Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ioorrnopnlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ioorrnopnlem 39200
Description: The a point in an indexed product of open intervals is contained in an open ball that is contained in the indexed product of open intervals. (Contributed by Glauco Siliprandi, 8-Apr-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
ioorrnopnlem.x (𝜑𝑋 ∈ Fin)
ioorrnopnlem.n (𝜑𝑋 ≠ ∅)
ioorrnopnlem.a (𝜑𝐴:𝑋⟶ℝ)
ioorrnopnlem.b (𝜑𝐵:𝑋⟶ℝ)
ioorrnopnlem.f (𝜑𝐹X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖)))
ioorrnopnlem.h 𝐻 = ran (𝑖𝑋 ↦ if(((𝐵𝑖) − (𝐹𝑖)) ≤ ((𝐹𝑖) − (𝐴𝑖)), ((𝐵𝑖) − (𝐹𝑖)), ((𝐹𝑖) − (𝐴𝑖))))
ioorrnopnlem.e 𝐸 = inf(𝐻, ℝ, < )
ioorrnopnlem.v 𝑉 = (𝐹(ball‘𝐷)𝐸)
ioorrnopnlem.d 𝐷 = (𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋), 𝑔 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋) ↦ (√‘Σ𝑘𝑋 (((𝑓𝑘) − (𝑔𝑘))↑2)))
Assertion
Ref Expression
ioorrnopnlem (𝜑 → ∃𝑣 ∈ (TopOpen‘(ℝ^‘𝑋))(𝐹𝑣𝑣X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖))))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑔   𝑣,𝐴   𝐵,𝑔   𝑣,𝐵   𝐷,𝑔,𝑖   𝑔,𝐸,𝑖   𝑔,𝐹,𝑖   𝑣,𝐹,𝑖   𝑣,𝑉   𝑓,𝑋,𝑔,𝑘   𝑖,𝑋,𝑣   𝜑,𝑓,𝑔,𝑘   𝜑,𝑖
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑣)   𝐴(𝑓,𝑖,𝑘)   𝐵(𝑓,𝑖,𝑘)   𝐷(𝑣,𝑓,𝑘)   𝐸(𝑣,𝑓,𝑘)   𝐹(𝑓,𝑘)   𝐻(𝑣,𝑓,𝑔,𝑖,𝑘)   𝑉(𝑓,𝑔,𝑖,𝑘)

Proof of Theorem ioorrnopnlem
StepHypRef Expression
1 ioorrnopnlem.x . . . . 5 (𝜑𝑋 ∈ Fin)
2 ioorrnopnlem.d . . . . 5 𝐷 = (𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋), 𝑔 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋) ↦ (√‘Σ𝑘𝑋 (((𝑓𝑘) − (𝑔𝑘))↑2)))
31, 2rrndsxmet 39199 . . . 4 (𝜑𝐷 ∈ (∞Met‘(ℝ ↑𝑚 𝑋)))
4 nfv 1830 . . . . . 6 𝑖𝜑
5 reex 9906 . . . . . . 7 ℝ ∈ V
65a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → ℝ ∈ V)
7 ioossre 12106 . . . . . . 7 ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖)) ⊆ ℝ
87a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑𝑖𝑋) → ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖)) ⊆ ℝ)
94, 6, 8ixpssmapc 38269 . . . . 5 (𝜑X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖)) ⊆ (ℝ ↑𝑚 𝑋))
10 ioorrnopnlem.f . . . . 5 (𝜑𝐹X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖)))
119, 10sseldd 3569 . . . 4 (𝜑𝐹 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋))
12 ioorrnopnlem.e . . . . . 6 𝐸 = inf(𝐻, ℝ, < )
13 ioorrnopnlem.h . . . . . . . . 9 𝐻 = ran (𝑖𝑋 ↦ if(((𝐵𝑖) − (𝐹𝑖)) ≤ ((𝐹𝑖) − (𝐴𝑖)), ((𝐵𝑖) − (𝐹𝑖)), ((𝐹𝑖) − (𝐴𝑖))))
1413a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑𝐻 = ran (𝑖𝑋 ↦ if(((𝐵𝑖) − (𝐹𝑖)) ≤ ((𝐹𝑖) − (𝐴𝑖)), ((𝐵𝑖) − (𝐹𝑖)), ((𝐹𝑖) − (𝐴𝑖)))))
15 ioorrnopnlem.b . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐵:𝑋⟶ℝ)
1615ffvelrnda 6267 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖𝑋) → (𝐵𝑖) ∈ ℝ)
1710adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑖𝑋) → 𝐹X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖)))
18 simpr 476 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑖𝑋) → 𝑖𝑋)
19 fvixp2 38384 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐹X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖)) ∧ 𝑖𝑋) → (𝐹𝑖) ∈ ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖)))
2017, 18, 19syl2anc 691 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑖𝑋) → (𝐹𝑖) ∈ ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖)))
217, 20sseldi 3566 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖𝑋) → (𝐹𝑖) ∈ ℝ)
2216, 21resubcld 10337 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖𝑋) → ((𝐵𝑖) − (𝐹𝑖)) ∈ ℝ)
23 ioorrnopnlem.a . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝐴:𝑋⟶ℝ)
2423ffvelrnda 6267 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑖𝑋) → (𝐴𝑖) ∈ ℝ)
2524rexrd 9968 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑖𝑋) → (𝐴𝑖) ∈ ℝ*)
