Users' Mathboxes Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  4bc2eq6 Structured version   Unicode version

Theorem 4bc2eq6 28437
Description: The value of four choose two. (Contributed by Scott Fenton, 9-Jan-2017.)
Assertion
Ref Expression
4bc2eq6  |-  ( 4  _C  2 )  =  6

Proof of Theorem 4bc2eq6
StepHypRef Expression
1 0z 10864 . . . . 5  |-  0  e.  ZZ
2 4nn 10684 . . . . . 6  |-  4  e.  NN
32nnzi 10877 . . . . 5  |-  4  e.  ZZ
4 2z 10885 . . . . 5  |-  2  e.  ZZ
51, 3, 43pm3.2i 1169 . . . 4  |-  ( 0  e.  ZZ  /\  4  e.  ZZ  /\  2  e.  ZZ )
6 0le2 10615 . . . . 5  |-  0  <_  2
7 2re 10594 . . . . . 6  |-  2  e.  RR
8 4re 10601 . . . . . 6  |-  4  e.  RR
9 2lt4 10695 . . . . . 6  |-  2  <  4
107, 8, 9ltleii 9696 . . . . 5  |-  2  <_  4
116, 10pm3.2i 455 . . . 4  |-  ( 0  <_  2  /\  2  <_  4 )
12 elfz4 11670 . . . 4  |-  ( ( ( 0  e.  ZZ  /\  4  e.  ZZ  /\  2  e.  ZZ )  /\  ( 0  <_  2  /\  2  <_  4 ) )  ->  2  e.  ( 0 ... 4
) )
135, 11, 12mp2an 672 . . 3  |-  2  e.  ( 0 ... 4
)
14 bcval2 12338 . . 3  |-  ( 2  e.  ( 0 ... 4 )  ->  (
4  _C  2 )  =  ( ( ! `
 4 )  / 
( ( ! `  ( 4  -  2 ) )  x.  ( ! `  2 )
) ) )
1513, 14ax-mp 5 . 2  |-  ( 4  _C  2 )  =  ( ( ! ` 
4 )  /  (
( ! `  (
4  -  2 ) )  x.  ( ! `
 2 ) ) )
16 3nn0 10802 . . . . . 6  |-  3  e.  NN0
17 facp1 12313 . . . . . 6  |-  ( 3  e.  NN0  ->  ( ! `
 ( 3  +  1 ) )  =  ( ( ! ` 
3 )  x.  (
3  +  1 ) ) )
1816, 17ax-mp 5 . . . . 5  |-  ( ! `
 ( 3  +  1 ) )  =  ( ( ! ` 
3 )  x.  (
3  +  1 ) )
19 df-4 10585 . . . . . 6  |-  4  =  ( 3  +  1 )
2019fveq2i 5860 . . . . 5  |-  ( ! `
 4 )  =  ( ! `  (
3  +  1 ) )
2119oveq2i 6286 . . . . 5  |-  ( ( ! `  3 )  x.  4 )  =  ( ( ! ` 
3 )  x.  (
3  +  1 ) )
2218, 20, 213eqtr4i 2499 . . . 4  |-  ( ! `
 4 )  =  ( ( ! ` 
3 )  x.  4 )
23 4cn 10602 . . . . . . . . 9  |-  4  e.  CC
24 2cn 10595 . . . . . . . . 9  |-  2  e.  CC
25 2p2e4 10642 . . . . . . . . 9  |-  ( 2  +  2 )  =  4
2623, 24, 24, 25subaddrii 9897 . . . . . . . 8  |-  ( 4  -  2 )  =  2
2726fveq2i 5860 . . . . . . 7  |-  ( ! `
 ( 4  -  2 ) )  =  ( ! `  2
)
28 fac2 12314 . . . . . . 7  |-  ( ! `
 2 )  =  2
2927, 28eqtri 2489 . . . . . 6  |-  ( ! `
 ( 4  -  2 ) )  =  2
3029, 28oveq12i 6287 . . . . 5  |-  ( ( ! `  ( 4  -  2 ) )  x.  ( ! ` 
2 ) )  =  ( 2  x.  2 )
31 2t2e4 10674 . . . . 5  |-  ( 2  x.  2 )  =  4
3230, 31eqtri 2489 . . . 4  |-  ( ( ! `  ( 4  -  2 ) )  x.  ( ! ` 
2 ) )  =  4
3322, 32oveq12i 6287 . . 3  |-  ( ( ! `  4 )  /  ( ( ! `
 ( 4  -  2 ) )  x.  ( ! `  2
) ) )  =  ( ( ( ! `
 3 )  x.  4 )  /  4
)
34 faccl 12318 . . . . . . 7  |-  ( 3  e.  NN0  ->  ( ! `
 3 )  e.  NN )
3516, 34ax-mp 5 . . . . . 6  |-  ( ! `
 3 )  e.  NN
3635nncni 10535 . . . . 5  |-  ( ! `
 3 )  e.  CC
37 4ne0 10621 . . . . 5  |-  4  =/=  0
3836, 23, 37divcan4i 10280 . . . 4  |-  ( ( ( ! `  3
)  x.  4 )  /  4 )  =  ( ! `  3
)
39 fac3 12315 . . . 4  |-  ( ! `
 3 )  =  6
4038, 39eqtri 2489 . . 3  |-  ( ( ( ! `  3
)  x.  4 )  /  4 )  =  6
4133, 40eqtri 2489 . 2  |-  ( ( ! `  4 )  /  ( ( ! `
 ( 4  -  2 ) )  x.  ( ! `  2
) ) )  =  6
4215, 41eqtri 2489 1  |-  ( 4  _C  2 )  =  6
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    /\ wa 369    /\ w3a 968    = wceq 1374    e. wcel 1762   class class class wbr 4440   ` cfv 5579  (class class class)co 6275   0cc0 9481   1c1 9482    + caddc 9484    x. cmul 9486    <_ cle 9618    - cmin 9794    / cdiv 10195   NNcn 10525   2c2 10574   3c3 10575   4c4 10576   6c6 10578   NN0cn0 10784   ZZcz 10853   ...cfz 11661   !cfa 12308    _C cbc 12335
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-nel 2658  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-pss 3485  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-tp 4025  df-op 4027  df-uni 4239  df-iun 4320  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-tr 4534  df-eprel 4784  df-id 4788  df-po 4793  df-so 4794  df-fr 4831  df-we 4833  df-ord 4874  df-on 4875  df-lim 4876  df-suc 4877  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-riota 6236  df-ov 6278  df-oprab 6279  df-mpt2 6280  df-om 6672  df-1st 6774  df-2nd 6775  df-recs 7032  df-rdg 7066  df-er 7301  df-en 7507  df-dom 7508  df-sdom 7509  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9796  df-neg 9797  df-div 10196  df-nn 10526  df-2 10583  df-3 10584  df-4 10585  df-5 10586  df-6 10587  df-n0 10785  df-z 10854  df-uz 11072  df-fz 11662  df-seq 12064  df-fac 12309  df-bc 12336
This theorem is referenced by:  bpoly4  29248
  Copyright terms: Public domain W3C validator