MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  clwwisshclwwlem Structured version   Unicode version

Theorem clwwisshclwwlem 24470
Description: Lemma for clwwisshclww 24471. (Contributed by AV, 24-Mar-2018.) (Revised by AV, 10-Jun-2018.) (Proof shortened by AV, 2-Nov-2018.)
Assertion
Ref Expression
clwwisshclwwlem  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  N  e.  ( 1..^ ( # `  W
) ) )  -> 
( ( A. i  e.  ( 0..^ ( (
# `  W )  -  1 ) ) { ( W `  i ) ,  ( W `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  /\  { ( lastS  `  W
) ,  ( W `
 0 ) }  e.  ran  E )  ->  A. j  e.  ( 0..^ ( ( # `  ( W cyclShift  N )
)  -  1 ) ) { ( ( W cyclShift  N ) `  j
) ,  ( ( W cyclShift  N ) `  (
j  +  1 ) ) }  e.  ran  E ) )
Distinct variable groups:    i, E, j    i, N, j    i, V, j    i, W, j

Proof of Theorem clwwisshclwwlem
StepHypRef Expression
1 elfzoelz 11788 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  ( 1..^ (
# `  W )
)  ->  N  e.  ZZ )
2 cshwlen 12722 . . . . . . . . 9  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( # `  ( W cyclShift  N ) )  =  ( # `  W
) )
31, 2sylan2 474 . . . . . . . 8  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  N  e.  ( 1..^ ( # `  W
) ) )  -> 
( # `  ( W cyclShift  N ) )  =  ( # `  W
) )
43oveq1d 6292 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  N  e.  ( 1..^ ( # `  W
) ) )  -> 
( ( # `  ( W cyclShift  N ) )  - 
1 )  =  ( ( # `  W
)  -  1 ) )
54oveq2d 6293 . . . . . 6  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  N  e.  ( 1..^ ( # `  W
) ) )  -> 
( 0..^ ( (
# `  ( W cyclShift  N ) )  -  1 ) )  =  ( 0..^ ( ( # `  W )  -  1 ) ) )
65eleq2d 2532 . . . . 5  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  N  e.  ( 1..^ ( # `  W
) ) )  -> 
( j  e.  ( 0..^ ( ( # `  ( W cyclShift  N )
)  -  1 ) )  <->  j  e.  ( 0..^ ( ( # `  W )  -  1 ) ) ) )
76adantr 465 . . . 4  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  N  e.  (
1..^ ( # `  W
) ) )  /\  ( A. i  e.  ( 0..^ ( ( # `  W )  -  1 ) ) { ( W `  i ) ,  ( W `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  /\  { ( lastS  `  W ) ,  ( W `  0 ) }  e.  ran  E
) )  ->  (
j  e.  ( 0..^ ( ( # `  ( W cyclShift  N ) )  - 
1 ) )  <->  j  e.  ( 0..^ ( ( # `  W )  -  1 ) ) ) )
8 simpll 753 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  N  e.  (
1..^ ( # `  W
) ) )  /\  j  e.  ( 0..^ ( ( # `  W
)  -  1 ) ) )  ->  W  e. Word  V )
91ad2antlr 726 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  N  e.  (
1..^ ( # `  W
) ) )  /\  j  e.  ( 0..^ ( ( # `  W
)  -  1 ) ) )  ->  N  e.  ZZ )
10 lencl 12517 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( W  e. Word  V  ->  ( # `
 W )  e. 
