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Theorem bgoldbtbndlem2 38901
Description: Lemma 2 for bgoldbtbnd 38904. (Contributed by AV, 1-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
bgoldbtbnd.m  |-  ( ph  ->  M  e.  ( ZZ>= ` ; 1 1 ) )
bgoldbtbnd.n  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= ` ; 1 1 ) )
bgoldbtbnd.b  |-  ( ph  ->  A. n  e. Even  (
( 4  <  n  /\  n  <  N )  ->  n  e. GoldbachEven  ) )
bgoldbtbnd.d  |-  ( ph  ->  D  e.  ( ZZ>= ` 
3 ) )
bgoldbtbnd.f  |-  ( ph  ->  F  e.  (RePart `  D ) )
bgoldbtbnd.i  |-  ( ph  ->  A. i  e.  ( 0..^ D ) ( ( F `  i
)  e.  ( Prime  \  { 2 } )  /\  ( ( F `
 ( i  +  1 ) )  -  ( F `  i ) )  <  ( N  -  4 )  /\  4  <  ( ( F `
 ( i  +  1 ) )  -  ( F `  i ) ) ) )
bgoldbtbnd.0  |-  ( ph  ->  ( F `  0
)  =  7 )
bgoldbtbnd.1  |-  ( ph  ->  ( F `  1
)  = ; 1 3 )
bgoldbtbnd.l  |-  ( ph  ->  M  <  ( F `
 D ) )
bgoldbtbndlem2.s  |-  S  =  ( X  -  ( F `  ( I  -  1 ) ) )
Assertion
Ref Expression
bgoldbtbndlem2  |-  ( (
ph  /\  X  e. Odd  /\  I  e.  ( 1..^ D ) )  -> 
( ( X  e.  ( ( F `  I ) [,) ( F `  ( I  +  1 ) ) )  /\  ( X  -  ( F `  I ) )  <_ 
4 )  ->  ( S  e. Even  /\  S  < 
N  /\  4  <  S ) ) )
Distinct variable groups:    D, i    i, F    i, I    i, N
Allowed substitution hints:    ph( i, n)    D( n)    S( i, n)    F( n)    I( n)    M( i, n)    N( n)    X( i, n)

Proof of Theorem bgoldbtbndlem2
StepHypRef Expression
1 bgoldbtbnd.i . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. i  e.  ( 0..^ D ) ( ( F `  i
)  e.  ( Prime  \  { 2 } )  /\  ( ( F `
 ( i  +  1 ) )  -  ( F `  i ) )  <  ( N  -  4 )  /\  4  <  ( ( F `
 ( i  +  1 ) )  -  ( F `  i ) ) ) )
2 elfzoelz 11920 . . . . . . 7  |-  ( I  e.  ( 1..^ D )  ->  I  e.  ZZ )
3 elfzoel2 11919 . . . . . . 7  |-  ( I  e.  ( 1..^ D )  ->  D  e.  ZZ )
4 elfzom1b 12010 . . . . . . . . 9  |-  ( ( I  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ )  ->  ( I  e.  ( 1..^ D )  <->  ( I  -  1 )  e.  ( 0..^ ( D  -  1 ) ) ) )
5 fzossrbm1 11947 . . . . . . . . . . 11  |-  ( D  e.  ZZ  ->  (
0..^ ( D  - 
1 ) )  C_  ( 0..^ D ) )
65adantl 468 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( I  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ )  ->  ( 0..^ ( D  -  1 ) ) 
C_  ( 0..^ D ) )
76sseld 3431 . . . . . . . . 9  |-  ( ( I  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ )  ->  ( ( I  - 
1 )  e.  ( 0..^ ( D  - 
1 ) )  -> 
( I  -  1 )  e.  ( 0..^ D ) ) )
84, 7sylbid 219 . . . . . . . 8  |-  ( ( I  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ )  ->  ( I  e.  ( 1..^ D )  -> 
( I  -  1 )  e.  ( 0..^ D ) ) )
98com12 32 . . . . . . 7  |-  ( I  e.  ( 1..^ D )  ->  ( (
I  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ )  ->  ( I  -  1 )  e.  ( 0..^ D ) ) )
102, 3, 9mp2and 685 . . . . . 6  |-  ( I  e.  ( 1..^ D )  ->  ( I  -  1 )  e.  ( 0..^ D ) )
11 fveq2 5865 . . . . . . . . 9  |-  ( i  =  ( I  - 
1 )  ->  ( F `  i )  =  ( F `  ( I  -  1
) ) )
1211eleq1d 2513 . . . . . . . 8  |-  ( i  =  ( I  - 
1 )  ->  (
( F `  i
)  e.  ( Prime  \  { 2 } )  <-> 
( F `  (
I  -  1 ) )  e.  ( Prime  \  { 2 } ) ) )
13 oveq1 6297 . . . . . . . . . . 11  |-  ( i  =  ( I  - 
1 )  ->  (
i  +  1 )  =  ( ( I  -  1 )  +  1 ) )
1413fveq2d 5869 . . . . . . . . . 10  |-  ( i  =  ( I  - 
1 )  ->  ( F `  ( i  +  1 ) )  =  ( F `  ( ( I  - 
1 )  +  1 ) ) )
1514, 11oveq12d 6308 . . . . . . . . 9  |-  ( i  =  ( I  - 
1 )  ->  (
( F `  (
i  +  1 ) )  -  ( F `
 i ) )  =  ( ( F `
 ( ( I  -  1 )  +  1 ) )  -  ( F `  ( I  -  1 ) ) ) )
1615breq1d 4412 . . . . . . . 8  |-  ( i  =  ( I  - 
1 )  ->  (
( ( F `  ( i  +  1 ) )  -  ( F `  i )
)  <  ( N  -  4 )  <->  ( ( F `  ( (
I  -  1 )  +  1 ) )  -  ( F `  ( I  -  1
) ) )  < 
( N  -  4 ) ) )
1715breq2d 4414 . . . . . . . 8  |-  ( i  =  ( I  - 
1 )  ->  (
4  <  ( ( F `  ( i  +  1 ) )  -  ( F `  i ) )  <->  4  <  ( ( F `  (
( I  -  1 )  +  1 ) )  -  ( F `
 ( I  - 
1 ) ) ) ) )
1812, 16, 173anbi123d 1339 . . . . . . 7  |-  ( i  =  ( I  - 
1 )  ->  (
( ( F `  i )  e.  ( Prime  \  { 2 } )  /\  (
( F `  (
i  +  1 ) )  -  ( F `
 i ) )  <  ( N  - 
4 )  /\  4  <  ( ( F `  ( i  +  1 ) )  -  ( F `  i )
) )  <->  ( ( F `  ( I  -  1 ) )  e.  ( Prime  \  {
2 } )  /\  ( ( F `  ( ( I  - 
1 )  +  1 ) )  -  ( F `  ( I  -  1 ) ) )  <  ( N  -  4 )  /\  4  <  ( ( F `
 ( ( I  -  1 )  +  1 ) )  -  ( F `  ( I  -  1 ) ) ) ) ) )
1918rspcv 3146 . . . . . 6  |-  ( ( I  -  1 )  e.  ( 0..^ D )  ->  ( A. i  e.  ( 0..^ D ) ( ( F `  i )  e.  ( Prime  \  {
2 } )  /\  ( ( F `  ( i  +  1 ) )  -  ( F `  i )
)  <  ( N  -  4 )  /\  4  <  ( ( F `
 ( i  +  1 ) )  -  ( F `  i ) ) )  ->  (
( F `  (
I  -  1 ) )  e.  ( Prime  \  { 2 } )  /\  ( ( F `
 ( ( I  -  1 )  +  1 ) )  -  ( F `  ( I  -  1 ) ) )  <  ( N  -  4 )  /\  4  <  ( ( F `
 ( ( I  -  1 )  +  1 ) )  -  ( F `  ( I  -  1 ) ) ) ) ) )
2010, 19syl 17 . . . . 5  |-  ( I  e.  ( 1..^ D )  ->  ( A. i  e.  ( 0..^ D ) ( ( F `  i )  e.  ( Prime  \  {
2 } )  /\  ( ( F `  ( i  +  1 ) )  -  ( F `  i )
)  <  ( N  -  4 )  /\  4  <  ( ( F `
 ( i  +  1 ) )  -  ( F `  i ) ) )  ->  (
( F `  (
I  -  1 ) )  e.  ( Prime  \  { 2 } )  /\  ( ( F `
 ( ( I  -  1 )  +  1 ) )  -  ( F `  ( I  -  1 ) ) )  <  ( N  -  4 )  /\  4  <  ( ( F `
 ( ( I  -  1 )  +  1 ) )  -  ( F `  ( I  -  1 ) ) ) ) ) )
211, 20syl5com 31 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( I  e.  ( 1..^ D )  -> 
( ( F `  ( I  -  1
) )  e.  ( Prime  \  { 2 } )  /\  (
( F `  (
( I  -  1 )  +  1 ) )  -  ( F `
 ( I  - 
1 ) ) )  <  ( N  - 
4 )  /\  4  <  ( ( F `  ( ( I  - 
1 )  +  1 ) )  -  ( F `  ( I  -  1 ) ) ) ) ) )
2221a1d 26 . . 3  |-  ( ph  ->  ( X  e. Odd  ->  ( I  e.  ( 1..^ D )  ->  (
( F `  (
I  -  1 ) )  e.  ( Prime  \  { 2 } )  /\  ( ( F `
 ( ( I  -  1 )  +  1 ) )  -  ( F `  ( I  -  1 ) ) )  <  ( N  -  4 )  /\  4  <  ( ( F `
 ( ( I  -  1 )  +  1 ) )  -  ( F `  ( I  -  1 ) ) ) ) ) ) )
23223imp 1202 . 2  |-  ( (
ph  /\  X  e. Odd  /\  I  e.  ( 1..^ D ) )  -> 
( ( F `  ( I  -  1
) )  e.  ( Prime  \  { 2 } )  /\  (
( F `  (
( I  -  1 )  +  1 ) )  -  ( F `
 ( I  - 
1 ) ) )  <  ( N  - 
4 )  /\  4  <  ( ( F `  ( ( I  - 
1 )  +  1 ) )  -  ( F `  ( I  -  1 ) ) ) ) )
24 bgoldbtbndlem2.s . . . . 5  |-  S  =  ( X  -  ( F `  ( I  -  1 ) ) )
25 simp2 1009 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  X  e. Odd  /\  I  e.  ( 1..^ D ) )  ->  X  e. Odd  )
26 oddprmALTV 38816 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F `  ( I  -  1 ) )  e.  ( Prime  \  {