2616rexrd 9968 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑖𝑋) → (𝐵𝑖) ∈ ℝ*)
27 iooltub 38582 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴𝑖) ∈ ℝ* ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℝ* ∧ (𝐹𝑖) ∈ ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖))) → (𝐹𝑖) < (𝐵𝑖))
2825, 26, 20, 27syl3anc 1318 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖𝑋) → (𝐹𝑖) < (𝐵𝑖))
2921, 16posdifd 10493 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖𝑋) → ((𝐹𝑖) < (𝐵𝑖) ↔ 0 < ((𝐵𝑖) − (𝐹𝑖))))
3028, 29mpbid 221 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖𝑋) → 0 < ((𝐵𝑖) − (𝐹𝑖)))
3122, 30elrpd 11745 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖𝑋) → ((𝐵𝑖) − (𝐹𝑖)) ∈ ℝ+)
3221, 24resubcld 10337 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖𝑋) → ((𝐹𝑖) − (𝐴𝑖)) ∈ ℝ)
33 ioogtlb 38564 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴𝑖) ∈ ℝ* ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℝ* ∧ (𝐹𝑖) ∈ ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖))) → (𝐴𝑖) < (𝐹𝑖))
3425, 26, 20, 33syl3anc 1318 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖𝑋) → (𝐴𝑖) < (𝐹𝑖))
3524, 21posdifd 10493 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖𝑋) → ((𝐴𝑖) < (𝐹𝑖) ↔ 0 < ((𝐹𝑖) − (𝐴𝑖))))
3634, 35mpbid 221 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖𝑋) → 0 < ((𝐹𝑖) − (𝐴𝑖)))
3732, 36elrpd 11745 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖𝑋) → ((𝐹𝑖) − (𝐴𝑖)) ∈ ℝ+)
3831, 37ifcld 4081 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖𝑋) → if(((𝐵𝑖) − (𝐹𝑖)) ≤ ((𝐹𝑖) − (𝐴𝑖)), ((𝐵𝑖) − (𝐹𝑖)), ((𝐹𝑖) − (𝐴𝑖))) ∈ ℝ+)
3938ralrimiva 2949 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ∀𝑖𝑋 if(((𝐵𝑖) − (𝐹𝑖)) ≤ ((𝐹𝑖) − (𝐴𝑖)), ((𝐵𝑖) − (𝐹𝑖)), ((𝐹𝑖) − (𝐴𝑖))) ∈ ℝ+)
40 eqid 2610 . . . . . . . . . 10 (𝑖𝑋 ↦ if(((𝐵𝑖) − (𝐹𝑖)) ≤ ((𝐹𝑖) − (𝐴𝑖)), ((𝐵𝑖) − (𝐹𝑖)), ((𝐹𝑖) − (𝐴𝑖)))) = (𝑖𝑋 ↦ if(((𝐵𝑖) − (𝐹𝑖)) ≤ ((𝐹𝑖) − (𝐴𝑖)), ((𝐵𝑖) − (𝐹𝑖)), ((𝐹𝑖) − (𝐴𝑖))))
4140rnmptss 6299 . . . . . . . . 9 (∀𝑖𝑋 if(((𝐵𝑖) − (𝐹𝑖)) ≤ ((𝐹𝑖) − (𝐴𝑖)), ((𝐵𝑖) − (𝐹𝑖)), ((𝐹𝑖) − (𝐴𝑖))) ∈ ℝ+ → ran (𝑖𝑋 ↦ if(((𝐵𝑖) − (𝐹𝑖)) ≤ ((𝐹𝑖) − (𝐴𝑖)), ((𝐵𝑖) − (𝐹𝑖)), ((𝐹𝑖) − (𝐴𝑖)))) ⊆ ℝ+)
4239, 41syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → ran (𝑖𝑋 ↦ if(((𝐵𝑖) − (𝐹𝑖)) ≤ ((𝐹𝑖) − (𝐴𝑖)), ((𝐵𝑖) − (𝐹𝑖)), ((𝐹𝑖) − (𝐴𝑖)))) ⊆ ℝ+)
4314, 42eqsstrd 3602 . . . . . . 7 (𝜑𝐻 ⊆ ℝ+)
44 ltso 9997 . . . . . . . . 9 < Or ℝ
4544a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → < Or ℝ)
4640rnmptfi 38346 . . . . . . . . . 10 (𝑋 ∈ Fin → ran (𝑖𝑋 ↦ if(((𝐵𝑖) − (𝐹𝑖)) ≤ ((𝐹𝑖) − (𝐴𝑖)), ((𝐵𝑖) − (𝐹𝑖)), ((𝐹𝑖) − (𝐴𝑖)))) ∈ Fin)
471, 46syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ran (𝑖𝑋 ↦ if(((𝐵𝑖) − (𝐹𝑖)) ≤ ((𝐹𝑖) − (𝐴𝑖)), ((𝐵𝑖) − (𝐹𝑖)), ((𝐹𝑖) − (𝐴𝑖)))) ∈ Fin)
4813, 47syl5eqel 2692 . . . . . . . 8 (𝜑𝐻 ∈ Fin)
4938elexd 3187 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖𝑋) → if(((𝐵𝑖) − (𝐹𝑖)) ≤ ((𝐹𝑖) − (𝐴𝑖)), ((𝐵𝑖) − (𝐹𝑖)), ((𝐹𝑖) − (𝐴𝑖))) ∈ V)
50 ioorrnopnlem.n . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑋 ≠ ∅)
514, 49, 40, 50rnmptn0 38408 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ran (𝑖𝑋 ↦ if(((𝐵𝑖) − (𝐹𝑖)) ≤ ((𝐹𝑖) − (𝐴𝑖)), ((𝐵𝑖) − (𝐹𝑖)), ((𝐹𝑖) − (𝐴𝑖)))) ≠ ∅)
5214, 51eqnetrd 2849 . . . . . . . 8 (𝜑𝐻 ≠ ∅)
53 rpssre 11719 . . . . . . . . . 10 + ⊆ ℝ
5453a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ℝ+ ⊆ ℝ)
5543, 54sstrd 3578 . . . . . . . 8 (𝜑𝐻 ⊆ ℝ)
56 fiinfcl 8290 . . . . . . . 8 (( < Or ℝ ∧ (𝐻 ∈ Fin ∧ 𝐻 ≠ ∅ ∧ 𝐻 ⊆ ℝ)) → inf(𝐻, ℝ, < ) ∈ 𝐻)
5745, 48, 52, 55, 56syl13anc 1320 . . . . . . 7 (𝜑 → inf(𝐻, ℝ, < ) ∈ 𝐻)
5843, 57sseldd 3569 . . . . . 6 (𝜑 → inf(𝐻, ℝ, < ) ∈ ℝ+)
5912, 58syl5eqel 2692 . . . . 5 (𝜑𝐸 ∈ ℝ+)
60 rpxr 11716 . . . . 5 (𝐸 ∈ ℝ+𝐸 ∈ ℝ*)
6159, 60syl 17 . . . 4 (𝜑𝐸 ∈ ℝ*)
62 eqid 2610 . . . . 5 (MetOpen‘𝐷) = (MetOpen‘𝐷)
