Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  pfxco Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pfxco 40301
 Description: Mapping of words commutes with the prefix operation. (Contributed by AV, 15-May-2020.)
Assertion
Ref Expression
pfxco ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝑁 ∈ (0...(#‘𝑊)) ∧ 𝐹:𝐴𝐵) → (𝐹 ∘ (𝑊 prefix 𝑁)) = ((𝐹𝑊) prefix 𝑁))

Proof of Theorem pfxco
StepHypRef Expression
1 elfznn0 12302 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (0...(#‘𝑊)) → 𝑁 ∈ ℕ0)
213ad2ant2 1076 . . . . 5 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝑁 ∈ (0...(#‘𝑊)) ∧ 𝐹:𝐴𝐵) → 𝑁 ∈ ℕ0)
3 0elfz 12305 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ∈ (0...𝑁))
42, 3syl 17 . . . 4 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝑁 ∈ (0...(#‘𝑊)) ∧ 𝐹:𝐴𝐵) → 0 ∈ (0...𝑁))
5 simp2 1055 . . . 4 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝑁 ∈ (0...(#‘𝑊)) ∧ 𝐹:𝐴𝐵) → 𝑁 ∈ (0...(#‘𝑊)))
64, 5jca 553 . . 3 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝑁 ∈ (0...(#‘𝑊)) ∧ 𝐹:𝐴𝐵) → (0 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(#‘𝑊))))
7 swrdco 13434 . . 3 ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ (0 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(#‘𝑊))) ∧ 𝐹:𝐴𝐵) → (𝐹 ∘ (𝑊 substr ⟨0, 𝑁⟩)) = ((𝐹𝑊) substr ⟨0, 𝑁⟩))
86, 7syld3an2 1365 . 2 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝑁 ∈ (0...(#‘𝑊)) ∧ 𝐹:𝐴𝐵) → (𝐹 ∘ (𝑊 substr ⟨0, 𝑁⟩)) = ((𝐹𝑊) substr ⟨0, 𝑁⟩))
9 pfxval 40246 . . . . 5 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑊 prefix 𝑁) = (𝑊 substr ⟨0, 𝑁⟩))
101, 9sylan2 490 . . . 4 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝑁 ∈ (0...(#‘𝑊))) → (𝑊 prefix 𝑁) = (𝑊 substr ⟨0, 𝑁⟩))
1110coeq2d 5206 . . 3 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝑁 ∈ (0...(#‘𝑊))) → (𝐹 ∘ (𝑊 prefix 𝑁)) = (𝐹 ∘ (𝑊 substr ⟨0, 𝑁⟩)))
12113adant3 1074 . 2 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝑁 ∈ (0...(#‘𝑊)) ∧ 𝐹:𝐴𝐵) → (𝐹 ∘ (𝑊 prefix 𝑁)) = (𝐹 ∘ (𝑊 substr ⟨0, 𝑁⟩)))
13 ffun 5961 . . . . . . . 8 (𝐹:𝐴𝐵 → Fun 𝐹)
1413anim2i 591 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝐹:𝐴𝐵) → (𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ Fun 𝐹))
1514ancomd 466 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝐹:𝐴𝐵) → (Fun 𝐹𝑊 ∈ Word 𝐴))
16153adant2 1073 . . . . 5 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝑁 ∈ (0...(#‘𝑊)) ∧ 𝐹:𝐴𝐵) → (Fun 𝐹𝑊 ∈ Word 𝐴))
17 cofunexg 7023 . . . . 5 ((Fun 𝐹𝑊 ∈ Word 𝐴) → (𝐹𝑊) ∈ V)
1816, 17syl 17 . . . 4 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝑁 ∈ (0...(#‘𝑊)) ∧ 𝐹:𝐴𝐵) → (𝐹𝑊) ∈ V)
1918, 2jca 553 . . 3 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝑁 ∈ (0...(#‘𝑊)) ∧ 𝐹:𝐴𝐵) → ((𝐹𝑊) ∈ V ∧ 𝑁 ∈ ℕ0))
20 pfxval 40246 . . 3 (((𝐹𝑊) ∈ V ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝐹𝑊) prefix 𝑁) = ((𝐹𝑊) substr ⟨0, 𝑁⟩))
2119, 20syl 17 . 2 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝑁 ∈ (0...(#‘𝑊)) ∧ 𝐹:𝐴𝐵) → ((𝐹𝑊) prefix 𝑁) = ((𝐹𝑊) substr ⟨0, 𝑁⟩))
228, 12, 213eqtr4d 2654 1 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝑁 ∈ (0...(#‘𝑊)) ∧ 𝐹:𝐴𝐵) → (𝐹 ∘ (𝑊 prefix 𝑁)) = ((𝐹𝑊) prefix 𝑁))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  Vcvv 3173  ⟨cop 4131   ∘ ccom 5042  Fun wfun 5798  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  0cc0 9815  ℕ0cn0 11169  ...cfz 12197  #chash 12979  Word cword 13146   substr csubstr 13150   prefix cpfx 40244 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-hash 12980  df-word 13154  df-substr 13158  df-pfx 40245 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator