Users' Mathboxes Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  4bc2eq6 Structured version   Unicode version

Theorem 4bc2eq6 27527
Description: The value of four choose two. (Contributed by Scott Fenton, 9-Jan-2017.)
Assertion
Ref Expression
4bc2eq6  |-  ( 4  _C  2 )  =  6

Proof of Theorem 4bc2eq6
StepHypRef Expression
1 0z 10760 . . . . 5  |-  0  e.  ZZ
2 4nn 10584 . . . . . 6  |-  4  e.  NN
32nnzi 10773 . . . . 5  |-  4  e.  ZZ
4 2z 10781 . . . . 5  |-  2  e.  ZZ
51, 3, 43pm3.2i 1166 . . . 4  |-  ( 0  e.  ZZ  /\  4  e.  ZZ  /\  2  e.  ZZ )
6 0le2 10515 . . . . 5  |-  0  <_  2
7 2re 10494 . . . . . 6  |-  2  e.  RR
8 4re 10501 . . . . . 6  |-  4  e.  RR
9 2lt4 10595 . . . . . 6  |-  2  <  4
107, 8, 9ltleii 9600 . . . . 5  |-  2  <_  4
116, 10pm3.2i 455 . . . 4  |-  ( 0  <_  2  /\  2  <_  4 )
12 elfz4 11549 . . . 4  |-  ( ( ( 0  e.  ZZ  /\  4  e.  ZZ  /\  2  e.  ZZ )  /\  ( 0  <_  2  /\  2  <_  4 ) )  ->  2  e.  ( 0 ... 4
) )
135, 11, 12mp2an 672 . . 3  |-  2  e.  ( 0 ... 4
)
14 bcval2 12184 . . 3  |-  ( 2  e.  ( 0 ... 4 )  ->  (
4  _C  2 )  =  ( ( ! `
 4 )  / 
( ( ! `  ( 4  -  2 ) )  x.  ( ! `  2 )
) ) )
1513, 14ax-mp 5 . 2  |-  ( 4  _C  2 )  =  ( ( ! ` 
4 )  /  (
( ! `  (
4  -  2 ) )  x.  ( ! `
 2 ) ) )
16 3nn0 10700 . . . . . 6  |-  3  e.  NN0
17 facp1 12159 . . . . . 6  |-  ( 3  e.  NN0  ->  ( ! `
 ( 3  +  1 ) )  =  ( ( ! ` 
3 )  x.  (
3  +  1 ) ) )
1816, 17ax-mp 5 . . . . 5  |-  ( ! `
 ( 3  +  1 ) )  =  ( ( ! ` 
3 )  x.  (
3  +  1 ) )
19 df-4 10485 . . . . . 6  |-  4  =  ( 3  +  1 )
2019fveq2i 5794 . . . . 5  |-  ( ! `
 4 )  =  ( ! `  (
3  +  1 ) )
2119oveq2i 6203 . . . . 5  |-  ( ( ! `  3 )  x.  4 )  =  ( ( ! ` 
3 )  x.  (
3  +  1 ) )
2218, 20, 213eqtr4i 2490 . . . 4  |-  ( ! `
 4 )  =  ( ( ! ` 
3 )  x.  4 )
23 4cn 10502 . . . . . . . . 9  |-  4  e.  CC
24 2cn 10495 . . . . . . . . 9  |-  2  e.  CC
25 2p2e4 10542 . . . . . . . . 9  |-  ( 2  +  2 )  =  4
2623, 24, 24, 25subaddrii 9800 . . . . . . . 8  |-  ( 4  -  2 )  =  2
2726fveq2i 5794 . . . . . . 7  |-  ( ! `
 ( 4  -  2 ) )  =  ( ! `  2
)
28 fac2 12160 . . . . . . 7  |-  ( ! `
 2 )  =  2
2927, 28eqtri 2480 . . . . . 6  |-  ( ! `
 ( 4  -  2 ) )  =  2
3029, 28oveq12i 6204 . . . . 5  |-  ( ( ! `  ( 4  -  2 ) )  x.  ( ! ` 
2 ) )  =  ( 2  x.  2 )
31 2t2e4 10574 . . . . 5  |-  ( 2  x.  2 )  =  4
3230, 31eqtri 2480 . . . 4  |-  ( ( ! `  ( 4  -  2 ) )  x.  ( ! ` 
2 ) )  =  4
3322, 32oveq12i 6204 . . 3  |-  ( ( ! `  4 )  /  ( ( ! `
 ( 4  -  2 ) )  x.  ( ! `  2
) ) )  =  ( ( ( ! `
 3 )  x.  4 )  /  4
)
34 faccl 12164 . . . . . . 7  |-  ( 3  e.  NN0  ->  ( ! `
