MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  clwwisshclwwlem Structured version   Unicode version

Theorem clwwisshclwwlem 25223
Description: Lemma for clwwisshclww 25224. (Contributed by AV, 24-Mar-2018.) (Revised by AV, 10-Jun-2018.) (Proof shortened by AV, 2-Nov-2018.)
Assertion
Ref Expression
clwwisshclwwlem  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  N  e.  ( 1..^ ( # `  W
) ) )  -> 
( ( A. i  e.  ( 0..^ ( (
# `  W )  -  1 ) ) { ( W `  i ) ,  ( W `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  /\  { ( lastS  `  W
) ,  ( W `
 0 ) }  e.  ran  E )  ->  A. j  e.  ( 0..^ ( ( # `  ( W cyclShift  N )
)  -  1 ) ) { ( ( W cyclShift  N ) `  j
) ,  ( ( W cyclShift  N ) `  (
j  +  1 ) ) }  e.  ran  E ) )
Distinct variable groups:    i, E, j    i, N, j    i, V, j    i, W, j

Proof of Theorem clwwisshclwwlem
StepHypRef Expression
1 elfzoelz 11859 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  ( 1..^ (
# `  W )
)  ->  N  e.  ZZ )
2 cshwlen 12826 . . . . . . . . 9  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( # `  ( W cyclShift  N ) )  =  ( # `  W
) )
31, 2sylan2 472 . . . . . . . 8  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  N  e.  ( 1..^ ( # `  W
) ) )  -> 
( # `  ( W cyclShift  N ) )  =  ( # `  W
) )
43oveq1d 6293 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  N  e.  ( 1..^ ( # `  W
) ) )  -> 
( ( # `  ( W cyclShift  N ) )  - 
1 )  =  ( ( # `  W
)  -  1 ) )
54oveq2d 6294 . . . . . 6  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  N  e.  ( 1..^ ( # `  W
) ) )  -> 
( 0..^ ( (
# `  ( W cyclShift  N ) )  -  1 ) )  =  ( 0..^ ( ( # `  W )  -  1 ) ) )
65eleq2d 2472 . . . . 5  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  N  e.  ( 1..^ ( # `  W
) ) )  -> 
( j  e.  ( 0..^ ( ( # `  ( W cyclShift  N )
)  -  1 ) )  <->  j  e.  ( 0..^ ( ( # `  W )  -  1 ) ) ) )
76adantr 463 . . . 4  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  N  e.  (
1..^ ( # `  W
) ) )  /\  ( A. i  e.  ( 0..^ ( ( # `  W )  -  1 ) ) { ( W `  i ) ,  ( W `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  /\  { ( lastS  `  W ) ,  ( W `  0 ) }  e.  ran  E
) )  ->  (
j  e.  ( 0..^ ( ( # `  ( W cyclShift  N ) )  - 
1 ) )  <->  j  e.  ( 0..^ ( ( # `  W )  -  1 ) ) ) )
8 simpll 752 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  N  e.  (
1..^ ( # `  W
) ) )  /\  j  e.  ( 0..^ ( ( # `  W
)  -  1 ) ) )  ->  W  e. Word  V )
91ad2antlr 725 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  N  e.  (
1..^ ( # `  W
) ) )  /\  j  e.  ( 0..^ ( ( # `  W
)  -  1 ) ) )  ->  N  e.  ZZ )
10 lencl 12614 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( W  e. Word  V  ->  ( # `
 W )  e. 
