MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elfznn0 Structured version   Unicode version

Theorem elfznn0 11473
Description: A member of a finite set of sequential integers starting at 0 is a nonnegative integer. (Contributed by NM, 5-Aug-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
elfznn0  |-  ( K  e.  ( 0 ... N )  ->  K  e.  NN0 )

Proof of Theorem elfznn0
StepHypRef Expression
1 elfz2nn0 11472 . 2  |-  ( K  e.  ( 0 ... N )  <->  ( K  e.  NN0  /\  N  e. 
NN0  /\  K  <_  N ) )
21simp1bi 1003 1  |-  ( K  e.  ( 0 ... N )  ->  K  e.  NN0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1756   class class class wbr 4287  (class class class)co 6086   0cc0 9274    <_ cle 9411   NN0cn0 10571   ...cfz 11429
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367  ax-cnex 9330  ax-resscn 9331  ax-1cn 9332  ax-icn 9333  ax-addcl 9334  ax-addrcl 9335  ax-mulcl 9336  ax-mulrcl 9337  ax-mulcom 9338  ax-addass 9339  ax-mulass 9340  ax-distr 9341  ax-i2m1 9342  ax-1ne0 9343  ax-1rid 9344  ax-rnegex 9345  ax-rrecex 9346  ax-cnre 9347  ax-pre-lttri 9348  ax-pre-lttrn 9349  ax-pre-ltadd 9350  ax-pre-mulgt0 9351
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2715  df-rex 2716  df-reu 2717  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-pss 3339  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-tp 3877  df-op 3879  df-uni 4087  df-iun 4168  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-tr 4381  df-eprel 4627  df-id 4631  df-po 4636  df-so 4637  df-fr 4674  df-we 4676  df-ord 4717  df-on 4718  df-lim 4719  df-suc 4720  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-riota 6047  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-om 6472  df-1st 6572  df-2nd 6573  df-recs 6824  df-rdg 6858  df-er 7093  df-en 7303  df-dom 7304  df-sdom 7305  df-pnf 9412  df-mnf 9413  df-xr 9414  df-ltxr 9415  df-le 9416  df-sub 9589  df-neg 9590  df-nn 10315  df-n0 10572  df-z 10639  df-uz 10854  df-fz 11430
This theorem is referenced by:  fz0fzdiffz0  11481  fzo0ssnn0  11603  bcrpcl  12076  bccmpl  12077  bcp1n  12084  bcp1nk  12085  bcval5  12086  permnn  12094  swrd0len  12310  swrd0fv  12327  swrd0swrd  12347  swrdswrd0  12348  swrd0swrd0  12349  swrd0swrdid  12350  wrdcctswrd  12351  swrdccat3  12375  swrdccat3a  12377  swrdccat3blem  12378  splfv2a  12390  binomlem  13284  binom1p  13286  binom1dif  13288  bcxmas  13290  climcnds  13306  arisum  13314  arisum2  13315  geolim  13322  geo2sum  13325  mertenslem1  13336  mertenslem2  13337  mertens  13338  efcvgfsum  13363  efcj  13369  efaddlem  13370  effsumlt  13387  eirrlem  13478  fzo0dvdseq  13578  3dvds  13588  prmdiveq  13853  pcbc  13954  vdwapf  14025  vdwlem2  14035  vdwlem6  14039  vdwlem8  14041  psgnunilem2  15992  efgcpbllemb  16243  srgbinomlem3  16628  srgbinomlem4  16629  srgbinomlem  16630  psrbaglefi  17418  psrbaglefiOLD  17419  coe1mul2lem2  17697  coe1mul2  17698  coe1tmmul2  17704  coe1tmmul  17705  mbfi1fseqlem3  21170  mbfi1fseqlem4  21171  itg0  21232  itgz  21233  itgcl  21236  iblabsr  21282  iblmulc2  21283  itgsplit  21288  dvn2bss  21379  coe1mul3  21546  elply2  21639  plyf  21641  elplyd  21645  ply1termlem  21646  plyeq0lem  21653  plypf1  21655  plyaddlem1  21656  plymullem1  21657  plyaddlem  21658  plymullem  21659  coeeulem  21667  coeidlem  21680  coeid3  21683  plyco  21684  coeeq2  21685  dgreq  21687  coefv0  21690  coeaddlem  21691  coemullem  21692  coemulhi  21696  coemulc  21697  coe1termlem  21700  plycn  21703  plycjlem  21718  plycj  21719  plyrecj  21721  dvply1  21725  dvply2g  21726  vieta1lem2  21752  elqaalem2  21761  elqaalem3  21762  aareccl  21767  aannenlem1  21769  aalioulem1  21773  taylply2  21808  taylply  21809  dvtaylp  21810  dvntaylp0  21812  taylthlem2  21814  pserulm  21862  psercn2  21863  pserdvlem2  21868  abelthlem6  21876  abelthlem7  21878  abelthlem8  21879  advlogexp  22075  cxpeq  22170  log2tlbnd  22315  log2ublem2  22317  log2ub  22319  birthdaylem2  22321  birthdaylem3  22322  ftalem1  22385  ftalem5  22389  basellem2  22394  basellem3  22395  dvdsppwf1o  22501  musum  22506  sgmppw  22511  1sgmprm  22513  logexprlim  22539  mersenne  22541  lgseisenlem1  22663  dchrisum0flblem1  22732  pntpbnd2  22811  iseupa  23537  eupares  23547  bcm1n  26030  plymulx0  26900  signsplypnf  26903  signstres  26928  subfacval2  27027  subfaclim  27028  cvmliftlem7  27132  risefacval2  27464  fallfacval2  27465  fallfacval3  27466  risefaccllem  27467  fallfaccllem  27468  risefacp1  27483  fallfacp1  27484  fallfacfwd  27490  binomfallfaclem1  27493  binomfallfaclem2  27494  binomrisefac  27496  bcfallfac  27498  bpolylem  28142  bpolysum  28147  bpolydiflem  28148  fsumkthpow  28150  bpoly4  28153  iblmulc2nc  28410  jm2.22  29297  jm2.23  29298  hbt  29439  cnsrplycl  29477  hashgcdlem  29518  2elfz3nn0  30152  fz0addcom  30153  2elfz2melfz  30155  fz0addge0  30156  erclwwlktr0  30432  difelfzle  30440  cshwlemma1  30442  altgsumbc  30700  altgsumbcALT  30701
  Copyright terms: Public domain W3C validator