Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elplyd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem elplyd 23762
 Description: Sufficient condition for elementhood in the set of polynomials. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
elplyd.1 (𝜑𝑆 ⊆ ℂ)
elplyd.2 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
elplyd.3 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝐴𝑆)
Assertion
Ref Expression
elplyd (𝜑 → (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(𝐴 · (𝑧𝑘))) ∈ (Poly‘𝑆))
Distinct variable groups:   𝑧,𝐴   𝑧,𝑘,𝑁   𝜑,𝑘,𝑧   𝑆,𝑘,𝑧
Allowed substitution hint:   𝐴(𝑘)

Proof of Theorem elplyd
Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nffvmpt1 6111 . . . . . . 7 𝑘((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 ∈ (0...𝑁), 𝐴, 0))‘𝑗)
2 nfcv 2751 . . . . . . 7 𝑘 ·
3 nfcv 2751 . . . . . . 7 𝑘(𝑧𝑗)
41, 2, 3nfov 6575 . . . . . 6 𝑘(((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 ∈ (0...𝑁), 𝐴, 0))‘𝑗) · (𝑧𝑗))
5 nfcv 2751 . . . . . 6 𝑗(((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 ∈ (0...𝑁), 𝐴, 0))‘𝑘) · (𝑧𝑘))
6 fveq2 6103 . . . . . . 7 (𝑗 = 𝑘 → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 ∈ (0...𝑁), 𝐴, 0))‘𝑗) = ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 ∈ (0...𝑁), 𝐴, 0))‘𝑘))
7 oveq2 6557 . . . . . . 7 (𝑗 = 𝑘 → (𝑧𝑗) = (𝑧𝑘))
86, 7oveq12d 6567 . . . . . 6 (𝑗 = 𝑘 → (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 ∈ (0...𝑁), 𝐴, 0))‘𝑗) · (𝑧𝑗)) = (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 ∈ (0...𝑁), 𝐴, 0))‘𝑘) · (𝑧𝑘)))
94, 5, 8cbvsumi 14275 . . . . 5 Σ𝑗 ∈ (0...𝑁)(((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 ∈ (0...𝑁), 𝐴, 0))‘𝑗) · (𝑧𝑗)) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 ∈ (0...𝑁), 𝐴, 0))‘𝑘) · (𝑧𝑘))
10 elfznn0 12302 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ (0...𝑁) → 𝑘 ∈ ℕ0)
1110adantl 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
12 iftrue 4042 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ (0...𝑁) → if(𝑘 ∈ (0...𝑁), 𝐴, 0) = 𝐴)
1312adantl 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → if(𝑘 ∈ (0...𝑁), 𝐴, 0) = 𝐴)
14 elplyd.3 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝐴𝑆)
1513, 14eqeltrd 2688 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → if(𝑘 ∈ (0...𝑁), 𝐴, 0) ∈ 𝑆)
16 eqid 2610 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 ∈ (0...𝑁), 𝐴, 0)) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 ∈ (0...𝑁), 𝐴, 0))
1716fvmpt2 6200 . . . . . . . . 9 ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ if(𝑘 ∈ (0...𝑁), 𝐴, 0) ∈ 𝑆) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 ∈ (0...𝑁), 𝐴, 0))‘𝑘) = if(𝑘 ∈ (0...𝑁), 𝐴, 0))
1811, 15, 17syl2anc 691 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 ∈ (0...𝑁), 𝐴, 0))‘𝑘) = if(𝑘 ∈ (0...𝑁), 𝐴, 0))
1918, 13eqtrd 2644 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 ∈ (0...𝑁), 𝐴, 0))‘𝑘) = 𝐴)
2019oveq1d 6564 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 ∈ (0...𝑁), 𝐴, 0))‘𝑘) · (𝑧𝑘)) = (𝐴 · (𝑧𝑘)))