NN0 )
11 nn0z 10878 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
# `  W )  e.  NN0  ->  ( # `  W
)  e.  ZZ )
12 peano2zm 10897 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
# `  W )  e.  ZZ  ->  ( ( # `
 W )  - 
1 )  e.  ZZ )
1311, 12syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
# `  W )  e.  NN0  ->  ( ( # `
 W )  - 
1 )  e.  ZZ )
14 nn0re 10795 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
# `  W )  e.  NN0  ->  ( # `  W
)  e.  RR )
1514lem1d 10470 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
# `  W )  e.  NN0  ->  ( ( # `
 W )  - 
1 )  <_  ( # `
 W ) )
16 eluz2 11079 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
# `  W )  e.  ( ZZ>= `  ( ( # `
 W )  - 
1 ) )  <->  ( (
( # `  W )  -  1 )  e.  ZZ  /\  ( # `  W )  e.  ZZ  /\  ( ( # `  W
)  -  1 )  <_  ( # `  W
) ) )
1713, 11, 15, 16syl3anbrc 1175 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
# `  W )  e.  NN0  ->  ( # `  W
)  e.  ( ZZ>= `  ( ( # `  W
)  -  1 ) ) )
1810, 17syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( W  e. Word  V  ->  ( # `
 W )  e.  ( ZZ>= `  ( ( # `
 W )  - 
1 ) ) )
1918adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  N  e.  ( 1..^ ( # `  W
) ) )  -> 
( # `  W )  e.  ( ZZ>= `  (
( # `  W )  -  1 ) ) )
20 fzoss2 11812 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
# `  W )  e.  ( ZZ>= `  ( ( # `
 W )  - 
1 ) )  -> 
( 0..^ ( (
# `  W )  -  1 ) ) 
C_  ( 0..^ (
# `  W )
) )
2119, 20syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  N  e.  ( 1..^ ( # `  W
) ) )  -> 
( 0..^ ( (
# `  W )  -  1 ) ) 
C_  ( 0..^ (
# `  W )
) )
2221sselda 3499 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  N  e.  (
1..^ ( # `  W
) ) )  /\  j  e.  ( 0..^ ( ( # `  W
)  -  1 ) ) )  ->  j  e.  ( 0..^ ( # `  W ) ) )
23 cshwidxmod 12726 . . . . . . . . 9  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  N  e.  ZZ  /\  j  e.  ( 0..^ ( # `  W ) ) )  ->  ( ( W cyclShift  N ) `  j
)  =  ( W `
 ( ( j  +  N )  mod  ( # `  W
) ) ) )
248, 9, 22, 23syl3anc 1223 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  N  e.  (
1..^ ( # `  W
) ) )  /\  j  e.  ( 0..^ ( ( # `  W
)  -  1 ) ) )  ->  (
( W cyclShift  N ) `  j )  =  ( W `  ( ( j  +  N )  mod  ( # `  W
) ) ) )
25 elfzo1 11830 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  ( 1..^ (
# `  W )
)  <->  ( N  e.  NN  /\  ( # `  W )  e.  NN  /\  N  <  ( # `  W ) ) )
2625simp2bi 1007 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  ( 1..^ (
# `  W )
)  ->  ( # `  W
)  e.  NN )
2726adantl 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  N  e.  ( 1..^ ( # `  W
) ) )  -> 
( # `  W )  e.  NN )
28 elfzom1p1elfzo 11854 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( # `  W
)  e.  NN  /\  j  e.  ( 0..^ ( ( # `  W
)  -  1 ) ) )  ->  (
j  +  1 )  e.  ( 0..^ (
# `  W )
) )
2927, 28sylan 471 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  N  e.  (
1..^ ( # `  W
) ) )  /\  j  e.  ( 0..^ ( ( # `  W
)  -  1 ) ) )  ->  (
j  +  1 )  e.  ( 0..^ (
# `  W )
) )
30 cshwidxmod 12726 . . . . . . . . 9  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  N  e.  ZZ  /\  (
j  +  1 )  e.  ( 0..^ (
# `  W )
) )  ->  (
( W cyclShift  N ) `  ( j  +  1 ) )  =  ( W `  ( ( ( j  +  1 )  +  N )  mod  ( # `  W
) ) ) )
318, 9, 29, 30syl3anc 1223 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  N  e.  (
1..^ ( # `  W
) ) )  /\  j  e.  ( 0..^ ( ( # `  W
