bgoldbtbndlem2 - Mathbox for Alexander van der Vekens

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Theorem bgoldbtbndlem2 40222

Description: Lemma 2 for bgoldbtbnd 40225. (Contributed by AV, 1-Aug-2020.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
bgoldbtbnd.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (ℤ_≥‘;11))
bgoldbtbnd.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘;11))
bgoldbtbnd.b	⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ Even ((4 < 𝑛 ∧ 𝑛 < 𝑁) → 𝑛 ∈ GoldbachEven ))
bgoldbtbnd.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (ℤ_≥‘3))
bgoldbtbnd.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (RePart‘𝐷))
bgoldbtbnd.i	⊢ (𝜑 → ∀𝑖 ∈ (0..^𝐷)((𝐹‘𝑖) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘(𝑖 + 1)) − (𝐹‘𝑖)) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘(𝑖 + 1)) − (𝐹‘𝑖))))
bgoldbtbnd.0	⊢ (𝜑 → (𝐹‘0) = 7)
bgoldbtbnd.1	⊢ (𝜑 → (𝐹‘1) = ;13)
bgoldbtbnd.l	⊢ (𝜑 → 𝑀 < (𝐹‘𝐷))
bgoldbtbndlem2.s	⊢ 𝑆 = (𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1)))

**Assertion**
Ref	Expression
bgoldbtbndlem2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) → ((𝑋 ∈ ((𝐹‘𝐼)[,)(𝐹‘(𝐼 + 1))) ∧ (𝑋 − (𝐹‘𝐼)) ≤ 4) → (𝑆 ∈ Even ∧ 𝑆 < 𝑁 ∧ 4 < 𝑆)))

Distinct variable groups: 𝐷,𝑖 𝑖,𝐹 𝑖,𝐼 𝑖,𝑁 Allowed substitution hints: 𝜑(𝑖,𝑛) 𝐷(𝑛) 𝑆(𝑖,𝑛) 𝐹(𝑛) 𝐼(𝑛) 𝑀(𝑖,𝑛) 𝑁(𝑛) 𝑋(𝑖,𝑛)

**Proof of Theorem bgoldbtbndlem2**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		bgoldbtbnd.i	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑖 ∈ (0..^𝐷)((𝐹‘𝑖) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘(𝑖 + 1)) − (𝐹‘𝑖)) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘(𝑖 + 1)) − (𝐹‘𝑖))))
2		elfzoelz 12339	. . . . . . 7 ⊢ (𝐼 ∈ (1..^𝐷) → 𝐼 ∈ ℤ)
3		elfzoel2 12338	. . . . . . 7 ⊢ (𝐼 ∈ (1..^𝐷) → 𝐷 ∈ ℤ)
4		elfzom1b 12433	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → (𝐼 ∈ (1..^𝐷) ↔ (𝐼 − 1) ∈ (0..^(𝐷 − 1))))
5		fzossrbm1 12366	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐷 ∈ ℤ → (0..^(𝐷 − 1)) ⊆ (0..^𝐷))
6	5	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → (0..^(𝐷 − 1)) ⊆ (0..^𝐷))
7	6	sseld 3567	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → ((𝐼 − 1) ∈ (0..^(𝐷 − 1)) → (𝐼 − 1) ∈ (0..^𝐷)))
8	4, 7	sylbid 229	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → (𝐼 ∈ (1..^𝐷) → (𝐼 − 1) ∈ (0..^𝐷)))
9	8	com12 32	. . . . . . 7 ⊢ (𝐼 ∈ (1..^𝐷) → ((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → (𝐼 − 1) ∈ (0..^𝐷)))
10	2, 3, 9	mp2and 711	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 ∈ (1..^𝐷) → (𝐼 − 1) ∈ (0..^𝐷))
11		fveq2 6103	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 = (𝐼 − 1) → (𝐹‘𝑖) = (𝐹‘(𝐼 − 1)))
12	11	eleq1d 2672	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 = (𝐼 − 1) → ((𝐹‘𝑖) ∈ (ℙ ∖ {2}) ↔ (𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ (ℙ ∖ {2})))
13		oveq1 6556	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑖 = (𝐼 − 1) → (𝑖 + 1) = ((𝐼 − 1) + 1))
14	13	fveq2d 6107	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑖 = (𝐼 − 1) → (𝐹‘(𝑖 + 1)) = (𝐹‘((𝐼 − 1) + 1)))
15	14, 11	oveq12d 6567	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 = (𝐼 − 1) → ((𝐹‘(𝑖 + 1)) − (𝐹‘𝑖)) = ((𝐹‘((𝐼 − 1) + 1)) − (𝐹‘(𝐼 − 1))))
16	15	breq1d 4593	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 = (𝐼 − 1) → (((𝐹‘(𝑖 + 1)) − (𝐹‘𝑖)) < (𝑁 − 4) ↔ ((𝐹‘((𝐼 − 1) + 1)) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < (𝑁 − 4)))
17	15	breq2d 4595	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 = (𝐼 − 1) → (4 < ((𝐹‘(𝑖 + 1)) − (𝐹‘𝑖)) ↔ 4 < ((𝐹‘((𝐼 − 1) + 1)) − (𝐹‘(𝐼 − 1)))))
18	12, 16, 17	3anbi123d 1391	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 = (𝐼 − 1) → (((𝐹‘𝑖) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘(𝑖 + 1)) − (𝐹‘𝑖)) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘(𝑖 + 1)) − (𝐹‘𝑖))) ↔ ((𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘((𝐼 − 1) + 1)) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘((𝐼 − 1) + 1)) − (𝐹‘(𝐼 − 1))))))
19	18	rspcv 3278	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 − 1) ∈ (0..^𝐷) → (∀𝑖 ∈ (0..^𝐷)((𝐹‘𝑖) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘(𝑖 + 1)) − (𝐹‘𝑖)) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘(𝑖 + 1)) − (𝐹‘𝑖))) → ((𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘((𝐼 − 1) + 1)) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘((𝐼 − 1) + 1)) − (𝐹‘(𝐼 − 1))))))
20	10, 19	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ (1..^𝐷) → (∀𝑖 ∈ (0..^𝐷)((𝐹‘𝑖) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘(𝑖 + 1)) − (𝐹‘𝑖)) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘(𝑖 + 1)) − (𝐹‘𝑖))) → ((𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘((𝐼 − 1) + 1)) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘((𝐼 − 1) + 1)) − (𝐹‘(𝐼 − 1))))))
21	1, 20	syl5com 31	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐼 ∈ (1..^𝐷) → ((𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘((𝐼 − 1) + 1)) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘((𝐼 − 1) + 1)) − (𝐹‘(𝐼 − 1))))))
22	21	a1d 25	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ Odd → (𝐼 ∈ (1..^𝐷) → ((𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘((𝐼 − 1) + 1)) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘((𝐼 − 1) + 1)) − (𝐹‘(𝐼 − 1)))))))
23	22	3imp 1249	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) → ((𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘((𝐼 − 1) + 1)) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘((𝐼 − 1) + 1)) − (𝐹‘(𝐼 − 1)))))
24		bgoldbtbndlem2.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1)))