6362blopn 22115 . . . 4 ((𝐷 ∈ (∞Met‘(ℝ ↑𝑚 𝑋)) ∧ 𝐹 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋) ∧ 𝐸 ∈ ℝ*) → (𝐹(ball‘𝐷)𝐸) ∈ (MetOpen‘𝐷))
643, 11, 61, 63syl3anc 1318 . . 3 (𝜑 → (𝐹(ball‘𝐷)𝐸) ∈ (MetOpen‘𝐷))
65 ioorrnopnlem.v . . . . 5 𝑉 = (𝐹(ball‘𝐷)𝐸)
6665a1i 11 . . . 4 (𝜑𝑉 = (𝐹(ball‘𝐷)𝐸))
671rrxtopnfi 39182 . . . . 5 (𝜑 → (TopOpen‘(ℝ^‘𝑋)) = (MetOpen‘(𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋), 𝑔 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋) ↦ (√‘Σ𝑘𝑋 (((𝑓𝑘) − (𝑔𝑘))↑2)))))
682eqcomi 2619 . . . . . . 7 (𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋), 𝑔 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋) ↦ (√‘Σ𝑘𝑋 (((𝑓𝑘) − (𝑔𝑘))↑2))) = 𝐷
6968a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋), 𝑔 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋) ↦ (√‘Σ𝑘𝑋 (((𝑓𝑘) − (𝑔𝑘))↑2))) = 𝐷)
7069fveq2d 6107 . . . . 5 (𝜑 → (MetOpen‘(𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋), 𝑔 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋) ↦ (√‘Σ𝑘𝑋 (((𝑓𝑘) − (𝑔𝑘))↑2)))) = (MetOpen‘𝐷))
7167, 70eqtrd 2644 . . . 4 (𝜑 → (TopOpen‘(ℝ^‘𝑋)) = (MetOpen‘𝐷))
7266, 71eleq12d 2682 . . 3 (𝜑 → (𝑉 ∈ (TopOpen‘(ℝ^‘𝑋)) ↔ (𝐹(ball‘𝐷)𝐸) ∈ (MetOpen‘𝐷)))
7364, 72mpbird 246 . 2 (𝜑𝑉 ∈ (TopOpen‘(ℝ^‘𝑋)))
74 xmetpsmet 21963 . . . . . 6 (𝐷 ∈ (∞Met‘(ℝ ↑𝑚 𝑋)) → 𝐷 ∈ (PsMet‘(ℝ ↑𝑚 𝑋)))
753, 74syl 17 . . . . 5 (𝜑𝐷 ∈ (PsMet‘(ℝ ↑𝑚 𝑋)))
76 blcntrps 22027 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (PsMet‘(ℝ ↑𝑚 𝑋)) ∧ 𝐹 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋) ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) → 𝐹 ∈ (𝐹(ball‘𝐷)𝐸))
7775, 11, 59, 76syl3anc 1318 . . . 4 (𝜑𝐹 ∈ (𝐹(ball‘𝐷)𝐸))
7866eqcomd 2616 . . . 4 (𝜑 → (𝐹(ball‘𝐷)𝐸) = 𝑉)
7977, 78eleqtrd 2690 . . 3 (𝜑𝐹𝑉)
80 nfv 1830 . . . . 5 𝑔𝜑
81 elmapfn 7766 . . . . . . . 8 (𝑔 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋) → 𝑔 Fn 𝑋)
82813ad2ant2 1076 . . . . . . 7 ((𝜑𝑔 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋) ∧ (𝐹𝐷𝑔) < 𝐸) → 𝑔 Fn 𝑋)
83253ad2antl1 1216 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑔 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋) ∧ (𝐹𝐷𝑔) < 𝐸) ∧ 𝑖𝑋) → (𝐴𝑖) ∈ ℝ*)
84263ad2antl1 1216 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑔 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋) ∧ (𝐹𝐷𝑔) < 𝐸) ∧ 𝑖𝑋) → (𝐵𝑖) ∈ ℝ*)
85 simpl2 1058 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑔 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋) ∧ (𝐹𝐷𝑔) < 𝐸) ∧ 𝑖𝑋) → 𝑔 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋))
86 simpr 476 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑔 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋) ∧ (𝐹𝐷𝑔) < 𝐸) ∧ 𝑖𝑋) → 𝑖𝑋)
87 elmapi 7765 . . . . . . . . . . . 12 (𝑔 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋) → 𝑔:𝑋⟶ℝ)
8887adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝑔 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋) ∧ 𝑖𝑋) → 𝑔:𝑋⟶ℝ)
89 simpr 476 . . . . . . . . . . 11 ((𝑔 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋) ∧ 𝑖𝑋) → 𝑖𝑋)
9088, 89ffvelrnd 6268 . . . . . . . . . 10 ((𝑔 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋) ∧ 𝑖𝑋) → (𝑔𝑖) ∈ ℝ)
9185, 86, 90syl2anc 691 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑔 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋) ∧ (𝐹𝐷𝑔) < 𝐸) ∧ 𝑖𝑋) → (𝑔𝑖) ∈ ℝ)
92243ad2antl1 1216 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑔 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋) ∧ (𝐹𝐷𝑔) < 𝐸) ∧ 𝑖𝑋) → (𝐴𝑖) ∈ ℝ)
9353, 59sseldi 3566 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐸 ∈ ℝ)
9493adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖𝑋) → 𝐸 ∈ ℝ)
9521, 94resubcld 10337 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖𝑋) → ((𝐹𝑖) − 𝐸) ∈ ℝ)
