Users' Mathboxes Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  4bc2eq6 Structured version   Unicode version

Theorem 4bc2eq6 27238
Description: The value of four choose two. (Contributed by Scott Fenton, 9-Jan-2017.)
Assertion
Ref Expression
4bc2eq6  |-  ( 4  _C  2 )  =  6

Proof of Theorem 4bc2eq6
StepHypRef Expression
1 0z 10645 . . . . 5  |-  0  e.  ZZ
2 4nn 10469 . . . . . 6  |-  4  e.  NN
32nnzi 10658 . . . . 5  |-  4  e.  ZZ
4 2z 10666 . . . . 5  |-  2  e.  ZZ
51, 3, 43pm3.2i 1159 . . . 4  |-  ( 0  e.  ZZ  /\  4  e.  ZZ  /\  2  e.  ZZ )
6 0le2 10400 . . . . 5  |-  0  <_  2
7 2re 10379 . . . . . 6  |-  2  e.  RR
8 4re 10386 . . . . . 6  |-  4  e.  RR
9 2lt4 10480 . . . . . 6  |-  2  <  4
107, 8, 9ltleii 9485 . . . . 5  |-  2  <_  4
116, 10pm3.2i 452 . . . 4  |-  ( 0  <_  2  /\  2  <_  4 )
12 elfz4 11433 . . . 4  |-  ( ( ( 0  e.  ZZ  /\  4  e.  ZZ  /\  2  e.  ZZ )  /\  ( 0  <_  2  /\  2  <_  4 ) )  ->  2  e.  ( 0 ... 4
) )
135, 11, 12mp2an 665 . . 3  |-  2  e.  ( 0 ... 4
)
14 bcval2 12065 . . 3  |-  ( 2  e.  ( 0 ... 4 )  ->  (
4  _C  2 )  =  ( ( ! `
 4 )  / 
( ( ! `  ( 4  -  2 ) )  x.  ( ! `  2 )
) ) )
1513, 14ax-mp 5 . 2  |-  ( 4  _C  2 )  =  ( ( ! ` 
4 )  /  (
( ! `  (
4  -  2 ) )  x.  ( ! `
 2 ) ) )
16 3nn0 10585 . . . . . 6  |-  3  e.  NN0
17 facp1 12040 . . . . . 6  |-  ( 3  e.  NN0  ->  ( ! `
 ( 3  +  1 ) )  =  ( ( ! ` 
3 )  x.  (
3  +  1 ) ) )
1816, 17ax-mp 5 . . . . 5  |-  ( ! `
 ( 3  +  1 ) )  =  ( ( ! ` 
3 )  x.  (
3  +  1 ) )
19 df-4 10370 . . . . . 6  |-  4  =  ( 3  +  1 )
2019fveq2i 5682 . . . . 5  |-  ( ! `
 4 )  =  ( ! `  (
3  +  1 ) )
2119oveq2i 6091 . . . . 5  |-  ( ( ! `  3 )  x.  4 )  =  ( ( ! ` 
3 )  x.  (
3  +  1 ) )
2218, 20, 213eqtr4i 2463 . . . 4  |-  ( ! `
 4 )  =  ( ( ! ` 
3 )  x.  4 )
23 4cn 10387 . . . . . . . . 9  |-  4  e.  CC
24 2cn 10380 . . . . . . . . 9  |-  2  e.  CC
25 2p2e4 10427 . . . . . . . . 9  |-  ( 2  +  2 )  =  4
2623, 24, 24, 25subaddrii 9685 . . . . . . . 8  |-  ( 4  -  2 )  =  2
2726fveq2i 5682 . . . . . . 7  |-  ( ! `
 ( 4  -  2 ) )  =  ( ! `  2
)
28 fac2 12041 . . . . . . 7  |-  ( ! `
 2 )  =  2
2927, 28eqtri 2453 . . . . . 6  |-  ( ! `
 ( 4  -  2 ) )  =  2
3029, 28oveq12i 6092 . . . . 5  |-  ( ( ! `  ( 4  -  2 ) )  x.  ( ! ` 
2 ) )  =  ( 2  x.  2 )
31 2t2e4 10459 . . . . 5  |-  ( 2  x.  2 )  =  4
3230, 31eqtri 2453 . . . 4  |-  ( ( ! `  ( 4  -  2 ) )  x.  ( ! ` 
2 ) )  =  4
3322, 32oveq12i 6092 . . 3  |-  ( ( ! `  4 )  /  ( ( ! `
 ( 4  -  2 ) )  x.  ( ! `  2
) ) )  =  ( ( ( ! `
 3 )  x.  4 )  /  4
)
34 faccl 12045 . . . . . . 7  |-  ( 3  e.  NN0  ->  ( ! `
 3 )  e.  NN )
3516, 34ax-mp 5 . . . . . 6  |-  ( ! `
 3 )  e.  NN
3635nncni 10320 . . . . 5  |-  ( ! `
 3 )  e.  CC
37 4ne0 10406 . . . . 5  |-  4  =/=  0
