MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elfznn0 Structured version   Unicode version

Theorem elfznn0 11770
Description: A member of a finite set of sequential nonnegative integers is a nonnegative integer. (Contributed by NM, 5-Aug-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
elfznn0  |-  ( K  e.  ( 0 ... N )  ->  K  e.  NN0 )

Proof of Theorem elfznn0
StepHypRef Expression
1 elfz2nn0 11768 . 2  |-  ( K  e.  ( 0 ... N )  <->  ( K  e.  NN0  /\  N  e. 
NN0  /\  K  <_  N ) )
21simp1bi 1011 1  |-  ( K  e.  ( 0 ... N )  ->  K  e.  NN0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1767   class class class wbr 4447  (class class class)co 6284   0cc0 9492    <_ cle 9629   NN0cn0 10795   ...cfz 11672
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576  ax-cnex 9548  ax-resscn 9549  ax-1cn 9550  ax-icn 9551  ax-addcl 9552  ax-addrcl 9553  ax-mulcl 9554  ax-mulrcl 9555  ax-mulcom 9556  ax-addass 9557  ax-mulass 9558  ax-distr 9559  ax-i2m1 9560  ax-1ne0 9561  ax-1rid 9562  ax-rnegex 9563  ax-rrecex 9564  ax-cnre 9565  ax-pre-lttri 9566  ax-pre-lttrn 9567  ax-pre-ltadd 9568  ax-pre-mulgt0 9569
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-riota 6245  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-om 6685  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-er 7311  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-pnf 9630  df-mnf 9631  df-xr 9632  df-ltxr 9633  df-le 9634  df-sub 9807  df-neg 9808  df-nn 10537  df-n0 10796  df-z 10865  df-uz 11083  df-fz 11673
This theorem is referenced by:  fz0fzdiffz0  11781  difelfzle  11785  fzo0ssnn0  11864  bcrpcl  12354  bccmpl  12355  bcp1n  12362  bcp1nk  12363  bcval5  12364  permnn  12372  swrd0len  12612  swrd0fv  12629  swrd0swrd  12649  swrdswrd0  12650  swrd0swrd0  12651  swrd0swrdid  12652  wrdcctswrd  12653  swrdccat3  12680  swrdccat3a  12682  swrdccat3blem  12683  splfv2a  12695  2cshwcshw  12756  cshwcsh2id  12759  binomlem  13604  binom1p  13606  binom1dif  13608  bcxmas  13610  climcnds  13626  arisum  13634  arisum2  13635  geolim  13642  geo2sum  13645  mertenslem1  13656  mertenslem2  13657  mertens  13658  efcvgfsum  13683  efcj  13689  efaddlem  13690  effsumlt  13707  eirrlem  13798  fzo0dvdseq  13898  3dvds  13909  prmdiveq  14175  pcbc  14278  vdwapf  14349  vdwlem2  14359  vdwlem6  14363  vdwlem8  14365  psgnunilem2  16326  efgcpbllemb  16579  gsummptnn0fz  16817  srgbinomlem3  16995  srgbinomlem4  16996  srgbinomlem  16997  psrbaglefi  17822  psrbaglefiOLD  17823  coe1mul2lem2  18108  coe1mul2  18109  coe1tmmul2  18116  coe1tmmul  18117  cply1mul  18134  gsummoncoe1  18145  m2pmfzgsumcl  19044  decpmatmul  19068  pmatcollpw3fi1lem1  19082  mp2pm2mplem4  19105  pm2mpmhmlem2  19115  chpscmatgsumbin  19140  chpscmatgsummon  19141  chfacfscmulgsum  19156  chfacfpmmulgsum  19160  cpmadugsumlemB  19170  cpmadugsumlemC  19171  cpmadugsumlemF  19172  cpmadugsumfi  19173  mbfi1fseqlem3  21887  mbfi1fseqlem4  21888  itg0  21949  itgz  21950  itgcl  21953  iblabsr  21999  iblmulc2  22000  itgsplit  22005  dvn2bss  22096  coe1mul3  22263  elply2  22356  plyf  22358  elplyd  22362  ply1termlem  22363  plyeq0lem  22370  plypf1  22372  plyaddlem1  22373  plymullem1  22374  plyaddlem  22375  plymullem  22376  coeeulem  22384  coeidlem  22397  coeid3  22400  plyco  22401  coeeq2  22402  dgreq  22404  coefv0  22407  coeaddlem  22408  coemullem  22409  coemulhi  22413  coemulc  22414  coe1termlem  22417  plycn  22420  plycjlem  22435  plycj  22436  plyrecj  22438  dvply1  22442  dvply2g  22443  vieta1lem2  22469  elqaalem2  22478  elqaalem3  22479  aareccl  22484  aannenlem1  22486  aalioulem1  22490  taylply2  22525  taylply  22526  dvtaylp  22527  dvntaylp0  22529  taylthlem2  22531  pserulm  22579  psercn2  22580  pserdvlem2  22585  abelthlem6  22593  abelthlem7  22595  abelthlem8  22596  advlogexp  22792  cxpeq  22887  log2tlbnd  23032  log2ublem2  23034  log2ub  23036  birthdaylem2  23038  birthdaylem3  23039  ftalem1  23102  ftalem5  23106  basellem2  23111  basellem3  23112  dvdsppwf1o  23218  musum  23223  sgmppw  23228  1sgmprm  23230  logexprlim  23256  mersenne  23258  lgseisenlem1  23380  dchrisum0flblem1  23449  pntpbnd2  23528  iseupa  24669  eupares  24679  bcm1n  27296  plymulx0  28172  signsplypnf  28175  signstres  28200  subfacval2  28299  subfaclim  28300  cvmliftlem7  28404  risefacval2  28737  fallfacval2  28738  fallfacval3  28739  risefaccllem  28740  fallfaccllem  28741  risefacp1  28756  fallfacp1  28757  fallfacfwd  28763  binomfallfaclem1  28766  binomfallfaclem2  28767  binomrisefac  28769  bcfallfac  28771  bpolylem  29415  bpolysum  29420  bpolydiflem  29421  fsumkthpow  29423  bpoly4  29426  iblmulc2nc  29685  jm2.22  30569  jm2.23  30570  hbt  30711  cnsrplycl  30749  hashgcdlem  30790  iblsplit  31312  2elfz3nn0  31827  fz0addcom  31828  2elfz2melfz  31829  fz0addge0  31830  altgsumbc  32037  altgsumbcALT  32038  ply1mulgsumlem2  32086  ply1mulgsum  32089
  Copyright terms: Public domain W3C validator