 3 )  e.  NN )
3516, 34ax-mp 5 . . . . . 6  |-  ( ! `
 3 )  e.  NN
3635nncni 10435 . . . . 5  |-  ( ! `
 3 )  e.  CC
37 4ne0 10521 . . . . 5  |-  4  =/=  0
3836, 23, 37divcan4i 10181 . . . 4  |-  ( ( ( ! `  3
)  x.  4 )  /  4 )  =  ( ! `  3
)
39 fac3 12161 . . . 4  |-  ( ! `
 3 )  =  6
4038, 39eqtri 2480 . . 3  |-  ( ( ( ! `  3
)  x.  4 )  /  4 )  =  6
4133, 40eqtri 2480 . 2  |-  ( ( ! `  4 )  /  ( ( ! `
 ( 4  -  2 ) )  x.  ( ! `  2
) ) )  =  6
4215, 41eqtri 2480 1  |-  ( 4  _C  2 )  =  6
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1370    e. wcel 1758   class class class wbr 4392   ` cfv 5518  (class class class)co 6192   0cc0 9385   1c1 9386    + caddc 9388    x. cmul 9390    <_ cle 9522    - cmin 9698    / cdiv 10096   NNcn 10425   2c2 10474   3c3 10475   4c4 10476   6c6 10478   NN0cn0 10682   ZZcz 10749   ...cfz 11540   !cfa 12154    _C cbc 12181
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-sep 4513  ax-nul 4521  ax-pow 4570  ax-pr 4631  ax-un 6474  ax-cnex 9441  ax-resscn 9442  ax-1cn 9443  ax-icn 9444  ax-addcl 9445  ax-addrcl 9446  ax-mulcl 9447  ax-mulrcl 9448  ax-mulcom 9449  ax-addass 9450  ax-mulass 9451  ax-distr 9452  ax-i2m1 9453  ax-1ne0 9454  ax-1rid 9455  ax-rnegex 9456  ax-rrecex 9457  ax-cnre 9458  ax-pre-lttri 9459  ax-pre-lttrn 9460  ax-pre-ltadd 9461  ax-pre-mulgt0 9462
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rmo 2803  df-rab 2804  df-v 3072  df-sbc 3287  df-csb 3389  df-dif 3431  df-un 3433  df-in 3435  df-ss 3442  df-pss 3444  df-nul 3738  df-if 3892  df-pw 3962  df-sn 3978  df-pr 3980  df-tp 3982  df-op 3984  df-uni 4192  df-iun 4273  df-br 4393  df-opab 4451  df-mpt 4452  df-tr 4486  df-eprel 4732  df-id 4736  df-po 4741  df-so 4742  df-fr 4779  df-we 4781  df-ord 4822  df-on 4823  df-lim 4824  df-suc 4825  df-xp 4946  df-rel 4947  df-cnv 4948  df-co 4949  df-dm 4950  df-rn 4951  df-res 4952  df-ima 4953  df-iota 5481  df-fun 5520  df-fn 5521  df-f 5522  df-f1 5523  df-fo 5524  df-f1o 5525  df-fv 5526  df-riota 6153  df-ov 6195  df-oprab 6196  df-mpt2 6197  df-om 6579  df-1st 6679  df-2nd 6680  df-recs 6934  df-rdg 6968  df-er 7203  df-en 7413  df-dom 7414  df-sdom 7415  df-pnf 9523  df-mnf 9524  df-xr 9525  df-ltxr 9526  df-le 9527  df-sub 9700  df-neg 9701  df-div 10097  df-nn 10426  df-2 10483  df-3 10484  df-4 10485  df-5 10486  df-6 10487  df-n0 10683  df-z 10750  df-uz 10965  df-fz 11541  df-seq 11910  df-fac 12155  df-bc 12182
This theorem is referenced by:  bpoly4  28338
  Copyright terms: Public domain W3C validator