MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elfznn0 Structured version   Unicode version

Theorem elfznn0 11597
Description: A member of a finite set of sequential integers starting at 0 is a nonnegative integer. (Contributed by NM, 5-Aug-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
elfznn0  |-  ( K  e.  ( 0 ... N )  ->  K  e.  NN0 )

Proof of Theorem elfznn0
StepHypRef Expression
1 elfz2nn0 11596 . 2  |-  ( K  e.  ( 0 ... N )  <->  ( K  e.  NN0  /\  N  e. 
NN0  /\  K  <_  N ) )
21simp1bi 1003 1  |-  ( K  e.  ( 0 ... N )  ->  K  e.  NN0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1758   class class class wbr 4399  (class class class)co 6199   0cc0 9392    <_ cle 9529   NN0cn0 10689   ...cfz 11553
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-sep 4520  ax-nul 4528  ax-pow 4577  ax-pr 4638  ax-un 6481  ax-cnex 9448  ax-resscn 9449  ax-1cn 9450  ax-icn 9451  ax-addcl 9452  ax-addrcl 9453  ax-mulcl 9454  ax-mulrcl 9455  ax-mulcom 9456  ax-addass 9457  ax-mulass 9458  ax-distr 9459  ax-i2m1 9460  ax-1ne0 9461  ax-1rid 9462  ax-rnegex 9463  ax-rrecex 9464  ax-cnre 9465  ax-pre-lttri 9466  ax-pre-lttrn 9467  ax-pre-ltadd 9468  ax-pre-mulgt0 9469
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2649  df-nel 2650  df-ral 2803  df-rex 2804  df-reu 2805  df-rab 2807  df-v 3078  df-sbc 3293  df-csb 3395  df-dif 3438  df-un 3440  df-in 3442  df-ss 3449  df-pss 3451  df-nul 3745  df-if 3899  df-pw 3969  df-sn 3985  df-pr 3987  df-tp 3989  df-op 3991  df-uni 4199  df-iun 4280  df-br 4400  df-opab 4458  df-mpt 4459  df-tr 4493  df-eprel 4739  df-id 4743  df-po 4748  df-so 4749  df-fr 4786  df-we 4788  df-ord 4829  df-on 4830  df-lim 4831  df-suc 4832  df-xp 4953  df-rel 4954  df-cnv 4955  df-co 4956  df-dm 4957  df-rn 4958  df-res 4959  df-ima 4960  df-iota 5488  df-fun 5527  df-fn 5528  df-f 5529  df-f1 5530  df-fo 5531  df-f1o 5532  df-fv 5533  df-riota 6160  df-ov 6202  df-oprab 6203  df-mpt2 6204  df-om 6586  df-1st 6686  df-2nd 6687  df-recs 6941  df-rdg 6975  df-er 7210  df-en 7420  df-dom 7421  df-sdom 7422  df-pnf 9530  df-mnf 9531  df-xr 9532  df-ltxr 9533  df-le 9534  df-sub 9707  df-neg 9708  df-nn 10433  df-n0 10690  df-z 10757  df-uz 10972  df-fz 11554
This theorem is referenced by:  fz0fzdiffz0  11605  fzo0ssnn0  11727  bcrpcl  12200  bccmpl  12201  bcp1n  12208  bcp1nk  12209  bcval5  12210  permnn  12218  swrd0len  12435  swrd0fv  12452  swrd0swrd  12472  swrdswrd0  12473  swrd0swrd0  12474  swrd0swrdid  12475  wrdcctswrd  12476  swrdccat3  12500  swrdccat3a  12502  swrdccat3blem  12503  splfv2a  12515  binomlem  13409  binom1p  13411  binom1dif  13413  bcxmas  13415  climcnds  13431  arisum  13439  arisum2  13440  geolim  13447  geo2sum  13450  mertenslem1  13461  mertenslem2  13462  mertens  13463  efcvgfsum  13488  efcj  13494  efaddlem  13495  effsumlt  13512  eirrlem  