NN0 )
11 nn0z 10928 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
# `  W )  e.  NN0  ->  ( # `  W
)  e.  ZZ )
12 peano2zm 10948 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
# `  W )  e.  ZZ  ->  ( ( # `
 W )  - 
1 )  e.  ZZ )
1311, 12syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
# `  W )  e.  NN0  ->  ( ( # `
 W )  - 
1 )  e.  ZZ )
14 nn0re 10845 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
# `  W )  e.  NN0  ->  ( # `  W
)  e.  RR )
1514lem1d 10519 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
# `  W )  e.  NN0  ->  ( ( # `
 W )  - 
1 )  <_  ( # `
 W ) )
16 eluz2 11133 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
# `  W )  e.  ( ZZ>= `  ( ( # `
 W )  - 
1 ) )  <->  ( (
( # `  W )  -  1 )  e.  ZZ  /\  ( # `  W )  e.  ZZ  /\  ( ( # `  W
)  -  1 )  <_  ( # `  W
) ) )
1713, 11, 15, 16syl3anbrc 1181 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
# `  W )  e.  NN0  ->  ( # `  W
)  e.  ( ZZ>= `  ( ( # `  W
)  -  1 ) ) )
1810, 17syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( W  e. Word  V  ->  ( # `
 W )  e.  ( ZZ>= `  ( ( # `
 W )  - 
1 ) ) )
1918adantr 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  N  e.  ( 1..^ ( # `  W
) ) )  -> 
( # `  W )  e.  ( ZZ>= `  (
( # `  W )  -  1 ) ) )
20 fzoss2 11885 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
# `  W )  e.  ( ZZ>= `  ( ( # `
 W )  - 
1 ) )  -> 
( 0..^ ( (
# `  W )  -  1 ) ) 
C_  ( 0..^ (
# `  W )
) )
2119, 20syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  N  e.  ( 1..^ ( # `  W
) ) )  -> 
( 0..^ ( (
# `  W )  -  1 ) ) 
C_  ( 0..^ (
# `  W )
) )
2221sselda 3442 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  N  e.  (
1..^ ( # `  W
) ) )  /\  j  e.  ( 0..^ ( ( # `  W
)  -  1 ) ) )  ->  j  e.  ( 0..^ ( # `  W ) ) )
23 cshwidxmod 12830 . . . . . . . . 9  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  N  e.  ZZ  /\  j  e.  ( 0..^ ( # `  W ) ) )  ->  ( ( W cyclShift  N ) `  j
)  =  ( W `
 ( ( j  +  N )  mod  ( # `  W
) ) ) )
248, 9, 22, 23syl3anc 1230 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  N  e.  (
1..^ ( # `  W
) ) )  /\  j  e.  ( 0..^ ( ( # `  W
)  -  1 ) ) )  ->  (
( W cyclShift  N ) `  j )  =  ( W `  ( ( j  +  N )  mod  ( # `  W
) ) ) )
25 elfzo1 11903 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  ( 1..^ (
# `  W )
)  <->  ( N  e.  NN  /\  ( # `  W )  e.  NN  /\  N  <  ( # `  W ) ) )
2625simp2bi 1013 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  ( 1..^ (
# `  W )
)  ->  ( # `  W
)  e.  NN )
2726adantl 464 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  N  e.  ( 1..^ ( # `  W
) ) )  -> 
( # `  W )  e.  NN )
28 elfzom1p1elfzo 11931 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( # `  W
)  e.  NN  /\  j  e.  ( 0..^ ( ( # `  W
)  -  1 ) ) )  ->  (
j  +  1 )  e.  ( 0..^ (
# `  W )
) )
2927, 28sylan 469 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  N  e.  (
1..^ ( # `  W
) ) )  /\  j  e.  ( 0..^ ( ( # `  W
)  -  1 ) ) )  ->  (
j  +  1 )  e.  ( 0..^ (
# `  W )
) )
30 cshwidxmod 12830 . . . . . . . . 9  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  N  e.  ZZ  /\  (
j  +  1 )  e.  ( 0..^ (
# `  W )
) )  ->  (
( W cyclShift  N ) `  ( j  +  1 ) )  =  ( W `  ( ( ( j  +  1 )  +  N )  mod  ( # `  W
) ) ) )
318, 9, 29, 30syl3anc 1230 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  N  e.  (