96953ad2antl1 1216 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑔 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋) ∧ (𝐹𝐷𝑔) < 𝐸) ∧ 𝑖𝑋) → ((𝐹𝑖) − 𝐸) ∈ ℝ)
9753, 38sseldi 3566 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖𝑋) → if(((𝐵𝑖) − (𝐹𝑖)) ≤ ((𝐹𝑖) − (𝐴𝑖)), ((𝐵𝑖) − (𝐹𝑖)), ((𝐹𝑖) − (𝐴𝑖))) ∈ ℝ)
9812a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝐸 = inf(𝐻, ℝ, < ))
99 infxrrefi 38542 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐻 ⊆ ℝ ∧ 𝐻 ∈ Fin ∧ 𝐻 ≠ ∅) → inf(𝐻, ℝ*, < ) = inf(𝐻, ℝ, < ))
10055, 48, 52, 99syl3anc 1318 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → inf(𝐻, ℝ*, < ) = inf(𝐻, ℝ, < ))
101100eqcomd 2616 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → inf(𝐻, ℝ, < ) = inf(𝐻, ℝ*, < ))
10298, 101eqtrd 2644 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐸 = inf(𝐻, ℝ*, < ))
103102adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑖𝑋) → 𝐸 = inf(𝐻, ℝ*, < ))
104 ressxr 9962 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ℝ ⊆ ℝ*
105104a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ℝ ⊆ ℝ*)
10655, 105sstrd 3578 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝐻 ⊆ ℝ*)
107106adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑖𝑋) → 𝐻 ⊆ ℝ*)
10840elrnmpt1 5295 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑖𝑋 ∧ if(((𝐵𝑖) − (𝐹𝑖)) ≤ ((𝐹𝑖) − (𝐴𝑖)), ((𝐵𝑖) − (𝐹𝑖)), ((𝐹𝑖) − (𝐴𝑖))) ∈ V) → if(((𝐵𝑖) − (𝐹𝑖)) ≤ ((𝐹𝑖) − (𝐴𝑖)), ((𝐵𝑖) − (𝐹𝑖)), ((𝐹𝑖) − (𝐴𝑖))) ∈ ran (𝑖𝑋 ↦ if(((𝐵𝑖) − (𝐹𝑖)) ≤ ((𝐹𝑖) − (𝐴𝑖)), ((𝐵𝑖) − (𝐹𝑖)), ((𝐹𝑖) − (𝐴𝑖)))))
10918, 49, 108syl2anc 691 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑖𝑋) → if(((𝐵𝑖) − (𝐹𝑖)) ≤ ((𝐹𝑖) − (𝐴𝑖)), ((𝐵𝑖) − (𝐹𝑖)), ((𝐹𝑖) − (𝐴𝑖))) ∈ ran (𝑖𝑋 ↦ if(((𝐵𝑖) − (𝐹𝑖)) ≤ ((𝐹𝑖) − (𝐴𝑖)), ((𝐵𝑖) − (𝐹𝑖)), ((𝐹𝑖) − (𝐴𝑖)))))
110109, 13syl6eleqr 2699 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑖𝑋) → if(((𝐵𝑖) − (𝐹𝑖)) ≤ ((𝐹𝑖) − (𝐴𝑖)), ((𝐵𝑖) − (𝐹𝑖)), ((𝐹𝑖) − (𝐴𝑖))) ∈ 𝐻)
111 infxrlb 12036 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐻 ⊆ ℝ* ∧ if(((𝐵𝑖) − (𝐹𝑖)) ≤ ((𝐹𝑖) − (𝐴𝑖)), ((𝐵𝑖) − (𝐹𝑖)), ((𝐹𝑖) − (𝐴𝑖))) ∈ 𝐻) → inf(𝐻, ℝ*, < ) ≤ if(((𝐵𝑖) − (𝐹𝑖)) ≤ ((𝐹𝑖) − (𝐴𝑖)), ((𝐵𝑖) − (𝐹𝑖)), ((𝐹𝑖) − (𝐴𝑖))))
112107, 110, 111syl2anc 691 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑖𝑋) → inf(𝐻, ℝ*, < ) ≤ if(((𝐵𝑖) − (𝐹𝑖)) ≤ ((𝐹𝑖) − (𝐴𝑖)), ((𝐵𝑖) − (𝐹𝑖)), ((𝐹𝑖) − (𝐴𝑖))))
113103, 112eqbrtrd 4605 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖𝑋) → 𝐸 ≤ if(((𝐵𝑖) − (𝐹𝑖)) ≤ ((𝐹𝑖) − (𝐴𝑖)), ((𝐵𝑖) − (𝐹𝑖)), ((𝐹𝑖) − (𝐴𝑖))))
114 min2 11895 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐵𝑖) − (𝐹𝑖)) ∈ ℝ ∧ ((𝐹𝑖) − (𝐴𝑖)) ∈ ℝ) → if(((𝐵𝑖) − (𝐹𝑖)) ≤ ((𝐹𝑖) − (𝐴𝑖)), ((𝐵𝑖) − (𝐹𝑖)), ((𝐹𝑖) − (𝐴𝑖))) ≤ ((𝐹𝑖) − (𝐴𝑖)))
11522, 32, 114syl2anc 691 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖𝑋) → if(((𝐵𝑖) − (𝐹𝑖)) ≤ ((𝐹𝑖) − (𝐴𝑖)), ((𝐵𝑖) − (𝐹𝑖)), ((𝐹𝑖) − (𝐴𝑖))) ≤ ((𝐹𝑖) − (𝐴𝑖)))
11694, 97, 32, 113, 115letrd 10073 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖𝑋) → 𝐸 ≤ ((𝐹𝑖) − (𝐴𝑖)))
11794, 21, 24, 116lesubd 10510 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖𝑋) → (𝐴𝑖) ≤ ((𝐹𝑖) − 𝐸))
1181173ad2antl1 1216 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑔 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋) ∧ (𝐹𝐷𝑔) < 𝐸) ∧ 𝑖𝑋) → (𝐴𝑖) ≤ ((𝐹𝑖) − 𝐸))
11921adantlr 747 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑔 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋)) ∧ 𝑖𝑋) → (𝐹𝑖) ∈ ℝ)
12090adantll 746 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑔 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋)) ∧ 𝑖𝑋) → (𝑔𝑖) ∈ ℝ)
121119, 120resubcld 10337 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑔 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋)) ∧ 𝑖𝑋) → ((𝐹𝑖) − (𝑔𝑖)) ∈ ℝ)