2 } )  -> 
( F `  (
I  -  1 ) )  e. Odd  )
27263ad2ant1 1029 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F `  (
I  -  1 ) )  e.  ( Prime  \  { 2 } )  /\  ( ( F `
 ( ( I  -  1 )  +  1 ) )  -  ( F `  ( I  -  1 ) ) )  <  ( N  -  4 )  /\  4  <  ( ( F `
 ( ( I  -  1 )  +  1 ) )  -  ( F `  ( I  -  1 ) ) ) )  ->  ( F `  ( I  -  1 ) )  e. Odd  )
2825, 27anim12i 570 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  X  e. Odd  /\  I  e.  ( 1..^ D ) )  /\  ( ( F `
 ( I  - 
1 ) )  e.  ( Prime  \  { 2 } )  /\  (
( F `  (
( I  -  1 )  +  1 ) )  -  ( F `
 ( I  - 
1 ) ) )  <  ( N  - 
4 )  /\  4  <  ( ( F `  ( ( I  - 
1 )  +  1 ) )  -  ( F `  ( I  -  1 ) ) ) ) )  -> 
( X  e. Odd  /\  ( F `  ( I  -  1 ) )  e. Odd  ) )
2928adantr 467 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  X  e. Odd  /\  I  e.  ( 1..^ D ) )  /\  ( ( F `  ( I  -  1 ) )  e.  ( Prime  \  {
2 } )  /\  ( ( F `  ( ( I  - 
1 )  +  1 ) )  -  ( F `  ( I  -  1 ) ) )  <  ( N  -  4 )  /\  4  <  ( ( F `
 ( ( I  -  1 )  +  1 ) )  -  ( F `  ( I  -  1 ) ) ) ) )  /\  ( X  e.  (
( F `  I
) [,) ( F `
 ( I  + 
1 ) ) )  /\  ( X  -  ( F `  I ) )  <_  4 ) )  ->  ( X  e. Odd  /\  ( F `  ( I  -  1
) )  e. Odd  )
)
30 omoeALTV 38814 . . . . . 6  |-  ( ( X  e. Odd  /\  ( F `  ( I  -  1 ) )  e. Odd  )  ->  ( X  -  ( F `  ( I  -  1 ) ) )  e. Even 
)
3129, 30syl 17 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ph  /\  X  e. Odd  /\  I  e.  ( 1..^ D ) )  /\  ( ( F `  ( I  -  1 ) )  e.  ( Prime  \  {
2 } )  /\  ( ( F `  ( ( I  - 
1 )  +  1 ) )  -  ( F `  ( I  -  1 ) ) )  <  ( N  -  4 )  /\  4  <  ( ( F `
 ( ( I  -  1 )  +  1 ) )  -  ( F `  ( I  -  1 ) ) ) ) )  /\  ( X  e.  (
( F `  I
) [,) ( F `
 ( I  + 
1 ) ) )  /\  ( X  -  ( F `  I ) )  <_  4 ) )  ->  ( X  -  ( F `  ( I  -  1
) ) )  e. Even 
)
3224, 31syl5eqel 2533 . . . 4  |-  ( ( ( ( ph  /\  X  e. Odd  /\  I  e.  ( 1..^ D ) )  /\  ( ( F `  ( I  -  1 ) )  e.  ( Prime  \  {
2 } )  /\  ( ( F `  ( ( I  - 
1 )  +  1 ) )  -  ( F `  ( I  -  1 ) ) )  <  ( N  -  4 )  /\  4  <  ( ( F `
 ( ( I  -  1 )  +  1 ) )  -  ( F `  ( I  -  1 ) ) ) ) )  /\  ( X  e.  (
( F `  I
) [,) ( F `
 ( I  + 
1 ) ) )  /\  ( X  -  ( F `  I ) )  <_  4 ) )  ->  S  e. Even  )
332zcnd 11041 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( I  e.  ( 1..^ D )  ->  I  e.  CC )
34333ad2ant3 1031 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  X  e. Odd  /\  I  e.  ( 1..^ D ) )  ->  I  e.  CC )
35 npcan1 10044 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( I  e.  CC  ->  (
( I  -  1 )  +  1 )  =  I )
3634, 35syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  X  e. Odd  /\  I  e.  ( 1..^ D ) )  -> 
( ( I  - 
1 )  +  1 )  =  I )
3736fveq2d 5869 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  X  e. Odd  /\  I  e.  ( 1..^ D ) )  -> 
( F `  (
( I  -  1 )  +  1 ) )  =  ( F `
 I ) )
3837oveq1d 6305 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  X  e. Odd  /\  I  e.  ( 1..^ D ) )  -> 
( ( F `  ( ( I  - 
1 )  +  1 ) )  -  ( F `  ( I  -  1 ) ) )  =  ( ( F `  I )  -  ( F `  ( I  -  1
) ) ) )
3938breq1d 4412 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  X  e. Odd  /\  I  e.  ( 1..^ D ) )  -> 
( ( ( F `
 ( ( I  -  1 )  +  1 ) )  -  ( F `  ( I  -  1 ) ) )  <  ( N  -  4 )  <->  ( ( F `  I )  -  ( F `  ( I  -  1
) ) )  < 
( N  -  4 ) ) )
4039adantr 467 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  X  e. Odd  /\  I  e.  ( 1..^ D ) )  /\  ( F `  ( I  -  1
) )  e.  ( Prime  \  { 2 } ) )  -> 
( ( ( F `
 ( ( I  -  1 )  +  1 ) )  -  ( F `  ( I  -  1 ) ) )  <  ( N  -  4 )  <->  ( ( F `  I )  -  ( F `  ( I  -  1
) ) )  < 
( N  -  4 ) ) )
41 eldifi 3555 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( F `  ( I  -  1 ) )  e.  ( Prime  \  {
2 } )  -> 
( F `  (
I  -  1 ) )  e.  Prime )
42 prmz 14626 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( F `  ( I  -  1 ) )  e.  Prime  ->  ( F `
 ( I  - 
1 ) )  e.  ZZ )
43 zre 10941 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( F `  ( I  -  1 ) )  e.  ZZ  ->  ( F `  ( I  -  1 ) )  e.  RR )
44 simp1 1008 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( F `  i
)  e.  ( Prime  \  { 2 } )  /\  ( ( F `
 ( i  +  1 ) )  -  ( F `  i ) )  <  ( N  -  4 )  /\  4  <  ( ( F `
 ( i  +  1 ) )  -  ( F `  i ) ) )  ->  ( F `  i )  e.  ( Prime  \  { 2 } ) )
4544ralimi 2781 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( A. i  e.  ( 0..^ D ) ( ( F `  i )  e.  ( Prime  \  {
2 } )  /\  ( ( F `  ( i  +  1 ) )  -  ( F `  i )
)  <  ( N  -  4 )  /\  4  <  ( ( F `
 ( i  +  1 ) )  -  ( F `  i ) ) )  ->  A. i  e.  ( 0..^ D ) ( F `  i
)  e.  ( Prime  \  { 2 } ) )
46 fzo0ss1 11948 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( 1..^ D )  C_  (
0..^ D )
4746sseli 3428 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( I  e.  ( 1..^ D )  ->  I  e.  ( 0..^ D ) )
4847adantl 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( (
ph  /\  I  e.  ( 1..^ D ) )  ->  I  e.  ( 0..^ D ) )
49 fveq2 5865 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( i  =  I  ->  ( F `  i )  =  ( F `  I ) )
5049eleq1d 2513 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( i  =  I  ->  (
( F `  i
)  e.  ( Prime  \  { 2 } )  <-> 
( F `  I
)  e.  ( Prime  \  { 2 } ) ) )
5150rspcv 3146 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( I  e.  ( 0..^ D )  ->  ( A. i  e.  ( 0..^ D ) ( F `
 i )  e.  ( Prime  \  { 2 } )  ->  ( F `  I )  e.  ( Prime  \  { 2 } ) ) )
5248, 51syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( (
ph  /\  I  e.  ( 1..^ D ) )  ->  ( A. i  e.  ( 0..^ D ) ( F `  i
)  e.  ( Prime  \  { 2 } )  ->  ( F `  I )  e.  ( Prime  \  { 2 } ) ) )
5352ex 436 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ph  ->  ( I  e.  ( 1..^ D )  -> 
( A. i  e.  ( 0..^ D ) ( F `  i
)  e.  ( Prime  \  { 2 } )  ->  ( F `  I )  e.  ( Prime  \  { 2 } ) ) ) )
5453com23 81 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ph  ->  ( A. i  e.  ( 0..^ D ) ( F `  i
)  e.  ( Prime  \  { 2 } )  ->  ( I  e.  ( 1..^ D )  ->  ( F `  I )  e.  ( Prime  \  { 2 } ) ) ) )
5554a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( X  e. Odd  ->  ( ph  ->  ( A. i  e.  ( 0..^ D ) ( F `  i )  e.  ( Prime  \  {
2 } )  -> 
( I  e.  ( 1..^ D )  -> 
( F `  I
)  e.  ( Prime  \  { 2 } ) ) ) ) )
5655com13 83 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( A. i  e.  ( 0..^ D ) ( F `
