Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  zltlesub Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem zltlesub 38438
 Description: If an integer 𝑁 is smaller or equal to a real, and we subtract a quantity smaller than 1, then 𝑁 is smaller or equal to the result. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
zltlesub.n (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
zltlesub.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
zltlesub.nlea (𝜑𝑁𝐴)
zltlesub.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
zltlesub.blt1 (𝜑𝐵 < 1)
zltlesub.asb (𝜑 → (𝐴𝐵) ∈ ℤ)
Assertion
Ref Expression
zltlesub (𝜑𝑁 ≤ (𝐴𝐵))

Proof of Theorem zltlesub
StepHypRef Expression
1 zltlesub.n . . . 4 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
21zred 11358 . . 3 (𝜑𝑁 ∈ ℝ)
3 zltlesub.asb . . . . 5 (𝜑 → (𝐴𝐵) ∈ ℤ)
43zred 11358 . . . 4 (𝜑 → (𝐴𝐵) ∈ ℝ)
5 zltlesub.b . . . 4 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
64, 5readdcld 9948 . . 3 (𝜑 → ((𝐴𝐵) + 𝐵) ∈ ℝ)
7 peano2re 10088 . . . 4 ((𝐴𝐵) ∈ ℝ → ((𝐴𝐵) + 1) ∈ ℝ)
84, 7syl 17 . . 3 (𝜑 → ((𝐴𝐵) + 1) ∈ ℝ)
9 zltlesub.nlea . . . 4 (𝜑𝑁𝐴)
10 zltlesub.a . . . . . 6 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
1110recnd 9947 . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
125recnd 9947 . . . . 5 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
1311, 12npcand 10275 . . . 4 (𝜑 → ((𝐴𝐵) + 𝐵) = 𝐴)
149, 13breqtrrd 4611 . . 3 (𝜑𝑁 ≤ ((𝐴𝐵) + 𝐵))
15 1red 9934 . . . 4 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
16 zltlesub.blt1 . . . 4 (𝜑𝐵 < 1)
175, 15, 4, 16ltadd2dd 10075 . . 3 (𝜑 → ((𝐴𝐵) + 𝐵) < ((𝐴𝐵) + 1))
182, 6, 8, 14, 17lelttrd 10074 . 2 (𝜑𝑁 < ((𝐴𝐵) + 1))
19 zleltp1 11305 . . 3 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐴𝐵) ∈ ℤ) → (𝑁 ≤ (𝐴𝐵) ↔ 𝑁 < ((𝐴𝐵) + 1)))
201, 3, 19syl2anc 691 . 2 (𝜑 → (𝑁 ≤ (𝐴𝐵) ↔ 𝑁 < ((𝐴𝐵) + 1)))
2118, 20mpbird 246 1 (𝜑𝑁 ≤ (𝐴𝐵))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∈ wcel 1977   class class class wbr 4583  (class class class)co 6549  ℝcr 9814  1c1 9816   + caddc 9818   < clt 9953   ≤ cle 9954   − cmin 10145  ℤcz 11254 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-n0 11170  df-z 11255 This theorem is referenced by:  fourierdlem65  39064
 Copyright terms: Public domain W3C validator