1221213adantl3 1212 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑔 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋) ∧ (𝐹𝐷𝑔) < 𝐸) ∧ 𝑖𝑋) → ((𝐹𝑖) − (𝑔𝑖)) ∈ ℝ)
1231, 2rrndsmet 39198 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐷 ∈ (Met‘(ℝ ↑𝑚 𝑋)))
124123ad2antrr 758 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑔 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋)) ∧ 𝑖𝑋) → 𝐷 ∈ (Met‘(ℝ ↑𝑚 𝑋)))
12511ad2antrr 758 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑔 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋)) ∧ 𝑖𝑋) → 𝐹 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋))
126 simplr 788 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑔 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋)) ∧ 𝑖𝑋) → 𝑔 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋))
127 metcl 21947 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐷 ∈ (Met‘(ℝ ↑𝑚 𝑋)) ∧ 𝐹 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋) ∧ 𝑔 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋)) → (𝐹𝐷𝑔) ∈ ℝ)
128124, 125, 126, 127syl3anc 1318 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑔 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋)) ∧ 𝑖𝑋) → (𝐹𝐷𝑔) ∈ ℝ)
1291283adantl3 1212 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑔 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋) ∧ (𝐹𝐷𝑔) < 𝐸) ∧ 𝑖𝑋) → (𝐹𝐷𝑔) ∈ ℝ)
13094adantlr 747 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑔 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋)) ∧ 𝑖𝑋) → 𝐸 ∈ ℝ)
1311303adantl3 1212 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑔 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋) ∧ (𝐹𝐷𝑔) < 𝐸) ∧ 𝑖𝑋) → 𝐸 ∈ ℝ)
132121recnd 9947 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑔 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋)) ∧ 𝑖𝑋) → ((𝐹𝑖) − (𝑔𝑖)) ∈ ℂ)
133132abscld 14023 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑔 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋)) ∧ 𝑖𝑋) → (abs‘((𝐹𝑖) − (𝑔𝑖))) ∈ ℝ)
134121leabsd 14001 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑔 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋)) ∧ 𝑖𝑋) → ((𝐹𝑖) − (𝑔𝑖)) ≤ (abs‘((𝐹𝑖) − (𝑔𝑖))))
1351ad2antrr 758 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑔 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋)) ∧ 𝑖𝑋) → 𝑋 ∈ Fin)
136 ixpf 7816 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐹X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖)) → 𝐹:𝑋 𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖)))
13710, 136syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝐹:𝑋 𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖)))
1388ralrimiva 2949 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → ∀𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖)) ⊆ ℝ)
139 iunss 4497 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ( 𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖)) ⊆ ℝ ↔ ∀𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖)) ⊆ ℝ)
140138, 139sylibr 223 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖)) ⊆ ℝ)
141137, 140fssd 5970 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝐹:𝑋⟶ℝ)
142141ad2antrr 758 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑔 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋)) ∧ 𝑖𝑋) → 𝐹:𝑋⟶ℝ)
143126, 87syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑔 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋)) ∧ 𝑖𝑋) → 𝑔:𝑋⟶ℝ)
144 simpr 476 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑔 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋)) ∧ 𝑖𝑋) → 𝑖𝑋)
145 eqid 2610 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (dist‘(ℝ^‘𝑋)) = (dist‘(ℝ^‘𝑋))