 i )  e.  ( Prime  \  { 2 } )  ->  ( ph  ->  ( X  e. Odd 
->  ( I  e.  ( 1..^ D )  -> 
( F `  I
)  e.  ( Prime  \  { 2 } ) ) ) ) )
5745, 56syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( A. i  e.  ( 0..^ D ) ( ( F `  i )  e.  ( Prime  \  {
2 } )  /\  ( ( F `  ( i  +  1 ) )  -  ( F `  i )
)  <  ( N  -  4 )  /\  4  <  ( ( F `
 ( i  +  1 ) )  -  ( F `  i ) ) )  ->  ( ph  ->  ( X  e. Odd 
->  ( I  e.  ( 1..^ D )  -> 
( F `  I
)  e.  ( Prime  \  { 2 } ) ) ) ) )
581, 57mpcom 37 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( X  e. Odd  ->  ( I  e.  ( 1..^ D )  ->  ( F `  I )  e.  ( Prime  \  { 2 } ) ) ) )
59583imp 1202 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  X  e. Odd  /\  I  e.  ( 1..^ D ) )  -> 
( F `  I
)  e.  ( Prime  \  { 2 } ) )
60 eldifi 3555 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( F `  I )  e.  ( Prime  \  {
2 } )  -> 
( F `  I
)  e.  Prime )
61 prmz 14626 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( F `  I )  e.  Prime  ->  ( F `
 I )  e.  ZZ )
62 zre 10941 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( F `  I )  e.  ZZ  ->  ( F `  I )  e.  RR )
63 bgoldbtbnd.n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= ` ; 1 1 ) )
64 eluzelz 11168 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( N  e.  ( ZZ>= ` ; 1 1 )  ->  N  e.  ZZ )
65 zre 10941 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  RR )
66 oddz 38760 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( X  e. Odd  ->  X  e.  ZZ )
6766zred 11040 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( X  e. Odd  ->  X  e.  RR )
68 simplr 762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  X  e.  RR )  /\  ( ( F `
 I )  e.  RR  /\  ( F `
 ( I  - 
1 ) )  e.  RR ) )  ->  X  e.  RR )
69 simprl 764 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  X  e.  RR )  /\  ( ( F `
 I )  e.  RR  /\  ( F `
 ( I  - 
1 ) )  e.  RR ) )  -> 
( F `  I
)  e.  RR )
70 4re 10686 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  4  e.  RR
7170a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  X  e.  RR )  /\  ( ( F `
 I )  e.  RR  /\  ( F `
 ( I  - 
1 ) )  e.  RR ) )  -> 
4  e.  RR )
7268, 69, 71lesubaddd 10210 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  X  e.  RR )  /\  ( ( F `
 I )  e.  RR  /\  ( F `
 ( I  - 
1 ) )  e.  RR ) )  -> 
( ( X  -  ( F `  I ) )  <_  4  <->  X  <_  ( 4  +  ( F `
 I ) ) ) )
73 simpllr 769 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ( ( ( N  e.  RR  /\  X  e.  RR )  /\  (
( F `  I
)  e.  RR  /\  ( F `  ( I  -  1 ) )  e.  RR ) )  /\  ( X  <_ 
( 4  +  ( F `  I ) )  /\  ( ( F `  I )  -  ( F `  ( I  -  1
) ) )  < 
( N  -  4 ) ) )  ->  X  e.  RR )
74 simplrr 771 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ( ( ( N  e.  RR  /\  X  e.  RR )  /\  (
( F `  I
)  e.  RR  /\  ( F `  ( I  -  1 ) )  e.  RR ) )  /\  ( X  <_ 
( 4  +  ( F `  I ) )  /\  ( ( F `  I )  -  ( F `  ( I  -  1
) ) )  < 
( N  -  4 ) ) )  -> 
( F `  (
I  -  1 ) )  e.  RR )
7573, 74resubcld 10047 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( ( ( N  e.  RR  /\  X  e.  RR )  /\  (
( F `  I
)  e.  RR  /\  ( F `  ( I  -  1 ) )  e.  RR ) )  /\  ( X  <_ 
( 4  +  ( F `  I ) )  /\  ( ( F `  I )  -  ( F `  ( I  -  1
) ) )  < 
( N  -  4 ) ) )  -> 
( X  -  ( F `  ( I  -  1 ) ) )  e.  RR )
7670a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( ( ( ( N  e.  RR  /\  X  e.  RR )  /\  (
( F `  I
)  e.  RR  /\  ( F `  ( I  -  1 ) )  e.  RR ) )  /\  ( X  <_ 
( 4  +  ( F `  I ) )  /\  ( ( F `  I )  -  ( F `  ( I  -  1
) ) )  < 
( N  -  4 ) ) )  -> 
4  e.  RR )
77 simplrl 770 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( ( ( ( N  e.  RR  /\  X  e.  RR )  /\  (
( F `  I
)  e.  RR  /\  ( F `  ( I  -  1 ) )  e.  RR ) )  /\  ( X  <_ 
( 4  +  ( F `  I ) )  /\  ( ( F `  I )  -  ( F `  ( I  -  1
) ) )  < 
( N  -  4 ) ) )  -> 
( F `  I
)  e.  RR )
7876, 77readdcld 9670 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ( ( ( N  e.  RR  /\  X  e.  RR )  /\  (
( F `  I
)  e.  RR  /\  ( F `  ( I  -  1 ) )  e.  RR ) )  /\  ( X  <_ 
( 4  +  ( F `  I ) )  /\  ( ( F `  I )  -  ( F `  ( I  -  1
) ) )  < 
( N  -  4 ) ) )  -> 
( 4  +  ( F `  I ) )  e.  RR )
7978, 74resubcld 10047 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( ( ( N  e.  RR  /\  X  e.  RR )  /\  (
( F `  I
)  e.  RR  /\  ( F `  ( I  -  1 ) )  e.  RR ) )  /\  ( X  <_ 
( 4  +  ( F `  I ) )  /\  ( ( F `  I )  -  ( F `  ( I  -  1
) ) )  < 
( N  -  4 ) ) )  -> 
( ( 4  +  ( F `  I
) )  -  ( F `  ( I  -  1 ) ) )  e.  RR )
80 simplll 768 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( ( ( N  e.  RR  /\  X  e.  RR )  /\  (
( F `  I
)  e.  RR  /\  ( F `  ( I  -  1 ) )  e.  RR ) )  /\  ( X  <_ 
( 4  +  ( F `  I ) )  /\  ( ( F `  I )  -  ( F `  ( I  -  1
) ) )  < 
( N  -  4 ) ) )  ->  N  e.  RR )
8171, 69readdcld 9670 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  X  e.  RR )  /\  ( ( F `
 I )  e.  RR  /\  ( F `
 ( I  - 
1 ) )  e.  RR ) )  -> 
( 4  +  ( F `  I ) )  e.  RR )
82 simprr 766 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  X  e.  RR )  /\  ( ( F `
 I )  e.  RR  /\  ( F `
 ( I  - 
1 ) )  e.  RR ) )  -> 
( F `  (
I  -  1 ) )  e.  RR )
8368, 81, 82lesub1d 10220 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  X  e.  RR )  /\  ( ( F `
 I )  e.  RR  /\  ( F `
 ( I  - 
1 ) )  e.  RR ) )  -> 
( X  <_  (
4  +  ( F `
 I ) )  <-> 
( X  -  ( F `  ( I  -  1 ) ) )  <_  ( (
4  +  ( F `
 I ) )  -  ( F `  ( I  -  1
) ) ) ) )
8483biimpa 487 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ( ( ( N  e.  RR  /\  X  e.  RR )  /\  (
( F `  I
)  e.  RR  /\  ( F `  ( I  -  1 ) )  e.  RR ) )  /\  X  <_  (
4  +  ( F `
 I ) ) )  ->  ( X  -  ( F `  ( I  -  1
) ) )  <_ 
( ( 4  +  ( F `  I
) )  -  ( F `  ( I  -  1 ) ) ) )
8584adantrr 723 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( ( ( N  e.  RR  /\  X  e.  RR )  /\  (
( F `  I
)  e.  RR  /\  ( F `  ( I  -  1 ) )  e.  RR ) )  /\  ( X  <_ 
( 4  +  ( F `  I ) )  /\  ( ( F `  I )  -  ( F `  ( I  -  1
) ) )  < 
( N  -  4 ) ) )  -> 
( X  -  ( F `  ( I  -  1 ) ) )  <_  ( (
4  +  ( F `
 I ) )  -  ( F `  ( I  -  1
) ) ) )
86 resubcl 9938 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37  |-  ( ( ( F `  I
)  e.  RR  /\  ( F `  ( I  -  1 ) )  e.  RR )  -> 
( ( F `  I )  -  ( F `  ( I  -  1 ) ) )  e.  RR )