3836, 23, 37divcan4i 10066 . . . 4  |-  ( ( ( ! `  3
)  x.  4 )  /  4 )  =  ( ! `  3
)
39 fac3 12042 . . . 4  |-  ( ! `
 3 )  =  6
4038, 39eqtri 2453 . . 3  |-  ( ( ( ! `  3
)  x.  4 )  /  4 )  =  6
4133, 40eqtri 2453 . 2  |-  ( ( ! `  4 )  /  ( ( ! `
 ( 4  -  2 ) )  x.  ( ! `  2
) ) )  =  6
4215, 41eqtri 2453 1  |-  ( 4  _C  2 )  =  6
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    /\ wa 369    /\ w3a 958    = wceq 1362    e. wcel 1755   class class class wbr 4280   ` cfv 5406  (class class class)co 6080   0cc0 9270   1c1 9271    + caddc 9273    x. cmul 9275    <_ cle 9407    - cmin 9583    / cdiv 9981   NNcn 10310   2c2 10359   3c3 10360   4c4 10361   6c6 10363   NN0cn0 10567   ZZcz 10634   ...cfz 11424   !cfa 12035    _C cbc 12062
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1594  ax-4 1605  ax-5 1669  ax-6 1707  ax-7 1727  ax-8 1757  ax-9 1759  ax-10 1774  ax-11 1779  ax-12 1791  ax-13 1942  ax-ext 2414  ax-sep 4401  ax-nul 4409  ax-pow 4458  ax-pr 4519  ax-un 6361  ax-cnex 9326  ax-resscn 9327  ax-1cn 9328  ax-icn 9329  ax-addcl 9330  ax-addrcl 9331  ax-mulcl 9332  ax-mulrcl 9333  ax-mulcom 9334  ax-addass 9335  ax-mulass 9336  ax-distr 9337  ax-i2m1 9338  ax-1ne0 9339  ax-1rid 9340  ax-rnegex 9341  ax-rrecex 9342  ax-cnre 9343  ax-pre-lttri 9344  ax-pre-lttrn 9345  ax-pre-ltadd 9346  ax-pre-mulgt0 9347
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 959  df-3an 960  df-tru 1365  df-ex 1590  df-nf 1593  df-sb 1700  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2420  df-cleq 2426  df-clel 2429  df-nfc 2558  df-ne 2598  df-nel 2599  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2964  df-sbc 3176  df-csb 3277  df-dif 3319  df-un 3321  df-in 3323  df-ss 3330  df-pss 3332  df-nul 3626  df-if 3780  df-pw 3850  df-sn 3866  df-pr 3868  df-tp 3870  df-op 3872  df-uni 4080  df-iun 4161  df-br 4281  df-opab 4339  df-mpt 4340  df-tr 4374  df-eprel 4619  df-id 4623  df-po 4628  df-so 4629  df-fr 4666  df-we 4668  df-ord 4709  df-on 4710  df-lim 4711  df-suc 4712  df-xp 4833  df-rel 4834  df-cnv 4835  df-co 4836  df-dm 4837  df-rn 4838  df-res 4839  df-ima 4840  df-iota 5369  df-fun 5408  df-fn 5409  df-f 5410  df-f1 5411  df-fo 5412  df-f1o 5413  df-fv 5414  df-riota 6039  df-ov 6083  df-oprab 6084  df-mpt2 6085  df-om 6466  df-1st 6566  df-2nd 6567  df-recs 6818  df-rdg 6852  df-er 7089  df-en 7299  df-dom 7300  df-sdom 7301  df-pnf 9408  df-mnf 9409  df-xr 9410  df-ltxr 9411  df-le 9412  df-sub 9585  df-neg 9586  df-div 9982  df-nn 10311  df-2 10368  df-3 10369  df-4 10370  df-5 10371  df-6 10372  df-n0 10568  df-z 10635  df-uz 10850  df-fz 11425  df-seq 11791  df-fac 12036  df-bc 12063
This theorem is referenced by:  bpoly4  28049
  Copyright terms: Public domain W3C validator