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Theorem pcbc 14628
Description: Calculate the prime count of a binomial coefficient. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Mar-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 21-May-2014.)
Assertion
Ref Expression
pcbc  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N )  /\  P  e.  Prime )  -> 
( P  pCnt  ( N  _C  K ) )  =  sum_ k  e.  ( 1 ... N ) ( ( |_ `  ( N  /  ( P ^ k ) ) )  -  ( ( |_ `  ( ( N  -  K )  /  ( P ^
k ) ) )  +  ( |_ `  ( K  /  ( P ^ k ) ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    P, k    k, N    k, K

Proof of Theorem pcbc
StepHypRef Expression
1 simp3 999 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N )  /\  P  e.  Prime )  ->  P  e.  Prime )
2 nnnn0 10843 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  NN0 )
323ad2ant1 1018 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N )  /\  P  e.  Prime )  ->  N  e.  NN0 )
4 faccl 12407 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ! `
 N )  e.  NN )
53, 4syl 17 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N )  /\  P  e.  Prime )  -> 
( ! `  N
)  e.  NN )
65nnzd 11007 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N )  /\  P  e.  Prime )  -> 
( ! `  N
)  e.  ZZ )
75nnne0d 10621 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N )  /\  P  e.  Prime )  -> 
( ! `  N
)  =/=  0 )
8 fznn0sub 11771 . . . . . 6  |-  ( K  e.  ( 0 ... N )  ->  ( N  -  K )  e.  NN0 )
983ad2ant2 1019 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N )  /\  P  e.  Prime )  -> 
( N  -  K
)  e.  NN0 )
10 faccl 12407 . . . . 5  |-  ( ( N  -  K )  e.  NN0  ->  ( ! `
 ( N  -  K ) )  e.  NN )
119, 10syl 17 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N )  /\  P  e.  Prime )  -> 
( ! `  ( N  -  K )
)  e.  NN )
12 elfznn0 11826 . . . . . 6  |-  ( K  e.  ( 0 ... N )  ->  K  e.  NN0 )
13123ad2ant2 1019 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N )  /\  P  e.  Prime )  ->  K  e.  NN0 )
14 faccl 12407 . . . . 5  |-  ( K  e.  NN0  ->  ( ! `
 K )  e.  NN )
1513, 14syl 17 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N )  /\  P  e.  Prime )  -> 
( ! `  K
)  e.  NN )
1611, 15nnmulcld 10624 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N )  /\  P  e.  Prime )  -> 
( ( ! `  ( N  -  K
) )  x.  ( ! `  K )
)  e.  NN )
17 pcdiv 14585 . . 3  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  (
( ! `  N
)  e.  ZZ  /\  ( ! `  N )  =/=  0 )  /\  ( ( ! `  ( N  -  K
) )  x.  ( ! `  K )
)  e.  NN )  ->  ( P  pCnt  ( ( ! `  N
)  /  ( ( ! `  ( N  -  K ) )  x.  ( ! `  K ) ) ) )  =  ( ( P  pCnt  ( ! `  N ) )  -  ( P  pCnt  ( ( ! `  ( N  -  K ) )  x.  ( ! `  K ) ) ) ) )
181, 6, 7, 16, 17syl121anc 1235 . 2  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N )  /\  P  e.  Prime )  -> 
( P  pCnt  (
( ! `  N
)  /  ( ( ! `  ( N  -  K ) )  x.  ( ! `  K ) ) ) )  =  ( ( P  pCnt  ( ! `  N ) )  -  ( P  pCnt  ( ( ! `  ( N  -  K ) )  x.  ( ! `  K ) ) ) ) )
19 bcval2 12427 . . . 4  |-  ( K  e.  ( 0 ... N )  ->  ( N  _C  K )  =  ( ( ! `  N )  /  (
( ! `  ( N  -  K )
)  x.  ( ! `
 K ) ) ) )
20193ad2ant2 1019 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N )  /\  P  e.  Prime )  -> 
( N  _C  K
)  =  ( ( ! `  N )  /  ( ( ! `
 ( N  -  K ) )  x.  ( ! `  K
) ) ) )
2120oveq2d 6294 . 2  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N )  /\  P  e.  Prime )  -> 
( P  pCnt  ( N  _C  K ) )  =  ( P  pCnt  ( ( ! `  N
)  /  ( ( ! `  ( N  -  K ) )  x.  ( ! `  K ) ) ) ) )
22 fzfid 12124 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N )  /\  P  e.  Prime )  -> 
( 1 ... N
)  e.  Fin )
23 nnre 10583 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  RR )
24233ad2ant1 1018 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N )  /\  P  e.  Prime )  ->  N  e.  RR )
2524adantr 463 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N )  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  ( 1 ... N ) )  ->  N  e.  RR )