8786adantl 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  X  e.  RR )  /\  ( ( F `
 I )  e.  RR  /\  ( F `
 ( I  - 
1 ) )  e.  RR ) )  -> 
( ( F `  I )  -  ( F `  ( I  -  1 ) ) )  e.  RR )
88 simpll 760 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  X  e.  RR )  /\  ( ( F `
 I )  e.  RR  /\  ( F `
 ( I  - 
1 ) )  e.  RR ) )  ->  N  e.  RR )
89 ltaddsub2 10089 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37  |-  ( ( 4  e.  RR  /\  ( ( F `  I )  -  ( F `  ( I  -  1 ) ) )  e.  RR  /\  N  e.  RR )  ->  ( ( 4  +  ( ( F `  I )  -  ( F `  ( I  -  1 ) ) ) )  <  N  <->  ( ( F `  I
)  -  ( F `
 ( I  - 
1 ) ) )  <  ( N  - 
4 ) ) )
9089bicomd 205 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36  |-  ( ( 4  e.  RR  /\  ( ( F `  I )  -  ( F `  ( I  -  1 ) ) )  e.  RR  /\  N  e.  RR )  ->  ( ( ( F `
 I )  -  ( F `  ( I  -  1 ) ) )  <  ( N  -  4 )  <->  ( 4  +  ( ( F `
 I )  -  ( F `  ( I  -  1 ) ) ) )  <  N
) )
9171, 87, 88, 90syl3anc 1268 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  X  e.  RR )  /\  ( ( F `
 I )  e.  RR  /\  ( F `
 ( I  - 
1 ) )  e.  RR ) )  -> 
( ( ( F `
 I )  -  ( F `  ( I  -  1 ) ) )  <  ( N  -  4 )  <->  ( 4  +  ( ( F `
 I )  -  ( F `  ( I  -  1 ) ) ) )  <  N
) )
9291biimpd 211 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  X  e.  RR )  /\  ( ( F `
 I )  e.  RR  /\  ( F `
 ( I  - 
1 ) )  e.  RR ) )  -> 
( ( ( F `
 I )  -  ( F `  ( I  -  1 ) ) )  <  ( N  -  4 )  -> 
( 4  +  ( ( F `  I
)  -  ( F `
 ( I  - 
1 ) ) ) )  <  N ) )
9392adantld 469 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  X  e.  RR )  /\  ( ( F `
 I )  e.  RR  /\  ( F `
 ( I  - 
1 ) )  e.  RR ) )  -> 
( ( X  <_ 
( 4  +  ( F `  I ) )  /\  ( ( F `  I )  -  ( F `  ( I  -  1
) ) )  < 
( N  -  4 ) )  ->  (
4  +  ( ( F `  I )  -  ( F `  ( I  -  1
) ) ) )  <  N ) )
9493imp 431 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ( ( ( N  e.  RR  /\  X  e.  RR )  /\  (
( F `  I
)  e.  RR  /\  ( F `  ( I  -  1 ) )  e.  RR ) )  /\  ( X  <_ 
( 4  +  ( F `  I ) )  /\  ( ( F `  I )  -  ( F `  ( I  -  1
) ) )  < 
( N  -  4 ) ) )  -> 
( 4  +  ( ( F `  I
)  -  ( F `
 ( I  - 
1 ) ) ) )  <  N )
95 4cn 10687 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36  |-  4  e.  CC
9695a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  X  e.  RR )  /\  ( ( F `
 I )  e.  RR  /\  ( F `
 ( I  - 
1 ) )  e.  RR ) )  -> 
4  e.  CC )
9769recnd 9669 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  X  e.  RR )  /\  ( ( F `
 I )  e.  RR  /\  ( F `
 ( I  - 
1 ) )  e.  RR ) )  -> 
( F `  I
)  e.  CC )
98 recn 9629 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37  |-  ( ( F `  ( I  -  1 ) )  e.  RR  ->  ( F `  ( I  -  1 ) )  e.  CC )
9998adantl 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36  |-  ( ( ( F `  I
)  e.  RR  /\  ( F `  ( I  -  1 ) )  e.  RR )  -> 
( F `  (
I  -  1 ) )  e.  CC )
10099adantl 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  X  e.  RR )  /\  ( ( F `
 I )  e.  RR  /\  ( F `
 ( I  - 
1 ) )  e.  RR ) )  -> 
( F `  (
I  -  1 ) )  e.  CC )
10196, 97, 100addsubassd 10006 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  X  e.  RR )  /\  ( ( F `
 I )  e.  RR  /\  ( F `
 ( I  - 
1 ) )  e.  RR ) )  -> 
( ( 4  +  ( F `  I
) )  -  ( F `  ( I  -  1 ) ) )  =  ( 4  +  ( ( F `
 I )  -  ( F `  ( I  -  1 ) ) ) ) )
102101breq1d 4412 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  X  e.  RR )  /\  ( ( F `
 I )  e.  RR  /\  ( F `
 ( I  - 
1 ) )  e.  RR ) )  -> 
( ( ( 4  +  ( F `  I ) )  -  ( F `  ( I  -  1 ) ) )  <  N  <->  ( 4  +  ( ( F `
 I )  -  ( F `  ( I  -  1 ) ) ) )  <  N
) )
103102adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ( ( ( N  e.  RR  /\  X  e.  RR )  /\  (
( F `  I
)  e.  RR  /\  ( F `  ( I  -  1 ) )  e.  RR ) )  /\  ( X  <_ 
( 4  +  ( F `  I ) )  /\  ( ( F `  I )  -  ( F `  ( I  -  1
) ) )  < 
( N  -  4 ) ) )  -> 
( ( ( 4  +  ( F `  I ) )  -  ( F `  ( I  -  1 ) ) )  <  N  <->  ( 4  +  ( ( F `
 I )  -  ( F `  ( I  -  1 ) ) ) )  <  N
) )
10494, 103mpbird 236 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( ( ( N  e.  RR  /\  X  e.  RR )  /\  (
( F `  I
)  e.  RR  /\  ( F `  ( I  -  1 ) )  e.  RR ) )  /\  ( X  <_ 
( 4  +  ( F `  I ) )  /\  ( ( F `  I )  -  ( F `  ( I  -  1
) ) )  < 
( N  -  4 ) ) )  -> 
( ( 4  +  ( F `  I
) )  -  ( F `  ( I  -  1 ) ) )  <  N )
10575, 79, 80, 85, 104lelttrd 9793 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( ( ( N  e.  RR  /\  X  e.  RR )  /\  (
( F `  I
)  e.  RR  /\  ( F `  ( I  -  1 ) )  e.  RR ) )  /\  ( X  <_ 
( 4  +  ( F `  I ) )  /\  ( ( F `  I )  -  ( F `  ( I  -  1
) ) )  < 
( N  -  4 ) ) )  -> 
( X  -  ( F `  ( I  -  1 ) ) )  <  N )
106105exp32 610 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  X  e.  RR )  /\  ( ( F `
 I )  e.  RR  /\  ( F `
 ( I  - 
1 ) )  e.  RR ) )  -> 
( X  <_  (
4  +  ( F `
 I ) )  ->  ( ( ( F `  I )  -  ( F `  ( I  -  1
) ) )  < 
( N  -  4 )  ->  ( X  -  ( F `  ( I  -  1
) ) )  < 
N ) ) )
10772, 106sylbid 219 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  X  e.  RR )  /\  ( ( F `
 I )  e.  RR  /\  ( F `
 ( I  - 
1 ) )  e.  RR ) )  -> 
( ( X  -  ( F `  I ) )  <_  4  ->  ( ( ( F `  I )  -  ( F `  ( I  -  1 ) ) )  <  ( N  -  4 )  -> 
( X  -  ( F `  ( I  -  1 ) ) )  <  N ) ) )
108107com23 81 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  X  e.  RR )  /\  ( ( F `
 I )  e.  RR  /\  ( F `
 ( I  - 
1 ) )  e.  RR ) )  -> 
( ( ( F `
 I )  -  ( F `  ( I  -  1 ) ) )  <  ( N  -  4 )  -> 
( ( X  -  ( F `  I ) )  <_  4  ->  ( X  -  ( F `
 ( I  - 
1 ) ) )  <  N ) ) )
109108exp32 610 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( N  e.  RR  /\  X  e.  RR )  ->  ( ( F `  I )  e.  RR  ->  ( ( F `  ( I  -  1
) )  e.  RR  ->  ( ( ( F `
 I )  -  ( F `  ( I  -  1 ) ) )  <  ( N  -  4 )  -> 
( ( X  -  ( F `  I ) )  <_  4  ->  ( X  -  ( F `
 ( I  - 
1 ) ) )  <  N ) ) ) ) )
11067, 109sylan2 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( N  e.  RR  /\  X  e. Odd  )  ->  ( ( F `  I
)  e.  RR  ->  ( ( F `  (
I  -  1 ) )  e.  RR  ->  ( ( ( F `  I )  -  ( F `  ( I  -  1 ) ) )  <  ( N  -  4 )  -> 
( ( X  -  ( F `  I ) )  <_  4  ->  ( X  -  ( F `
 ( I  - 
1 ) ) )  <  N ) ) ) ) )
111110ex 436 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( N  e.  RR  ->  ( X  e. Odd  ->  ( ( F `  I )  e.  RR  ->  (
( F `  (
I  -  1 ) )  e.  RR  ->  ( ( ( F `  I )  -  ( F `  ( I  -  1 ) ) )  <  ( N  -  4 )  -> 