146135, 142, 143, 144, 145rrnprjdstle 39197 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑔 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋)) ∧ 𝑖𝑋) → (abs‘((𝐹𝑖) − (𝑔𝑖))) ≤ (𝐹(dist‘(ℝ^‘𝑋))𝑔))
147 eqid 2610 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (ℝ^‘𝑋) = (ℝ^‘𝑋)
148 eqid 2610 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (ℝ ↑𝑚 𝑋) = (ℝ ↑𝑚 𝑋)
149147, 148rrxdsfi 39181 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑋 ∈ Fin → (dist‘(ℝ^‘𝑋)) = (𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋), 𝑔 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋) ↦ (√‘Σ𝑘𝑋 (((𝑓𝑘) − (𝑔𝑘))↑2))))
1501, 149syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (dist‘(ℝ^‘𝑋)) = (𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋), 𝑔 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋) ↦ (√‘Σ𝑘𝑋 (((𝑓𝑘) − (𝑔𝑘))↑2))))
151150, 69eqtrd 2644 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (dist‘(ℝ^‘𝑋)) = 𝐷)
152151oveqd 6566 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝐹(dist‘(ℝ^‘𝑋))𝑔) = (𝐹𝐷𝑔))
153152ad2antrr 758 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑔 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋)) ∧ 𝑖𝑋) → (𝐹(dist‘(ℝ^‘𝑋))𝑔) = (𝐹𝐷𝑔))
154146, 153breqtrd 4609 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑔 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋)) ∧ 𝑖𝑋) → (abs‘((𝐹𝑖) − (𝑔𝑖))) ≤ (𝐹𝐷𝑔))
155121, 133, 128, 134, 154letrd 10073 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑔 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋)) ∧ 𝑖𝑋) → ((𝐹𝑖) − (𝑔𝑖)) ≤ (𝐹𝐷𝑔))
1561553adantl3 1212 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑔 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋) ∧ (𝐹𝐷𝑔) < 𝐸) ∧ 𝑖𝑋) → ((𝐹𝑖) − (𝑔𝑖)) ≤ (𝐹𝐷𝑔))
157 simpl3 1059 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑔 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋) ∧ (𝐹𝐷𝑔) < 𝐸) ∧ 𝑖𝑋) → (𝐹𝐷𝑔) < 𝐸)
158122, 129, 131, 156, 157lelttrd 10074 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑔 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋) ∧ (𝐹𝐷𝑔) < 𝐸) ∧ 𝑖𝑋) → ((𝐹𝑖) − (𝑔𝑖)) < 𝐸)
159 ltsub23 10387 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐹𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝑔𝑖) ∈ ℝ ∧ 𝐸 ∈ ℝ) → (((𝐹𝑖) − (𝑔𝑖)) < 𝐸 ↔ ((𝐹𝑖) − 𝐸) < (𝑔𝑖)))
160119, 120, 130, 159syl3anc 1318 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑔 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋)) ∧ 𝑖𝑋) → (((𝐹𝑖) − (𝑔𝑖)) < 𝐸 ↔ ((𝐹𝑖) − 𝐸) < (𝑔𝑖)))
1611603adantl3 1212 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑔 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋) ∧ (𝐹𝐷𝑔) < 𝐸) ∧ 𝑖𝑋) → (((𝐹𝑖) − (𝑔𝑖)) < 𝐸 ↔ ((𝐹𝑖) − 𝐸) < (𝑔𝑖)))
162158, 161mpbid 221 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑔 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋) ∧ (𝐹𝐷𝑔) < 𝐸) ∧ 𝑖𝑋) → ((𝐹𝑖) − 𝐸) < (𝑔𝑖))
16392, 96, 91, 118, 162lelttrd 10074 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑔 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋) ∧ (𝐹𝐷𝑔) < 𝐸) ∧ 𝑖𝑋) → (𝐴𝑖) < (𝑔𝑖))
16421, 94readdcld 9948 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖𝑋) → ((𝐹𝑖) + 𝐸) ∈ ℝ)
1651643ad2antl1 1216 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑔 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋) ∧ (𝐹𝐷𝑔) < 𝐸) ∧ 𝑖𝑋) → ((𝐹𝑖) + 𝐸) ∈ ℝ)
166163ad2antl1 1216 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑔 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋) ∧ (𝐹𝐷𝑔) < 𝐸) ∧ 𝑖𝑋) → (𝐵𝑖) ∈ ℝ)
167120, 119resubcld 10337 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑔 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋)) ∧ 𝑖𝑋) → ((𝑔𝑖) − (𝐹𝑖)) ∈ ℝ)
1681673adantl3 1212 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑔 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋) ∧ (𝐹𝐷𝑔) < 𝐸) ∧ 𝑖𝑋) → ((𝑔𝑖) − (𝐹𝑖)) ∈ ℝ)