25		simp2 1055	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) → 𝑋 ∈ Odd )
26		oddprmALTV 40136	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ (ℙ ∖ {2}) → (𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ Odd )
27	26	3ad2ant1 1075	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘((𝐼 − 1) + 1)) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘((𝐼 − 1) + 1)) − (𝐹‘(𝐼 − 1)))) → (𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ Odd )
28	25, 27	anim12i 588	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) ∧ ((𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘((𝐼 − 1) + 1)) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘((𝐼 − 1) + 1)) − (𝐹‘(𝐼 − 1))))) → (𝑋 ∈ Odd ∧ (𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ Odd ))
29	28	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) ∧ ((𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘((𝐼 − 1) + 1)) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘((𝐼 − 1) + 1)) − (𝐹‘(𝐼 − 1))))) ∧ (𝑋 ∈ ((𝐹‘𝐼)[,)(𝐹‘(𝐼 + 1))) ∧ (𝑋 − (𝐹‘𝐼)) ≤ 4)) → (𝑋 ∈ Odd ∧ (𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ Odd ))
30		omoeALTV 40134	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ Odd ∧ (𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ Odd ) → (𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) ∈ Even )
31	29, 30	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) ∧ ((𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘((𝐼 − 1) + 1)) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘((𝐼 − 1) + 1)) − (𝐹‘(𝐼 − 1))))) ∧ (𝑋 ∈ ((𝐹‘𝐼)[,)(𝐹‘(𝐼 + 1))) ∧ (𝑋 − (𝐹‘𝐼)) ≤ 4)) → (𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) ∈ Even )
32	24, 31	syl5eqel 2692	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) ∧ ((𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘((𝐼 − 1) + 1)) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘((𝐼 − 1) + 1)) − (𝐹‘(𝐼 − 1))))) ∧ (𝑋 ∈ ((𝐹‘𝐼)[,)(𝐹‘(𝐼 + 1))) ∧ (𝑋 − (𝐹‘𝐼)) ≤ 4)) → 𝑆 ∈ Even )
33	2	zcnd 11359	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝐼 ∈ (1..^𝐷) → 𝐼 ∈ ℂ)
34	33	3ad2ant3 1077	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) → 𝐼 ∈ ℂ)
35		npcan1 10334	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝐼 ∈ ℂ → ((𝐼 − 1) + 1) = 𝐼)
36	34, 35	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) → ((𝐼 − 1) + 1) = 𝐼)
37	36	fveq2d 6107	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) → (𝐹‘((𝐼 − 1) + 1)) = (𝐹‘𝐼))
38	37	oveq1d 6564	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) → ((𝐹‘((𝐼 − 1) + 1)) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) = ((𝐹‘𝐼) − (𝐹‘(𝐼 − 1))))
39	38	breq1d 4593	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) → (((𝐹‘((𝐼 − 1) + 1)) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < (𝑁 − 4) ↔ ((𝐹‘𝐼) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < (𝑁 − 4)))
40	39	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) ∧ (𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ (ℙ ∖ {2})) → (((𝐹‘((𝐼 − 1) + 1)) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < (𝑁 − 4) ↔ ((𝐹‘𝐼) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < (𝑁 − 4)))
41		eldifi 3694	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ (ℙ ∖ {2}) → (𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ ℙ)
42		prmz 15227	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ ℙ → (𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ ℤ)
43		zre 11258	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ ℤ → (𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ ℝ)
44		simp1 1054	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝐹‘𝑖) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘(𝑖 + 1)) − (𝐹‘𝑖)) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘(𝑖 + 1)) − (𝐹‘𝑖))) → (𝐹‘𝑖) ∈ (ℙ ∖ {2}))
45	44	ralimi 2936	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (∀𝑖 ∈ (0..^𝐷)((𝐹‘𝑖) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘(𝑖 + 1)) − (𝐹‘𝑖)) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘(𝑖 + 1)) − (𝐹‘𝑖))) → ∀𝑖 ∈ (0..^𝐷)(𝐹‘𝑖) ∈ (ℙ ∖ {2}))
46		fzo0ss1 12367	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (1..^𝐷) ⊆ (0..^𝐷)
47	46	sseli 3564	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝐼 ∈ (1..^𝐷) → 𝐼 ∈ (0..^𝐷))
48	47	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) → 𝐼 ∈ (0..^𝐷))
49		fveq2 6103	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝑖 = 𝐼 → (𝐹‘𝑖) = (𝐹‘𝐼))
50	49	eleq1d 2672	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑖 = 𝐼 → ((𝐹‘𝑖) ∈ (ℙ ∖ {2}) ↔ (𝐹‘𝐼) ∈ (ℙ ∖ {2})))
51	50	rspcv 3278	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝐼 ∈ (0..^𝐷) → (∀𝑖 ∈ (0..^𝐷)(𝐹‘𝑖) ∈ (ℙ ∖ {2}) → (𝐹‘𝐼) ∈ (ℙ ∖ {2})))
52	48, 51	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) → (∀𝑖 ∈ (0..^𝐷)(𝐹‘𝑖) ∈ (ℙ ∖ {2}) → (𝐹‘𝐼) ∈ (ℙ ∖ {2})))
53	52	ex 449	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝜑 → (𝐼 ∈ (1..^𝐷) → (∀𝑖 ∈ (0..^𝐷)(𝐹‘𝑖) ∈ (ℙ ∖ {2}) → (𝐹‘𝐼) ∈ (ℙ ∖ {2}))))
54	53	com23 84	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝜑 → (∀𝑖 ∈ (0..^𝐷)(𝐹‘𝑖) ∈ (ℙ ∖ {2}) → (𝐼 ∈ (1..^𝐷) → (𝐹‘𝐼) ∈ (ℙ ∖ {2}))))
55	54	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑋 ∈ Odd → (𝜑 → (∀𝑖 ∈ (0..^𝐷)(𝐹‘𝑖) ∈ (ℙ ∖ {2}) → (𝐼 ∈ (1..^𝐷) → (𝐹‘𝐼) ∈ (ℙ ∖ {2})))))
56	55	com13 86	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (∀𝑖 ∈ (0..^𝐷)(𝐹‘𝑖) ∈ (ℙ ∖ {2}) → (𝜑 → (𝑋 ∈ Odd → (𝐼 ∈ (1..^𝐷) → (𝐹‘𝐼) ∈ (ℙ ∖ {2})))))
57	45, 56	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (∀𝑖 ∈ (0..^𝐷)((𝐹‘𝑖) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘(𝑖 + 1)) − (𝐹‘𝑖)) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘(𝑖 + 1)) − (𝐹‘𝑖))) → (𝜑 → (𝑋 ∈ Odd → (𝐼 ∈ (1..^𝐷) → (𝐹‘𝐼) ∈ (ℙ ∖ {2})))))
