Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  taylply2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem taylply2 23926
 Description: The Taylor polynomial is a polynomial of degree (at most) 𝑁. This version of taylply 23927 shows that the coefficients of 𝑇 are in a subring of the complex numbers. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
taylpfval.s (𝜑𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
taylpfval.f (𝜑𝐹:𝐴⟶ℂ)
taylpfval.a (𝜑𝐴𝑆)
taylpfval.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
taylpfval.b (𝜑𝐵 ∈ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁))
taylpfval.t 𝑇 = (𝑁(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵)
taylply2.1 (𝜑𝐷 ∈ (SubRing‘ℂfld))
taylply2.2 (𝜑𝐵𝐷)
taylply2.3 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) ∈ 𝐷)
Assertion
Ref Expression
taylply2 (𝜑 → (𝑇 ∈ (Poly‘𝐷) ∧ (deg‘𝑇) ≤ 𝑁))
Distinct variable groups:   𝐵,𝑘   𝑘,𝐹   𝑘,𝑁   𝜑,𝑘   𝐷,𝑘   𝑆,𝑘
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑘)   𝑇(𝑘)

Proof of Theorem taylply2
Dummy variables 𝑢 𝑣 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 taylpfval.s . . . . 5 (𝜑𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
2 taylpfval.f . . . . 5 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℂ)
3 taylpfval.a . . . . 5 (𝜑𝐴𝑆)
4 taylpfval.n . . . . 5 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
5 taylpfval.b . . . . 5 (𝜑𝐵 ∈ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁))
6 taylpfval.t . . . . 5 𝑇 = (𝑁(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵)
71, 2, 3, 4, 5, 6taylpfval 23923 . . . 4 (𝜑𝑇 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · ((𝑥𝐵)↑𝑘))))
8 simpr 476 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → 𝑥 ∈ ℂ)
9 cnex 9896 . . . . . . . . . . . . 13 ℂ ∈ V
109a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ℂ ∈ V)
11 elpm2r 7761 . . . . . . . . . . . 12 (((ℂ ∈ V ∧ 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ}) ∧ (𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆)) → 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆))
1210, 1, 2, 3, 11syl22anc 1319 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆))
13 dvnbss 23497 . . . . . . . . . . 11 ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁) ⊆ dom 𝐹)
141, 12, 4, 13syl3anc 1318 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁) ⊆ dom 𝐹)
15 fdm 5964 . . . . . . . . . . 11 (𝐹:𝐴⟶ℂ → dom 𝐹 = 𝐴)
162, 15syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → dom 𝐹 = 𝐴)
1714, 16sseqtrd 3604 . . . . . . . . 9 (𝜑 → dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁) ⊆ 𝐴)
18 recnprss 23474 . . . . . . . . . . 11 (𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} → 𝑆 ⊆ ℂ)
191, 18syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑆 ⊆ ℂ)
203, 19sstrd 3578 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 ⊆ ℂ)
2117, 20sstrd 3578 . . . . . . . 8 (𝜑 → dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁) ⊆ ℂ)
2221, 5sseldd 3569 . . . . . . 7 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
2322adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → 𝐵 ∈ ℂ)
248, 23subcld 10271 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → (𝑥𝐵) ∈ ℂ)
25 df-idp 23749 . . . . . . . 8 Xp = ( I ↾ ℂ)
26 mptresid 5375 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝑥) = ( I ↾ ℂ)
2725, 26eqtr4i 2635 . . . . . . 7 Xp = (𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝑥)