1..^ ( # `  W
) ) )  /\  j  e.  ( 0..^ ( ( # `  W
)  -  1 ) ) )  ->  (
( W cyclShift  N ) `  ( j  +  1 ) )  =  ( W `  ( ( ( j  +  1 )  +  N )  mod  ( # `  W
) ) ) )
3224, 31preq12d 4059 . . . . . . 7  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  N  e.  (
1..^ ( # `  W
) ) )  /\  j  e.  ( 0..^ ( ( # `  W
)  -  1 ) ) )  ->  { ( ( W cyclShift  N ) `  j ) ,  ( ( W cyclShift  N ) `  ( j  +  1 ) ) }  =  { ( W `  ( ( j  +  N )  mod  ( # `
 W ) ) ) ,  ( W `
 ( ( ( j  +  1 )  +  N )  mod  ( # `  W
) ) ) } )
3332adantlr 713 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( W  e. Word  V  /\  N  e.  ( 1..^ ( # `  W
) ) )  /\  ( A. i  e.  ( 0..^ ( ( # `  W )  -  1 ) ) { ( W `  i ) ,  ( W `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  /\  { ( lastS  `  W ) ,  ( W `  0 ) }  e.  ran  E
) )  /\  j  e.  ( 0..^ ( (
# `  W )  -  1 ) ) )  ->  { (
( W cyclShift  N ) `  j ) ,  ( ( W cyclShift  N ) `  ( j  +  1 ) ) }  =  { ( W `  ( ( j  +  N )  mod  ( # `
 W ) ) ) ,  ( W `
 ( ( ( j  +  1 )  +  N )  mod  ( # `  W
) ) ) } )
34 2z 10937 . . . . . . . . . . 11  |-  2  e.  ZZ
3534a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( # `  W )  e.  NN  /\  N  <  ( # `  W
) )  ->  2  e.  ZZ )
36 nnz 10927 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
# `  W )  e.  NN  ->  ( # `  W
)  e.  ZZ )
37363ad2ant2 1019 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( # `  W )  e.  NN  /\  N  <  ( # `  W
) )  ->  ( # `
 W )  e.  ZZ )
38 nnnn0 10843 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
# `  W )  e.  NN  ->  ( # `  W
)  e.  NN0 )
39383ad2ant2 1019 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( # `  W )  e.  NN  /\  N  <  ( # `  W
) )  ->  ( # `
 W )  e. 
NN0 )
40 nnne0 10609 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
# `  W )  e.  NN  ->  ( # `  W
)  =/=  0 )
41403ad2ant2 1019 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( # `  W )  e.  NN  /\  N  <  ( # `  W
) )  ->  ( # `
 W )  =/=  0 )
42 1red 9641 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( # `  W )  e.  NN  /\  N  <  ( # `  W
) )  ->  1  e.  RR )
43 nnre 10583 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  RR )
44433ad2ant1 1018 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( # `  W )  e.  NN  /\  N  <  ( # `  W
) )  ->  N  e.  RR )
45 nnre 10583 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
# `  W )  e.  NN  ->  ( # `  W
)  e.  RR )
46453ad2ant2 1019 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( # `  W )  e.  NN  /\  N  <  ( # `  W
) )  ->  ( # `
 W )  e.  RR )
47 nnge1 10602 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  NN  ->  1  <_  N )
48473ad2ant1 1018 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( # `  W )  e.  NN  /\  N  <  ( # `  W
) )  ->  1  <_  N )
49 simp3 999 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( # `  W )  e.  NN  /\  N  <  ( # `  W
) )  ->  N  <  ( # `  W
) )
5042, 44, 46, 48, 49lelttrd 9774 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( # `  W )  e.  NN  /\  N  <  ( # `  W
) )  ->  1  <  ( # `  W
) )
5142, 50gtned 9752 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( # `  W )  e.  NN  /\  N  <  ( # `  W
) )  ->  ( # `
 W )  =/=  1 )
52 nn0n0n1ge2 10900 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( # `  W