2120sumeq2dv 14281 . . . . 5 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 ∈ (0...𝑁), 𝐴, 0))‘𝑘) · (𝑧𝑘)) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(𝐴 · (𝑧𝑘)))
229, 21syl5eq 2656 . . . 4 (𝜑 → Σ𝑗 ∈ (0...𝑁)(((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 ∈ (0...𝑁), 𝐴, 0))‘𝑗) · (𝑧𝑗)) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(𝐴 · (𝑧𝑘)))
2322mpteq2dv 4673 . . 3 (𝜑 → (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑗 ∈ (0...𝑁)(((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 ∈ (0...𝑁), 𝐴, 0))‘𝑗) · (𝑧𝑗))) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(𝐴 · (𝑧𝑘))))
24 elplyd.1 . . . . 5 (𝜑𝑆 ⊆ ℂ)
25 0cnd 9912 . . . . . 6 (𝜑 → 0 ∈ ℂ)
2625snssd 4281 . . . . 5 (𝜑 → {0} ⊆ ℂ)
2724, 26unssd 3751 . . . 4 (𝜑 → (𝑆 ∪ {0}) ⊆ ℂ)
28 elplyd.2 . . . 4 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
29 elun1 3742 . . . . . . . 8 (𝐴𝑆𝐴 ∈ (𝑆 ∪ {0}))
3014, 29syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝐴 ∈ (𝑆 ∪ {0}))
3130adantlr 747 . . . . . 6 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝐴 ∈ (𝑆 ∪ {0}))
32 ssun2 3739 . . . . . . . 8 {0} ⊆ (𝑆 ∪ {0})
33 c0ex 9913 . . . . . . . . 9 0 ∈ V
3433snss 4259 . . . . . . . 8 (0 ∈ (𝑆 ∪ {0}) ↔ {0} ⊆ (𝑆 ∪ {0}))
3532, 34mpbir 220 . . . . . . 7 0 ∈ (𝑆 ∪ {0})
3635a1i 11 . . . . . 6 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 0 ∈ (𝑆 ∪ {0}))
3731, 36ifclda 4070 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → if(𝑘 ∈ (0...𝑁), 𝐴, 0) ∈ (𝑆 ∪ {0}))
3837, 16fmptd 6292 . . . 4 (𝜑 → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 ∈ (0...𝑁), 𝐴, 0)):ℕ0⟶(𝑆 ∪ {0}))
39 elplyr 23761 . . . 4 (((𝑆 ∪ {0}) ⊆ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 ∈ (0...𝑁), 𝐴, 0)):ℕ0⟶(𝑆 ∪ {0})) → (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑗 ∈ (0...𝑁)(((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 ∈ (0...𝑁), 𝐴, 0))‘𝑗) · (𝑧𝑗))) ∈ (Poly‘(𝑆 ∪ {0})))
4027, 28, 38, 39syl3anc 1318 . . 3 (𝜑 → (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑗 ∈ (0...𝑁)(((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 ∈ (0...𝑁), 𝐴, 0))‘𝑗) · (𝑧𝑗))) ∈ (Poly‘(𝑆 ∪ {0})))
4123, 40eqeltrrd 2689 . 2 (𝜑 → (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(𝐴 · (𝑧𝑘))) ∈ (Poly‘(𝑆 ∪ {0})))
42 plyun0 23757 . 2 (Poly‘(𝑆 ∪ {0})) = (Poly‘𝑆)
4341, 42syl6eleq 2698 1 (𝜑 → (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(𝐴 · (𝑧𝑘))) ∈ (Poly‘𝑆))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ∪ cun 3538   ⊆ wss 3540  ifcif 4036  {csn 4125   ↦ cmpt 4643  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  ℂcc 9813  0cc0 9815   · cmul 9820  ℕ0cn0 11169  ...cfz 12197  ↑cexp 12722  Σcsu 14264  Polycply 23744 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-map 7746  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-seq 12664  df-sum 14265  df-ply 23748 This theorem is referenced by:  ply1term  23764  plyaddlem  23775  plymullem  23776  plycj  23837  dvply2g  23844  elqaalem3  23880  aareccl  23885  taylply2  23926  basellem2  24608  aacllem  42356
 Copyright terms: Public domain W3C validator