MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lelttrd Unicode version

Theorem lelttrd 9184
Description: Transitive law deduction for 'less than or equal to', 'less than'. (Contributed by NM, 8-Jan-2006.)
Hypotheses
Ref Expression
ltd.1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
ltd.2  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
letrd.3  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
lelttrd.4  |-  ( ph  ->  A  <_  B )
lelttrd.5  |-  ( ph  ->  B  <  C )
Assertion
Ref Expression
lelttrd  |-  ( ph  ->  A  <  C )

Proof of Theorem lelttrd
StepHypRef Expression
1 lelttrd.4 . 2  |-  ( ph  ->  A  <_  B )
2 lelttrd.5 . 2  |-  ( ph  ->  B  <  C )
3 ltd.1 . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
4 ltd.2 . . 3  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
5 letrd.3 . . 3  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
6 lelttr 9121 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  (
( A  <_  B  /\  B  <  C )  ->  A  <  C
) )
73, 4, 5, 6syl3anc 1184 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( A  <_  B  /\  B  <  C
)  ->  A  <  C ) )
81, 2, 7mp2and 661 1  |-  ( ph  ->  A  <  C )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    e. wcel 1721   class class class wbr 4172   RRcr 8945    < clt 9076    <_ cle 9077
This theorem is referenced by:  lt2msq1  9849  suprzcl  10305  ge0p1rp  10596  elfzolt3  11104  modsubdir  11240  seqf1olem1  11317  seqf1olem2  11318  expmulnbnd  11466  discr1  11470  faclbnd5  11544  bcp1nk  11563  hashfun  11655  swrds2  11835  abslt  12073  abs3lem  12097  fzomaxdiflem  12101  reccn2  12345  o1rlimmul  12367  caucvgrlem  12421  geomulcvg  12608  mertenslem1  12616  ef01bndlem  12740  sin01bnd  12741  cos01bnd  12742  sinltx  12745  eirrlem  12758  rpnnen2lem11  12779  ruclem10  12793  bitsfzolem  12901  bitsfzo  12902  bitsinv1lem  12908  smueqlem  12957  pcfaclem  13222  pockthg  13229  prmreclem5  13243  1arith  13250  4sqlem11  13278  4sqlem12  13279  4sqlem13  13280  coe1tmmul2  16623  ssblex  18411  nlmvscnlem2  18674  nlmvscnlem1  18675  nrginvrcnlem  18679  blcvx  18782  icccmplem2  18807  reconnlem2  18811  metdcnlem  18820  icopnfcnv  18920  nmoleub2lem3  19076  ipcnlem2  19151  ipcnlem1  19152  minveclem3b  19282  minveclem3  19283  pjthlem1  19291  pmltpclem2  19299  ivthlem2  19302  ovollb2lem  19337  iundisj  19395  uniioombllem3  19430  opnmbllem  19446  itg2monolem3  19597  itg2cnlem2  19607  dveflem  19816  dvferm2lem  19823  lhop1lem  19850  dvcnvre  19856  ftc1a  19874  ftc1lem4  19876  coeeulem  20096  dgradd2  20139  aaliou2b  20211  ulmdvlem1  20269  itgulm  20277  radcnvlem1  20282  radcnvlt1  20287  radcnvle  20289  psercnlem1  20294  pserdvlem1  20296  pserdv  20298  abelthlem2  20301  abelthlem7  20307  cosordlem  20386  tanord1  20392  efif1olem1  20397  logcnlem3  20488  logcnlem4  20489  efopnlem1  20500  logtayl  20504  cxpcn3lem  20584  birthdaylem3  20745  efrlim  20761  ftalem1  20808  ftalem2  20809  ftalem5  20812  basellem1  20816  basellem3  20818  perfectlem2  20967  bposlem1  21021  bposlem3  21023  bposlem6  21026  lgsdirprm  21066  lgsqrlem2  21079  lgseisen  21090  lgsquadlem1  21091  lgsquadlem2  21092  2sqlem8  21109  2sqblem  21114  dchrvmasumiflem1  21148  pntrmax  21211  pntlemc  21242  pntlemg  21245  pntlemr  21249  eupap1  21651  smcnlem  22146  minvecolem3  22331  pjhthlem1  22846  nmcexi  23482  iundisjf  23982  iundisjfi  24105  dya2icoseg  24580  lgamgulmlem2  24767  lgamucov  24775  subfaclim  24827  axpaschlem  25783  axlowdimlem16  25800  bpoly4  26009  lxflflp1  26142  mblfinlem  26143  mblfinlem2  26144  mblfinlem3  26145  ftc1cnnclem  26177  isbnd3  26383  cntotbnd  26395  rrnequiv  26434  icodiamlt  26773  irrapxlem1  26775  pell14qrgapw  26829  monotoddzzfi  26895  ltrmynn0  26903  jm2.24nn  26914  acongeq  26938  jm2.26lem3  26962  jm3.1lem2  26979  rfcnnnub  27574  fmul01lt1lem1  27581  fmul01lt1lem2  27582  stoweidlem5  27621  stoweidlem11  27627  stoweidlem13  27629  stoweidlem14  27630  stoweidlem25  27641  stoweidlem26  27642  stoweidlem42  27658  stoweidlem59  27675  stoweid  27679  wallispilem3  27683  wallispilem4  27684  wallispilem5  27685
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-resscn 9003  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-op 3783  df-uni 3976  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-id 4458  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-er 6864  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082
  Copyright terms: Public domain W3C validator