58	1, 57	mpcom 37	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ Odd → (𝐼 ∈ (1..^𝐷) → (𝐹‘𝐼) ∈ (ℙ ∖ {2}))))
59	58	3imp 1249	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) → (𝐹‘𝐼) ∈ (ℙ ∖ {2}))
60		eldifi 3694	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐹‘𝐼) ∈ (ℙ ∖ {2}) → (𝐹‘𝐼) ∈ ℙ)
61		prmz 15227	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐹‘𝐼) ∈ ℙ → (𝐹‘𝐼) ∈ ℤ)
62		zre 11258	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐹‘𝐼) ∈ ℤ → (𝐹‘𝐼) ∈ ℝ)
63		bgoldbtbnd.n	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘;11))
64		eluzelz 11573	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘;11) → 𝑁 ∈ ℤ)
65		zre 11258	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
66		oddz 40082	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑋 ∈ Odd → 𝑋 ∈ ℤ)
67	66	zred 11358	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑋 ∈ Odd → 𝑋 ∈ ℝ)
68		simplr 788	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ ((𝐹‘𝐼) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ ℝ)) → 𝑋 ∈ ℝ)
69		simprl 790	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ ((𝐹‘𝐼) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ ℝ)) → (𝐹‘𝐼) ∈ ℝ)
70		4re 10974	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ 4 ∈ ℝ
71	70	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ ((𝐹‘𝐼) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ ℝ)) → 4 ∈ ℝ)
72	68, 69, 71	lesubaddd 10503	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ ((𝐹‘𝐼) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ ℝ)) → ((𝑋 − (𝐹‘𝐼)) ≤ 4 ↔ 𝑋 ≤ (4 + (𝐹‘𝐼))))
73		simpllr 795	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ ((𝐹‘𝐼) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ ℝ)) ∧ (𝑋 ≤ (4 + (𝐹‘𝐼)) ∧ ((𝐹‘𝐼) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < (𝑁 − 4))) → 𝑋 ∈ ℝ)
74		simplrr 797	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ ((𝐹‘𝐼) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ ℝ)) ∧ (𝑋 ≤ (4 + (𝐹‘𝐼)) ∧ ((𝐹‘𝐼) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < (𝑁 − 4))) → (𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ ℝ)
75	73, 74	resubcld 10337	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ ((𝐹‘𝐼) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ ℝ)) ∧ (𝑋 ≤ (4 + (𝐹‘𝐼)) ∧ ((𝐹‘𝐼) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < (𝑁 − 4))) → (𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) ∈ ℝ)
76	70	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ ((𝐹‘𝐼) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ ℝ)) ∧ (𝑋 ≤ (4 + (𝐹‘𝐼)) ∧ ((𝐹‘𝐼) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < (𝑁 − 4))) → 4 ∈ ℝ)
77		simplrl 796	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ ((𝐹‘𝐼) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ ℝ)) ∧ (𝑋 ≤ (4 + (𝐹‘𝐼)) ∧ ((𝐹‘𝐼) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < (𝑁 − 4))) → (𝐹‘𝐼) ∈ ℝ)
78	76, 77	readdcld 9948	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ ((𝐹‘𝐼) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ ℝ)) ∧ (𝑋 ≤ (4 + (𝐹‘𝐼)) ∧ ((𝐹‘𝐼) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < (𝑁 − 4))) → (4 + (𝐹‘𝐼)) ∈ ℝ)
79	78, 74	resubcld 10337	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ ((𝐹‘𝐼) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ ℝ)) ∧ (𝑋 ≤ (4 + (𝐹‘𝐼)) ∧ ((𝐹‘𝐼) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < (𝑁 − 4))) → ((4 + (𝐹‘𝐼)) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) ∈ ℝ)
80		simplll 794	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ ((𝐹‘𝐼) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ ℝ)) ∧ (𝑋 ≤ (4 + (𝐹‘𝐼)) ∧ ((𝐹‘𝐼) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < (𝑁 − 4))) → 𝑁 ∈ ℝ)
81	71, 69	readdcld 9948	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ ((𝐹‘𝐼) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ ℝ)) → (4 + (𝐹‘𝐼)) ∈ ℝ)
82		simprr 792	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ ((𝐹‘𝐼) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ ℝ)) → (𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ ℝ)
83	68, 81, 82	lesub1d 10513	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ ((𝐹‘𝐼) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ ℝ)) → (𝑋 ≤ (4 + (𝐹‘𝐼)) ↔ (𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) ≤ ((4 + (𝐹‘𝐼)) − (𝐹‘(𝐼 − 1)))))
84	83	biimpa 500	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ ((𝐹‘𝐼) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ ℝ)) ∧ 𝑋 ≤ (4 + (𝐹‘𝐼))) → (𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) ≤ ((4 + (𝐹‘𝐼)) − (𝐹‘(𝐼 − 1))))
85	84	adantrr 749	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ ((𝐹‘𝐼) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ ℝ)) ∧ (𝑋 ≤ (4 + (𝐹‘𝐼)) ∧ ((𝐹‘𝐼) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < (𝑁 − 4))) → (𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) ≤ ((4 + (𝐹‘𝐼)) − (𝐹‘(𝐼 − 1))))
86		resubcl 10224	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ (((𝐹‘𝐼) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ ℝ) → ((𝐹‘𝐼) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) ∈ ℝ)
87	86	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ ((𝐹‘𝐼) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ ℝ)) → ((𝐹‘𝐼) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) ∈ ℝ)
88		simpll 786	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ ((𝐹‘𝐼) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ ℝ)) → 𝑁 ∈ ℝ)
