Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  pfxfv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pfxfv 40262
 Description: A symbol in a prefix of a word, indexed using the prefix' indices. Could replace swrd0fv 13291. (Contributed by AV, 3-May-2020.)
Assertion
Ref Expression
pfxfv ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐿 ∈ (0...(#‘𝑊)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝐿)) → ((𝑊 prefix 𝐿)‘𝐼) = (𝑊𝐼))

Proof of Theorem pfxfv
StepHypRef Expression
1 elfznn0 12302 . . . . 5 (𝐿 ∈ (0...(#‘𝑊)) → 𝐿 ∈ ℕ0)
2 pfxval 40246 . . . . 5 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐿 ∈ ℕ0) → (𝑊 prefix 𝐿) = (𝑊 substr ⟨0, 𝐿⟩))
31, 2sylan2 490 . . . 4 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐿 ∈ (0...(#‘𝑊))) → (𝑊 prefix 𝐿) = (𝑊 substr ⟨0, 𝐿⟩))
433adant3 1074 . . 3 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐿 ∈ (0...(#‘𝑊)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝐿)) → (𝑊 prefix 𝐿) = (𝑊 substr ⟨0, 𝐿⟩))
54fveq1d 6105 . 2 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐿 ∈ (0...(#‘𝑊)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝐿)) → ((𝑊 prefix 𝐿)‘𝐼) = ((𝑊 substr ⟨0, 𝐿⟩)‘𝐼))
6 simp1 1054 . . 3 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐿 ∈ (0...(#‘𝑊)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝐿)) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
7 0elfz 12305 . . . . 5 (𝐿 ∈ ℕ0 → 0 ∈ (0...𝐿))
81, 7syl 17 . . . 4 (𝐿 ∈ (0...(#‘𝑊)) → 0 ∈ (0...𝐿))
983ad2ant2 1076 . . 3 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐿 ∈ (0...(#‘𝑊)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝐿)) → 0 ∈ (0...𝐿))
10 simp2 1055 . . 3 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐿 ∈ (0...(#‘𝑊)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝐿)) → 𝐿 ∈ (0...(#‘𝑊)))
111nn0cnd 11230 . . . . . . . . . 10 (𝐿 ∈ (0...(#‘𝑊)) → 𝐿 ∈ ℂ)
1211subid1d 10260 . . . . . . . . 9 (𝐿 ∈ (0...(#‘𝑊)) → (𝐿 − 0) = 𝐿)
1312eqcomd 2616 . . . . . . . 8 (𝐿 ∈ (0...(#‘𝑊)) → 𝐿 = (𝐿 − 0))
1413oveq2d 6565 . . . . . . 7 (𝐿 ∈ (0...(#‘𝑊)) → (0..^𝐿) = (0..^(𝐿 − 0)))
1514eleq2d 2673 . . . . . 6 (𝐿 ∈ (0...(#‘𝑊)) → (𝐼 ∈ (0..^𝐿) ↔ 𝐼 ∈ (0..^(𝐿 − 0))))
1615biimpd 218 . . . . 5 (𝐿 ∈ (0...(#‘𝑊)) → (𝐼 ∈ (0..^𝐿) → 𝐼 ∈ (0..^(𝐿 − 0))))
1716a1i 11 . . . 4 (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (𝐿 ∈ (0...(#‘𝑊)) → (𝐼 ∈ (0..^𝐿) → 𝐼 ∈ (0..^(𝐿 − 0)))))
18173imp 1249 . . 3 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐿 ∈ (0...(#‘𝑊)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝐿)) → 𝐼 ∈ (0..^(𝐿 − 0)))
19 swrdfv 13276 . . 3 (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 0 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝐿 ∈ (0...(#‘𝑊))) ∧ 𝐼 ∈ (0..^(𝐿 − 0))) → ((𝑊 substr ⟨0, 𝐿⟩)‘𝐼) = (𝑊‘(𝐼 + 0)))
206, 9, 10, 18, 19syl31anc 1321 . 2 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐿 ∈ (0...(#‘𝑊)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝐿)) → ((𝑊 substr ⟨0, 𝐿⟩)‘𝐼) = (𝑊‘(𝐼 + 0)))
21 elfzoelz 12339 . . . . . 6 (𝐼 ∈ (0..^𝐿) → 𝐼 ∈ ℤ)
2221zcnd 11359 . . . . 5 (𝐼 ∈ (0..^𝐿) → 𝐼 ∈ ℂ)
2322addid1d 10115 . . . 4 (𝐼 ∈ (0..^𝐿) → (𝐼 + 0) = 𝐼)
24233ad2ant3 1077 . . 3 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐿 ∈ (0...(#‘𝑊)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝐿)) → (𝐼 + 0) = 𝐼)
2524fveq2d 6107 . 2 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐿 ∈ (0...(#‘𝑊)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝐿)) → (𝑊‘(𝐼 + 0)) = (𝑊𝐼))
265, 20, 253eqtrd 2648 1 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐿 ∈ (0...(#‘𝑊)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝐿)) → ((𝑊 prefix 𝐿)‘𝐼) = (𝑊𝐼))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ⟨cop 4131  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  0cc0 9815   + caddc 9818   − cmin 10145  ℕ0cn0 11169  ...cfz 12197  ..^cfzo 12334  #chash 12979  Word cword 13146   substr csubstr 13150   prefix cpfx 40244 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-hash 12980  df-word 13154  df-substr 13158  df-pfx 40245 This theorem is referenced by:  pfxfv0  40263  pfxtrcfv  40264  pfxfvlsw  40266  pfxeq  40267  ccatpfx  40272  pfx2  40275  pfxccatin12lem2  40287  repswpfx  40299
 Copyright terms: Public domain W3C validator