)  e.  NN0  /\  ( # `  W )  =/=  0  /\  ( # `
 W )  =/=  1 )  ->  2  <_  ( # `  W
) )
5339, 41, 51, 52syl3anc 1230 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( # `  W )  e.  NN  /\  N  <  ( # `  W
) )  ->  2  <_  ( # `  W
) )
54 eluz2 11133 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
# `  W )  e.  ( ZZ>= `  2 )  <->  ( 2  e.  ZZ  /\  ( # `  W )  e.  ZZ  /\  2  <_  ( # `  W
) ) )
5535, 37, 53, 54syl3anbrc 1181 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( # `  W )  e.  NN  /\  N  <  ( # `  W
) )  ->  ( # `
 W )  e.  ( ZZ>= `  2 )
)
5625, 55sylbi 195 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  ( 1..^ (
# `  W )
)  ->  ( # `  W
)  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )
5756ad3antlr 729 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( W  e. Word  V  /\  N  e.  ( 1..^ ( # `  W
) ) )  /\  ( A. i  e.  ( 0..^ ( ( # `  W )  -  1 ) ) { ( W `  i ) ,  ( W `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  /\  { ( lastS  `  W ) ,  ( W `  0 ) }  e.  ran  E
) )  /\  j  e.  ( 0..^ ( (
# `  W )  -  1 ) ) )  ->  ( # `  W
)  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )
58 elfzoelz 11859 . . . . . . . 8  |-  ( j  e.  ( 0..^ ( ( # `  W
)  -  1 ) )  ->  j  e.  ZZ )
5958adantl 464 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( W  e. Word  V  /\  N  e.  ( 1..^ ( # `  W
) ) )  /\  ( A. i  e.  ( 0..^ ( ( # `  W )  -  1 ) ) { ( W `  i ) ,  ( W `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  /\  { ( lastS  `  W ) ,  ( W `  0 ) }  e.  ran  E
) )  /\  j  e.  ( 0..^ ( (
# `  W )  -  1 ) ) )  ->  j  e.  ZZ )
601ad3antlr 729 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( W  e. Word  V  /\  N  e.  ( 1..^ ( # `  W
) ) )  /\  ( A. i  e.  ( 0..^ ( ( # `  W )  -  1 ) ) { ( W `  i ) ,  ( W `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  /\  { ( lastS  `  W ) ,  ( W `  0 ) }  e.  ran  E
) )  /\  j  e.  ( 0..^ ( (
# `  W )  -  1 ) ) )  ->  N  e.  ZZ )
61 simplrl 762 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( W  e. Word  V  /\  N  e.  ( 1..^ ( # `  W
) ) )  /\  ( A. i  e.  ( 0..^ ( ( # `  W )  -  1 ) ) { ( W `  i ) ,  ( W `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  /\  { ( lastS  `  W ) ,  ( W `  0 ) }  e.  ran  E
) )  /\  j  e.  ( 0..^ ( (
# `  W )  -  1 ) ) )  ->  A. i  e.  ( 0..^ ( (
# `  W )  -  1 ) ) { ( W `  i ) ,  ( W `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
)
62 lsw 12638 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( W  e. Word  V  ->  ( lastS  `  W )  =  ( W `  ( (
# `  W )  -  1 ) ) )
6362adantr 463 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  N  e.  ( 1..^ ( # `  W
) ) )  -> 
( lastS  `  W )  =  ( W `  (
( # `  W )  -  1 ) ) )
6463preq1d 4057 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  N  e.  ( 1..^ ( # `  W
) ) )  ->  { ( lastS  `  W ) ,  ( W ` 
0 ) }  =  { ( W `  ( ( # `  W
)  -  1 ) ) ,  ( W `
 0 ) } )
6564eleq1d 2471 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  N  e.  ( 1..^ ( # `  W
) ) )  -> 
( { ( lastS  `  W
) ,  ( W `
 0 ) }  e.  ran  E  <->  { ( W `  ( ( # `
 W )  - 
1 ) ) ,  ( W `  0
) }  e.  ran  E ) )
6665biimpcd 224 . . . . . . . . . 10  |-  ( { ( lastS  `  W ) ,  ( W ` 
0 ) }  e.  ran  E  ->  ( ( W  e. Word  V  /\  N  e.  ( 1..^ ( # `  W ) ) )  ->  { ( W `
 ( ( # `  W )  -  1 ) ) ,  ( W `  0 ) }  e.  ran  E