( ( X  -  ( F `  I ) )  <_  4  ->  ( X  -  ( F `
 ( I  - 
1 ) ) )  <  N ) ) ) ) ) )
11265, 111syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( X  e. Odd  ->  ( ( F `  I )  e.  RR  ->  (
( F `  (
I  -  1 ) )  e.  RR  ->  ( ( ( F `  I )  -  ( F `  ( I  -  1 ) ) )  <  ( N  -  4 )  -> 
( ( X  -  ( F `  I ) )  <_  4  ->  ( X  -  ( F `
 ( I  - 
1 ) ) )  <  N ) ) ) ) ) )
11363, 64, 1123syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  ( X  e. Odd  ->  ( ( F `  I
)  e.  RR  ->  ( ( F `  (
I  -  1 ) )  e.  RR  ->  ( ( ( F `  I )  -  ( F `  ( I  -  1 ) ) )  <  ( N  -  4 )  -> 
( ( X  -  ( F `  I ) )  <_  4  ->  ( X  -  ( F `
 ( I  - 
1 ) ) )  <  N ) ) ) ) ) )
114113imp 431 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  X  e. Odd  )  ->  ( ( F `
 I )  e.  RR  ->  ( ( F `  ( I  -  1 ) )  e.  RR  ->  (
( ( F `  I )  -  ( F `  ( I  -  1 ) ) )  <  ( N  -  4 )  -> 
( ( X  -  ( F `  I ) )  <_  4  ->  ( X  -  ( F `
 ( I  - 
1 ) ) )  <  N ) ) ) ) )
1151143adant3 1028 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  X  e. Odd  /\  I  e.  ( 1..^ D ) )  -> 
( ( F `  I )  e.  RR  ->  ( ( F `  ( I  -  1
) )  e.  RR  ->  ( ( ( F `
 I )  -  ( F `  ( I  -  1 ) ) )  <  ( N  -  4 )  -> 
( ( X  -  ( F `  I ) )  <_  4  ->  ( X  -  ( F `
 ( I  - 
1 ) ) )  <  N ) ) ) ) )
11662, 115syl5com 31 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( F `  I )  e.  ZZ  ->  (
( ph  /\  X  e. Odd  /\  I  e.  (
1..^ D ) )  ->  ( ( F `
 ( I  - 
1 ) )  e.  RR  ->  ( (
( F `  I
)  -  ( F `
 ( I  - 
1 ) ) )  <  ( N  - 
4 )  ->  (
( X  -  ( F `  I )
)  <_  4  ->  ( X  -  ( F `
 ( I  - 
1 ) ) )  <  N ) ) ) ) )
11760, 61, 1163syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( F `  I )  e.  ( Prime  \  {
2 } )  -> 
( ( ph  /\  X  e. Odd  /\  I  e.  ( 1..^ D ) )  ->  ( ( F `  ( I  -  1 ) )  e.  RR  ->  (
( ( F `  I )  -  ( F `  ( I  -  1 ) ) )  <  ( N  -  4 )  -> 
( ( X  -  ( F `  I ) )  <_  4  ->  ( X  -  ( F `
 ( I  - 
1 ) ) )  <  N ) ) ) ) )
11859, 117mpcom 37 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  X  e. Odd  /\  I  e.  ( 1..^ D ) )  -> 
( ( F `  ( I  -  1
) )  e.  RR  ->  ( ( ( F `
 I )  -  ( F `  ( I  -  1 ) ) )  <  ( N  -  4 )  -> 
( ( X  -  ( F `  I ) )  <_  4  ->  ( X  -  ( F `
 ( I  - 
1 ) ) )  <  N ) ) ) )
11943, 118syl5com 31 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( F `  ( I  -  1 ) )  e.  ZZ  ->  (
( ph  /\  X  e. Odd  /\  I  e.  (
1..^ D ) )  ->  ( ( ( F `  I )  -  ( F `  ( I  -  1
) ) )  < 
( N  -  4 )  ->  ( ( X  -  ( F `  I ) )  <_ 
4  ->  ( X  -  ( F `  ( I  -  1
) ) )  < 
N ) ) ) )
12041, 42, 1193syl 18 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( F `  ( I  -  1 ) )  e.  ( Prime  \  {
2 } )  -> 
( ( ph  /\  X  e. Odd  /\  I  e.  ( 1..^ D ) )  ->  ( (
( F `  I
)  -  ( F `
 ( I  - 
1 ) ) )  <  ( N  - 
4 )  ->  (
( X  -  ( F `  I )
)  <_  4  ->  ( X  -  ( F `
 ( I  - 
1 ) ) )  <  N ) ) ) )
121120impcom 432 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  X  e. Odd  /\  I  e.  ( 1..^ D ) )  /\  ( F `  ( I  -  1
) )  e.  ( Prime  \  { 2 } ) )  -> 
( ( ( F `
 I )  -  ( F `  ( I  -  1 ) ) )  <  ( N  -  4 )  -> 
( ( X  -  ( F `  I ) )  <_  4  ->  ( X  -  ( F `
 ( I  - 
1 ) ) )  <  N ) ) )
12240, 121sylbid 219 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  X  e. Odd  /\  I  e.  ( 1..^ D ) )  /\  ( F `  ( I  -  1
) )  e.  ( Prime  \  { 2 } ) )  -> 
( ( ( F `
 ( ( I  -  1 )  +  1 ) )  -  ( F `  ( I  -  1 ) ) )  <  ( N  -  4 )  -> 
( ( X  -  ( F `  I ) )  <_  4  ->  ( X  -  ( F `
 ( I  - 
1 ) ) )  <  N ) ) )
123122expcom 437 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F `  ( I  -  1 ) )  e.  ( Prime  \  {
2 } )  -> 
( ( ph  /\  X  e. Odd  /\  I  e.  ( 1..^ D ) )  ->  ( (
( F `  (
( I  -  1 )  +  1 ) )  -  ( F `
 ( I  - 
1 ) ) )  <  ( N  - 
4 )  ->  (
( X  -  ( F `  I )
)  <_  4  ->  ( X  -  ( F `
 ( I  - 
1 ) ) )  <  N ) ) ) )
124123com23 81 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F `  ( I  -  1 ) )  e.  ( Prime  \  {
2 } )  -> 
( ( ( F `
 ( ( I  -  1 )  +  1 ) )  -  ( F `  ( I  -  1 ) ) )  <  ( N  -  4 )  -> 
( ( ph  /\  X  e. Odd  /\  I  e.  ( 1..^ D ) )  ->  ( ( X  -  ( F `  I ) )  <_ 
4  ->  ( X  -  ( F `  ( I  -  1
) ) )  < 
N ) ) ) )
125124imp 431 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F `  (
I  -  1 ) )  e.  ( Prime  \  { 2 } )  /\  ( ( F `
 ( ( I  -  1 )  +  1 ) )  -  ( F `  ( I  -  1 ) ) )  <  ( N  -  4 ) )  ->  ( ( ph  /\  X  e. Odd  /\  I  e.  ( 1..^ D ) )  ->  ( ( X  -  ( F `  I ) )  <_ 
4  ->  ( X  -  ( F `  ( I  -  1
) ) )  < 
N ) ) )
1261253adant3 1028 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F `  (
I  -  1 ) )  e.  ( Prime  \  { 2 } )  /\  ( ( F `
 ( ( I  -  1 )  +  1 ) )  -  ( F `  ( I  -  1 ) ) )  <  ( N  -  4 )  /\  4  <  ( ( F `
 ( ( I  -  1 )  +  1 ) )  -  ( F `  ( I  -  1 ) ) ) )  ->  (
( ph  /\  X  e. Odd  /\  I  e.  (
1..^ D ) )  ->  ( ( X  -  ( F `  I ) )  <_ 
4  ->  ( X  -  ( F `  ( I  -  1
) ) )  < 
N ) ) )
127126impcom 432 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  X  e. Odd  /\  I  e.  ( 1..^ D ) )  /\  ( ( F `
 ( I  - 
1 ) )  e.  ( Prime  \  { 2 } )  /\  (
( F `  (
( I  -  1 )  +  1 ) )  -  ( F `
 ( I  - 
1 ) ) )  <  ( N  - 
4 )  /\  4  <  ( ( F `  ( ( I  - 
1 )  +  1 ) )  -  ( F `  ( I  -  1 ) ) ) ) )  -> 
( ( X  -  ( F `  I ) )  <_  4  ->  ( X  -  ( F `
 ( I  - 
1 ) ) )  <  N ) )
128127com12 32 . . . . . . 7  |-  ( ( X  -  ( F `
 I ) )  <_  4  ->  (
( ( ph  /\  X  e. Odd  /\  I  e.  ( 1..^ D ) )  /\  ( ( F `  ( I  -  1 ) )  e.  ( Prime  \  {
2 } )  /\  ( ( F `  ( ( I  - 
1 )  +  1 ) )  -  ( F `  ( I  -  1 ) ) )  <  ( N  -  4 )  /\  4  <  ( ( F `
 ( ( I  -  1 )  +  1 ) )  -  ( F `  ( I  -  1 ) ) ) ) )  -> 
( X  -  ( F `  ( I  -  1 ) ) )  <  N ) )
129128adantl 468 . . . . . 6  |-  ( ( X  e.  ( ( F `  I ) [,) ( F `  ( I  +  1
) ) )  /\  ( X  -  ( F `  I )
)  <_  4 )  ->  ( ( (
ph  /\  X  e. Odd  /\  I  e.  ( 1..^ D ) )  /\  ( ( F `  ( I  -  1
) )  e.  ( Prime  \  { 2 } )  /\  (
( F `  (
( I  -  1 )  +  1 ) )  -  ( F `
 ( I  - 
1 ) ) )  <  ( N  - 
4 )  /\  4  <  ( ( F `  ( ( I  - 
1 )  +  1 ) )  -  ( F `  ( I  -  1 ) ) ) ) )  -> 
( X  -  ( F `  ( I  -  1 ) ) )  <  N ) )
130129impcom 432 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ph  /\  X  e. Odd  /\  I  e.  ( 1..^ D ) )  /\  ( ( F `  ( I  -  1 ) )  e.  ( Prime  \  {
2 } )  /\  ( ( F `  ( ( I  - 
1 )  +  1 ) )  -  ( F `  ( I  -  1 ) ) )  <  ( N  -  4 )  /\  4  <  ( ( F `
