Theorem faccl 8192

Description: Closure of the factorial function.

Assertion

Ref	Expression
faccl	|- (N e. NN0 -> (!` N) e. NN)

Proof of Theorem faccl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 4681	. . 3 |- (j = 0 -> (!` j) = (!` 0))
2	1	eleq1d 1963	. 2 |- (j = 0 -> ((!` j) e. NN <-> (!` 0) e. NN))
3		fveq2 4681	. . 3 |- (j = k -> (!` j) = (!` k))
4	3	eleq1d 1963	. 2 |- (j = k -> ((!` j) e. NN <-> (!` k) e. NN))
5		fveq2 4681	. . 3 |- (j = (k + 1) -> (!` j) = (!` (k + 1)))
6	5	eleq1d 1963	. 2 |- (j = (k + 1) -> ((!` j) e. NN <-> (!` (k + 1)) e. NN))
7		fveq2 4681	. . 3 |- (j = N -> (!` j) = (!` N))
8	7	eleq1d 1963	. 2 |- (j = N -> ((!` j) e. NN <-> (!` N) e. NN))
9		fac0 8186	. . 3 |- (!` 0) = 1
10		1nn 7117	. . 3 |- 1 e. NN
11	9, 10	eqeltri 1967	. 2 |- (!` 0) e. NN
12		facp1 8188	. . . . 5 |- (k e. NN0 -> (!` (k + 1)) = ((!` k) x. (k + 1)))
13	12	adantl 424	. . . 4 |- (((!` k) e. NN /\ k e. NN0) -> (!` (k + 1)) = ((!` k) x. (k + 1)))
14		nnmulcl 7124	. . . . 5 |- (((!` k) e. NN /\ (k + 1) e. NN) -> ((!` k) x. (k + 1)) e. NN)
15		nn0p1nn 7384	. . . . 5 |- (k e. NN0 -> (k + 1) e. NN)
16	14, 15	sylan2 500	. . . 4 |- (((!` k) e. NN /\ k e. NN0) -> ((!` k) x. (k + 1)) e. NN)
17	13, 16	eqeltrd 1971	. . 3 |- (((!` k) e. NN /\ k e. NN0) -> (!` (k + 1)) e. NN)
18	17	expcom 403	. 2 |- (k e. NN0 -> ((!` k) e. NN -> (!` (k + 1)) e. NN))
19	2, 4, 6, 8, 11, 18	nn0ind 7424	1 |- (N e. NN0 -> (!` N) e. NN)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300  ` cfv 3998  (class class class)co 4884  0cc0 6386  1c1 6387   + caddc 6389   x. cmul 6391  NNcn 6449  NN0cn0 6450  !cfa 8183

This theorem is referenced by:  facne0 8193  facdiv 8194  facndiv 8195  facwordi 8196  faclbnd 8197  faclbnd2 8198  faclbnd3 8199  faclbnd4lem1 8200  faclbnd5 8205  faclbnd6 8206  facavg 8207  bccmpl 8214  bcn0 8215  bcnp11 8217  bcpasc2i 8219  permnn 8225  eftcl 8565  efcltlem1 8566  efcltlem2 8567  ef0lem 8572  reefcli 8579  erelem1 8581  erelem3 8583  efcji 8598  efaddlem3 8602  efaddlem5 8604  efaddlem6 8605  efaddlem15 8614  efaddlem17 8616  efaddlem18 8617  efaddlem19 8618  efaddlem20 8619  efaddlem22 8621  reeftcl 8636  eftabsi 8637  eftlubcl 8638  ef1tllem 8643  ef01tllem1 8645  ef01tllem2 8646  ef01tllem2OLD 8647  eirrlem2 8652  eirrlem3 8653  eirrlem4 8654  effsumlei 8662  absefm1lei 8677  eflegeolem1 8678  infpnlem1 8775  infpnlem2 8776

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-nel 2020  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-mpt 5006  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-iota 5089  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-undef 5556  df-riota 5560  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-mp 6241  df-ltp 6242  df-plpr 6316  df-mpr 6317  df-enr 6318  df-nr 6319  df-plr 6320  df-mr 6321  df-ltr 6322  df-0r 6323  df-1r 6324  df-m1r 6325  df-c 6392  df-0 6393  df-1 6394  df-i 6395  df-r 6396  df-plus 6397  df-mul 6398  df-lt 6399  df-sub 6511  df-neg 6513  df-pnf 6654  df-mnf 6655  df-xr 6656  df-ltxr 6657  df-le 6658  df-n 7108  df-n0 7309  df-z 7345  df-seq1 7721  df-fac 8184

Copyright terms: Public domain