89		ltaddsub2 10382	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ ((4 ∈ ℝ ∧ ((𝐹‘𝐼) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((4 + ((𝐹‘𝐼) − (𝐹‘(𝐼 − 1)))) < 𝑁 ↔ ((𝐹‘𝐼) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < (𝑁 − 4)))
90	89	bicomd 212	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ ((4 ∈ ℝ ∧ ((𝐹‘𝐼) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (((𝐹‘𝐼) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < (𝑁 − 4) ↔ (4 + ((𝐹‘𝐼) − (𝐹‘(𝐼 − 1)))) < 𝑁))
91	71, 87, 88, 90	syl3anc 1318	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ ((𝐹‘𝐼) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ ℝ)) → (((𝐹‘𝐼) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < (𝑁 − 4) ↔ (4 + ((𝐹‘𝐼) − (𝐹‘(𝐼 − 1)))) < 𝑁))
92	91	biimpd 218	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ ((𝐹‘𝐼) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ ℝ)) → (((𝐹‘𝐼) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < (𝑁 − 4) → (4 + ((𝐹‘𝐼) − (𝐹‘(𝐼 − 1)))) < 𝑁))
93	92	adantld 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ ((𝐹‘𝐼) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ ℝ)) → ((𝑋 ≤ (4 + (𝐹‘𝐼)) ∧ ((𝐹‘𝐼) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < (𝑁 − 4)) → (4 + ((𝐹‘𝐼) − (𝐹‘(𝐼 − 1)))) < 𝑁))
94	93	imp 444	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ ((𝐹‘𝐼) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ ℝ)) ∧ (𝑋 ≤ (4 + (𝐹‘𝐼)) ∧ ((𝐹‘𝐼) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < (𝑁 − 4))) → (4 + ((𝐹‘𝐼) − (𝐹‘(𝐼 − 1)))) < 𝑁)
95		4cn 10975	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ 4 ∈ ℂ
96	95	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ ((𝐹‘𝐼) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ ℝ)) → 4 ∈ ℂ)
97	69	recnd 9947	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ ((𝐹‘𝐼) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ ℝ)) → (𝐹‘𝐼) ∈ ℂ)
98		recn 9905	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ ((𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ ℝ → (𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ ℂ)
99	98	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ (((𝐹‘𝐼) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ ℝ) → (𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ ℂ)
100	99	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ ((𝐹‘𝐼) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ ℝ)) → (𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ ℂ)
101	96, 97, 100	addsubassd 10291	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ ((𝐹‘𝐼) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ ℝ)) → ((4 + (𝐹‘𝐼)) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) = (4 + ((𝐹‘𝐼) − (𝐹‘(𝐼 − 1)))))
102	101	breq1d 4593	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ ((𝐹‘𝐼) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ ℝ)) → (((4 + (𝐹‘𝐼)) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < 𝑁 ↔ (4 + ((𝐹‘𝐼) − (𝐹‘(𝐼 − 1)))) < 𝑁))
103	102	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ ((𝐹‘𝐼) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ ℝ)) ∧ (𝑋 ≤ (4 + (𝐹‘𝐼)) ∧ ((𝐹‘𝐼) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < (𝑁 − 4))) → (((4 + (𝐹‘𝐼)) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < 𝑁 ↔ (4 + ((𝐹‘𝐼) − (𝐹‘(𝐼 − 1)))) < 𝑁))
104	94, 103	mpbird 246	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ ((𝐹‘𝐼) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ ℝ)) ∧ (𝑋 ≤ (4 + (𝐹‘𝐼)) ∧ ((𝐹‘𝐼) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < (𝑁 − 4))) → ((4 + (𝐹‘𝐼)) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < 𝑁)
105	75, 79, 80, 85, 104	lelttrd 10074	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ ((𝐹‘𝐼) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ ℝ)) ∧ (𝑋 ≤ (4 + (𝐹‘𝐼)) ∧ ((𝐹‘𝐼) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < (𝑁 − 4))) → (𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < 𝑁)
106	105	exp32 629	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ ((𝐹‘𝐼) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ ℝ)) → (𝑋 ≤ (4 + (𝐹‘𝐼)) → (((𝐹‘𝐼) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < (𝑁 − 4) → (𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < 𝑁)))
107	72, 106	sylbid 229	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ ((𝐹‘𝐼) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ ℝ)) → ((𝑋 − (𝐹‘𝐼)) ≤ 4 → (((𝐹‘𝐼) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < (𝑁 − 4) → (𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < 𝑁)))
108	107	com23 84	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ ((𝐹‘𝐼) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ ℝ)) → (((𝐹‘𝐼) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < (𝑁 − 4) → ((𝑋 − (𝐹‘𝐼)) ≤ 4 → (𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < 𝑁)))
109	108	exp32 629	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) → ((𝐹‘𝐼) ∈ ℝ → ((𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ ℝ → (((𝐹‘𝐼) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < (𝑁 − 4) → ((𝑋 − (𝐹‘𝐼)) ≤ 4 → (𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < 𝑁)))))
110	67, 109	sylan2 490	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ Odd ) → ((𝐹‘𝐼) ∈ ℝ → ((𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ ℝ → (((𝐹‘𝐼) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < (𝑁 − 4) → ((𝑋 − (𝐹‘𝐼)) ≤ 4 → (𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < 𝑁)))))
111	110	ex 449	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (𝑋 ∈ Odd → ((𝐹‘𝐼) ∈ ℝ → ((𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ ℝ → (((𝐹‘𝐼) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < (𝑁 − 4) → ((𝑋 − (𝐹‘𝐼)) ≤ 4 → (𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < 𝑁))))))