13603  fzo0dvdseq  13703  3dvds  13713  prmdiveq  13978  pcbc  14079  vdwapf  14150  vdwlem2  14160  vdwlem6  14164  vdwlem8  14166  psgnunilem2  16119  efgcpbllemb  16372  srgbinomlem3  16762  srgbinomlem4  16763  srgbinomlem  16764  psrbaglefi  17563  psrbaglefiOLD  17564  coe1mul2lem2  17844  coe1mul2  17845  coe1tmmul2  17852  coe1tmmul  17853  mbfi1fseqlem3  21327  mbfi1fseqlem4  21328  itg0  21389  itgz  21390  itgcl  21393  iblabsr  21439  iblmulc2  21440  itgsplit  21445  dvn2bss  21536  coe1mul3  21703  elply2  21796  plyf  21798  elplyd  21802  ply1termlem  21803  plyeq0lem  21810  plypf1  21812  plyaddlem1  21813  plymullem1  21814  plyaddlem  21815  plymullem  21816  coeeulem  21824  coeidlem  21837  coeid3  21840  plyco  21841  coeeq2  21842  dgreq  21844  coefv0  21847  coeaddlem  21848  coemullem  21849  coemulhi  21853  coemulc  21854  coe1termlem  21857  plycn  21860  plycjlem  21875  plycj  21876  plyrecj  21878  dvply1  21882  dvply2g  21883  vieta1lem2  21909  elqaalem2  21918  elqaalem3  21919  aareccl  21924  aannenlem1  21926  aalioulem1  21930  taylply2  21965  taylply  21966  dvtaylp  21967  dvntaylp0  21969  taylthlem2  21971  pserulm  22019  psercn2  22020  pserdvlem2  22025  abelthlem6  22033  abelthlem7  22035  abelthlem8  22036  advlogexp  22232  cxpeq  22327  log2tlbnd  22472  log2ublem2  22474  log2ub  22476  birthdaylem2  22478  birthdaylem3  22479  ftalem1  22542  ftalem5  22546  basellem2  22551  basellem3  22552  dvdsppwf1o  22658  musum  22663  sgmppw  22668  1sgmprm  22670  logexprlim  22696  mersenne  22698  lgseisenlem1  22820  dchrisum0flblem1  22889  pntpbnd2  22968  iseupa  23737  eupares  23747  bcm1n  26223  plymulx0  27091  signsplypnf  27094  signstres  27119  subfacval2  27218  subfaclim  27219  cvmliftlem7  27323  risefacval2  27656  fallfacval2  27657  fallfacval3  27658  risefaccllem  27659  fallfaccllem  27660  risefacp1  27675  fallfacp1  27676  fallfacfwd  27682  binomfallfaclem1  27685  binomfallfaclem2  27686  binomrisefac  27688  bcfallfac  27690  bpolylem  28334  bpolysum  28339  bpolydiflem  28340  fsumkthpow  28342  bpoly4  28345  iblmulc2nc  28604  jm2.22  29491  jm2.23  29492  hbt  29633  cnsrplycl  29671  hashgcdlem  29712  2elfz3nn0  30346  fz0addcom  30347  2elfz2melfz  30349  fz0addge0  30350  erclwwlktr0  30626  difelfzle  30634  cshwlemma1  30636  altgsumbc  30896  altgsumbcALT  30897  gsummptnn0fz  30957  gsummoncoe1  30995  ply1mulgsumlem2  30998  ply1mulgsum  31001  cply1mul  31004  m2pmfzgsumcl  31231  decpmatmul  31245  pmatcollpw3fi  31257  pmatcollpw3fi1lem1  31258  mp2pm2mplem4  31281  pm2mpmhmlem2  31291  cpscmatgsumbin  31315  cpscmatgsummon  31316  chfacfscmulgsum  31331  chfacfpmmulgsum  31335  cpmadugsumlemB  31345  cpmadugsumlemC  31346  cpmadugsumlemF  31347  cpmadugsumfi  31348
  Copyright terms: Public domain W3C validator