MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elfznn0 Unicode version

Theorem elfznn0 11039
Description: A member of a finite set of sequential integers starting at 0 is a nonnegative integer. (Contributed by NM, 5-Aug-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
elfznn0  |-  ( K  e.  ( 0 ... N )  ->  K  e.  NN0 )

Proof of Theorem elfznn0
StepHypRef Expression
1 elfz2nn0 11038 . 2  |-  ( K  e.  ( 0 ... N )  <->  ( K  e.  NN0  /\  N  e. 
NN0  /\  K  <_  N ) )
21simp1bi 972 1  |-  ( K  e.  ( 0 ... N )  ->  K  e.  NN0 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1721   class class class wbr 4172  (class class class)co 6040   0cc0 8946    <_ cle 9077   NN0cn0 10177   ...cfz 10999
This theorem is referenced by:  bcrpcl  11554  bccmpl  11555  bcp1n  11562  bcp1nk  11563  bcval5  11564  permnn  11572  swrd0len  11724  splfv2a  11740  binomlem  12563  binom1p  12565  binom1dif  12567  bcxmas  12570  climcnds  12586  arisum  12594  arisum2  12595  geolim  12602  geo2sum  12605  mertenslem1  12616  mertenslem2  12617  mertens  12618  efcvgfsum  12643  efcj  12649  efaddlem  12650  effsumlt  12667  eirrlem  12758  fzo0dvdseq  12857  3dvds  12867  prmdiveq  13130  pcbc  13224  vdwapf  13295  vdwlem2  13305  vdwlem6  13309  vdwlem8  13311  efgcpbllemb  15342  psrbaglefi  16392  coe1mul2lem2  16616  coe1mul2  16617  coe1tmmul2  16623  coe1tmmul  16624  mbfi1fseqlem3  19562  mbfi1fseqlem4  19563  itg0  19624  itgz  19625  itgcl  19628  iblabsr  19674  iblmulc2  19675  itgsplit  19680  dvn2bss  19769  coe1mul3  19975  elply2  20068  plyf  20070  elplyd  20074  ply1termlem  20075  plyeq0lem  20082  plypf1  20084  plyaddlem1  20085  plymullem1  20086  plyaddlem  20087  plymullem  20088  coeeulem  20096  coeidlem  20109  coeid3  20112  plyco  20113  coeeq2  20114  dgreq  20116  coefv0  20119  coeaddlem  20120  coemullem  20121  coemulhi  20125  coemulc  20126  coe1termlem  20129  plycn  20132  plycjlem  20147  plycj  20148  plyrecj  20150  dvply1  20154  dvply2g  20155  vieta1lem2  20181  elqaalem2  20190  elqaalem3  20191  aareccl  20196  aannenlem1  20198  aalioulem1  20202  taylply2  20237  taylply  20238  dvtaylp  20239  dvntaylp0  20241  taylthlem2  20243  pserulm  20291  psercn2  20292  pserdvlem2  20297  abelthlem6  20305  abelthlem7  20307  abelthlem8  20308  advlogexp  20499  cxpeq  20594  log2tlbnd  20738  log2ublem2  20740  log2ub  20742  birthdaylem2  20744  birthdaylem3  20745  ftalem1  20808  ftalem5  20812  basellem2  20817  basellem3  20818  dvdsppwf1o  20924  musum  20929  sgmppw  20934  1sgmprm  20936  logexprlim  20962  mersenne  20964  lgseisenlem1  21086  dchrisum0flblem1  21155  pntpbnd2  21234  iseupa  21640  eupares  21650  bcm1n  24104  subfacval2  24826  subfaclim  24827  cvmliftlem7  24931  risefacval2  25279  fallfacval2  25280  risefaccllem  25281  fallfaccllem  25282  risefacp1  25297  fallfacp1  25298  fallfacfac  25302  fallfacfwd  25303  binomfallfaclem1  25306  binomfallfaclem2  25307  binomrisefac  25309  bpolylem  25998  bpolysum  26003  bpolydiflem  26004  fsumkthpow  26006  bpoly4  26009  iblmulc2nc  26169  jm2.22  26956  jm2.23  26957  hbt  27202  cnsrplycl  27240  psgnunilem2  27286  hashgcdlem  27384  2elfz3nn0  27984  swrdswrd0  28013  swrd0swrd0  28014  swrdccatin12b  28027
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-er 6864  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-nn 9957  df-n0 10178  df-z 10239  df-uz 10445  df-fz 11000
  Copyright terms: Public domain W3C validator