112	65, 111	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑋 ∈ Odd → ((𝐹‘𝐼) ∈ ℝ → ((𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ ℝ → (((𝐹‘𝐼) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < (𝑁 − 4) → ((𝑋 − (𝐹‘𝐼)) ≤ 4 → (𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < 𝑁))))))
113	63, 64, 112	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ Odd → ((𝐹‘𝐼) ∈ ℝ → ((𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ ℝ → (((𝐹‘𝐼) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < (𝑁 − 4) → ((𝑋 − (𝐹‘𝐼)) ≤ 4 → (𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < 𝑁))))))
114	113	imp 444	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ Odd ) → ((𝐹‘𝐼) ∈ ℝ → ((𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ ℝ → (((𝐹‘𝐼) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < (𝑁 − 4) → ((𝑋 − (𝐹‘𝐼)) ≤ 4 → (𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < 𝑁)))))
115	114	3adant3 1074	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) → ((𝐹‘𝐼) ∈ ℝ → ((𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ ℝ → (((𝐹‘𝐼) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < (𝑁 − 4) → ((𝑋 − (𝐹‘𝐼)) ≤ 4 → (𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < 𝑁)))))
116	62, 115	syl5com 31	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐹‘𝐼) ∈ ℤ → ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) → ((𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ ℝ → (((𝐹‘𝐼) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < (𝑁 − 4) → ((𝑋 − (𝐹‘𝐼)) ≤ 4 → (𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < 𝑁)))))
117	60, 61, 116	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐹‘𝐼) ∈ (ℙ ∖ {2}) → ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) → ((𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ ℝ → (((𝐹‘𝐼) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < (𝑁 − 4) → ((𝑋 − (𝐹‘𝐼)) ≤ 4 → (𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < 𝑁)))))
118	59, 117	mpcom 37	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) → ((𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ ℝ → (((𝐹‘𝐼) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < (𝑁 − 4) → ((𝑋 − (𝐹‘𝐼)) ≤ 4 → (𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < 𝑁))))
119	43, 118	syl5com 31	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ ℤ → ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) → (((𝐹‘𝐼) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < (𝑁 − 4) → ((𝑋 − (𝐹‘𝐼)) ≤ 4 → (𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < 𝑁))))
120	41, 42, 119	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ (ℙ ∖ {2}) → ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) → (((𝐹‘𝐼) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < (𝑁 − 4) → ((𝑋 − (𝐹‘𝐼)) ≤ 4 → (𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < 𝑁))))
121	120	impcom 445	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) ∧ (𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ (ℙ ∖ {2})) → (((𝐹‘𝐼) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < (𝑁 − 4) → ((𝑋 − (𝐹‘𝐼)) ≤ 4 → (𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < 𝑁)))
122	40, 121	sylbid 229	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) ∧ (𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ (ℙ ∖ {2})) → (((𝐹‘((𝐼 − 1) + 1)) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < (𝑁 − 4) → ((𝑋 − (𝐹‘𝐼)) ≤ 4 → (𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < 𝑁)))
123	122	expcom 450	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ (ℙ ∖ {2}) → ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) → (((𝐹‘((𝐼 − 1) + 1)) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < (𝑁 − 4) → ((𝑋 − (𝐹‘𝐼)) ≤ 4 → (𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < 𝑁))))
124	123	com23 84	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ (ℙ ∖ {2}) → (((𝐹‘((𝐼 − 1) + 1)) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < (𝑁 − 4) → ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) → ((𝑋 − (𝐹‘𝐼)) ≤ 4 → (𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < 𝑁))))
125	124	imp 444	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘((𝐼 − 1) + 1)) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < (𝑁 − 4)) → ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) → ((𝑋 − (𝐹‘𝐼)) ≤ 4 → (𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < 𝑁)))
126	125	3adant3 1074	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘((𝐼 − 1) + 1)) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘((𝐼 − 1) + 1)) − (𝐹‘(𝐼 − 1)))) → ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) → ((𝑋 − (𝐹‘𝐼)) ≤ 4 → (𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < 𝑁)))
127	126	impcom 445	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) ∧ ((𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘((𝐼 − 1) + 1)) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘((𝐼 − 1) + 1)) − (𝐹‘(𝐼 − 1))))) → ((𝑋 − (𝐹‘𝐼)) ≤ 4 → (𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < 𝑁))
128	127	com12 32	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 − (𝐹‘𝐼)) ≤ 4 → (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) ∧ ((𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘((𝐼 − 1) + 1)) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘((𝐼 − 1) + 1)) − (𝐹‘(𝐼 − 1))))) → (𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < 𝑁))
129	128	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ ((𝐹‘𝐼)[,)(𝐹‘(𝐼 + 1))) ∧ (𝑋 − (𝐹‘𝐼)) ≤ 4) → (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) ∧ ((𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘((𝐼 − 1) + 1)) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘((𝐼 − 1) + 1)) − (𝐹‘(𝐼 − 1))))) → (𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < 𝑁))
