MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elfznn0 Structured version   Unicode version

Theorem elfznn0 11775
Description: A member of a finite set of sequential nonnegative integers is a nonnegative integer. (Contributed by NM, 5-Aug-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
elfznn0  |-  ( K  e.  ( 0 ... N )  ->  K  e.  NN0 )

Proof of Theorem elfznn0
StepHypRef Expression
1 elfz2nn0 11773 . 2  |-  ( K  e.  ( 0 ... N )  <->  ( K  e.  NN0  /\  N  e. 
NN0  /\  K  <_  N ) )
21simp1bi 1009 1  |-  ( K  e.  ( 0 ... N )  ->  K  e.  NN0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1823   class class class wbr 4439  (class class class)co 6270   0cc0 9481    <_ cle 9618   NN0cn0 10791   ...cfz 11675
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-iun 4317  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-om 6674  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-er 7303  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-nn 10532  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11083  df-fz 11676
This theorem is referenced by:  fz0fzdiffz0  11787  difelfzle  11792  fzo0ssnn0  11877  bcrpcl  12368  bccmpl  12369  bcp1n  12376  bcp1nk  12377  bcval5  12378  permnn  12386  swrd0len  12638  swrd0f  12643  swrd0fv  12655  swrd0swrd  12677  swrdswrd0  12678  swrd0swrd0  12679  swrd0swrdid  12680  wrdcctswrd  12681  swrdccat3  12708  swrdccat3a  12710  swrdccat3blem  12711  splfv2a  12723  2cshwcshw  12784  cshwcsh2id  12787  binomlem  13723  binom1p  13725  binom1dif  13727  bcxmas  13729  climcnds  13745  arisum  13753  arisum2  13754  geolim  13761  geo2sum  13764  mertenslem1  13775  mertenslem2  13776  mertens  13777  efcvgfsum  13903  efcj  13909  efaddlem  13910  effsumlt  13928  eirrlem  14019  3dvds  14134  prmdiveq  14400  pcbc  14503  vdwapf  14574  vdwlem2  14584  vdwlem6  14588  vdwlem8  14590  psgnunilem2  16719  efgcpbllemb  16972  gsummptnn0fz  17209  srgbinomlem3  17388  srgbinomlem4  17389  srgbinomlem  17390  psrbaglefi  18218  psrbaglefiOLD  18219  coe1mul2lem2  18504  coe1mul2  18505  coe1tmmul2  18512  coe1tmmul  18513  cply1mul  18530  gsummoncoe1  18541  m2pmfzgsumcl  19416  decpmatmul  19440  pmatcollpw3fi1lem1  19454  mp2pm2mplem4  19477  pm2mpmhmlem2  19487  chpscmatgsumbin  19512  chpscmatgsummon  19513  chfacfscmulgsum  19528  chfacfpmmulgsum  19532  cpmadugsumlemB  19542  cpmadugsumlemC  19543  cpmadugsumlemF  19544  cpmadugsumfi  19545  mbfi1fseqlem3  22290  mbfi1fseqlem4  22291  itg0  22352  itgz  22353  itgcl  22356  iblabsr  22402  iblmulc2  22403  itgsplit  22408  dvn2bss  22499  coe1mul3  22666  elply2  22759  plyf  22761  elplyd  22765  ply1termlem  22766  plyeq0lem  22773  plypf1  22775  plyaddlem1  22776  plymullem1  22777  plyaddlem  22778  plymullem  22779  coeeulem  22787  coeidlem  22800  coeid3  22803  plyco  22804  coeeq2  22805  dgreq  22807  coefv0  22811  coeaddlem  22812  coemullem  22813  coemulhi  22817  coemulc  22818  coe1termlem  22821  plycn  22824  plycjlem  22839  plycj  22840  plyrecj  22842  dvply1  22846  dvply2g  22847  vieta1lem2  22873  elqaalem2  22882  elqaalem3  22883  aareccl  22888  aannenlem1  22890  aalioulem1  22894  taylply2  22929  taylply  22930  dvtaylp  22931  dvntaylp0  22933  taylthlem2  22935  pserulm  22983  psercn2  22984  pserdvlem2  22989  abelthlem6  22997  abelthlem7  22999  abelthlem8  23000  advlogexp  23204  cxpeq  23299  log2tlbnd  23473  log2ublem2  23475  log2ub  23477  birthdaylem2  23480  birthdaylem3  23481  ftalem1  23544  ftalem5  23548  basellem2  23553  basellem3  23554  dvdsppwf1o  23660  musum  23665  sgmppw  23670  1sgmprm  23672  logexprlim  23698  mersenne  23700  lgseisenlem1  23822  dchrisum0flblem1  23891  pntpbnd2  23970  iseupa  25167  eupares  25177  bcm1n  27834  plymulx0  28768  signsplypnf  28771  signstres  28796  subfacval2  28895  subfaclim  28896  cvmliftlem7  29000  risefacval2  29373  fallfacval2  29374  fallfacval3  29375  risefaccllem  29376  fallfaccllem  29377  risefacp1  29392  fallfacp1  29393  fallfacfwd  29399  binomfallfaclem1  29402  binomfallfaclem2  29403  binomrisefac  29405  bcfallfac  29407  bpolylem  30038  bpolysum  30043  bpolydiflem  30044  fsumkthpow  30046  bpoly4  30049  iblmulc2nc  30320  jm2.22  31176  jm2.23  31177  hbt  31320  cnsrplycl  31357  hashgcdlem  31398  bcc0  31486  binomcxplemnn0  31495  binomcxplemfrat  31497  binomcxplemradcnv  31498  dvnmptdivc  31974  dvnmul  31979  dvnprodlem1  31982  dvnprodlem2  31983  dvnprodlem3  31984  iblsplit  32004  elaa2lem  32255  etransclem2  32258  etransclem23  32279  etransclem28  32284  etransclem29  32285  etransclem32  32288  etransclem33  32289  etransclem35  32291  etransclem38  32294  etransclem39  32295  etransclem43  32299  etransclem44  32300  etransclem45  32301  etransclem46  32302  etransclem47  32303  etransclem48  32304  pfxmpt  32615  pfxlen  32619  addlenpfx  32626  pfxfv  32627  pfxswrd  32641  swrdpfx  32642  pfxpfx  32643  pfxpfxid  32644  pfxccat3  32654  pfxccatpfx1  32655  pfxccat3a  32657  repswpfx  32664  pfxco  32666  2elfz3nn0  32706  fz0addcom  32707  2elfz2melfz  32708  fz0addge0  32709  altgsumbc  33195  altgsumbcALT  33196  ply1mulgsumlem2  33241  ply1mulgsum  33244  nn0sumshdiglemA  33494  nn0sumshdiglemB  33495  aacllem  33604
  Copyright terms: Public domain W3C validator