MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lelttrd Structured version   Unicode version

Theorem lelttrd 9735
Description: Transitive law deduction for 'less than or equal to', 'less than'. (Contributed by NM, 8-Jan-2006.)
Hypotheses
Ref Expression
ltd.1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
ltd.2  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
letrd.3  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
lelttrd.4  |-  ( ph  ->  A  <_  B )
lelttrd.5  |-  ( ph  ->  B  <  C )
Assertion
Ref Expression
lelttrd  |-  ( ph  ->  A  <  C )

Proof of Theorem lelttrd
StepHypRef Expression
1 lelttrd.4 . 2  |-  ( ph  ->  A  <_  B )
2 lelttrd.5 . 2  |-  ( ph  ->  B  <  C )
3 ltd.1 . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
4 ltd.2 . . 3  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
5 letrd.3 . . 3  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
6 lelttr 9671 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  (
( A  <_  B  /\  B  <  C )  ->  A  <  C
) )
73, 4, 5, 6syl3anc 1228 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( A  <_  B  /\  B  <  C
)  ->  A  <  C ) )
81, 2, 7mp2and 679 1  |-  ( ph  ->  A  <  C )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    e. wcel 1767   class class class wbr 4447   RRcr 9487    < clt 9624    <_ cle 9625
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-resscn 9545  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-er 7308  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630
This theorem is referenced by:  lt2msq1  10424  suprzcl  10936  ge0p1rp  11244  elfzolt3  11802  flflp1  11908  ltdifltdiv  11930  modsubdir  12019  seqf1olem1  12110  seqf1olem2  12111  expmulnbnd  12262  discr1  12266  faclbnd5  12340  bcp1nk  12359  hashfun  12457  swrds2  12842  abslt  13106  abs3lem  13130  fzomaxdiflem  13134  reccn2  13378  o1rlimmul  13400  caucvgrlem  13454  geomulcvg  13644  mertenslem1  13652  ef01bndlem  13776  sin01bnd  13777  cos01bnd  13778  sinltx  13781  eirrlem  13794  rpnnen2lem11  13815  ruclem10  13829  bitsfzolem  13939  bitsfzo  13940  bitsinv1lem  13946  smueqlem  13995  pcfaclem  14272  pockthg  14279  prmreclem5  14293  1arith  14300  4sqlem11  14328  4sqlem12  14329  4sqlem13  14330  coe1tmmul2  18088  ssblex  20666  nlmvscnlem2  20929  nlmvscnlem1  20930  nrginvrcnlem  20934  blcvx  21038  icccmplem2  21063  reconnlem2  21067  metdcnlem  21076  icopnfcnv  21177  nmoleub2lem3  21333  ipcnlem2  21419  ipcnlem1  21420  minveclem3b  21578  minveclem3  21579  pjthlem1  21587  pmltpclem2  21596  ivthlem2  21599  ovollb2lem  21634  iundisj  21693  uniioombllem3  21729  opnmbllem  21745  itg2monolem3  21894  itg2cnlem2  21904  dveflem  22115  dvferm2lem  22122  lhop1lem  22149  dvcnvre  22155  ftc1a  22173  ftc1lem4  22175  coeeulem  22356  dgradd2  22399  aaliou2b  22471  ulmdvlem1  22529  itgulm  22537  radcnvlem1  22542  radcnvlt1  22547  radcnvle  22549  psercnlem1  22554  pserdvlem1  22556  pserdv  22558  abelthlem2  22561  abelthlem7  22567  cosordlem  22651  tanord1  22657  efif1olem1  22662  logcnlem3  22753  logcnlem4  22754  efopnlem1  22765  logtayl  22769  cxpcn3lem  22849  birthdaylem3  23011  efrlim  23027  ftalem1  23074  ftalem2  23075  ftalem5  23078  basellem1  23082  basellem3  23084  perfectlem2  23233  bposlem1  23287  bposlem3  23289  bposlem6  23292  lgsdirprm  23332  lgsqrlem2  23345  lgseisen  23356  lgsquadlem1  23357  lgsquadlem2  23358  2sqlem8  23375  2sqblem  23380  dchrvmasumiflem1  23414  pntrmax  23477  pntlemc  23508  pntlemg  23511  pntlemr  23515  axpaschlem  23919  axlowdimlem16  23936  clwwisshclwwlem  24482  eupap1  24652  smcnlem  25283  minvecolem3  25468  pjhthlem1  25985  nmcexi  26621  iundisjf  27121  iundisjfi  27269  dya2icoseg  27888  lgamgulmlem2  28212  lgamucov  28220  subfaclim  28272  bpoly4  29398  opnmbllem0  29627  mblfinlem3  29630  mblfinlem4  29631  ftc1cnnclem  29665  ftc1anclem7  29673  isbnd3  29883  cntotbnd  29895  rrnequiv  29934  icodiamlt  30360  irrapxlem1  30362  pell14qrgapw  30416  monotoddzzfi  30482  ltrmynn0  30490  jm2.24nn  30501  acongeq  30525  jm2.26lem3  30547  jm3.1lem2  30564  rfcnnnub  30989  zltlesub  31045  monoords  31073  fmul01lt1lem1  31134  fmul01lt1lem2  31135  lptre2pt  31182  addlimc  31190  0ellimcdiv  31191  limclner  31193  icccncfext  31226  ioodvbdlimc1lem1  31261  ioodvbdlimc1lem2  31262  ioodvbdlimc2lem  31264  iblspltprt  31291  itgspltprt  31297  stoweidlem5  31305  stoweidlem11  31311  stoweidlem13  31313  stoweidlem14  31314  stoweidlem25  31325  stoweidlem26  31326  stoweidlem42  31342  stoweidlem59  31359  stoweid  31363  wallispilem3  31367  wallispilem4  31368  wallispilem5  31369  fourierdlem10  31417  fourierdlem11  31418  fourierdlem12  31419  fourierdlem15  31422  fourierdlem20  31427  fourierdlem24  31431  fourierdlem30  31437  fourierdlem31  31438  fourierdlem33  31440  fourierdlem40  31447  fourierdlem41  31448  fourierdlem42  31449  fourierdlem43  31450  fourierdlem44  31451  fourierdlem45  31452  fourierdlem46  31453  fourierdlem47  31454  fourierdlem48  31455  fourierdlem50  31457  fourierdlem63  31470  fourierdlem64  31471  fourierdlem65  31472  fourierdlem73  31480  fourierdlem74  31481  fourierdlem75  31482  fourierdlem76  31483  fourierdlem77  31484  fourierdlem78  31485  fourierdlem79  31486  fourierdlem87  31494  fourierdlem91  31498  fourierdlem92  31499  fourierdlem103  31510  fourierdlem104  31511  fouriersw  31532  pgrple2abl  32023  isosctrlem1ALT  32814
  Copyright terms: Public domain W3C validator