Users' Mathboxes Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  4bc2eq6 Structured version   Unicode version

Theorem 4bc2eq6 28985
Description: The value of four choose two. (Contributed by Scott Fenton, 9-Jan-2017.)
Assertion
Ref Expression
4bc2eq6  |-  ( 4  _C  2 )  =  6

Proof of Theorem 4bc2eq6
StepHypRef Expression
1 0z 10881 . . . . 5  |-  0  e.  ZZ
2 4z 10904 . . . . 5  |-  4  e.  ZZ
3 2z 10902 . . . . 5  |-  2  e.  ZZ
41, 2, 33pm3.2i 1175 . . . 4  |-  ( 0  e.  ZZ  /\  4  e.  ZZ  /\  2  e.  ZZ )
5 0le2 10632 . . . . 5  |-  0  <_  2
6 2re 10611 . . . . . 6  |-  2  e.  RR
7 4re 10618 . . . . . 6  |-  4  e.  RR
8 2lt4 10712 . . . . . 6  |-  2  <  4
96, 7, 8ltleii 9710 . . . . 5  |-  2  <_  4
105, 9pm3.2i 455 . . . 4  |-  ( 0  <_  2  /\  2  <_  4 )
11 elfz4 11690 . . . 4  |-  ( ( ( 0  e.  ZZ  /\  4  e.  ZZ  /\  2  e.  ZZ )  /\  ( 0  <_  2  /\  2  <_  4 ) )  ->  2  e.  ( 0 ... 4
) )
124, 10, 11mp2an 672 . . 3  |-  2  e.  ( 0 ... 4
)
13 bcval2 12362 . . 3  |-  ( 2  e.  ( 0 ... 4 )  ->  (
4  _C  2 )  =  ( ( ! `
 4 )  / 
( ( ! `  ( 4  -  2 ) )  x.  ( ! `  2 )
) ) )
1412, 13ax-mp 5 . 2  |-  ( 4  _C  2 )  =  ( ( ! ` 
4 )  /  (
( ! `  (
4  -  2 ) )  x.  ( ! `
 2 ) ) )
15 3nn0 10819 . . . . . 6  |-  3  e.  NN0
16 facp1 12337 . . . . . 6  |-  ( 3  e.  NN0  ->  ( ! `
 ( 3  +  1 ) )  =  ( ( ! ` 
3 )  x.  (
3  +  1 ) ) )
1715, 16ax-mp 5 . . . . 5  |-  ( ! `
 ( 3  +  1 ) )  =  ( ( ! ` 
3 )  x.  (
3  +  1 ) )
18 df-4 10602 . . . . . 6  |-  4  =  ( 3  +  1 )
1918fveq2i 5859 . . . . 5  |-  ( ! `
 4 )  =  ( ! `  (
3  +  1 ) )
2018oveq2i 6292 . . . . 5  |-  ( ( ! `  3 )  x.  4 )  =  ( ( ! ` 
3 )  x.  (
3  +  1 ) )
2117, 19, 203eqtr4i 2482 . . . 4  |-  ( ! `
 4 )  =  ( ( ! ` 
3 )  x.  4 )
22 4cn 10619 . . . . . . . . 9  |-  4  e.  CC
23 2cn 10612 . . . . . . . . 9  |-  2  e.  CC
24 2p2e4 10659 . . . . . . . . 9  |-  ( 2  +  2 )  =  4
2522, 23, 23, 24subaddrii 9914 . . . . . . . 8  |-  ( 4  -  2 )  =  2
2625fveq2i 5859 . . . . . . 7  |-  ( ! `
 ( 4  -  2 ) )  =  ( ! `  2
)
27 fac2 12338 . . . . . . 7  |-  ( ! `
 2 )  =  2
2826, 27eqtri 2472 . . . . . 6  |-  ( ! `
 ( 4  -  2 ) )  =  2
2928, 27oveq12i 6293 . . . . 5  |-  ( ( ! `  ( 4  -  2 ) )  x.  ( ! ` 
2 ) )  =  ( 2  x.  2 )
30 2t2e4 10691 . . . . 5  |-  ( 2  x.  2 )  =  4
3129, 30eqtri 2472 . . . 4  |-  ( ( ! `  ( 4  -  2 ) )  x.  ( ! ` 
2 ) )  =  4
3221, 31oveq12i 6293 . . 3  |-  ( ( ! `  4 )  /  ( ( ! `
 ( 4  -  2 ) )  x.  ( ! `  2
) ) )  =  ( ( ( ! `
 3 )  x.  4 )  /  4
)
33 faccl 12342 . . . . . . 7  |-  ( 3  e.  NN0  ->  ( ! `
 3 )  e.  NN )
3415, 33ax-mp 5 . . . . . 6  |-  ( ! `
 3 )  e.  NN
3534nncni 10552 . . . . 5  |-  ( ! `
 3 )  e.  CC
36 4ne0 10638 . . . . 5  |-  4  =/=  0
3735, 22, 36divcan4i 10297 . . . 4  |-  ( ( ( ! `  3
)  x.  4 )  /  4 )  =  ( ! `  3
)
38 fac3 12339 . . . 4  |-  ( ! `
 3 )  =  6
3937, 38eqtri 2472 . . 3  |-  ( ( ( ! `  3
)  x.  4 )  /  4 )  =  6
4032, 39eqtri 2472 . 2  |-  ( ( ! `  4 )  /  ( ( ! `
 ( 4  -  2 ) )  x.  ( ! `  2
) ) )  =  6
4114, 40eqtri 2472 1  |-  ( 4  _C  2 )  =  6
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    /\ wa 369    /\ w3a 974    = wceq 1383    e. wcel 1804   class class class wbr 4437   ` cfv 5578  (class class class)co 6281   0cc0 9495   1c1 9496    + caddc 9498    x. cmul 9500    <_ cle 9632    - cmin 9810    / cdiv 10212   NNcn 10542   2c2 10591   3c3 10592   4c4 10593   6c6 10595   NN0cn0 10801   ZZcz 10870   ...cfz 11681   !cfa 12332    _C cbc 12359
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-cnex 9551  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571  ax-pre-mulgt0 9572
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rmo 2801  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-iun 4317  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-er 7313  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-sub 9812  df-neg 9813  df-div 10213  df-nn 10543  df-2 10600  df-3 10601  df-4 10602  df-5 10603  df-6 10604  df-n0 10802  df-z 10871  df-uz 11091  df-fz 11682  df-seq 12087  df-fac 12333  df-bc 12360
This theorem is referenced by:  bpoly4  29796
  Copyright terms: Public domain W3C validator