 ( ( I  -  1 )  +  1 ) )  -  ( F `  ( I  -  1 ) ) ) ) )  /\  ( X  e.  (
( F `  I
) [,) ( F `
 ( I  + 
1 ) ) )  /\  ( X  -  ( F `  I ) )  <_  4 ) )  ->  ( X  -  ( F `  ( I  -  1
) ) )  < 
N )
13124, 130syl5eqbr 4436 . . . 4  |-  ( ( ( ( ph  /\  X  e. Odd  /\  I  e.  ( 1..^ D ) )  /\  ( ( F `  ( I  -  1 ) )  e.  ( Prime  \  {
2 } )  /\  ( ( F `  ( ( I  - 
1 )  +  1 ) )  -  ( F `  ( I  -  1 ) ) )  <  ( N  -  4 )  /\  4  <  ( ( F `
 ( ( I  -  1 )  +  1 ) )  -  ( F `  ( I  -  1 ) ) ) ) )  /\  ( X  e.  (
( F `  I
) [,) ( F `
 ( I  + 
1 ) ) )  /\  ( X  -  ( F `  I ) )  <_  4 ) )  ->  S  <  N )
13270a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  X  e. Odd  /\  I  e.  ( 1..^ D ) )  /\  ( ( F `  ( I  -  1 ) )  e.  ( Prime  \  {
2 } )  /\  ( ( F `  ( ( I  - 
1 )  +  1 ) )  -  ( F `  ( I  -  1 ) ) )  <  ( N  -  4 )  /\  4  <  ( ( F `
 ( ( I  -  1 )  +  1 ) )  -  ( F `  ( I  -  1 ) ) ) ) )  /\  ( X  e.  (
( F `  I
) [,) ( F `
 ( I  + 
1 ) ) )  /\  ( X  -  ( F `  I ) )  <_  4 ) )  ->  4  e.  RR )
133 1eluzge0 11202 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  1  e.  ( ZZ>= `  0 )
134 fzoss1 11945 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 1  e.  ( ZZ>= `  0
)  ->  ( 1..^ D )  C_  (
0..^ D ) )
135133, 134mp1i 13 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( 1..^ D ) 
C_  ( 0..^ D ) )
136135sselda 3432 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  I  e.  ( 1..^ D ) )  ->  I  e.  ( 0..^ D ) )
137 oveq1 6297 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( i  =  I  ->  (
i  +  1 )  =  ( I  + 
1 ) )
138137fveq2d 5869 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( i  =  I  ->  ( F `  ( i  +  1 ) )  =  ( F `  ( I  +  1
) ) )
139138, 49oveq12d 6308 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( i  =  I  ->  (
( F `  (
i  +  1 ) )  -  ( F `
 i ) )  =  ( ( F `
 ( I  + 
1 ) )  -  ( F `  I ) ) )
140139breq1d 4412 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( i  =  I  ->  (
( ( F `  ( i  +  1 ) )  -  ( F `  i )
)  <  ( N  -  4 )  <->  ( ( F `  ( I  +  1 ) )  -  ( F `  I ) )  < 
( N  -  4 ) ) )
141139breq2d 4414 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( i  =  I  ->  (
4  <  ( ( F `  ( i  +  1 ) )  -  ( F `  i ) )  <->  4  <  ( ( F `  (
I  +  1 ) )  -  ( F `
 I ) ) ) )
14250, 140, 1413anbi123d 1339 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( i  =  I  ->  (
( ( F `  i )  e.  ( Prime  \  { 2 } )  /\  (
( F `  (
i  +  1 ) )  -  ( F `
 i ) )  <  ( N  - 
4 )  /\  4  <  ( ( F `  ( i  +  1 ) )  -  ( F `  i )
) )  <->  ( ( F `  I )  e.  ( Prime  \  { 2 } )  /\  (
( F `  (
I  +  1 ) )  -  ( F `
 I ) )  <  ( N  - 
4 )  /\  4  <  ( ( F `  ( I  +  1
) )  -  ( F `  I )
) ) ) )
143142rspcv 3146 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( I  e.  ( 0..^ D )  ->  ( A. i  e.  ( 0..^ D ) ( ( F `  i )  e.  ( Prime  \  {
2 } )  /\  ( ( F `  ( i  +  1 ) )  -  ( F `  i )
)  <  ( N  -  4 )  /\  4  <  ( ( F `
 ( i  +  1 ) )  -  ( F `  i ) ) )  ->  (
( F `  I
)  e.  ( Prime  \  { 2 } )  /\  ( ( F `
 ( I  + 
1 ) )  -  ( F `  I ) )  <  ( N  -  4 )  /\  4  <  ( ( F `
 ( I  + 
1 ) )  -  ( F `  I ) ) ) ) )
144136, 143syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  I  e.  ( 1..^ D ) )  ->  ( A. i  e.  ( 0..^ D ) ( ( F `  i )  e.  ( Prime  \  { 2 } )  /\  (
( F `  (
i  +  1 ) )  -  ( F `
 i ) )  <  ( N  - 
4 )  /\  4  <  ( ( F `  ( i  +  1 ) )  -  ( F `  i )
) )  ->  (
( F `  I
)  e.  ( Prime  \  { 2 } )  /\  ( ( F `
 ( I  + 
1 ) )  -  ( F `  I ) )  <  ( N  -  4 )  /\  4  <  ( ( F `
 ( I  + 
1 ) )  -  ( F `  I ) ) ) ) )
14561zred 11040 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( F `  I )  e.  Prime  ->  ( F `
 I )  e.  RR )
14660, 145syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F `  I )  e.  ( Prime  \  {
2 } )  -> 
( F `  I
)  e.  RR )
1471463ad2ant1 1029 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( F `  I
)  e.  ( Prime  \  { 2 } )  /\  ( ( F `
 ( I  + 
1 ) )  -  ( F `  I ) )  <  ( N  -  4 )  /\  4  <  ( ( F `
 ( I  + 
1 ) )  -  ( F `  I ) ) )  ->  ( F `  I )  e.  RR )
148144, 147syl6 34 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  I  e.  ( 1..^ D ) )  ->  ( A. i  e.  ( 0..^ D ) ( ( F `  i )  e.  ( Prime  \  { 2 } )  /\  (
( F `  (
i  +  1 ) )  -  ( F `
 i ) )  <  ( N  - 
4 )  /\  4  <  ( ( F `  ( i  +  1 ) )  -  ( F `  i )
) )  ->  ( F `  I )  e.  RR ) )
149148ex 436 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( I  e.  ( 1..^ D )  -> 
( A. i  e.  ( 0..^ D ) ( ( F `  i )  e.  ( Prime  \  { 2 } )  /\  (
( F `  (
i  +  1 ) )  -  ( F `
 i ) )  <  ( N  - 
4 )  /\  4  <  ( ( F `  ( i  +  1 ) )  -  ( F `  i )
) )  ->  ( F `  I )  e.  RR ) ) )
1501, 149mpid 42 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( I  e.  ( 1..^ D )  -> 
( F `  I
)  e.  RR ) )
151150imp 431 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  I  e.  ( 1..^ D ) )  ->  ( F `  I )  e.  RR )
1521513adant2 1027 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  X  e. Odd  /\  I  e.  ( 1..^ D ) )  -> 
( F `  I
)  e.  RR )
153152ad2antrr 732 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  X  e. Odd  /\  I  e.  ( 1..^ D ) )  /\  ( ( F `  ( I  -  1 ) )  e.  ( Prime  \  {
2 } )  /\  ( ( F `  ( ( I  - 
1 )  +  1 ) )  -  ( F `  ( I  -  1 ) ) )  <  ( N  -  4 )  /\  4  <  ( ( F `
 ( ( I  -  1 )  +  1 ) )  -  ( F `  ( I  -  1 ) ) ) ) )  /\  ( X  e.  (
( F `  I
) [,) ( F `
 ( I  + 
1 ) ) )  /\  ( X  -  ( F `  I ) )  <_  4 ) )  ->  ( F `  I )  e.  RR )
15442zred 11040 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F `  ( I  -  1 ) )  e.  Prime  ->  ( F `
 ( I  - 
1 ) )  e.  RR )
15541, 154syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F `  ( I  -  1 ) )  e.  ( Prime  \  {
2 } )  -> 
( F `  (
I  -  1 ) )  e.  RR )
1561553ad2ant1 1029 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F `  (
I  -  1 ) )  e.  ( Prime  \  { 2 } )  /\  ( ( F `
 ( ( I  -  1 )  +  1 ) )  -  ( F `  ( I  -  1 ) ) )  <  ( N  -  4 )  /\  4  <  ( ( F `
 ( ( I  -  1 )  +  1 ) )  -  ( F `  ( I  -  1 ) ) ) )  ->  ( F `  ( I  -  1 ) )  e.  RR )
157156ad2antlr 733 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  X  e. Odd  /\  I  e.  ( 1..^ D ) )  /\  ( ( F `  ( I  -  1 ) )  e.  ( Prime  \  {
2 } )  /\  ( ( F `  ( ( I  - 
1 )  +  1 ) )  -  ( F `  ( I  -  1 ) ) )  <  ( N  -  4 )  /\  4  <  ( ( F `
 ( ( I  -  1 )  +  1 ) )  -  ( F `  ( I  -  1 ) ) ) ) )  /\  ( X  e.  (