26 simpl3 1002 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N )  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  ( 1 ... N ) )  ->  P  e.  Prime )
27 prmnn 14429 . . . . . . . . 9  |-  ( P  e.  Prime  ->  P  e.  NN )
2826, 27syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N )  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  ( 1 ... N ) )  ->  P  e.  NN )
29 elfznn 11768 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  ( 1 ... N )  ->  k  e.  NN )
3029nnnn0d 10893 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  ( 1 ... N )  ->  k  e.  NN0 )
3130adantl 464 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N )  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  ( 1 ... N ) )  ->  k  e.  NN0 )
3228, 31nnexpcld 12375 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N )  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( P ^
k )  e.  NN )
3325, 32nndivred 10625 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N )  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( N  / 
( P ^ k
) )  e.  RR )
3433flcld 11972 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N )  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( |_ `  ( N  /  ( P ^ k ) ) )  e.  ZZ )
3534zcnd 11009 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N )  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( |_ `  ( N  /  ( P ^ k ) ) )  e.  CC )
3613nn0red 10894 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N )  /\  P  e.  Prime )  ->  K  e.  RR )
3724, 36resubcld 10028 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N )  /\  P  e.  Prime )  -> 
( N  -  K
)  e.  RR )
3837adantr 463 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N )  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( N  -  K )  e.  RR )
3938, 32nndivred 10625 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N )  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( ( N  -  K )  / 
( P ^ k
) )  e.  RR )
4039flcld 11972 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N )  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( |_ `  ( ( N  -  K )  /  ( P ^ k ) ) )  e.  ZZ )
4140zcnd 11009 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N )  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( |_ `  ( ( N  -  K )  /  ( P ^ k ) ) )  e.  CC )
4236adantr 463 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N )  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  ( 1 ... N ) )  ->  K  e.  RR )
4342, 32nndivred 10625 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N )  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( K  / 
( P ^ k
) )  e.  RR )
4443flcld 11972 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N )  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( |_ `  ( K  /  ( P ^ k ) ) )  e.  ZZ )
4544zcnd 11009 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N )  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( |_ `  ( K  /  ( P ^ k ) ) )  e.  CC )
4641, 45addcld 9645 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N )  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( ( |_
`  ( ( N  -  K )  / 
( P ^ k
) ) )  +  ( |_ `  ( K  /  ( P ^
k ) ) ) )  e.  CC )
4722, 35, 46fsumsub 13754 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N )  /\  P  e.  Prime )  ->  sum_ k  e.  ( 1 ... N ) ( ( |_ `  ( N  /  ( P ^
k ) ) )  -  ( ( |_
`  ( ( N  -  K )  / 
( P ^ k
) ) )  +  ( |_ `  ( K  /  ( P ^
k ) ) ) ) )  =  (
sum_ k  e.  ( 1 ... N ) ( |_ `  ( N  /  ( P ^
k ) ) )  -  sum_ k  e.  ( 1 ... N ) ( ( |_ `  ( ( N  -  K )  /  ( P ^ k ) ) )  +  ( |_
`  ( K  / 
( P ^ k
) ) ) ) ) )
483nn0zd 11006 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N )  /\  P  e.  Prime )  ->  N  e.  ZZ )
49 uzid 11141 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  ( ZZ>= `  N )
)