)  -  1 ) ) )  ->  (
( W cyclShift  N ) `  ( j  +  1 ) )  =  ( W `  ( ( ( j  +  1 )  +  N )  mod  ( # `  W
) ) ) )
3224, 31preq12d 4109 . . . . . . 7  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  N  e.  (
1..^ ( # `  W
) ) )  /\  j  e.  ( 0..^ ( ( # `  W
)  -  1 ) ) )  ->  { ( ( W cyclShift  N ) `  j ) ,  ( ( W cyclShift  N ) `  ( j  +  1 ) ) }  =  { ( W `  ( ( j  +  N )  mod  ( # `
 W ) ) ) ,  ( W `
 ( ( ( j  +  1 )  +  N )  mod  ( # `  W
) ) ) } )
3332adantlr 714 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( W  e. Word  V  /\  N  e.  ( 1..^ ( # `  W
) ) )  /\  ( A. i  e.  ( 0..^ ( ( # `  W )  -  1 ) ) { ( W `  i ) ,  ( W `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  /\  { ( lastS  `  W ) ,  ( W `  0 ) }  e.  ran  E
) )  /\  j  e.  ( 0..^ ( (
# `  W )  -  1 ) ) )  ->  { (
( W cyclShift  N ) `  j ) ,  ( ( W cyclShift  N ) `  ( j  +  1 ) ) }  =  { ( W `  ( ( j  +  N )  mod  ( # `
 W ) ) ) ,  ( W `
 ( ( ( j  +  1 )  +  N )  mod  ( # `  W
) ) ) } )
34 2z 10887 . . . . . . . . . . 11  |-  2  e.  ZZ
3534a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( # `  W )  e.  NN  /\  N  <  ( # `  W
) )  ->  2  e.  ZZ )
36 nnz 10877 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
# `  W )  e.  NN  ->  ( # `  W
)  e.  ZZ )
37363ad2ant2 1013 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( # `  W )  e.  NN  /\  N  <  ( # `  W
) )  ->  ( # `
 W )  e.  ZZ )
38 nnnn0 10793 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
# `  W )  e.  NN  ->  ( # `  W
)  e.  NN0 )
39383ad2ant2 1013 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( # `  W )  e.  NN  /\  N  <  ( # `  W
) )  ->  ( # `
 W )  e. 
NN0 )
40 nnne0 10559 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
# `  W )  e.  NN  ->  ( # `  W
)  =/=  0 )
41403ad2ant2 1013 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( # `  W )  e.  NN  /\  N  <  ( # `  W
) )  ->  ( # `
 W )  =/=  0 )
42 1re 9586 . . . . . . . . . . . . 13  |-  1  e.  RR
4342a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( # `  W )  e.  NN  /\  N  <  ( # `  W
) )  ->  1  e.  RR )
44 nnre 10534 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  RR )
45443ad2ant1 1012 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( # `  W )  e.  NN  /\  N  <  ( # `  W
) )  ->  N  e.  RR )
46 nnre 10534 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
# `  W )  e.  NN  ->  ( # `  W
)  e.  RR )
47463ad2ant2 1013 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( # `  W )  e.  NN  /\  N  <  ( # `  W
) )  ->  ( # `
 W )  e.  RR )
48 nnge1 10553 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  NN  ->  1  <_  N )
49483ad2ant1 1012 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( # `  W )  e.  NN  /\  N  <  ( # `  W
) )  ->  1  <_  N )
50 simp3 993 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( # `  W )  e.  NN  /\  N  <  ( # `  W
) )  ->  N  <  ( # `  W
) )
5143, 45, 47, 49, 50lelttrd 9730 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( # `  W )  e.  NN  /\  N  <  ( # `  W
) )  ->  1  <  ( # `  W
) )
5243, 51gtned 9710 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( # `  W )  e.  NN  /\  N  <  ( # `  W
) )  ->  ( # `
 W )  =/=  1 )
53 nn0n0n1ge2 10850 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( # `  W
)  e.  NN0  /\  ( # `  W )  =/=  0  /\  ( # `
 W )  =/=  1 )  ->  2  <_  ( # `  W
) )
