Theorem plyrecj 23839

Description: A polynomial with real coefficients distributes under conjugation. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
plyrecj	⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (∗‘(𝐹‘𝐴)) = (𝐹‘(∗‘𝐴)))

Proof of Theorem plyrecj

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fzfid 12634	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (0...(deg‘𝐹)) ∈ Fin)
2		0re 9919	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ∈ ℝ
3		eqid 2610	. . . . . . . . . 10 ⊢ (coeff‘𝐹) = (coeff‘𝐹)
4	3	coef2 23791	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 0 ∈ ℝ) → (coeff‘𝐹):ℕ0⟶ℝ)
5	2, 4	mpan2 703	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) → (coeff‘𝐹):ℕ0⟶ℝ)
6	5	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (coeff‘𝐹):ℕ0⟶ℝ)
7		elfznn0 12302	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (0...(deg‘𝐹)) → 𝑥 ∈ ℕ0)
8		ffvelrn 6265	. . . . . . 7 ⊢ (((coeff‘𝐹):ℕ0⟶ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → ((coeff‘𝐹)‘𝑥) ∈ ℝ)
9	6, 7, 8	syl2an 493	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ℂ) ∧ 𝑥 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → ((coeff‘𝐹)‘𝑥) ∈ ℝ)
10	9	recnd 9947	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ℂ) ∧ 𝑥 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → ((coeff‘𝐹)‘𝑥) ∈ ℂ)
11		simpr 476	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → 𝐴 ∈ ℂ)
12		expcl 12740	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑥) ∈ ℂ)
13	11, 7, 12	syl2an 493	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ℂ) ∧ 𝑥 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → (𝐴↑𝑥) ∈ ℂ)
14	10, 13	mulcld 9939	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ℂ) ∧ 𝑥 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → (((coeff‘𝐹)‘𝑥) · (𝐴↑𝑥)) ∈ ℂ)
15	1, 14	fsumcj 14383	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (∗‘Σ𝑥 ∈ (0...(deg‘𝐹))(((coeff‘𝐹)‘𝑥) · (𝐴↑𝑥))) = Σ𝑥 ∈ (0...(deg‘𝐹))(∗‘(((coeff‘𝐹)‘𝑥) · (𝐴↑𝑥))))
16	10, 13	cjmuld 13809	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ℂ) ∧ 𝑥 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → (∗‘(((coeff‘𝐹)‘𝑥) · (𝐴↑𝑥))) = ((∗‘((coeff‘𝐹)‘𝑥)) · (∗‘(𝐴↑𝑥))))
17	9	cjred 13814	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ℂ) ∧ 𝑥 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → (∗‘((coeff‘𝐹)‘𝑥)) = ((coeff‘𝐹)‘𝑥))
18		cjexp 13738	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (∗‘(𝐴↑𝑥)) = ((∗‘𝐴)↑𝑥))
19	11, 7, 18	syl2an 493	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ℂ) ∧ 𝑥 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → (∗‘(𝐴↑𝑥)) = ((∗‘𝐴)↑𝑥))
20	17, 19	oveq12d 6567	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ℂ) ∧ 𝑥 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → ((∗‘((coeff‘𝐹)‘𝑥)) · (∗‘(𝐴↑𝑥))) = (((coeff‘𝐹)‘𝑥) · ((∗‘𝐴)↑𝑥)))
21	16, 20	eqtrd 2644	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ℂ) ∧ 𝑥 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → (∗‘(((coeff‘𝐹)‘𝑥) · (𝐴↑𝑥))) = (((coeff‘𝐹)‘𝑥) · ((∗‘𝐴)↑𝑥)))
22	21	sumeq2dv 14281	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → Σ𝑥 ∈ (0...(deg‘𝐹))(∗‘(((coeff‘𝐹)‘𝑥) · (𝐴↑𝑥))) = Σ𝑥 ∈ (0...(deg‘𝐹))(((coeff‘𝐹)‘𝑥) · ((∗‘𝐴)↑𝑥)))
23	15, 22	eqtrd 2644	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (∗‘Σ𝑥 ∈ (0...(deg‘𝐹))(((coeff‘𝐹)‘𝑥) · (𝐴↑𝑥))) = Σ𝑥 ∈ (0...(deg‘𝐹))(((coeff‘𝐹)‘𝑥) · ((∗‘𝐴)↑𝑥)))
24		eqid 2610	. . . 4 ⊢ (deg‘𝐹) = (deg‘𝐹)
25	3, 24	coeid2 23799	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (𝐹‘𝐴) = Σ𝑥 ∈ (0...(deg‘𝐹))(((coeff‘𝐹)‘𝑥) · (𝐴↑𝑥)))
26	25	fveq2d 6107	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (∗‘(𝐹‘𝐴)) = (∗‘Σ𝑥 ∈ (0...(deg‘𝐹))(((coeff‘𝐹)‘𝑥) · (𝐴↑𝑥))))
27		cjcl 13693	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (∗‘𝐴) ∈ ℂ)
28	3, 24	coeid2 23799	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ (∗‘𝐴) ∈ ℂ) → (𝐹‘(∗‘𝐴)) = Σ𝑥 ∈ (0...(deg‘𝐹))(((coeff‘𝐹)‘𝑥) · ((∗‘𝐴)↑𝑥)))
29	27, 28	sylan2 490	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (𝐹‘(∗‘𝐴)) = Σ𝑥 ∈ (0...(deg‘𝐹))(((coeff‘𝐹)‘𝑥) · ((∗‘𝐴)↑𝑥)))
30	23, 26, 29	3eqtr4d 2654	1 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (∗‘(𝐹‘𝐴)) = (𝐹‘(∗‘𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  ℂcc 9813  ℝcr 9814  0cc0 9815   · cmul 9820  ℕ₀cn0 11169  ...cfz 12197  ↑cexp 12722  ∗ccj 13684  Σcsu 14264  Polycply 23744  coeffccoe 23746  degcdgr 23747

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893  ax-addf 9894

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-of 6795  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-sup 8231  df-inf 8232  df-oi 8298  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-rp 11709  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-fl 12455  df-seq 12664  df-exp 12723  df-hash 12980  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-clim 14067  df-rlim 14068  df-sum 14265  df-0p 23243  df-ply 23748  df-coe 23750  df-dgr 23751

This theorem is referenced by:  plyreres  23842  aacjcl  23886