Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  clwwisshclwwlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem clwwisshclwwlem 26334
 Description: Lemma for clwwisshclww 26335. (Contributed by AV, 24-Mar-2018.) (Revised by AV, 10-Jun-2018.) (Proof shortened by AV, 2-Nov-2018.)
Assertion
Ref Expression
clwwisshclwwlem ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (1..^(#‘𝑊))) → ((∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {( lastS ‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ ran 𝐸) → ∀𝑗 ∈ (0..^((#‘(𝑊 cyclShift 𝑁)) − 1)){((𝑊 cyclShift 𝑁)‘𝑗), ((𝑊 cyclShift 𝑁)‘(𝑗 + 1))} ∈ ran 𝐸))
Distinct variable groups:   𝑖,𝐸,𝑗   𝑖,𝑁,𝑗   𝑖,𝑉,𝑗   𝑖,𝑊,𝑗

Proof of Theorem clwwisshclwwlem
StepHypRef Expression
1 elfzoelz 12339 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ (1..^(#‘𝑊)) → 𝑁 ∈ ℤ)
2 cshwlen 13396 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℤ) → (#‘(𝑊 cyclShift 𝑁)) = (#‘𝑊))
31, 2sylan2 490 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (1..^(#‘𝑊))) → (#‘(𝑊 cyclShift 𝑁)) = (#‘𝑊))
43oveq1d 6564 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (1..^(#‘𝑊))) → ((#‘(𝑊 cyclShift 𝑁)) − 1) = ((#‘𝑊) − 1))
54oveq2d 6565 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (1..^(#‘𝑊))) → (0..^((#‘(𝑊 cyclShift 𝑁)) − 1)) = (0..^((#‘𝑊) − 1)))
65eleq2d 2673 . . . . 5 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (1..^(#‘𝑊))) → (𝑗 ∈ (0..^((#‘(𝑊 cyclShift 𝑁)) − 1)) ↔ 𝑗 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1))))
76adantr 480 . . . 4 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (1..^(#‘𝑊))) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {( lastS ‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ ran 𝐸)) → (𝑗 ∈ (0..^((#‘(𝑊 cyclShift 𝑁)) − 1)) ↔ 𝑗 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1))))
8 simpll 786 . . . . . . . . 9 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (1..^(#‘𝑊))) ∧ 𝑗 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1))) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
91ad2antlr 759 . . . . . . . . 9 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (1..^(#‘𝑊))) ∧ 𝑗 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1))) → 𝑁 ∈ ℤ)
10 lencl 13179 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (#‘𝑊) ∈ ℕ0)
11 nn0z 11277 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((#‘𝑊) ∈ ℕ0 → (#‘𝑊) ∈ ℤ)
12 peano2zm 11297 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((#‘𝑊) ∈ ℤ → ((#‘𝑊) − 1) ∈ ℤ)
1311, 12syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((#‘𝑊) ∈ ℕ0 → ((#‘𝑊) − 1) ∈ ℤ)
14 nn0re 11178 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((#‘𝑊) ∈ ℕ0 → (#‘𝑊) ∈ ℝ)
1514lem1d 10836 . . . . . . . . . . . . . 14 ((#‘𝑊) ∈ ℕ0 → ((#‘𝑊) − 1) ≤ (#‘𝑊))
16 eluz2 11569 . . . . . . . . . . . . . 14 ((#‘𝑊) ∈ (ℤ‘((#‘𝑊) − 1)) ↔ (((#‘𝑊) − 1) ∈ ℤ ∧ (#‘𝑊) ∈ ℤ ∧ ((#‘𝑊) − 1) ≤ (#‘𝑊)))
1713, 11, 15, 16syl3anbrc 1239 . . . . . . . . . . . . 13 ((#‘𝑊) ∈ ℕ0 → (#‘𝑊) ∈ (ℤ‘((#‘𝑊) − 1)))
1810, 17syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (#‘𝑊) ∈ (ℤ‘((#‘𝑊) − 1)))
1918adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (1..^(#‘𝑊))) → (#‘𝑊) ∈ (ℤ‘((#‘𝑊) − 1)))
20 fzoss2 12365 . . . . . . . . . . 11 ((#‘𝑊) ∈ (ℤ‘((#‘𝑊) − 1)) → (0..^((#‘𝑊) − 1)) ⊆ (0..^(#‘𝑊)))
2119, 20syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (1..^(#‘𝑊))) → (0..^((#‘𝑊) − 1)) ⊆ (0..^(#‘𝑊)))
2221sselda 3568 . . . . . . . . 9 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (1..^(#‘𝑊))) ∧ 𝑗 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1))) → 𝑗 ∈ (0..^(#‘𝑊)))