2827a1i 11 . . . . . 6 (𝜑Xp = (𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝑥))
29 fconstmpt 5085 . . . . . . 7 (ℂ × {𝐵}) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝐵)
3029a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → (ℂ × {𝐵}) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝐵))
3110, 8, 23, 28, 30offval2 6812 . . . . 5 (𝜑 → (Xp𝑓 − (ℂ × {𝐵})) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝐵)))
32 eqidd 2611 . . . . 5 (𝜑 → (𝑦 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (𝑦𝑘))) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (𝑦𝑘))))
33 oveq1 6556 . . . . . . 7 (𝑦 = (𝑥𝐵) → (𝑦𝑘) = ((𝑥𝐵)↑𝑘))
3433oveq2d 6565 . . . . . 6 (𝑦 = (𝑥𝐵) → (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (𝑦𝑘)) = (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · ((𝑥𝐵)↑𝑘)))
3534sumeq2sdv 14282 . . . . 5 (𝑦 = (𝑥𝐵) → Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (𝑦𝑘)) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · ((𝑥𝐵)↑𝑘)))
3624, 31, 32, 35fmptco 6303 . . . 4 (𝜑 → ((𝑦 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (𝑦𝑘))) ∘ (Xp𝑓 − (ℂ × {𝐵}))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · ((𝑥𝐵)↑𝑘))))
377, 36eqtr4d 2647 . . 3 (𝜑𝑇 = ((𝑦 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (𝑦𝑘))) ∘ (Xp𝑓 − (ℂ × {𝐵}))))
38 taylply2.1 . . . . . 6 (𝜑𝐷 ∈ (SubRing‘ℂfld))
39 cnfldbas 19571 . . . . . . 7 ℂ = (Base‘ℂfld)
4039subrgss 18604 . . . . . 6 (𝐷 ∈ (SubRing‘ℂfld) → 𝐷 ⊆ ℂ)
4138, 40syl 17 . . . . 5 (𝜑𝐷 ⊆ ℂ)
42 taylply2.3 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) ∈ 𝐷)
4341, 4, 42elplyd 23762 . . . 4 (𝜑 → (𝑦 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (𝑦𝑘))) ∈ (Poly‘𝐷))
44 cnfld1 19590 . . . . . . . 8 1 = (1r‘ℂfld)
4544subrg1cl 18611 . . . . . . 7 (𝐷 ∈ (SubRing‘ℂfld) → 1 ∈ 𝐷)
4638, 45syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → 1 ∈ 𝐷)
47 plyid 23769 . . . . . 6 ((𝐷 ⊆ ℂ ∧ 1 ∈ 𝐷) → Xp ∈ (Poly‘𝐷))
4841, 46, 47syl2anc 691 . . . . 5 (𝜑Xp ∈ (Poly‘𝐷))
49 taylply2.2 . . . . . 6 (𝜑𝐵𝐷)
50 plyconst 23766 . . . . . 6 ((𝐷 ⊆ ℂ ∧ 𝐵𝐷) → (ℂ × {𝐵}) ∈ (Poly‘𝐷))
5141, 49, 50syl2anc 691 . . . . 5 (𝜑 → (ℂ × {𝐵}) ∈ (Poly‘𝐷))
52 subrgsubg 18609 . . . . . . 7 (𝐷 ∈ (SubRing‘ℂfld) → 𝐷 ∈ (SubGrp‘ℂfld))
5338, 52syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝐷 ∈ (SubGrp‘ℂfld))
54 cnfldadd 19572 . . . . . . . 8 + = (+g‘ℂfld)
5554subgcl 17427 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ (SubGrp‘ℂfld) ∧ 𝑢𝐷𝑣𝐷) → (𝑢 + 𝑣) ∈ 𝐷)
56553expb 1258 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (SubGrp‘ℂfld) ∧ (𝑢𝐷𝑣𝐷)) → (𝑢 + 𝑣) ∈ 𝐷)
5753, 56sylan 487 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑢𝐷𝑣𝐷)) → (𝑢 + 𝑣) ∈ 𝐷)
58 cnfldmul 19573 . . . . . . . 8 · = (.r‘ℂfld)
5958subrgmcl 18615 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ 𝑢𝐷𝑣𝐷) → (𝑢 · 𝑣) ∈ 𝐷)
60593expb 1258 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ (𝑢𝐷𝑣𝐷)) → (𝑢 · 𝑣) ∈ 𝐷)
6138, 60sylan 487 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑢𝐷𝑣𝐷)) → (𝑢 · 𝑣) ∈ 𝐷)
62 ax-1cn 9873 . . . . . . 7 1 ∈ ℂ
63 cnfldneg 19591 . . . . . . 7 (1 ∈ ℂ → ((invg‘ℂfld)‘1) = -1)
6462, 63ax-mp 5 . . . . . 6 ((invg‘ℂfld)‘1) = -1
65 eqid 2610 . . . . . . . 8 (invg‘ℂfld) = (invg‘ℂfld)
6665subginvcl 17426 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ (SubGrp‘ℂfld) ∧ 1 ∈ 𝐷) → ((invg‘ℂfld)‘1) ∈ 𝐷)
6753, 46, 66syl2anc 691 . . . . . 6 (𝜑 → ((invg‘ℂfld)‘1) ∈ 𝐷)
6864, 67syl5eqelr 2693 . . . . 5 (𝜑 → -1 ∈ 𝐷)