( F `  I
) [,) ( F `
 ( I  + 
1 ) ) )  /\  ( X  -  ( F `  I ) )  <_  4 ) )  ->  ( F `  ( I  -  1 ) )  e.  RR )
158153, 157resubcld 10047 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  X  e. Odd  /\  I  e.  ( 1..^ D ) )  /\  ( ( F `  ( I  -  1 ) )  e.  ( Prime  \  {
2 } )  /\  ( ( F `  ( ( I  - 
1 )  +  1 ) )  -  ( F `  ( I  -  1 ) ) )  <  ( N  -  4 )  /\  4  <  ( ( F `
 ( ( I  -  1 )  +  1 ) )  -  ( F `  ( I  -  1 ) ) ) ) )  /\  ( X  e.  (
( F `  I
) [,) ( F `
 ( I  + 
1 ) ) )  /\  ( X  -  ( F `  I ) )  <_  4 ) )  ->  ( ( F `  I )  -  ( F `  ( I  -  1
) ) )  e.  RR )
159673ad2ant2 1030 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  X  e. Odd  /\  I  e.  ( 1..^ D ) )  ->  X  e.  RR )
160 resubcl 9938 . . . . . . . 8  |-  ( ( X  e.  RR  /\  ( F `  ( I  -  1 ) )  e.  RR )  -> 
( X  -  ( F `  ( I  -  1 ) ) )  e.  RR )
161159, 156, 160syl2an 480 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  X  e. Odd  /\  I  e.  ( 1..^ D ) )  /\  ( ( F `
 ( I  - 
1 ) )  e.  ( Prime  \  { 2 } )  /\  (
( F `  (
( I  -  1 )  +  1 ) )  -  ( F `
 ( I  - 
1 ) ) )  <  ( N  - 
4 )  /\  4  <  ( ( F `  ( ( I  - 
1 )  +  1 ) )  -  ( F `  ( I  -  1 ) ) ) ) )  -> 
( X  -  ( F `  ( I  -  1 ) ) )  e.  RR )
162161adantr 467 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  X  e. Odd  /\  I  e.  ( 1..^ D ) )  /\  ( ( F `  ( I  -  1 ) )  e.  ( Prime  \  {
2 } )  /\  ( ( F `  ( ( I  - 
1 )  +  1 ) )  -  ( F `  ( I  -  1 ) ) )  <  ( N  -  4 )  /\  4  <  ( ( F `
 ( ( I  -  1 )  +  1 ) )  -  ( F `  ( I  -  1 ) ) ) ) )  /\  ( X  e.  (
( F `  I
) [,) ( F `
 ( I  + 
1 ) ) )  /\  ( X  -  ( F `  I ) )  <_  4 ) )  ->  ( X  -  ( F `  ( I  -  1
) ) )  e.  RR )
16333, 35syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( I  e.  ( 1..^ D )  ->  ( (
I  -  1 )  +  1 )  =  I )
1641633ad2ant3 1031 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  X  e. Odd  /\  I  e.  ( 1..^ D ) )  -> 
( ( I  - 
1 )  +  1 )  =  I )
165164fveq2d 5869 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  X  e. Odd  /\  I  e.  ( 1..^ D ) )  -> 
( F `  (
( I  -  1 )  +  1 ) )  =  ( F `
 I ) )
166165oveq1d 6305 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  X  e. Odd  /\  I  e.  ( 1..^ D ) )  -> 
( ( F `  ( ( I  - 
1 )  +  1 ) )  -  ( F `  ( I  -  1 ) ) )  =  ( ( F `  I )  -  ( F `  ( I  -  1
) ) ) )
167166breq2d 4414 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  X  e. Odd  /\  I  e.  ( 1..^ D ) )  -> 
( 4  <  (
( F `  (
( I  -  1 )  +  1 ) )  -  ( F `
 ( I  - 
1 ) ) )  <->  4  <  ( ( F `  I )  -  ( F `  ( I  -  1
) ) ) ) )
168167biimpcd 228 . . . . . . . . 9  |-  ( 4  <  ( ( F `
 ( ( I  -  1 )  +  1 ) )  -  ( F `  ( I  -  1 ) ) )  ->  ( ( ph  /\  X  e. Odd  /\  I  e.  ( 1..^ D ) )  -> 
4  <  ( ( F `  I )  -  ( F `  ( I  -  1
) ) ) ) )
1691683ad2ant3 1031 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F `  (
I  -  1 ) )  e.  ( Prime  \  { 2 } )  /\  ( ( F `
 ( ( I  -  1 )  +  1 ) )  -  ( F `  ( I  -  1 ) ) )  <  ( N  -  4 )  /\  4  <  ( ( F `
 ( ( I  -  1 )  +  1 ) )  -  ( F `  ( I  -  1 ) ) ) )  ->  (
( ph  /\  X  e. Odd  /\  I  e.  (
1..^ D ) )  ->  4  <  (
( F `  I
)  -  ( F `
 ( I  - 
1 ) ) ) ) )
170169impcom 432 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  X  e. Odd  /\  I  e.  ( 1..^ D ) )  /\  ( ( F `
 ( I  - 
1 ) )  e.  ( Prime  \  { 2 } )  /\  (
( F `  (
( I  -  1 )  +  1 ) )  -  ( F `
 ( I  - 
1 ) ) )  <  ( N  - 
4 )  /\  4  <  ( ( F `  ( ( I  - 
1 )  +  1 ) )  -  ( F `  ( I  -  1 ) ) ) ) )  -> 
4  <  ( ( F `  I )  -  ( F `  ( I  -  1
) ) ) )
171170adantr 467 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  X  e. Odd  /\  I  e.  ( 1..^ D ) )  /\  ( ( F `  ( I  -  1 ) )  e.  ( Prime  \  {
2 } )  /\  ( ( F `  ( ( I  - 
1 )  +  1 ) )  -  ( F `  ( I  -  1 ) ) )  <  ( N  -  4 )  /\  4  <  ( ( F `
 ( ( I  -  1 )  +  1 ) )  -  ( F `  ( I  -  1 ) ) ) ) )  /\  ( X  e.  (
( F `  I
) [,) ( F `
 ( I  + 
1 ) ) )  /\  ( X  -  ( F `  I ) )  <_  4 ) )  ->  4  <  ( ( F `  I
)  -  ( F `
 ( I  - 
1 ) ) ) )
172159ad2antrr 732 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  X  e. Odd  /\  I  e.  ( 1..^ D ) )  /\  ( ( F `  ( I  -  1 ) )  e.  ( Prime  \  {
2 } )  /\  ( ( F `  ( ( I  - 
1 )  +  1 ) )  -  ( F `  ( I  -  1 ) ) )  <  ( N  -  4 )  /\  4  <  ( ( F `
 ( ( I  -  1 )  +  1 ) )  -  ( F `  ( I  -  1 ) ) ) ) )  /\  ( X  e.  (
( F `  I
) [,) ( F `
 ( I  + 
1 ) ) )  /\  ( X  -  ( F `  I ) )  <_  4 ) )  ->  X  e.  RR )
173 bgoldbtbnd.d . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  D  e.  ( ZZ>= ` 
3 ) )
174 eluzge3nn 11200 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( D  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  D  e.  NN )
175173, 174syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  D  e.  NN )
176175adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  I  e.  ( 1..^ D ) )  ->  D  e.  NN )
177 bgoldbtbnd.f . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  F  e.  (RePart `  D ) )
178177adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  I  e.  ( 1..^ D ) )  ->  F  e.  (RePart `  D ) )
179133, 134mp1i 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( D  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  ( 1..^ D )  C_  (
0..^ D ) )
180 fzossfz 11938 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( 0..^ D )  C_  (
0 ... D )
181179, 180syl6ss 3444 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( D  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  ( 1..^ D )  C_  (
0 ... D ) )
182173, 181syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( 1..^ D ) 
C_  ( 0 ... D ) )
183182sselda 3432 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  I  e.  ( 1..^ D ) )  ->  I  e.  ( 0 ... D ) )
184176, 178, 183iccpartxr 38733 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  I  e.  ( 1..^ D ) )  ->  ( F `  I )  e.  RR* )
185 fzofzp1 12008 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( I  e.  ( 0..^ D )  ->  ( I  +  1 )  e.  ( 0 ... D
) )
186136, 185syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  I  e.  ( 1..^ D ) )  ->  ( I  + 
1 )  e.  ( 0 ... D ) )
187176, 178, 186iccpartxr 38733 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  I  e.  ( 1..^ D ) )  ->  ( F `  ( I  +  1
) )  e.  RR* )
188184, 187jca 535 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  I  e.  ( 1..^ D ) )  ->  ( ( F `
 I )  e. 