) )
6766adantl 464 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A. i  e.  ( 0..^ ( ( # `  W )  -  1 ) ) { ( W `  i ) ,  ( W `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  /\  { ( lastS  `  W ) ,  ( W `  0 ) }  e.  ran  E
)  ->  ( ( W  e. Word  V  /\  N  e.  ( 1..^ ( # `  W ) ) )  ->  { ( W `
 ( ( # `  W )  -  1 ) ) ,  ( W `  0 ) }  e.  ran  E
) )
6867impcom 428 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  N  e.  (
1..^ ( # `  W
) ) )  /\  ( A. i  e.  ( 0..^ ( ( # `  W )  -  1 ) ) { ( W `  i ) ,  ( W `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  /\  { ( lastS  `  W ) ,  ( W `  0 ) }  e.  ran  E
) )  ->  { ( W `  ( (
# `  W )  -  1 ) ) ,  ( W ` 
0 ) }  e.  ran  E )
6968adantr 463 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( W  e. Word  V  /\  N  e.  ( 1..^ ( # `  W
) ) )  /\  ( A. i  e.  ( 0..^ ( ( # `  W )  -  1 ) ) { ( W `  i ) ,  ( W `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  /\  { ( lastS  `  W ) ,  ( W `  0 ) }  e.  ran  E
) )  /\  j  e.  ( 0..^ ( (
# `  W )  -  1 ) ) )  ->  { ( W `  ( ( # `
 W )  - 
1 ) ) ,  ( W `  0
) }  e.  ran  E )
70 clwwisshclwwlem1 25222 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( # `  W
)  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  j  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( ( # `  W
)  -  1 ) ) { ( W `
 i ) ,  ( W `  (
i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  /\  { ( W `
 ( ( # `  W )  -  1 ) ) ,  ( W `  0 ) }  e.  ran  E
)  ->  { ( W `  ( (
j  +  N )  mod  ( # `  W
) ) ) ,  ( W `  (
( ( j  +  1 )  +  N
)  mod  ( # `  W
) ) ) }  e.  ran  E )
7157, 59, 60, 61, 69, 70syl311anc 1244 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( W  e. Word  V  /\  N  e.  ( 1..^ ( # `  W
) ) )  /\  ( A. i  e.  ( 0..^ ( ( # `  W )  -  1 ) ) { ( W `  i ) ,  ( W `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  /\  { ( lastS  `  W ) ,  ( W `  0 ) }  e.  ran  E
) )  /\  j  e.  ( 0..^ ( (
# `  W )  -  1 ) ) )  ->  { ( W `  ( (
j  +  N )  mod  ( # `  W
) ) ) ,  ( W `  (
( ( j  +  1 )  +  N
)  mod  ( # `  W
) ) ) }  e.  ran  E )
7233, 71eqeltrd 2490 . . . . 5  |-  ( ( ( ( W  e. Word  V  /\  N  e.  ( 1..^ ( # `  W
) ) )  /\  ( A. i  e.  ( 0..^ ( ( # `  W )  -  1 ) ) { ( W `  i ) ,  ( W `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  /\  { ( lastS  `  W ) ,  ( W `  0 ) }  e.  ran  E
) )  /\  j  e.  ( 0..^ ( (
# `  W )  -  1 ) ) )  ->  { (
( W cyclShift  N ) `  j ) ,  ( ( W cyclShift  N ) `  ( j  +  1 ) ) }  e.  ran  E )
7372ex 432 . . . 4  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  N  e.  (
1..^ ( # `  W
) ) )  /\  ( A. i  e.  ( 0..^ ( ( # `  W )  -  1 ) ) { ( W `  i ) ,  ( W `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  /\  { ( lastS  `  W ) ,  ( W `  0 ) }  e.  ran  E
) )  ->  (
j  e.  ( 0..^ ( ( # `  W
)  -  1 ) )  ->  { (
( W cyclShift  N ) `  j ) ,  ( ( W cyclShift  N ) `  ( j  +  1 ) ) }  e.  ran  E ) )
747, 73sylbid 215 . . 3  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  N  e.  (
1..^ ( # `  W
) ) )  /\  ( A. i  e.  ( 0..^ ( ( # `  W )  -  1 ) ) { ( W `  i ) ,  ( W `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  /\  { ( lastS  `  W ) ,  ( W `  0 ) }  e.  ran  E
) )  ->  (
j  e.  ( 0..^ ( ( # `  ( W cyclShift  N ) )  - 
1 ) )  ->  { ( ( W cyclShift  N ) `  j
) ,  ( ( W cyclShift  N ) `  (