5439, 41, 52, 53syl3anc 1223 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( # `  W )  e.  NN  /\  N  <  ( # `  W
) )  ->  2  <_  ( # `  W
) )
55 eluz2 11079 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
# `  W )  e.  ( ZZ>= `  2 )  <->  ( 2  e.  ZZ  /\  ( # `  W )  e.  ZZ  /\  2  <_  ( # `  W
) ) )
5635, 37, 54, 55syl3anbrc 1175 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( # `  W )  e.  NN  /\  N  <  ( # `  W
) )  ->  ( # `
 W )  e.  ( ZZ>= `  2 )
)
5725, 56sylbi 195 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  ( 1..^ (
# `  W )
)  ->  ( # `  W
)  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )
5857ad3antlr 730 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( W  e. Word  V  /\  N  e.  ( 1..^ ( # `  W
) ) )  /\  ( A. i  e.  ( 0..^ ( ( # `  W )  -  1 ) ) { ( W `  i ) ,  ( W `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  /\  { ( lastS  `  W ) ,  ( W `  0 ) }  e.  ran  E
) )  /\  j  e.  ( 0..^ ( (
# `  W )  -  1 ) ) )  ->  ( # `  W
)  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )
59 elfzoelz 11788 . . . . . . . 8  |-  ( j  e.  ( 0..^ ( ( # `  W
)  -  1 ) )  ->  j  e.  ZZ )
6059adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( W  e. Word  V  /\  N  e.  ( 1..^ ( # `  W
) ) )  /\  ( A. i  e.  ( 0..^ ( ( # `  W )  -  1 ) ) { ( W `  i ) ,  ( W `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  /\  { ( lastS  `  W ) ,  ( W `  0 ) }  e.  ran  E
) )  /\  j  e.  ( 0..^ ( (
# `  W )  -  1 ) ) )  ->  j  e.  ZZ )
611ad3antlr 730 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( W  e. Word  V  /\  N  e.  ( 1..^ ( # `  W
) ) )  /\  ( A. i  e.  ( 0..^ ( ( # `  W )  -  1 ) ) { ( W `  i ) ,  ( W `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  /\  { ( lastS  `  W ) ,  ( W `  0 ) }  e.  ran  E
) )  /\  j  e.  ( 0..^ ( (
# `  W )  -  1 ) ) )  ->  N  e.  ZZ )
62 simpl 457 . . . . . . . 8  |-  ( ( A. i  e.  ( 0..^ ( ( # `  W )  -  1 ) ) { ( W `  i ) ,  ( W `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  /\  { ( lastS  `  W ) ,  ( W `  0 ) }  e.  ran  E
)  ->  A. i  e.  ( 0..^ ( (
# `  W )  -  1 ) ) { ( W `  i ) ,  ( W `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
)
6362ad2antlr 726 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( W  e. Word  V  /\  N  e.  ( 1..^ ( # `  W
) ) )  /\  ( A. i  e.  ( 0..^ ( ( # `  W )  -  1 ) ) { ( W `  i ) ,  ( W `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  /\  { ( lastS  `  W ) ,  ( W `  0 ) }  e.  ran  E
) )  /\  j  e.  ( 0..^ ( (
# `  W )  -  1 ) ) )  ->  A. i  e.  ( 0..^ ( (
# `  W )  -  1 ) ) { ( W `  i ) ,  ( W `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
)
64 lsw 12539 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( W  e. Word  V  ->  ( lastS  `  W )  =  ( W `  ( (
# `  W )  -  1 ) ) )
6564adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  N  e.  ( 1..^ ( # `  W
) ) )  -> 
( lastS  `  W )  =  ( W `  (
( # `  W )  -  1 ) ) )
6665preq1d 4107 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  N  e.  ( 1..^ ( # `  W
) ) )  ->  { ( lastS  `  W ) ,  ( W ` 
0 ) }  =  { ( W `  ( ( # `  W
)  -  1 ) ) ,  ( W `
 0 ) } )
6766eleq1d 2531 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  N  e.  ( 1..^ ( # `  W
) ) )  -> 
( { ( lastS  `  W
) ,  ( W `
 0 ) }  e.  ran  E  <->  { ( W `  ( ( # `
 W )  - 
1 ) ) ,  ( W `  0
) }  e.  ran  E ) )
6867biimpcd 224 . . . . . . . . . 10  |-  ( { ( lastS  `  W ) ,  ( W ` 
