposlem3  22630  bposlem6  22633  lgsdirprm  22673  lgsqrlem2  22686  lgseisen  22697  lgsquadlem1  22698  lgsquadlem2  22699  2sqlem8  22716  2sqblem  22721  dchrvmasumiflem1  22755  pntrmax  22818  pntlemc  22849  pntlemg  22852  pntlemr  22856  axpaschlem  23191  axlowdimlem16  23208  eupap1  23602  smcnlem  24097  minvecolem3  24282  pjhthlem1  24799  nmcexi  25435  iundisjf  25936  iundisjfi  26085  dya2icoseg  26697  lgamgulmlem2  27021  lgamucov  27029  subfaclim  27081  bpoly4  28207  lxflflp1  28426  opnmbllem0  28432  mblfinlem3  28435  mblfinlem4  28436  ftc1cnnclem  28470  ftc1anclem7  28478  isbnd3  28688  cntotbnd  28700  rrnequiv  28739  icodiamlt  29166  irrapxlem1  29168  pell14qrgapw  29222  monotoddzzfi  29288  ltrmynn0  29296  jm2.24nn  29307  acongeq  29331  jm2.26lem3  29355  jm3.1lem2  29372  rfcnnnub  29763  fmul01lt1lem1  29770  fmul01lt1lem2  29771  stoweidlem5  29805  stoweidlem11  29811  stoweidlem13  29813  stoweidlem14  29814  stoweidlem25  29825  stoweidlem26  29826  stoweidlem42  29842  stoweidlem59  29859  stoweid  29863  wallispilem3  29867  wallispilem4  29868  wallispilem5  29869  clwwisshclwwlem  30475  pgrple2abel  30773  isosctrlem1ALT  31675
  Copyright terms: Public domain W3C validator