130	129	impcom 445	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) ∧ ((𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘((𝐼 − 1) + 1)) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘((𝐼 − 1) + 1)) − (𝐹‘(𝐼 − 1))))) ∧ (𝑋 ∈ ((𝐹‘𝐼)[,)(𝐹‘(𝐼 + 1))) ∧ (𝑋 − (𝐹‘𝐼)) ≤ 4)) → (𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < 𝑁)
131	24, 130	syl5eqbr 4618	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) ∧ ((𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘((𝐼 − 1) + 1)) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘((𝐼 − 1) + 1)) − (𝐹‘(𝐼 − 1))))) ∧ (𝑋 ∈ ((𝐹‘𝐼)[,)(𝐹‘(𝐼 + 1))) ∧ (𝑋 − (𝐹‘𝐼)) ≤ 4)) → 𝑆 < 𝑁)
132	70	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) ∧ ((𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘((𝐼 − 1) + 1)) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘((𝐼 − 1) + 1)) − (𝐹‘(𝐼 − 1))))) ∧ (𝑋 ∈ ((𝐹‘𝐼)[,)(𝐹‘(𝐼 + 1))) ∧ (𝑋 − (𝐹‘𝐼)) ≤ 4)) → 4 ∈ ℝ)
133		1eluzge0 11608	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 1 ∈ (ℤ_≥‘0)
134		fzoss1 12364	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (1 ∈ (ℤ_≥‘0) → (1..^𝐷) ⊆ (0..^𝐷))
135	133, 134	mp1i 13	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (1..^𝐷) ⊆ (0..^𝐷))
136	135	sselda 3568	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) → 𝐼 ∈ (0..^𝐷))
137		oveq1 6556	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑖 = 𝐼 → (𝑖 + 1) = (𝐼 + 1))
138	137	fveq2d 6107	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑖 = 𝐼 → (𝐹‘(𝑖 + 1)) = (𝐹‘(𝐼 + 1)))
139	138, 49	oveq12d 6567	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑖 = 𝐼 → ((𝐹‘(𝑖 + 1)) − (𝐹‘𝑖)) = ((𝐹‘(𝐼 + 1)) − (𝐹‘𝐼)))
140	139	breq1d 4593	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑖 = 𝐼 → (((𝐹‘(𝑖 + 1)) − (𝐹‘𝑖)) < (𝑁 − 4) ↔ ((𝐹‘(𝐼 + 1)) − (𝐹‘𝐼)) < (𝑁 − 4)))
141	139	breq2d 4595	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑖 = 𝐼 → (4 < ((𝐹‘(𝑖 + 1)) − (𝐹‘𝑖)) ↔ 4 < ((𝐹‘(𝐼 + 1)) − (𝐹‘𝐼))))
142	50, 140, 141	3anbi123d 1391	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑖 = 𝐼 → (((𝐹‘𝑖) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘(𝑖 + 1)) − (𝐹‘𝑖)) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘(𝑖 + 1)) − (𝐹‘𝑖))) ↔ ((𝐹‘𝐼) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘(𝐼 + 1)) − (𝐹‘𝐼)) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘(𝐼 + 1)) − (𝐹‘𝐼)))))
143	142	rspcv 3278	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐼 ∈ (0..^𝐷) → (∀𝑖 ∈ (0..^𝐷)((𝐹‘𝑖) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘(𝑖 + 1)) − (𝐹‘𝑖)) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘(𝑖 + 1)) − (𝐹‘𝑖))) → ((𝐹‘𝐼) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘(𝐼 + 1)) − (𝐹‘𝐼)) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘(𝐼 + 1)) − (𝐹‘𝐼)))))
144	136, 143	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) → (∀𝑖 ∈ (0..^𝐷)((𝐹‘𝑖) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘(𝑖 + 1)) − (𝐹‘𝑖)) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘(𝑖 + 1)) − (𝐹‘𝑖))) → ((𝐹‘𝐼) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘(𝐼 + 1)) − (𝐹‘𝐼)) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘(𝐼 + 1)) − (𝐹‘𝐼)))))
145	61	zred 11358	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐹‘𝐼) ∈ ℙ → (𝐹‘𝐼) ∈ ℝ)
146	60, 145	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐹‘𝐼) ∈ (ℙ ∖ {2}) → (𝐹‘𝐼) ∈ ℝ)
147	146	3ad2ant1 1075	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐹‘𝐼) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘(𝐼 + 1)) − (𝐹‘𝐼)) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘(𝐼 + 1)) − (𝐹‘𝐼))) → (𝐹‘𝐼) ∈ ℝ)
148	144, 147	syl6 34	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) → (∀𝑖 ∈ (0..^𝐷)((𝐹‘𝑖) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘(𝑖 + 1)) − (𝐹‘𝑖)) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘(𝑖 + 1)) − (𝐹‘𝑖))) → (𝐹‘𝐼) ∈ ℝ))
149	148	ex 449	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐼 ∈ (1..^𝐷) → (∀𝑖 ∈ (0..^𝐷)((𝐹‘𝑖) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘(𝑖 + 1)) − (𝐹‘𝑖)) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘(𝑖 + 1)) − (𝐹‘𝑖))) → (𝐹‘𝐼) ∈ ℝ)))
150	1, 149	mpid 43	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐼 ∈ (1..^𝐷) → (𝐹‘𝐼) ∈ ℝ))
151	150	imp 444	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) → (𝐹‘𝐼) ∈ ℝ)
152	151	3adant2 1073	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) → (𝐹‘𝐼) ∈ ℝ)
153	152	ad2antrr 758	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) ∧ ((𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘((𝐼 − 1) + 1)) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘((𝐼 − 1) + 1)) − (𝐹‘(𝐼 − 1))))) ∧ (𝑋 ∈ ((𝐹‘𝐼)[,)(𝐹‘(𝐼 + 1))) ∧ (𝑋 − (𝐹‘𝐼)) ≤ 4)) → (𝐹‘𝐼) ∈ ℝ)
154	42	zred 11358	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ ℙ → (𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ ℝ)
155	41, 154	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ (ℙ ∖ {2}) → (𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ ℝ)
156	155	3ad2ant1 1075	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘((𝐼 − 1) + 1)) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘((𝐼 − 1) + 1)) − (𝐹‘(𝐼 − 1)))) → (𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ ℝ)
157	156	ad2antlr 759	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) ∧ ((𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘((𝐼 − 1) + 1)) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘((𝐼 − 1) + 1)) − (𝐹‘(𝐼 − 1))))) ∧ (𝑋 ∈ ((𝐹‘𝐼)[,)(𝐹‘(𝐼 + 1))) ∧ (𝑋 − (𝐹‘𝐼)) ≤ 4)) → (𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ ℝ)