5048, 49syl 17 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N )  /\  P  e.  Prime )  ->  N  e.  ( ZZ>= `  N ) )
51 pcfac 14627 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  N  e.  ( ZZ>= `  N )  /\  P  e.  Prime )  ->  ( P  pCnt  ( ! `  N ) )  = 
sum_ k  e.  ( 1 ... N ) ( |_ `  ( N  /  ( P ^
k ) ) ) )
523, 50, 1, 51syl3anc 1230 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N )  /\  P  e.  Prime )  -> 
( P  pCnt  ( ! `  N )
)  =  sum_ k  e.  ( 1 ... N
) ( |_ `  ( N  /  ( P ^ k ) ) ) )
5313nn0ge0d 10896 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N )  /\  P  e.  Prime )  -> 
0  <_  K )
5424, 36subge02d 10184 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N )  /\  P  e.  Prime )  -> 
( 0  <_  K  <->  ( N  -  K )  <_  N ) )
5553, 54mpbid 210 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N )  /\  P  e.  Prime )  -> 
( N  -  K
)  <_  N )
5613nn0zd 11006 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N )  /\  P  e.  Prime )  ->  K  e.  ZZ )
5748, 56zsubcld 11013 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N )  /\  P  e.  Prime )  -> 
( N  -  K
)  e.  ZZ )
58 eluz 11140 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  -  K
)  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( N  e.  (
ZZ>= `  ( N  -  K ) )  <->  ( N  -  K )  <_  N
) )
5957, 48, 58syl2anc 659 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N )  /\  P  e.  Prime )  -> 
( N  e.  (
ZZ>= `  ( N  -  K ) )  <->  ( N  -  K )  <_  N
) )
6055, 59mpbird 232 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N )  /\  P  e.  Prime )  ->  N  e.  ( ZZ>= `  ( N  -  K
) ) )
61 pcfac 14627 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  -  K
)  e.  NN0  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( N  -  K
) )  /\  P  e.  Prime )  ->  ( P  pCnt  ( ! `  ( N  -  K
) ) )  = 
sum_ k  e.  ( 1 ... N ) ( |_ `  (
( N  -  K
)  /  ( P ^ k ) ) ) )
629, 60, 1, 61syl3anc 1230 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N )  /\  P  e.  Prime )  -> 
( P  pCnt  ( ! `  ( N  -  K ) ) )  =  sum_ k  e.  ( 1 ... N ) ( |_ `  (
( N  -  K
)  /  ( P ^ k ) ) ) )
63 elfzuz3 11739 . . . . . . . 8  |-  ( K  e.  ( 0 ... N )  ->  N  e.  ( ZZ>= `  K )
)
64633ad2ant2 1019 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N )  /\  P  e.  Prime )  ->  N  e.  ( ZZ>= `  K ) )
65 pcfac 14627 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  N  e.  ( ZZ>= `  K )  /\  P  e.  Prime )  ->  ( P  pCnt  ( ! `  K ) )  = 
sum_ k  e.  ( 1 ... N ) ( |_ `  ( K  /  ( P ^
k ) ) ) )
6613, 64, 1, 65syl3anc 1230 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N )  /\  P  e.  Prime )  -> 
( P  pCnt  ( ! `  K )
)  =  sum_ k  e.  ( 1 ... N
) ( |_ `  ( K  /  ( P ^ k ) ) ) )
6762, 66oveq12d 6296 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N )  /\  P  e.  Prime )  -> 
( ( P  pCnt  ( ! `  ( N  -  K ) ) )  +  ( P 
pCnt  ( ! `  K ) ) )  =  ( sum_ k  e.  ( 1 ... N
) ( |_ `  ( ( N  -  K )  /  ( P ^ k ) ) )  +  sum_ k  e.  ( 1 ... N
) ( |_ `  ( K  /  ( P ^ k ) ) ) ) )
6811nnzd 11007 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N )  /\  P  e.  Prime )  -> 
( ! `  ( N  -  K )
)  e.  ZZ )
6911nnne0d 10621 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N )  /\  P  e.  Prime )  -> 
( ! `  ( N  -  K )
)  =/=  0 )
7015nnzd 11007 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N )  /\  P  e.  Prime )  -> 
( ! `  K
)  e.  ZZ )
7115nnne0d 10621 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N )  /\  P  e.  Prime )  -> 
( ! `  K
)  =/=  0 )
72 pcmul 14584 . . . . . 6  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  (
( ! `  ( N  -  K )
)  e.  ZZ  /\  ( ! `  ( N  -  K ) )  =/=  0 )  /\  ( ( ! `  K )  e.  ZZ  /\  ( ! `  K
)  =/=  0 ) )  ->  ( P  pCnt  ( ( ! `  ( N  -  K
) )  x.  ( ! `  K )
) )  =  ( ( P  pCnt  ( ! `  ( N  -  K ) ) )  +  ( P  pCnt  ( ! `  K ) ) ) )
731, 68, 69, 70, 71, 72syl122anc 1239 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N )  /\  P  e.  Prime )  -> 