6948, 51, 57, 61, 68plysub 23779 . . . 4 (𝜑 → (Xp𝑓 − (ℂ × {𝐵})) ∈ (Poly‘𝐷))
7043, 69, 57, 61plyco 23801 . . 3 (𝜑 → ((𝑦 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (𝑦𝑘))) ∘ (Xp𝑓 − (ℂ × {𝐵}))) ∈ (Poly‘𝐷))
7137, 70eqeltrd 2688 . 2 (𝜑𝑇 ∈ (Poly‘𝐷))
7237fveq2d 6107 . . . 4 (𝜑 → (deg‘𝑇) = (deg‘((𝑦 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (𝑦𝑘))) ∘ (Xp𝑓 − (ℂ × {𝐵})))))
73 eqid 2610 . . . . 5 (deg‘(𝑦 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (𝑦𝑘)))) = (deg‘(𝑦 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (𝑦𝑘))))
74 eqid 2610 . . . . 5 (deg‘(Xp𝑓 − (ℂ × {𝐵}))) = (deg‘(Xp𝑓 − (ℂ × {𝐵})))
7573, 74, 43, 69dgrco 23835 . . . 4 (𝜑 → (deg‘((𝑦 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (𝑦𝑘))) ∘ (Xp𝑓 − (ℂ × {𝐵})))) = ((deg‘(𝑦 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (𝑦𝑘)))) · (deg‘(Xp𝑓 − (ℂ × {𝐵})))))
76 eqid 2610 . . . . . . . . 9 (Xp𝑓 − (ℂ × {𝐵})) = (Xp𝑓 − (ℂ × {𝐵}))
7776plyremlem 23863 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ ℂ → ((Xp𝑓 − (ℂ × {𝐵})) ∈ (Poly‘ℂ) ∧ (deg‘(Xp𝑓 − (ℂ × {𝐵}))) = 1 ∧ ((Xp𝑓 − (ℂ × {𝐵})) “ {0}) = {𝐵}))
7822, 77syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → ((Xp𝑓 − (ℂ × {𝐵})) ∈ (Poly‘ℂ) ∧ (deg‘(Xp𝑓 − (ℂ × {𝐵}))) = 1 ∧ ((Xp𝑓 − (ℂ × {𝐵})) “ {0}) = {𝐵}))
7978simp2d 1067 . . . . . 6 (𝜑 → (deg‘(Xp𝑓 − (ℂ × {𝐵}))) = 1)
8079oveq2d 6565 . . . . 5 (𝜑 → ((deg‘(𝑦 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (𝑦𝑘)))) · (deg‘(Xp𝑓 − (ℂ × {𝐵})))) = ((deg‘(𝑦 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (𝑦𝑘)))) · 1))
81 dgrcl 23793 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (𝑦𝑘))) ∈ (Poly‘𝐷) → (deg‘(𝑦 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (𝑦𝑘)))) ∈ ℕ0)
8243, 81syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (deg‘(𝑦 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (𝑦𝑘)))) ∈ ℕ0)
8382nn0cnd 11230 . . . . . 6 (𝜑 → (deg‘(𝑦 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (𝑦𝑘)))) ∈ ℂ)
8483mulid1d 9936 . . . . 5 (𝜑 → ((deg‘(𝑦 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (𝑦𝑘)))) · 1) = (deg‘(𝑦 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (𝑦𝑘)))))
8580, 84eqtrd 2644 . . . 4 (𝜑 → ((deg‘(𝑦 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (𝑦𝑘)))) · (deg‘(Xp𝑓 − (ℂ × {𝐵})))) = (deg‘(𝑦 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (𝑦𝑘)))))
8672, 75, 853eqtrd 2648 . . 3 (𝜑 → (deg‘𝑇) = (deg‘(𝑦 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (𝑦𝑘)))))
871adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
8812adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆))
89 elfznn0 12302 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ (0...𝑁) → 𝑘 ∈ ℕ0)
9089adantl 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
91 dvnf 23496 . . . . . . 7 ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘):dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)⟶ℂ)
9287, 88, 90, 91syl3anc 1318 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘):dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)⟶ℂ)
93 simpr 476 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝑘 ∈ (0...𝑁))
94 dvn2bss 23499 . . . . . . . 8 ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁) ⊆ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘))
9587, 88, 93, 94syl3anc 1318 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁) ⊆ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘))
965adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝐵 ∈ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁))
9795, 96sseldd 3569 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝐵 ∈ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘))
9892, 97ffvelrnd 6268 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) ∈ ℂ)
99 faccl 12932 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ℕ0 → (!‘𝑘) ∈ ℕ)
10090, 99syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (!‘𝑘) ∈ ℕ)
101100nncnd 10913 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (!‘𝑘) ∈ ℂ)
102100nnne0d 10942 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (!‘𝑘) ≠ 0)
10398, 101, 102divcld 10680 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) ∈ ℂ)
10443, 4, 103, 32dgrle 23803 . . 3 (𝜑 → (deg‘(𝑦 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (𝑦𝑘)))) ≤ 𝑁)
10586, 104eqbrtrd 4605 . 2 (𝜑 → (deg‘𝑇) ≤ 𝑁)
10671, 105jca 553 1 (𝜑 → (𝑇 ∈ (Poly‘𝐷) ∧ (deg‘𝑇) ≤ 𝑁))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  Vcvv 3173   ⊆ wss 3540  {csn 4125  {cpr 4127   class class class wbr 4583   ↦ cmpt 4643   I cid 4948   × cxp 5036  ◡ccnv 5037  dom cdm 5038   ↾ cres 5040   “ cima 5041   ∘ ccom 5042  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549   ∘𝑓 cof 6793   ↑pm cpm 7745  ℂcc 9813  ℝcr 9814  0cc0 9815  1c1 9816   + caddc 9818   · cmul 9820   ≤ cle 9954   − cmin 10145  -cneg 10146   / cdiv 10563  ℕcn 10897  ℕ0cn0 11169  ...cfz 12197  ↑cexp 12722  !cfa 12922  Σcsu 14264  invgcminusg 17246  SubGrpcsubg 17411  SubRingcsubrg 18599  ℂfldccnfld 19567   D𝑛 cdvn 23434  Polycply 23744  Xpcidp 23745  degcdgr 23747   Tayl ctayl 23911 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893  ax-addf 9894  ax-mulf 9895 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-iin 4458  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-of 6795  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-supp 7183  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-fsupp 8159  df-fi 8200  df-sup 8231  df-inf 8232  df-oi 8298  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-q 11665  df-rp 11709  df-xneg 11822  df-xadd 11823  df-xmul 11824  df-icc 12053  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-fl 12455  df-seq 12664  df-exp 12723  df-fac 12923  df-hash 12980  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-clim 14067  df-rlim 14068  df-sum 14265  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-starv 15783  df-tset 15787  df-ple 15788  df-ds 15791  df-unif 15792  df-rest 15906  df-topn 15907  df-0g 15925  df-gsum 15926  df-topgen 15927  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-grp 17248  df-minusg 17249  df-subg 17414  df-cntz 17573  df-cmn 18018  df-abl 18019  df-mgp 18313  df-ur 18325  df-ring 18372  df-cring 18373  df-subrg 18601  df-psmet 19559  df-xmet 19560  df-met 19561  df-bl 19562  df-mopn 19563  df-fbas 19564  df-fg 19565  df-cnfld 19568  df-top 20521  df-bases 20522  df-topon 20523  df-topsp 20524  df-cld 20633  df-ntr 20634  df-cls 20635  df-nei 20712  df-lp 20750  df-perf 20751  df-cnp 20842  df-haus 20929  df-fil 21460  df-fm 21552  df-flim 21553  df-flf 21554  df-tsms 21740  df-xms 21935  df-ms 21936  df-0p 23243  df-limc 23436  df-dv 23437  df-dvn 23438  df-ply 23748  df-idp 23749  df-coe 23750  df-dgr 23751  df-tayl 23913 This theorem is referenced by:  taylply  23927  taylthlem2  23932
 Copyright terms: Public domain W3C validator