169167leabsd 14001 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑔 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋)) ∧ 𝑖𝑋) → ((𝑔𝑖) − (𝐹𝑖)) ≤ (abs‘((𝑔𝑖) − (𝐹𝑖))))
170120recnd 9947 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑔 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋)) ∧ 𝑖𝑋) → (𝑔𝑖) ∈ ℂ)
171119recnd 9947 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑔 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋)) ∧ 𝑖𝑋) → (𝐹𝑖) ∈ ℂ)
172170, 171abssubd 14040 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑔 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋)) ∧ 𝑖𝑋) → (abs‘((𝑔𝑖) − (𝐹𝑖))) = (abs‘((𝐹𝑖) − (𝑔𝑖))))
173169, 172breqtrd 4609 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑔 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋)) ∧ 𝑖𝑋) → ((𝑔𝑖) − (𝐹𝑖)) ≤ (abs‘((𝐹𝑖) − (𝑔𝑖))))
174167, 133, 128, 173, 154letrd 10073 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑔 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋)) ∧ 𝑖𝑋) → ((𝑔𝑖) − (𝐹𝑖)) ≤ (𝐹𝐷𝑔))
1751743adantl3 1212 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑔 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋) ∧ (𝐹𝐷𝑔) < 𝐸) ∧ 𝑖𝑋) → ((𝑔𝑖) − (𝐹𝑖)) ≤ (𝐹𝐷𝑔))
176168, 129, 131, 175, 157lelttrd 10074 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑔 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋) ∧ (𝐹𝐷𝑔) < 𝐸) ∧ 𝑖𝑋) → ((𝑔𝑖) − (𝐹𝑖)) < 𝐸)
1771193adantl3 1212 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑔 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋) ∧ (𝐹𝐷𝑔) < 𝐸) ∧ 𝑖𝑋) → (𝐹𝑖) ∈ ℝ)
17891, 177, 131ltsubadd2d 10504 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑔 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋) ∧ (𝐹𝐷𝑔) < 𝐸) ∧ 𝑖𝑋) → (((𝑔𝑖) − (𝐹𝑖)) < 𝐸 ↔ (𝑔𝑖) < ((𝐹𝑖) + 𝐸)))
179176, 178mpbid 221 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑔 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋) ∧ (𝐹𝐷𝑔) < 𝐸) ∧ 𝑖𝑋) → (𝑔𝑖) < ((𝐹𝑖) + 𝐸))
180 min1 11894 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐵𝑖) − (𝐹𝑖)) ∈ ℝ ∧ ((𝐹𝑖) − (𝐴𝑖)) ∈ ℝ) → if(((𝐵𝑖) − (𝐹𝑖)) ≤ ((𝐹𝑖) − (𝐴𝑖)), ((𝐵𝑖) − (𝐹𝑖)), ((𝐹𝑖) − (𝐴𝑖))) ≤ ((𝐵𝑖) − (𝐹𝑖)))
18122, 32, 180syl2anc 691 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖𝑋) → if(((𝐵𝑖) − (𝐹𝑖)) ≤ ((𝐹𝑖) − (𝐴𝑖)), ((𝐵𝑖) − (𝐹𝑖)), ((𝐹𝑖) − (𝐴𝑖))) ≤ ((𝐵𝑖) − (𝐹𝑖)))
18294, 97, 22, 113, 181letrd 10073 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖𝑋) → 𝐸 ≤ ((𝐵𝑖) − (𝐹𝑖)))
18321, 94, 16leaddsub2d 10508 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖𝑋) → (((𝐹𝑖) + 𝐸) ≤ (𝐵𝑖) ↔ 𝐸 ≤ ((𝐵𝑖) − (𝐹𝑖))))
184182, 183mpbird 246 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖𝑋) → ((𝐹𝑖) + 𝐸) ≤ (𝐵𝑖))
1851843ad2antl1 1216 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑔 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋) ∧ (𝐹𝐷𝑔) < 𝐸) ∧ 𝑖𝑋) → ((𝐹𝑖) + 𝐸) ≤ (𝐵𝑖))
18691, 165, 166, 179, 185ltletrd 10076 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑔 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋) ∧ (𝐹𝐷𝑔) < 𝐸) ∧ 𝑖𝑋) → (𝑔𝑖) < (𝐵𝑖))
18783, 84, 91, 163, 186eliood 38567 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑔 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋) ∧ (𝐹𝐷𝑔) < 𝐸) ∧ 𝑖𝑋) → (𝑔𝑖) ∈ ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖)))
188187ralrimiva 2949 . . . . . . 7 ((𝜑𝑔 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋) ∧ (𝐹𝐷𝑔) < 𝐸) → ∀𝑖𝑋 (𝑔𝑖) ∈ ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖)))
18982, 188jca 553 . . . . . 6 ((𝜑𝑔 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋) ∧ (𝐹𝐷𝑔) < 𝐸) → (𝑔 Fn 𝑋 ∧ ∀𝑖𝑋 (𝑔𝑖) ∈ ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖))))
190 vex 3176 . . . . . . 7 𝑔 ∈ V