158	153, 157	resubcld 10337	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) ∧ ((𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘((𝐼 − 1) + 1)) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘((𝐼 − 1) + 1)) − (𝐹‘(𝐼 − 1))))) ∧ (𝑋 ∈ ((𝐹‘𝐼)[,)(𝐹‘(𝐼 + 1))) ∧ (𝑋 − (𝐹‘𝐼)) ≤ 4)) → ((𝐹‘𝐼) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) ∈ ℝ)
159	67	3ad2ant2 1076	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) → 𝑋 ∈ ℝ)
160		resubcl 10224	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ (𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ ℝ) → (𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) ∈ ℝ)
161	159, 156, 160	syl2an 493	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) ∧ ((𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘((𝐼 − 1) + 1)) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘((𝐼 − 1) + 1)) − (𝐹‘(𝐼 − 1))))) → (𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) ∈ ℝ)
162	161	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) ∧ ((𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘((𝐼 − 1) + 1)) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘((𝐼 − 1) + 1)) − (𝐹‘(𝐼 − 1))))) ∧ (𝑋 ∈ ((𝐹‘𝐼)[,)(𝐹‘(𝐼 + 1))) ∧ (𝑋 − (𝐹‘𝐼)) ≤ 4)) → (𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) ∈ ℝ)
163	33, 35	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐼 ∈ (1..^𝐷) → ((𝐼 − 1) + 1) = 𝐼)
164	163	3ad2ant3 1077	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) → ((𝐼 − 1) + 1) = 𝐼)
165	164	fveq2d 6107	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) → (𝐹‘((𝐼 − 1) + 1)) = (𝐹‘𝐼))
166	165	oveq1d 6564	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) → ((𝐹‘((𝐼 − 1) + 1)) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) = ((𝐹‘𝐼) − (𝐹‘(𝐼 − 1))))
167	166	breq2d 4595	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) → (4 < ((𝐹‘((𝐼 − 1) + 1)) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) ↔ 4 < ((𝐹‘𝐼) − (𝐹‘(𝐼 − 1)))))
168	167	biimpcd 238	. . . . . . . . 9 ⊢ (4 < ((𝐹‘((𝐼 − 1) + 1)) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) → ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) → 4 < ((𝐹‘𝐼) − (𝐹‘(𝐼 − 1)))))
169	168	3ad2ant3 1077	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘((𝐼 − 1) + 1)) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘((𝐼 − 1) + 1)) − (𝐹‘(𝐼 − 1)))) → ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) → 4 < ((𝐹‘𝐼) − (𝐹‘(𝐼 − 1)))))
170	169	impcom 445	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) ∧ ((𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘((𝐼 − 1) + 1)) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘((𝐼 − 1) + 1)) − (𝐹‘(𝐼 − 1))))) → 4 < ((𝐹‘𝐼) − (𝐹‘(𝐼 − 1))))
171	170	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) ∧ ((𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘((𝐼 − 1) + 1)) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘((𝐼 − 1) + 1)) − (𝐹‘(𝐼 − 1))))) ∧ (𝑋 ∈ ((𝐹‘𝐼)[,)(𝐹‘(𝐼 + 1))) ∧ (𝑋 − (𝐹‘𝐼)) ≤ 4)) → 4 < ((𝐹‘𝐼) − (𝐹‘(𝐼 − 1))))
172	159	ad2antrr 758	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) ∧ ((𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘((𝐼 − 1) + 1)) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘((𝐼 − 1) + 1)) − (𝐹‘(𝐼 − 1))))) ∧ (𝑋 ∈ ((𝐹‘𝐼)[,)(𝐹‘(𝐼 + 1))) ∧ (𝑋 − (𝐹‘𝐼)) ≤ 4)) → 𝑋 ∈ ℝ)
173		bgoldbtbnd.d	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (ℤ_≥‘3))
174		eluzge3nn 11606	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐷 ∈ (ℤ_≥‘3) → 𝐷 ∈ ℕ)
175	173, 174	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℕ)
176	175	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) → 𝐷 ∈ ℕ)
177		bgoldbtbnd.f	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (RePart‘𝐷))
178	177	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) → 𝐹 ∈ (RePart‘𝐷))
179	133, 134	mp1i 13	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝐷 ∈ (ℤ_≥‘3) → (1..^𝐷) ⊆ (0..^𝐷))
180		fzossfz 12357	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (0..^𝐷) ⊆ (0...𝐷)
181	179, 180	syl6ss 3580	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐷 ∈ (ℤ_≥‘3) → (1..^𝐷) ⊆ (0...𝐷))
182	173, 181	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (1..^𝐷) ⊆ (0...𝐷))
183	182	sselda 3568	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) → 𝐼 ∈ (0...𝐷))
184	176, 178, 183	iccpartxr 39957	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) → (𝐹‘𝐼) ∈ ℝ^*)
185		fzofzp1 12431	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐼 ∈ (0..^𝐷) → (𝐼 + 1) ∈ (0...𝐷))
186	136, 185	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) → (𝐼 + 1) ∈ (0...𝐷))
187	176, 178, 186	iccpartxr 39957	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) → (𝐹‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ^*)
188	184, 187	jca 553	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) → ((𝐹‘𝐼) ∈ ℝ^* ∧ (𝐹‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ^*))
189	188	3adant2 1073	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) → ((𝐹‘𝐼) ∈ ℝ^* ∧ (𝐹‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ^*))
190		elico1 12089	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐹‘𝐼) ∈ ℝ^* ∧ (𝐹‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ^) → (𝑋 ∈ ((𝐹‘𝐼)[,)(𝐹‘(𝐼 + 1))) ↔ (𝑋 ∈ ℝ^ ∧ (𝐹‘𝐼) ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 < (𝐹‘(𝐼 + 1)))))
191	189, 190	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) → (𝑋 ∈ ((𝐹‘𝐼)[,)(𝐹‘(𝐼 + 1))) ↔ (𝑋 ∈ ℝ^* ∧ (𝐹‘𝐼) ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 < (𝐹‘(𝐼 + 1)))))