0 ) }  e.  ran  E  ->  ( ( W  e. Word  V  /\  N  e.  ( 1..^ ( # `  W ) ) )  ->  { ( W `
 ( ( # `  W )  -  1 ) ) ,  ( W `  0 ) }  e.  ran  E
) )
6968adantl 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A. i  e.  ( 0..^ ( ( # `  W )  -  1 ) ) { ( W `  i ) ,  ( W `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  /\  { ( lastS  `  W ) ,  ( W `  0 ) }  e.  ran  E
)  ->  ( ( W  e. Word  V  /\  N  e.  ( 1..^ ( # `  W ) ) )  ->  { ( W `
 ( ( # `  W )  -  1 ) ) ,  ( W `  0 ) }  e.  ran  E
) )
7069impcom 430 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  N  e.  (
1..^ ( # `  W
) ) )  /\  ( A. i  e.  ( 0..^ ( ( # `  W )  -  1 ) ) { ( W `  i ) ,  ( W `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  /\  { ( lastS  `  W ) ,  ( W `  0 ) }  e.  ran  E
) )  ->  { ( W `  ( (
# `  W )  -  1 ) ) ,  ( W ` 
0 ) }  e.  ran  E )
7170adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( W  e. Word  V  /\  N  e.  ( 1..^ ( # `  W
) ) )  /\  ( A. i  e.  ( 0..^ ( ( # `  W )  -  1 ) ) { ( W `  i ) ,  ( W `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  /\  { ( lastS  `  W ) ,  ( W `  0 ) }  e.  ran  E
) )  /\  j  e.  ( 0..^ ( (
# `  W )  -  1 ) ) )  ->  { ( W `  ( ( # `
 W )  - 
1 ) ) ,  ( W `  0
) }  e.  ran  E )
72 clwwisshclwwlem1 24469 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( # `  W
)  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  j  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( ( # `  W
)  -  1 ) ) { ( W `
 i ) ,  ( W `  (
i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  /\  { ( W `
 ( ( # `  W )  -  1 ) ) ,  ( W `  0 ) }  e.  ran  E
)  ->  { ( W `  ( (
j  +  N )  mod  ( # `  W
) ) ) ,  ( W `  (
( ( j  +  1 )  +  N
)  mod  ( # `  W
) ) ) }  e.  ran  E )
7358, 60, 61, 63, 71, 72syl311anc 1237 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( W  e. Word  V  /\  N  e.  ( 1..^ ( # `  W
) ) )  /\  ( A. i  e.  ( 0..^ ( ( # `  W )  -  1 ) ) { ( W `  i ) ,  ( W `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  /\  { ( lastS  `  W ) ,  ( W `  0 ) }  e.  ran  E
) )  /\  j  e.  ( 0..^ ( (
# `  W )  -  1 ) ) )  ->  { ( W `  ( (
j  +  N )  mod  ( # `  W
) ) ) ,  ( W `  (
( ( j  +  1 )  +  N
)  mod  ( # `  W
) ) ) }  e.  ran  E )
7433, 73eqeltrd 2550 . . . . 5  |-  ( ( ( ( W  e. Word  V  /\  N  e.  ( 1..^ ( # `  W
) ) )  /\  ( A. i  e.  ( 0..^ ( ( # `  W )  -  1 ) ) { ( W `  i ) ,  ( W `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  /\  { ( lastS  `  W ) ,  ( W `  0 ) }  e.  ran  E
) )  /\  j  e.  ( 0..^ ( (
# `  W )  -  1 ) ) )  ->  { (
( W cyclShift  N ) `  j ) ,  ( ( W cyclShift  N ) `  ( j  +  1 ) ) }  e.  ran  E )
7574ex 434 . . . 4  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  N  e.  (
1..^ ( # `  W
) ) )  /\  ( A. i  e.  ( 0..^ ( ( # `  W )  -  1 ) ) { ( W `  i ) ,  ( W `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  /\  { ( lastS  `  W ) ,  ( W `  0 ) }  e.  ran  E
) )  ->  (
j  e.  ( 0..^ ( ( # `  W
)  -  1 ) )  ->  { (
( W cyclShift  N ) `  j ) ,  ( ( W cyclShift  N ) `  ( j  +  1 ) ) }  e.  ran  E ) )
767, 75sylbid 215 . . 3  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  N  e.  (
1..^ ( # `  W
) ) )  /\  ( A. i  e.  ( 0..^ ( ( # `  W )  -  1 ) ) { ( W `  i ) ,  ( W `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  /\  { ( lastS  `  W ) ,  ( W `  0 ) }  e.  ran  E
) )  ->  (
j  e.  ( 0..^ ( ( # `  ( W cyclShift  N ) )  - 