23 cshwidxmod 13400 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ (0..^(#‘𝑊))) → ((𝑊 cyclShift 𝑁)‘𝑗) = (𝑊‘((𝑗 + 𝑁) mod (#‘𝑊))))
248, 9, 22, 23syl3anc 1318 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (1..^(#‘𝑊))) ∧ 𝑗 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1))) → ((𝑊 cyclShift 𝑁)‘𝑗) = (𝑊‘((𝑗 + 𝑁) mod (#‘𝑊))))
25 elfzo1 12385 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ (1..^(#‘𝑊)) ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∧ (#‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝑁 < (#‘𝑊)))
2625simp2bi 1070 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ (1..^(#‘𝑊)) → (#‘𝑊) ∈ ℕ)
2726adantl 481 . . . . . . . . . 10 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (1..^(#‘𝑊))) → (#‘𝑊) ∈ ℕ)
28 elfzom1p1elfzo 12414 . . . . . . . . . 10 (((#‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1))) → (𝑗 + 1) ∈ (0..^(#‘𝑊)))
2927, 28sylan 487 . . . . . . . . 9 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (1..^(#‘𝑊))) ∧ 𝑗 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1))) → (𝑗 + 1) ∈ (0..^(#‘𝑊)))
30 cshwidxmod 13400 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑗 + 1) ∈ (0..^(#‘𝑊))) → ((𝑊 cyclShift 𝑁)‘(𝑗 + 1)) = (𝑊‘(((𝑗 + 1) + 𝑁) mod (#‘𝑊))))
318, 9, 29, 30syl3anc 1318 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (1..^(#‘𝑊))) ∧ 𝑗 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1))) → ((𝑊 cyclShift 𝑁)‘(𝑗 + 1)) = (𝑊‘(((𝑗 + 1) + 𝑁) mod (#‘𝑊))))
3224, 31preq12d 4220 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (1..^(#‘𝑊))) ∧ 𝑗 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1))) → {((𝑊 cyclShift 𝑁)‘𝑗), ((𝑊 cyclShift 𝑁)‘(𝑗 + 1))} = {(𝑊‘((𝑗 + 𝑁) mod (#‘𝑊))), (𝑊‘(((𝑗 + 1) + 𝑁) mod (#‘𝑊)))})
3332adantlr 747 . . . . . 6 ((((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (1..^(#‘𝑊))) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {( lastS ‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ ran 𝐸)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1))) → {((𝑊 cyclShift 𝑁)‘𝑗), ((𝑊 cyclShift 𝑁)‘(𝑗 + 1))} = {(𝑊‘((𝑗 + 𝑁) mod (#‘𝑊))), (𝑊‘(((𝑗 + 1) + 𝑁) mod (#‘𝑊)))})
34 2z 11286 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℤ
3534a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (#‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝑁 < (#‘𝑊)) → 2 ∈ ℤ)
36 nnz 11276 . . . . . . . . . . 11 ((#‘𝑊) ∈ ℕ → (#‘𝑊) ∈ ℤ)
37363ad2ant2 1076 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (#‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝑁 < (#‘𝑊)) → (#‘𝑊) ∈ ℤ)
38 nnnn0 11176 . . . . . . . . . . . 12 ((#‘𝑊) ∈ ℕ → (#‘𝑊) ∈ ℕ0)
39383ad2ant2 1076 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (#‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝑁 < (#‘𝑊)) → (#‘𝑊) ∈ ℕ0)
40 nnne0 10930 . . . . . . . . . . . 12 ((#‘𝑊) ∈ ℕ → (#‘𝑊) ≠ 0)
41403ad2ant2 1076 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (#‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝑁 < (#‘𝑊)) → (#‘𝑊) ≠ 0)
42 1red 9934 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (#‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝑁 < (#‘𝑊)) → 1 ∈ ℝ)
43 nnre 10904 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
44433ad2ant1 1075 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (#‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝑁 < (#‘𝑊)) → 𝑁 ∈ ℝ)
45 nnre 10904 . . . . . . . . . . . . . 14 ((#‘𝑊) ∈ ℕ → (#‘𝑊) ∈ ℝ)
46453ad2ant2 1076 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (#‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝑁 < (#‘𝑊)) → (#‘𝑊) ∈ ℝ)
47 nnge1 10923 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝑁)
