Theorem dnicn 31652

Description: The "distance to nearest integer" function is continuous. (Contributed by Asger C. Ipsen, 4-Apr-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
dnicn.1	⊢ 𝑇 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (abs‘((⌊‘(𝑥 + (1 / 2))) − 𝑥)))

Assertion

Ref	Expression
dnicn	⊢ 𝑇 ∈ (ℝ–cn→ℝ)

Proof of Theorem dnicn

Dummy variables 𝑑 𝑒 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dnicn.1	. . 3 ⊢ 𝑇 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (abs‘((⌊‘(𝑥 + (1 / 2))) − 𝑥)))
2	1	dnif 31634	. 2 ⊢ 𝑇:ℝ⟶ℝ
3		simpr 476	. . . 4 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → 𝑒 ∈ ℝ+)
4		simplr 788	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑒) → 𝑧 ∈ ℝ)
5	1, 4	dnicld2 31633	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑒) → (𝑇‘𝑧) ∈ ℝ)
6		simplll 794	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑒) → 𝑦 ∈ ℝ)
7	1, 6	dnicld2 31633	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑒) → (𝑇‘𝑦) ∈ ℝ)
8	5, 7	resubcld 10337	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑒) → ((𝑇‘𝑧) − (𝑇‘𝑦)) ∈ ℝ)
9	8	recnd 9947	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑒) → ((𝑇‘𝑧) − (𝑇‘𝑦)) ∈ ℂ)
10	9	abscld 14023	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑒) → (abs‘((𝑇‘𝑧) − (𝑇‘𝑦))) ∈ ℝ)
11	4, 6	resubcld 10337	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑒) → (𝑧 − 𝑦) ∈ ℝ)
12	11	recnd 9947	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑒) → (𝑧 − 𝑦) ∈ ℂ)
13	12	abscld 14023	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑒) → (abs‘(𝑧 − 𝑦)) ∈ ℝ)
14	3	ad2antrr 758	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑒) → 𝑒 ∈ ℝ+)
15	14	rpred 11748	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑒) → 𝑒 ∈ ℝ)
16	1, 6, 4	dnibnd 31651	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑒) → (abs‘((𝑇‘𝑧) − (𝑇‘𝑦))) ≤ (abs‘(𝑧 − 𝑦)))
17		simpr 476	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑒) → (abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑒)
18	10, 13, 15, 16, 17	lelttrd 10074	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑒) → (abs‘((𝑇‘𝑧) − (𝑇‘𝑦))) < 𝑒)
19	18	ex 449	. . . . 5 ⊢ (((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑒 → (abs‘((𝑇‘𝑧) − (𝑇‘𝑦))) < 𝑒))
20	19	ralrimiva 2949	. . . 4 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → ∀𝑧 ∈ ℝ ((abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑒 → (abs‘((𝑇‘𝑧) − (𝑇‘𝑦))) < 𝑒))
21		breq2 4587	. . . . . . 7 ⊢ (𝑑 = 𝑒 → ((abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑑 ↔ (abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑒))
22	21	imbi1d 330	. . . . . 6 ⊢ (𝑑 = 𝑒 → (((abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑑 → (abs‘((𝑇‘𝑧) − (𝑇‘𝑦))) < 𝑒) ↔ ((abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑒 → (abs‘((𝑇‘𝑧) − (𝑇‘𝑦))) < 𝑒)))
23	22	ralbidv 2969	. . . . 5 ⊢ (𝑑 = 𝑒 → (∀𝑧 ∈ ℝ ((abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑑 → (abs‘((𝑇‘𝑧) − (𝑇‘𝑦))) < 𝑒) ↔ ∀𝑧 ∈ ℝ ((abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑒 → (abs‘((𝑇‘𝑧) − (𝑇‘𝑦))) < 𝑒)))
24	23	rspcev 3282	. . . 4 ⊢ ((𝑒 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧 ∈ ℝ ((abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑒 → (abs‘((𝑇‘𝑧) − (𝑇‘𝑦))) < 𝑒)) → ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ ℝ ((abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑑 → (abs‘((𝑇‘𝑧) − (𝑇‘𝑦))) < 𝑒))
25	3, 20, 24	syl2anc 691	. . 3 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ ℝ ((abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑑 → (abs‘((𝑇‘𝑧) − (𝑇‘𝑦))) < 𝑒))
26	25	rgen2 2958	. 2 ⊢ ∀𝑦 ∈ ℝ ∀𝑒 ∈ ℝ+ ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ ℝ ((abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑑 → (abs‘((𝑇‘𝑧) − (𝑇‘𝑦))) < 𝑒)
27		ax-resscn 9872	. . 3 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
28		elcncf2 22501	. . 3 ⊢ ((ℝ ⊆ ℂ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → (𝑇 ∈ (ℝ–cn→ℝ) ↔ (𝑇:ℝ⟶ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ ∀𝑒 ∈ ℝ+ ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ ℝ ((abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑑 → (abs‘((𝑇‘𝑧) − (𝑇‘𝑦))) < 𝑒))))
29	27, 27, 28	mp2an 704	. 2 ⊢ (𝑇 ∈ (ℝ–cn→ℝ) ↔ (𝑇:ℝ⟶ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ ∀𝑒 ∈ ℝ+ ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ ℝ ((abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑑 → (abs‘((𝑇‘𝑧) − (𝑇‘𝑦))) < 𝑒)))
30	2, 26, 29	mpbir2an 957	1 ⊢ 𝑇 ∈ (ℝ–cn→ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ∀wral 2896  ∃wrex 2897   ⊆ wss 3540   class class class wbr 4583   ↦ cmpt 4643  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  ℂcc 9813  ℝcr 9814  1c1 9816   + caddc 9818   < clt 9953   − cmin 10145   / cdiv 10563  2c2 10947  ℝ⁺crp 11708  ⌊cfl 12453  abscabs 13822  –cn→ccncf 22487

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-map 7746  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-sup 8231  df-inf 8232  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-rp 11709  df-fl 12455  df-seq 12664  df-exp 12723  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-cncf 22489

This theorem is referenced by:  knoppcnlem10  31662