j  +  1 ) ) }  e.  ran  E ) )
7574ralrimiv 2816 . 2  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  N  e.  (
1..^ ( # `  W
) ) )  /\  ( A. i  e.  ( 0..^ ( ( # `  W )  -  1 ) ) { ( W `  i ) ,  ( W `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  /\  { ( lastS  `  W ) ,  ( W `  0 ) }  e.  ran  E
) )  ->  A. j  e.  ( 0..^ ( (
# `  ( W cyclShift  N ) )  -  1 ) ) { ( ( W cyclShift  N ) `  j ) ,  ( ( W cyclShift  N ) `  ( j  +  1 ) ) }  e.  ran  E )
7675ex 432 1  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  N  e.  ( 1..^ ( # `  W
) ) )  -> 
( ( A. i  e.  ( 0..^ ( (
# `  W )  -  1 ) ) { ( W `  i ) ,  ( W `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  /\  { ( lastS  `  W
) ,  ( W `
 0 ) }  e.  ran  E )  ->  A. j  e.  ( 0..^ ( ( # `  ( W cyclShift  N )
)  -  1 ) ) { ( ( W cyclShift  N ) `  j
) ,  ( ( W cyclShift  N ) `  (
j  +  1 ) ) }  e.  ran  E ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    /\ w3a 974    = wceq 1405    e. wcel 1842    =/= wne 2598   A.wral 2754    C_ wss 3414   {cpr 3974   class class class wbr 4395   ran crn 4824   ` cfv 5569  (class class class)co 6278   RRcr 9521   0cc0 9522   1c1 9523    + caddc 9525    < clt 9658    <_ cle 9659    - cmin 9841   NNcn 10576   2c2 10626   NN0cn0 10836   ZZcz 10905   ZZ>=cuz 11127  ..^cfzo 11854    mod cmo 12034   #chash 12452  Word cword 12583   lastS clsw 12584   cyclShift ccsh 12815
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4507  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574  ax-cnex 9578  ax-resscn 9579  ax-1cn 9580  ax-icn 9581  ax-addcl 9582  ax-addrcl 9583  ax-mulcl 9584  ax-mulrcl 9585  ax-mulcom 9586  ax-addass 9587  ax-mulass 9588  ax-distr 9589  ax-i2m1 9590  ax-1ne0 9591  ax-1rid 9592  ax-rnegex 9593  ax-rrecex 9594  ax-cnre 9595  ax-pre-lttri 9596  ax-pre-lttrn 9597  ax-pre-ltadd 9598  ax-pre-mulgt0 9599  ax-pre-sup 9600
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2759  df-rex 2760  df-reu 2761  df-rmo 2762  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-csb 3374  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-pss 3430  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-tp 3977  df-op 3979  df-uni 4192  df-int 4228  df-iun 4273  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4490  df-eprel 4734  df-id 4738  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-we 4784  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-pred 5367  df-ord 5413  df-on 5414  df-lim 5415  df-suc 5416  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-f1 5574  df-fo 5575  df-f1o 5576  df-fv 5577  df-riota 6240  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-om 6684  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-wrecs 7013  df-recs 7075  df-rdg 7113  df-1o 7167  df-oadd 7171  df-er 7348  df-en 7555  df-dom 7556  df-sdom 7557  df-fin 7558  df-sup 7935  df-card 8352  df-cda 8580  df-pnf 9660  df-mnf 9661  df-xr 9662  df-ltxr 9663  df-le 9664  df-sub 9843  df-neg 9844  df-div 10248  df-nn 10577  df-2 10635  df-n0 10837  df-z 10906  df-uz 11128  df-rp 11266  df-fz 11727  df-fzo 11855  df-fl 11966  df-mod 12035  df-hash 12453  df-word 12591  df-lsw 12592  df-concat 12593  df-substr 12595  df-csh 12816
This theorem is referenced by:  clwwisshclww  25224
  Copyright terms: Public domain W3C validator