48473ad2ant1 1075 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (#‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝑁 < (#‘𝑊)) → 1 ≤ 𝑁)
49 simp3 1056 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (#‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝑁 < (#‘𝑊)) → 𝑁 < (#‘𝑊))
5042, 44, 46, 48, 49lelttrd 10074 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (#‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝑁 < (#‘𝑊)) → 1 < (#‘𝑊))
5142, 50gtned 10051 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (#‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝑁 < (#‘𝑊)) → (#‘𝑊) ≠ 1)
52 nn0n0n1ge2 11235 . . . . . . . . . . 11 (((#‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝑊) ≠ 0 ∧ (#‘𝑊) ≠ 1) → 2 ≤ (#‘𝑊))
5339, 41, 51, 52syl3anc 1318 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (#‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝑁 < (#‘𝑊)) → 2 ≤ (#‘𝑊))
54 eluz2 11569 . . . . . . . . . 10 ((#‘𝑊) ∈ (ℤ‘2) ↔ (2 ∈ ℤ ∧ (#‘𝑊) ∈ ℤ ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)))
5535, 37, 53, 54syl3anbrc 1239 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (#‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝑁 < (#‘𝑊)) → (#‘𝑊) ∈ (ℤ‘2))
5625, 55sylbi 206 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ (1..^(#‘𝑊)) → (#‘𝑊) ∈ (ℤ‘2))
5756ad3antlr 763 . . . . . . 7 ((((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (1..^(#‘𝑊))) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {( lastS ‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ ran 𝐸)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1))) → (#‘𝑊) ∈ (ℤ‘2))
58 elfzoelz 12339 . . . . . . . 8 (𝑗 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1)) → 𝑗 ∈ ℤ)
5958adantl 481 . . . . . . 7 ((((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (1..^(#‘𝑊))) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {( lastS ‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ ran 𝐸)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1))) → 𝑗 ∈ ℤ)
601ad3antlr 763 . . . . . . 7 ((((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (1..^(#‘𝑊))) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {( lastS ‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ ran 𝐸)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1))) → 𝑁 ∈ ℤ)
61 simplrl 796 . . . . . . 7 ((((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (1..^(#‘𝑊))) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {( lastS ‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ ran 𝐸)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1))) → ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸)
62 lsw 13204 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑊 ∈ Word 𝑉 → ( lastS ‘𝑊) = (𝑊‘((#‘𝑊) − 1)))
6362adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (1..^(#‘𝑊))) → ( lastS ‘𝑊) = (𝑊‘((#‘𝑊) − 1)))
6463preq1d 4218 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (1..^(#‘𝑊))) → {( lastS ‘𝑊), (𝑊‘0)} = {(𝑊‘((#‘𝑊) − 1)), (𝑊‘0)})
6564eleq1d 2672 . . . . . . . . . . 11 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (1..^(#‘𝑊))) → ({( lastS ‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ ran 𝐸 ↔ {(𝑊‘((#‘𝑊) − 1)), (𝑊‘0)} ∈ ran 𝐸))
6665biimpcd 238 . . . . . . . . . 10 ({( lastS ‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ ran 𝐸 → ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (1..^(#‘𝑊))) → {(𝑊‘((#‘𝑊) − 1)), (𝑊‘0)} ∈ ran 𝐸))
6766adantl 481 . . . . . . . . 9 ((∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {( lastS ‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ ran 𝐸) → ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (1..^(#‘𝑊))) → {(𝑊‘((#‘𝑊) − 1)), (𝑊‘0)} ∈ ran 𝐸))