191190elixp 7801 . . . . . 6 (𝑔X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖)) ↔ (𝑔 Fn 𝑋 ∧ ∀𝑖𝑋 (𝑔𝑖) ∈ ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖))))
192189, 191sylibr 223 . . . . 5 ((𝜑𝑔 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋) ∧ (𝐹𝐷𝑔) < 𝐸) → 𝑔X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖)))
19380, 75, 11, 61, 192ballss3 38298 . . . 4 (𝜑 → (𝐹(ball‘𝐷)𝐸) ⊆ X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖)))
19466, 193eqsstrd 3602 . . 3 (𝜑𝑉X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖)))
19579, 194jca 553 . 2 (𝜑 → (𝐹𝑉𝑉X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖))))
196 eleq2 2677 . . . 4 (𝑣 = 𝑉 → (𝐹𝑣𝐹𝑉))
197 sseq1 3589 . . . 4 (𝑣 = 𝑉 → (𝑣X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖)) ↔ 𝑉X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖))))
198196, 197anbi12d 743 . . 3 (𝑣 = 𝑉 → ((𝐹𝑣𝑣X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖))) ↔ (𝐹𝑉𝑉X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖)))))
199198rspcev 3282 . 2 ((𝑉 ∈ (TopOpen‘(ℝ^‘𝑋)) ∧ (𝐹𝑉𝑉X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖)))) → ∃𝑣 ∈ (TopOpen‘(ℝ^‘𝑋))(𝐹𝑣𝑣X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖))))
20073, 195, 199syl2anc 691 1 (𝜑 → ∃𝑣 ∈ (TopOpen‘(ℝ^‘𝑋))(𝐹𝑣𝑣X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 195  wa 383  w3a 1031   = wceq 1475  wcel 1977  wne 2780  wral 2896  wrex 2897  Vcvv 3173  wss 3540  c0 3874  ifcif 4036   ciun 4455   class class class wbr 4583  cmpt 4643   Or wor 4958  ran crn 5039   Fn wfn 5799  wf 5800  cfv 5804  (class class class)co 6549  cmpt2 6551  𝑚 cmap 7744  Xcixp 7794  Fincfn 7841  infcinf 8230  cr 9814  0cc0 9815   + caddc 9818  *cxr 9952   < clt 9953  cle 9954  cmin 10145  2c2 10947  +crp 11708  (,)cioo 12046  cexp 12722  csqrt 13821  abscabs 13822  Σcsu 14264  distcds 15777  TopOpenctopn 15905  PsMetcpsmet 19551  ∞Metcxmt 19552  Metcme 19553  ballcbl 19554  MetOpencmopn 19557  ℝ^crrx 22979
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893  ax-addf 9894  ax-mulf 9895
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-of 6795  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-supp 7183  df-tpos 7239  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-ixp 7795  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-fsupp 8159  df-sup 8231  df-inf 8232  df-oi 8298  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-q 11665  df-rp 11709  df-xneg 11822  df-xadd 11823  df-xmul 11824  df-ioo 12050  df-ico 12052  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-seq 12664  df-exp 12723  df-hash 12980  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-clim 14067  df-sum 14265  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-starv 15783  df-sca 15784  df-vsca 15785  df-ip 15786  df-tset 15787  df-ple 15788  df-ds 15791  df-unif 15792  df-hom 15793  df-cco 15794  df-rest 15906  df-topn 15907  df-0g 15925  df-gsum 15926  df-topgen 15927  df-prds 15931  df-pws 15933  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-mhm 17158  df-grp 17248  df-minusg 17249  df-sbg 17250  df-subg 17414  df-ghm 17481  df-cntz 17573  df-cmn 18018  df-abl 18019  df-mgp 18313  df-ur 18325  df-ring 18372  df-cring 18373  df-oppr 18446  df-dvdsr 18464  df-unit 18465  df-invr 18495  df-dvr 18506  df-rnghom 18538  df-drng 18572  df-field 18573  df-subrg 18601  df-staf 18668  df-srng 18669  df-lmod 18688  df-lss 18754  df-sra 18993  df-rgmod 18994  df-psmet 19559  df-xmet 19560  df-met 19561  df-bl 19562  df-mopn 19563  df-cnfld 19568  df-refld 19770  df-dsmm 19895  df-frlm 19910  df-top 20521  df-bases 20522  df-topon 20523  df-nm 22197  df-tng 22199  df-tch 22777  df-rrx 22981
This theorem is referenced by:  ioorrnopn  39201
  Copyright terms: Public domain W3C validator