RR*  /\  ( F `  ( I  +  1 ) )  e.  RR* ) )
1891883adant2 1027 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  X  e. Odd  /\  I  e.  ( 1..^ D ) )  -> 
( ( F `  I )  e.  RR*  /\  ( F `  (
I  +  1 ) )  e.  RR* )
)
190 elico1 11679 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( F `  I
)  e.  RR*  /\  ( F `  ( I  +  1 ) )  e.  RR* )  ->  ( X  e.  ( ( F `  I ) [,) ( F `  (
I  +  1 ) ) )  <->  ( X  e.  RR*  /\  ( F `
 I )  <_  X  /\  X  <  ( F `  ( I  +  1 ) ) ) ) )
191189, 190syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  X  e. Odd  /\  I  e.  ( 1..^ D ) )  -> 
( X  e.  ( ( F `  I
) [,) ( F `
 ( I  + 
1 ) ) )  <-> 
( X  e.  RR*  /\  ( F `  I
)  <_  X  /\  X  <  ( F `  ( I  +  1
) ) ) ) )
192 simp2 1009 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( X  e.  RR*  /\  ( F `  I )  <_  X  /\  X  < 
( F `  (
I  +  1 ) ) )  ->  ( F `  I )  <_  X )
193191, 192syl6bi 232 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  X  e. Odd  /\  I  e.  ( 1..^ D ) )  -> 
( X  e.  ( ( F `  I
) [,) ( F `
 ( I  + 
1 ) ) )  ->  ( F `  I )  <_  X
) )
194193adantrd 470 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  X  e. Odd  /\  I  e.  ( 1..^ D ) )  -> 
( ( X  e.  ( ( F `  I ) [,) ( F `  ( I  +  1 ) ) )  /\  ( X  -  ( F `  I ) )  <_ 
4 )  ->  ( F `  I )  <_  X ) )
195194adantr 467 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  X  e. Odd  /\  I  e.  ( 1..^ D ) )  /\  ( ( F `
 ( I  - 
1 ) )  e.  ( Prime  \  { 2 } )  /\  (
( F `  (
( I  -  1 )  +  1 ) )  -  ( F `
 ( I  - 
1 ) ) )  <  ( N  - 
4 )  /\  4  <  ( ( F `  ( ( I  - 
1 )  +  1 ) )  -  ( F `  ( I  -  1 ) ) ) ) )  -> 
( ( X  e.  ( ( F `  I ) [,) ( F `  ( I  +  1 ) ) )  /\  ( X  -  ( F `  I ) )  <_ 
4 )  ->  ( F `  I )  <_  X ) )
196195imp 431 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  X  e. Odd  /\  I  e.  ( 1..^ D ) )  /\  ( ( F `  ( I  -  1 ) )  e.  ( Prime  \  {
2 } )  /\  ( ( F `  ( ( I  - 
1 )  +  1 ) )  -  ( F `  ( I  -  1 ) ) )  <  ( N  -  4 )  /\  4  <  ( ( F `
 ( ( I  -  1 )  +  1 ) )  -  ( F `  ( I  -  1 ) ) ) ) )  /\  ( X  e.  (
( F `  I
) [,) ( F `
 ( I  + 
1 ) ) )  /\  ( X  -  ( F `  I ) )  <_  4 ) )  ->  ( F `  I )  <_  X
)
197153, 172, 157, 196lesub1dd 10229 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  X  e. Odd  /\  I  e.  ( 1..^ D ) )  /\  ( ( F `  ( I  -  1 ) )  e.  ( Prime  \  {
2 } )  /\  ( ( F `  ( ( I  - 
1 )  +  1 ) )  -  ( F `  ( I  -  1 ) ) )  <  ( N  -  4 )  /\  4  <  ( ( F `
 ( ( I  -  1 )  +  1 ) )  -  ( F `  ( I  -  1 ) ) ) ) )  /\  ( X  e.  (
( F `  I
) [,) ( F `
 ( I  + 
1 ) ) )  /\  ( X  -  ( F `  I ) )  <_  4 ) )  ->  ( ( F `  I )  -  ( F `  ( I  -  1
) ) )  <_ 
( X  -  ( F `  ( I  -  1 ) ) ) )
198132, 158, 162, 171, 197ltletrd 9795 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ph  /\  X  e. Odd  /\  I  e.  ( 1..^ D ) )  /\  ( ( F `  ( I  -  1 ) )  e.  ( Prime  \  {
2 } )  /\  ( ( F `  ( ( I  - 
1 )  +  1 ) )  -  ( F `  ( I  -  1 ) ) )  <  ( N  -  4 )  /\  4  <  ( ( F `
 ( ( I  -  1 )  +  1 ) )  -  ( F `  ( I  -  1 ) ) ) ) )  /\  ( X  e.  (
( F `  I
) [,) ( F `
 ( I  + 
1 ) ) )  /\  ( X  -  ( F `  I ) )  <_  4 ) )  ->  4  <  ( X  -  ( F `
 ( I  - 
1 ) ) ) )
199198, 24syl6breqr 4443 . . . 4  |-  ( ( ( ( ph  /\  X  e. Odd  /\  I  e.  ( 1..^ D ) )  /\  ( ( F `  ( I  -  1 ) )  e.  ( Prime  \  {
2 } )  /\  ( ( F `  ( ( I  - 
1 )  +  1 ) )  -  ( F `  ( I  -  1 ) ) )  <  ( N  -  4 )  /\  4  <  ( ( F `
 ( ( I  -  1 )  +  1 ) )  -  ( F `  ( I  -  1 ) ) ) ) )  /\  ( X  e.  (
( F `  I
) [,) ( F `
 ( I  + 
1 ) ) )  /\  ( X  -  ( F `  I ) )  <_  4 ) )  ->  4  <  S )
20032, 131, 1993jca 1188 . . 3  |-  ( ( ( ( ph  /\  X  e. Odd  /\  I  e.  ( 1..^ D ) )  /\  ( ( F `  ( I  -  1 ) )  e.  ( Prime  \  {
2 } )  /\  ( ( F `  ( ( I  - 
1 )  +  1 ) )  -  ( F `  ( I  -  1 ) ) )  <  ( N  -  4 )  /\  4  <  ( ( F `
 ( ( I  -  1 )  +  1 ) )  -  ( F `  ( I  -  1 ) ) ) ) )  /\  ( X  e.  (
( F `  I
) [,) ( F `
 ( I  + 
1 ) ) )  /\  ( X  -  ( F `  I ) )  <_  4 ) )  ->  ( S  e. Even  /\  S  <  N  /\  4  <  S ) )
201200ex 436 . 2  |-  ( ( ( ph  /\  X  e. Odd  /\  I  e.  ( 1..^ D ) )  /\  ( ( F `
 ( I  - 
1 ) )  e.  ( Prime  \  { 2 } )  /\  (
( F `  (
( I  -  1 )  +  1 ) )  -  ( F `
 ( I  - 
1 ) ) )  <  ( N  - 
4 )  /\  4  <  ( ( F `  ( ( I  - 
1 )  +  1 ) )  -  ( F `  ( I  -  1 ) ) ) ) )  -> 
( ( X  e.  ( ( F `  I ) [,) ( F `  ( I  +  1 ) ) )  /\  ( X  -  ( F `  I ) )  <_ 
4 )  ->  ( S  e. Even  /\  S  < 
N  /\  4  <  S ) ) )
20223, 201mpdan 674 1  |-  ( (
ph  /\  X  e. Odd  /\  I  e.  ( 1..^ D ) )  -> 
( ( X  e.  ( ( F `  I ) [,) ( F `  ( I  +  1 ) ) )  /\  ( X  -  ( F `  I ) )  <_ 
4 )  ->  ( S  e. Even  /\  S  < 
N  /\  4  <  S ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 188    /\ wa 371    /\ w3a 985    = wceq 1444    e. wcel 1887   A.wral 2737    \ cdif 3401    C_ wss 3404   {csn 3968   class class class wbr 4402   ` cfv 5582  (class class class)co 6290   CCcc 9537   RRcr 9538   0cc0 9539   1c1 9540    + caddc 9542   RR*cxr 9674    < clt 9675    <_ cle 9676    - cmin 9860   NNcn 10609   2c2 10659   3c3 10660   4c4 10661   7c7 10664   ZZcz 10937  ;cdc 11051   ZZ>=cuz 11159   [,)cico 11637   ...cfz 11784  ..^cfzo 11915   Primecprime 14622  RePartciccp 38727   Even ceven 38753   Odd codd 38754   GoldbachEven cgbe 38846
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-1o 7182  df-2o 7183  df-oadd 7186  df-er 7363  df-map 7474  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-fin 7573  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-div 10270  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-ico 11641  df-fz 11785  df-fzo 11916  df-dvds 14306  df-prm 14623  df-iccp 38728  df-even 38755  df-odd 38756
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