192		simp2 1055	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ^* ∧ (𝐹‘𝐼) ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 < (𝐹‘(𝐼 + 1))) → (𝐹‘𝐼) ≤ 𝑋)
193	191, 192	syl6bi 242	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) → (𝑋 ∈ ((𝐹‘𝐼)[,)(𝐹‘(𝐼 + 1))) → (𝐹‘𝐼) ≤ 𝑋))
194	193	adantrd 483	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) → ((𝑋 ∈ ((𝐹‘𝐼)[,)(𝐹‘(𝐼 + 1))) ∧ (𝑋 − (𝐹‘𝐼)) ≤ 4) → (𝐹‘𝐼) ≤ 𝑋))
195	194	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) ∧ ((𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘((𝐼 − 1) + 1)) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘((𝐼 − 1) + 1)) − (𝐹‘(𝐼 − 1))))) → ((𝑋 ∈ ((𝐹‘𝐼)[,)(𝐹‘(𝐼 + 1))) ∧ (𝑋 − (𝐹‘𝐼)) ≤ 4) → (𝐹‘𝐼) ≤ 𝑋))
196	195	imp 444	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) ∧ ((𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘((𝐼 − 1) + 1)) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘((𝐼 − 1) + 1)) − (𝐹‘(𝐼 − 1))))) ∧ (𝑋 ∈ ((𝐹‘𝐼)[,)(𝐹‘(𝐼 + 1))) ∧ (𝑋 − (𝐹‘𝐼)) ≤ 4)) → (𝐹‘𝐼) ≤ 𝑋)
197	153, 172, 157, 196	lesub1dd 10522	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) ∧ ((𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘((𝐼 − 1) + 1)) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘((𝐼 − 1) + 1)) − (𝐹‘(𝐼 − 1))))) ∧ (𝑋 ∈ ((𝐹‘𝐼)[,)(𝐹‘(𝐼 + 1))) ∧ (𝑋 − (𝐹‘𝐼)) ≤ 4)) → ((𝐹‘𝐼) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) ≤ (𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))))
198	132, 158, 162, 171, 197	ltletrd 10076	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) ∧ ((𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘((𝐼 − 1) + 1)) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘((𝐼 − 1) + 1)) − (𝐹‘(𝐼 − 1))))) ∧ (𝑋 ∈ ((𝐹‘𝐼)[,)(𝐹‘(𝐼 + 1))) ∧ (𝑋 − (𝐹‘𝐼)) ≤ 4)) → 4 < (𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))))
199	198, 24	syl6breqr 4625	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) ∧ ((𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘((𝐼 − 1) + 1)) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘((𝐼 − 1) + 1)) − (𝐹‘(𝐼 − 1))))) ∧ (𝑋 ∈ ((𝐹‘𝐼)[,)(𝐹‘(𝐼 + 1))) ∧ (𝑋 − (𝐹‘𝐼)) ≤ 4)) → 4 < 𝑆)
200	32, 131, 199	3jca 1235	. . 3 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) ∧ ((𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘((𝐼 − 1) + 1)) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘((𝐼 − 1) + 1)) − (𝐹‘(𝐼 − 1))))) ∧ (𝑋 ∈ ((𝐹‘𝐼)[,)(𝐹‘(𝐼 + 1))) ∧ (𝑋 − (𝐹‘𝐼)) ≤ 4)) → (𝑆 ∈ Even ∧ 𝑆 < 𝑁 ∧ 4 < 𝑆))
201	200	ex 449	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) ∧ ((𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘((𝐼 − 1) + 1)) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘((𝐼 − 1) + 1)) − (𝐹‘(𝐼 − 1))))) → ((𝑋 ∈ ((𝐹‘𝐼)[,)(𝐹‘(𝐼 + 1))) ∧ (𝑋 − (𝐹‘𝐼)) ≤ 4) → (𝑆 ∈ Even ∧ 𝑆 < 𝑁 ∧ 4 < 𝑆)))
202	23, 201	mpdan 699	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) → ((𝑋 ∈ ((𝐹‘𝐼)[,)(𝐹‘(𝐼 + 1))) ∧ (𝑋 − (𝐹‘𝐼)) ≤ 4) → (𝑆 ∈ Even ∧ 𝑆 < 𝑁 ∧ 4 < 𝑆)))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ↔ wb 195 ∧ wa 383 ∧ w3a 1031 = wceq 1475 ∈ wcel 1977 ∀wral 2896 ∖ cdif 3537 ⊆ wss 3540 {csn 4125 class class class wbr 4583 ‘cfv 5804 (class class class)co 6549 ℂcc 9813 ℝcr 9814 0cc0 9815 1c1 9816 + caddc 9818 ℝ^*cxr 9952 < clt 9953 ≤ cle 9954 − cmin 10145 ℕcn 10897 2c2 10947 3c3 10948 4c4 10949 7c7 10952 ℤcz 11254 cdc 11369 ℤ_≥cuz 11563 [,)cico 12048 ...cfz 12197 ..^cfzo 12334 ℙcprime 15223 RePartciccp 39951 Even ceven 40075 Odd codd 40076 GoldbachEven cgbe 40167

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1713 ax-4 1728 ax-5 1827 ax-6 1875 ax-7 1922 ax-8 1979 ax-9 1986 ax-10 2006 ax-11 2021 ax-12 2034 ax-13 2234 ax-ext 2590 ax-sep 4709 ax-nul 4717 ax-pow 4769 ax-pr 4833 ax-un 6847 ax-cnex 9871 ax-resscn 9872 ax-1cn 9873 ax-icn 9874 ax-addcl 9875 ax-addrcl 9876 ax-mulcl 9877 ax-mulrcl 9878 ax-mulcom 9879 ax-addass 9880 ax-mulass 9881 ax-distr 9882 ax-i2m1 9883 ax-1ne0 9884 ax-1rid 9885 ax-rnegex 9886 ax-rrecex 9887 ax-cnre 9888 ax-pre-lttri 9889 ax-pre-lttrn 9890 ax-pre-ltadd 9891 ax-pre-mulgt0 9892 ax-pre-sup 9893

This theorem depends on definitions: df-bi 196 df-or 384 df-an 385 df-3or 1032 df-3an 1033 df-tru 1478 df-ex 1696 df-nf 1701 df-sb 1868 df-eu 2462 df-mo 2463 df-clab 2597 df-cleq 2603 df-clel 2606 df-nfc 2740 df-ne 2782 df-nel 2783 df-ral 2901 df-rex 2902 df-reu 2903 df-rmo 2904 df-rab 2905 df-v 3175 df-sbc 3403 df-csb 3500 df-dif 3543 df-un 3545 df-in 3547 df-ss 3554 df-pss 3556 df-nul 3875 df-if 4037 df-pw 4110 df-sn 4126 df-pr 4128 df-tp 4130 df-op 4132 df-uni 4373 df-int 4411 df-iun 4457 df-br 4584 df-opab 4644 df-mpt 4645 df-tr 4681 df-eprel 4949 df-id 4953 df-po 4959 df-so 4960 df-fr 4997 df-we 4999 df-xp 5044 df-rel 5045 df-cnv 5046 df-co 5047 df-dm 5048 df-rn 5049 df-res 5050 df-ima 5051 df-pred 5597 df-ord 5643 df-on 5644 df-lim 5645 df-suc 5646 df-iota 5768 df-fun 5806 df-fn 5807 df-f 5808 df-f1 5809 df-fo 5810 df-f1o 5811 df-fv 5812 df-riota 6511 df-ov 6552 df-oprab 6553 df-mpt2 6554 df-om 6958 df-1st 7059 df-2nd 7060 df-wrecs 7294 df-recs 7355 df-rdg 7393 df-1o 7447 df-2o 7448 df-oadd 7451 df-er 7629 df-map 7746 df-en 7842 df-dom 7843 df-sdom 7844 df-fin 7845 df-sup 8231 df-pnf 9955 df-mnf 9956 df-xr 9957 df-ltxr 9958 df-le 9959 df-sub 10147 df-neg 10148 df-div 10564 df-nn 10898 df-2 10956 df-3 10957 df-4 10958 df-n0 11170 df-z 11255 df-uz 11564 df-rp 11709 df-ico 12052 df-fz 12198 df-fzo 12335 df-seq 12664 df-exp 12723 df-cj 13687 df-re 13688 df-im 13689 df-sqrt 13823 df-abs 13824 df-dvds 14822 df-prm 15224 df-iccp 39952 df-even 40077 df-odd 40078

This theorem is referenced by: bgoldbtbndlem4 40224

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