MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elfznn0 Structured version   Unicode version

Theorem elfznn0 11774
Description: A member of a finite set of sequential nonnegative integers is a nonnegative integer. (Contributed by NM, 5-Aug-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
elfznn0  |-  ( K  e.  ( 0 ... N )  ->  K  e.  NN0 )

Proof of Theorem elfznn0
StepHypRef Expression
1 elfz2nn0 11772 . 2  |-  ( K  e.  ( 0 ... N )  <->  ( K  e.  NN0  /\  N  e. 
NN0  /\  K  <_  N ) )
21simp1bi 1010 1  |-  ( K  e.  ( 0 ... N )  ->  K  e.  NN0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1802   class class class wbr 4433  (class class class)co 6277   0cc0 9490    <_ cle 9627   NN0cn0 10796   ...cfz 11676
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1603  ax-4 1616  ax-5 1689  ax-6 1732  ax-7 1774  ax-8 1804  ax-9 1806  ax-10 1821  ax-11 1826  ax-12 1838  ax-13 1983  ax-ext 2419  ax-sep 4554  ax-nul 4562  ax-pow 4611  ax-pr 4672  ax-un 6573  ax-cnex 9546  ax-resscn 9547  ax-1cn 9548  ax-icn 9549  ax-addcl 9550  ax-addrcl 9551  ax-mulcl 9552  ax-mulrcl 9553  ax-mulcom 9554  ax-addass 9555  ax-mulass 9556  ax-distr 9557  ax-i2m1 9558  ax-1ne0 9559  ax-1rid 9560  ax-rnegex 9561  ax-rrecex 9562  ax-cnre 9563  ax-pre-lttri 9564  ax-pre-lttrn 9565  ax-pre-ltadd 9566  ax-pre-mulgt0 9567
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 973  df-3an 974  df-tru 1384  df-ex 1598  df-nf 1602  df-sb 1725  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2427  df-cleq 2433  df-clel 2436  df-nfc 2591  df-ne 2638  df-nel 2639  df-ral 2796  df-rex 2797  df-reu 2798  df-rab 2800  df-v 3095  df-sbc 3312  df-csb 3418  df-dif 3461  df-un 3463  df-in 3465  df-ss 3472  df-pss 3474  df-nul 3768  df-if 3923  df-pw 3995  df-sn 4011  df-pr 4013  df-tp 4015  df-op 4017  df-uni 4231  df-iun 4313  df-br 4434  df-opab 4492  df-mpt 4493  df-tr 4527  df-eprel 4777  df-id 4781  df-po 4786  df-so 4787  df-fr 4824  df-we 4826  df-ord 4867  df-on 4868  df-lim 4869  df-suc 4870  df-xp 4991  df-rel 4992  df-cnv 4993  df-co 4994  df-dm 4995  df-rn 4996  df-res 4997  df-ima 4998  df-iota 5537  df-fun 5576  df-fn 5577  df-f 5578  df-f1 5579  df-fo 5580  df-f1o 5581  df-fv 5582  df-riota 6238  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-om 6682  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-recs 7040  df-rdg 7074  df-er 7309  df-en 7515  df-dom 7516  df-sdom 7517  df-pnf 9628  df-mnf 9629  df-xr 9630  df-ltxr 9631  df-le 9632  df-sub 9807  df-neg 9808  df-nn 10538  df-n0 10797  df-z 10866  df-uz 11086  df-fz 11677