6867impcom 445 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (1..^(#‘𝑊))) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {( lastS ‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ ran 𝐸)) → {(𝑊‘((#‘𝑊) − 1)), (𝑊‘0)} ∈ ran 𝐸)
6968adantr 480 . . . . . . 7 ((((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (1..^(#‘𝑊))) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {( lastS ‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ ran 𝐸)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1))) → {(𝑊‘((#‘𝑊) − 1)), (𝑊‘0)} ∈ ran 𝐸)
70 clwwisshclwwlem1 26333 . . . . . . 7 ((((#‘𝑊) ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑊‘((#‘𝑊) − 1)), (𝑊‘0)} ∈ ran 𝐸) → {(𝑊‘((𝑗 + 𝑁) mod (#‘𝑊))), (𝑊‘(((𝑗 + 1) + 𝑁) mod (#‘𝑊)))} ∈ ran 𝐸)
7157, 59, 60, 61, 69, 70syl311anc 1332 . . . . . 6 ((((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (1..^(#‘𝑊))) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {( lastS ‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ ran 𝐸)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1))) → {(𝑊‘((𝑗 + 𝑁) mod (#‘𝑊))), (𝑊‘(((𝑗 + 1) + 𝑁) mod (#‘𝑊)))} ∈ ran 𝐸)
7233, 71eqeltrd 2688 . . . . 5 ((((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (1..^(#‘𝑊))) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {( lastS ‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ ran 𝐸)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1))) → {((𝑊 cyclShift 𝑁)‘𝑗), ((𝑊 cyclShift 𝑁)‘(𝑗 + 1))} ∈ ran 𝐸)
7372ex 449 . . . 4 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (1..^(#‘𝑊))) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {( lastS ‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ ran 𝐸)) → (𝑗 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1)) → {((𝑊 cyclShift 𝑁)‘𝑗), ((𝑊 cyclShift 𝑁)‘(𝑗 + 1))} ∈ ran 𝐸))
747, 73sylbid 229 . . 3 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (1..^(#‘𝑊))) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {( lastS ‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ ran 𝐸)) → (𝑗 ∈ (0..^((#‘(𝑊 cyclShift 𝑁)) − 1)) → {((𝑊 cyclShift 𝑁)‘𝑗), ((𝑊 cyclShift 𝑁)‘(𝑗 + 1))} ∈ ran 𝐸))
7574ralrimiv 2948 . 2 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (1..^(#‘𝑊))) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {( lastS ‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ ran 𝐸)) → ∀𝑗 ∈ (0..^((#‘(𝑊 cyclShift 𝑁)) − 1)){((𝑊 cyclShift 𝑁)‘𝑗), ((𝑊 cyclShift 𝑁)‘(𝑗 + 1))} ∈ ran 𝐸)
7675ex 449 1 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (1..^(#‘𝑊))) → ((∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {( lastS ‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ ran 𝐸) → ∀𝑗 ∈ (0..^((#‘(𝑊 cyclShift 𝑁)) − 1)){((𝑊 cyclShift 𝑁)‘𝑗), ((𝑊 cyclShift 𝑁)‘(𝑗 + 1))} ∈ ran 𝐸))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  ∀wral 2896   ⊆ wss 3540  {cpr 4127   class class class wbr 4583  ran crn 5039  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  ℝcr 9814  0cc0 9815  1c1 9816   + caddc 9818   < clt 9953   ≤ cle 9954   − cmin 10145  ℕcn 10897  2c2 10947  ℕ0cn0 11169  ℤcz 11254  ℤ≥cuz 11563  ..^cfzo 12334   mod cmo 12530  #chash 12979  Word cword 13146   lastS clsw 13147   cyclShift ccsh 13385 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-sup 8231  df-inf 8232  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-rp 11709  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-fl 12455  df-mod 12531  df-hash 12980  df-word 13154  df-lsw 13155  df-concat 13156  df-substr 13158  df-csh 13386 This theorem is referenced by:  clwwisshclww  26335
 Copyright terms: Public domain W3C validator