1 ) )  ->  { ( ( W cyclShift  N ) `  j
) ,  ( ( W cyclShift  N ) `  (
j  +  1 ) ) }  e.  ran  E ) )
7776ralrimiv 2871 . 2  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  N  e.  (
1..^ ( # `  W
) ) )  /\  ( A. i  e.  ( 0..^ ( ( # `  W )  -  1 ) ) { ( W `  i ) ,  ( W `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  /\  { ( lastS  `  W ) ,  ( W `  0 ) }  e.  ran  E
) )  ->  A. j  e.  ( 0..^ ( (
# `  ( W cyclShift  N ) )  -  1 ) ) { ( ( W cyclShift  N ) `  j ) ,  ( ( W cyclShift  N ) `  ( j  +  1 ) ) }  e.  ran  E )
7877ex 434 1  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  N  e.  ( 1..^ ( # `  W
) ) )  -> 
( ( A. i  e.  ( 0..^ ( (
# `  W )  -  1 ) ) { ( W `  i ) ,  ( W `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  /\  { ( lastS  `  W
) ,  ( W `
 0 ) }  e.  ran  E )  ->  A. j  e.  ( 0..^ ( ( # `  ( W cyclShift  N )
)  -  1 ) ) { ( ( W cyclShift  N ) `  j
) ,  ( ( W cyclShift  N ) `  (
j  +  1 ) ) }  e.  ran  E ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 968    = wceq 1374    e. wcel 1762    =/= wne 2657   A.wral 2809    C_ wss 3471   {cpr 4024   class class class wbr 4442   ran crn 4995   ` cfv 5581  (class class class)co 6277   RRcr 9482   0cc0 9483   1c1 9484    + caddc 9486    < clt 9619    <_ cle 9620    - cmin 9796   NNcn 10527   2c2 10576   NN0cn0 10786   ZZcz 10855   ZZ>=cuz 11073  ..^cfzo 11783    mod cmo 11954   #chash 12362  Word cword 12489   lastS clsw 12490   cyclShift ccsh 12711
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1963  ax-ext 2440  ax-rep 4553  ax-sep 4563  ax-nul 4571  ax-pow 4620  ax-pr 4681  ax-un 6569  ax-cnex 9539  ax-resscn 9540  ax-1cn 9541  ax-icn 9542  ax-addcl 9543  ax-addrcl 9544  ax-mulcl 9545  ax-mulrcl 9546  ax-mulcom 9547  ax-addass 9548  ax-mulass 9549  ax-distr 9550  ax-i2m1 9551  ax-1ne0 9552  ax-1rid 9553  ax-rnegex 9554  ax-rrecex 9555  ax-cnre 9556  ax-pre-lttri 9557  ax-pre-lttrn 9558  ax-pre-ltadd 9559  ax-pre-mulgt0 9560  ax-pre-sup 9561
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2274  df-mo 2275  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2612  df-ne 2659  df-nel 2660  df-ral 2814  df-rex 2815  df-reu 2816  df-rmo 2817  df-rab 2818  df-v 3110  df-sbc 3327  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3781  df-if 3935  df-pw 4007  df-sn 4023  df-pr 4025  df-tp 4027  df-op 4029  df-uni 4241  df-int 4278  df-iun 4322  df-br 4443  df-opab 4501  df-mpt 4502  df-tr 4536  df-eprel 4786  df-id 4790  df-po 4795  df-so 4796  df-fr 4833  df-we 4835  df-ord 4876  df-on 4877  df-lim 4878  df-suc 4879  df-xp 5000  df-rel 5001  df-cnv 5002  df-co 5003  df-dm 5004  df-rn 5005  df-res 5006  df-ima 5007  df-iota 5544  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-riota 6238  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-om 6674  df-1st 6776  df-2nd 6777  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-oadd 7126  df-er 7303  df-en 7509  df-dom 7510  df-sdom 7511  df-fin 7512  df-sup 7892  df-card 8311  df-pnf 9621  df-mnf 9622  df-xr 9623  df-ltxr 9624  df-le 9625  df-sub 9798  df-neg 9799  df-div 10198  df-nn 10528  df-2 10585  df-n0 10787  df-z 10856  df-uz 11074  df-rp 11212  df-fz 11664  df-fzo 11784  df-fl 11888  df-mod 11955  df-hash 12363  df-word 12497  df-lsw 12498  df-concat 12499  df-substr 12501  df-csh 12712
This theorem is referenced by:  clwwisshclww  24471
  Copyright terms: Public domain W3C validator