Theorem 4bc2eq6 12978

Description: The value of four choose two. (Contributed by Scott Fenton, 9-Jan-2017.)

Assertion

Ref	Expression
4bc2eq6	⊢ (4C2) = 6

Proof of Theorem 4bc2eq6

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0z 11265	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℤ
2		4z 11288	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℤ
3		2z 11286	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℤ
4	1, 2, 3	3pm3.2i 1232	. . . 4 ⊢ (0 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ)
5		0le2 10988	. . . . 5 ⊢ 0 ≤ 2
6		2re 10967	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℝ
7		4re 10974	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℝ
8		2lt4 11075	. . . . . 6 ⊢ 2 < 4
9	6, 7, 8	ltleii 10039	. . . . 5 ⊢ 2 ≤ 4
10	5, 9	pm3.2i 470	. . . 4 ⊢ (0 ≤ 2 ∧ 2 ≤ 4)
11		elfz4 12206	. . . 4 ⊢ (((0 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 2 ∧ 2 ≤ 4)) → 2 ∈ (0...4))
12	4, 10, 11	mp2an 704	. . 3 ⊢ 2 ∈ (0...4)
13		bcval2 12954	. . 3 ⊢ (2 ∈ (0...4) → (4C2) = ((!‘4) / ((!‘(4 − 2)) · (!‘2))))
14	12, 13	ax-mp 5	. 2 ⊢ (4C2) = ((!‘4) / ((!‘(4 − 2)) · (!‘2)))
15		3nn0 11187	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℕ0
16		facp1 12927	. . . . . 6 ⊢ (3 ∈ ℕ0 → (!‘(3 + 1)) = ((!‘3) · (3 + 1)))
17	15, 16	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (!‘(3 + 1)) = ((!‘3) · (3 + 1))
18		df-4 10958	. . . . . 6 ⊢ 4 = (3 + 1)
19	18	fveq2i 6106	. . . . 5 ⊢ (!‘4) = (!‘(3 + 1))
20	18	oveq2i 6560	. . . . 5 ⊢ ((!‘3) · 4) = ((!‘3) · (3 + 1))
21	17, 19, 20	3eqtr4i 2642	. . . 4 ⊢ (!‘4) = ((!‘3) · 4)
22		4cn 10975	. . . . . . . . 9 ⊢ 4 ∈ ℂ
23		2cn 10968	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℂ
24		2p2e4 11021	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 + 2) = 4
25	22, 23, 23, 24	subaddrii 10249	. . . . . . . 8 ⊢ (4 − 2) = 2
26	25	fveq2i 6106	. . . . . . 7 ⊢ (!‘(4 − 2)) = (!‘2)
27		fac2 12928	. . . . . . 7 ⊢ (!‘2) = 2
28	26, 27	eqtri 2632	. . . . . 6 ⊢ (!‘(4 − 2)) = 2
29	28, 27	oveq12i 6561	. . . . 5 ⊢ ((!‘(4 − 2)) · (!‘2)) = (2 · 2)
30		2t2e4 11054	. . . . 5 ⊢ (2 · 2) = 4
31	29, 30	eqtri 2632	. . . 4 ⊢ ((!‘(4 − 2)) · (!‘2)) = 4
32	21, 31	oveq12i 6561	. . 3 ⊢ ((!‘4) / ((!‘(4 − 2)) · (!‘2))) = (((!‘3) · 4) / 4)
33		faccl 12932	. . . . . . 7 ⊢ (3 ∈ ℕ0 → (!‘3) ∈ ℕ)
34	15, 33	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (!‘3) ∈ ℕ
35	34	nncni 10907	. . . . 5 ⊢ (!‘3) ∈ ℂ
36		4ne0 10994	. . . . 5 ⊢ 4 ≠ 0
37	35, 22, 36	divcan4i 10651	. . . 4 ⊢ (((!‘3) · 4) / 4) = (!‘3)
38		fac3 12929	. . . 4 ⊢ (!‘3) = 6
39	37, 38	eqtri 2632	. . 3 ⊢ (((!‘3) · 4) / 4) = 6
40	32, 39	eqtri 2632	. 2 ⊢ ((!‘4) / ((!‘(4 − 2)) · (!‘2))) = 6
41	14, 40	eqtri 2632	1 ⊢ (4C2) = 6

Syntax hints:   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   class class class wbr 4583  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  0cc0 9815  1c1 9816   + caddc 9818   · cmul 9820   ≤ cle 9954   − cmin 10145   / cdiv 10563  ℕcn 10897  2c2 10947  3c3 10948  4c4 10949  6c6 10951  ℕ₀cn0 11169  ℤcz 11254  ...cfz 12197  !cfa 12922  Ccbc 12951

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-seq 12664  df-fac 12923  df-bc 12952

This theorem is referenced by:  bpoly4  14629  ex-bc  26701