This theorem is referenced by:  fz0fzdiffz0  11786  difelfzle  11791  fzo0ssnn0  11870  bcrpcl  12360  bccmpl  12361  bcp1n  12368  bcp1nk  12369  bcval5  12370  permnn  12378  swrd0len  12623  swrd0fv  12640  swrd0swrd  12660  swrdswrd0  12661  swrd0swrd0  12662  swrd0swrdid  12663  wrdcctswrd  12664  swrdccat3  12691  swrdccat3a  12693  swrdccat3blem  12694  splfv2a  12706  2cshwcshw  12767  cshwcsh2id  12770  binomlem  13615  binom1p  13617  binom1dif  13619  bcxmas  13621  climcnds  13637  arisum  13645  arisum2  13646  geolim  13653  geo2sum  13656  mertenslem1  13667  mertenslem2  13668  mertens  13669  efcvgfsum  13694  efcj  13700  efaddlem  13701  effsumlt  13718  eirrlem  13809  3dvds  13922  prmdiveq  14188  pcbc  14291  vdwapf  14362  vdwlem2  14372  vdwlem6  14376  vdwlem8  14378  psgnunilem2  16389  efgcpbllemb  16642  gsummptnn0fz  16883  srgbinomlem3  17061  srgbinomlem4  17062  srgbinomlem  17063  psrbaglefi  17891  psrbaglefiOLD  17892  coe1mul2lem2  18177  coe1mul2  18178  coe1tmmul2  18185  coe1tmmul  18186  cply1mul  18203  gsummoncoe1  18214  m2pmfzgsumcl  19116  decpmatmul  19140  pmatcollpw3fi1lem1  19154  mp2pm2mplem4  19177  pm2mpmhmlem2  19187  chpscmatgsumbin  19212  chpscmatgsummon  19213  chfacfscmulgsum  19228  chfacfpmmulgsum  19232  cpmadugsumlemB  19242  cpmadugsumlemC  19243  cpmadugsumlemF  19244  cpmadugsumfi  19245  mbfi1fseqlem3  21990  mbfi1fseqlem4  21991  itg0  22052  itgz  22053  itgcl  22056  iblabsr  22102  iblmulc2  22103  itgsplit  22108  dvn2bss  22199  coe1mul3  22366  elply2  22459  plyf  22461  elplyd  22465  ply1termlem  22466  plyeq0lem  22473  plypf1  22475  plyaddlem1  22476  plymullem1  22477  plyaddlem  22478  plymullem  22479  coeeulem  22487  coeidlem  22500  coeid3  22503  plyco  22504  coeeq2  22505  dgreq  22507  coefv0  22510  coeaddlem  22511  coemullem  22512  coemulhi  22516  coemulc  22517  coe1termlem  22520  plycn  22523  plycjlem  22538  plycj  22539  plyrecj  22541  dvply1  22545  dvply2g  22546  vieta1lem2  22572  elqaalem2  22581  elqaalem3  22582  aareccl  22587  aannenlem1  22589  aalioulem1  22593  taylply2  22628  taylply  22629  dvtaylp  22630  dvntaylp0  22632  taylthlem2  22634  pserulm  22682  psercn2  22683  pserdvlem2  22688  abelthlem6  22696  abelthlem7  22698  abelthlem8  22699  advlogexp  22901  cxpeq  22996  log2tlbnd  23141  log2ublem2  23143  log2ub  23145  birthdaylem2  23147  birthdaylem3  23148  ftalem1  23211  ftalem5  23215  basellem2  23220  basellem3  23221  dvdsppwf1o  23327  musum  23332  sgmppw  23337  1sgmprm  23339  logexprlim  23365  mersenne  23367  lgseisenlem1  23489  dchrisum0flblem1  23558  pntpbnd2  23637  iseupa  24830  eupares  24840  bcm1n  27465  plymulx0  28370  signsplypnf  28373  signstres  28398  subfacval2  28497  subfaclim  28498  cvmliftlem7  28602  risefacval2  29100  fallfacval2  29101  fallfacval3  29102  risefaccllem  29103  fallfaccllem  29104  risefacp1  29119  fallfacp1  29120  fallfacfwd  29126  binomfallfaclem1  29129  binomfallfaclem2  29130  binomrisefac  29132  bcfallfac  29134  bpolylem  29778  bpolysum  29783  bpolydiflem  29784  fsumkthpow  29786  bpoly4  29789  iblmulc2nc  30048  jm2.22  30905  jm2.23  30906  hbt  31047  cnsrplycl  31085  hashgcdlem  31126  iblsplit  31651  2elfz3nn0  32166  fz0addcom  32167  2elfz2melfz  32168  fz0addge0  32169  altgsumbc  32649  altgsumbcALT  32650  ply1mulgsumlem2  32697  ply1mulgsum  32700
  Copyright terms: Public domain W3C validator