( P  pCnt  (
( ! `  ( N  -  K )
)  x.  ( ! `
 K ) ) )  =  ( ( P  pCnt  ( ! `  ( N  -  K
) ) )  +  ( P  pCnt  ( ! `  K )
) ) )
7422, 41, 45fsumadd 13710 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N )  /\  P  e.  Prime )  ->  sum_ k  e.  ( 1 ... N ) ( ( |_ `  (
( N  -  K
)  /  ( P ^ k ) ) )  +  ( |_
`  ( K  / 
( P ^ k
) ) ) )  =  ( sum_ k  e.  ( 1 ... N
) ( |_ `  ( ( N  -  K )  /  ( P ^ k ) ) )  +  sum_ k  e.  ( 1 ... N
) ( |_ `  ( K  /  ( P ^ k ) ) ) ) )
7567, 73, 743eqtr4d 2453 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N )  /\  P  e.  Prime )  -> 
( P  pCnt  (
( ! `  ( N  -  K )
)  x.  ( ! `
 K ) ) )  =  sum_ k  e.  ( 1 ... N
) ( ( |_
`  ( ( N  -  K )  / 
( P ^ k
) ) )  +  ( |_ `  ( K  /  ( P ^
k ) ) ) ) )
7652, 75oveq12d 6296 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N )  /\  P  e.  Prime )  -> 
( ( P  pCnt  ( ! `  N ) )  -  ( P 
pCnt  ( ( ! `
 ( N  -  K ) )  x.  ( ! `  K
) ) ) )  =  ( sum_ k  e.  ( 1 ... N
) ( |_ `  ( N  /  ( P ^ k ) ) )  -  sum_ k  e.  ( 1 ... N
) ( ( |_
`  ( ( N  -  K )  / 
( P ^ k
) ) )  +  ( |_ `  ( K  /  ( P ^
k ) ) ) ) ) )
7747, 76eqtr4d 2446 . 2  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N )  /\  P  e.  Prime )  ->  sum_ k  e.  ( 1 ... N ) ( ( |_ `  ( N  /  ( P ^
k ) ) )  -  ( ( |_
`  ( ( N  -  K )  / 
( P ^ k
) ) )  +  ( |_ `  ( K  /  ( P ^
k ) ) ) ) )  =  ( ( P  pCnt  ( ! `  N )
)  -  ( P 
pCnt  ( ( ! `
 ( N  -  K ) )  x.  ( ! `  K
) ) ) ) )
7818, 21, 773eqtr4d 2453 1  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N )  /\  P  e.  Prime )  -> 
( P  pCnt  ( N  _C  K ) )  =  sum_ k  e.  ( 1 ... N ) ( ( |_ `  ( N  /  ( P ^ k ) ) )  -  ( ( |_ `  ( ( N  -  K )  /  ( P ^
k ) ) )  +  ( |_ `  ( K  /  ( P ^ k ) ) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    /\ w3a 974    = wceq 1405    e. wcel 1842    =/= wne 2598   class class class wbr 4395   ` cfv 5569  (class class class)co 6278   RRcr 9521   0cc0 9522   1c1 9523    + caddc 9525    x. cmul 9527    <_ cle 9659    - cmin 9841    / cdiv 10247   NNcn 10576   NN0cn0 10836   ZZcz 10905   ZZ>=cuz 11127   ...cfz 11726   |_cfl 11964   ^cexp 12210   !cfa 12397    _C cbc 12424   sum_csu 13657   Primecprime 14426    pCnt cpc 14569
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4507  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574  ax-inf2 8091  ax-cnex 9578  ax-resscn 9579  ax-1cn 9580  ax-icn 9581  ax-addcl 9582  ax-addrcl 9583  ax-mulcl 9584  ax-mulrcl 9585  ax-mulcom 9586  ax-addass 9587  ax-mulass 9588  ax-distr 9589  ax-i2m1 9590  ax-1ne0 9591  ax-1rid 9592  ax-rnegex 9593  ax-rrecex 9594  ax-cnre 9595  ax-pre-lttri 9596  ax-pre-lttrn 9597  ax-pre-ltadd 9598  ax-pre-mulgt0 9599  ax-pre-sup 9600
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-fal 1411  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2759  df-rex 2760  df-reu 2761  df-rmo 2762  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-csb 3374  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-pss 3430  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-tp 3977  df-op 3979  df-uni 4192  df-int 4228  df-iun 4273  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4490  df-eprel 4734  df-id 4738  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-se 4783  df-we 4784  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-pred 5367  df-ord 5413  df-on 5414  df-lim 5415  df-suc 5416  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-f1 5574  df-fo 5575  df-f1o 5576  df-fv 5577  df-isom 5578  df-riota 6240  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-om 6684  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-wrecs 7013  df-recs 7075  df-rdg 7113  df-1o 7167  df-2o 7168  df-oadd 7171  df-er 7348  df-en 7555  df-dom 7556  df-sdom 7557  df-fin 7558  df-sup 7935  df-oi 7969  df-card 8352  df-pnf 9660  df-mnf 9661  df-xr 9662  df-ltxr 9663  df-le 9664  df-sub 9843  df-neg 9844  df-div 10248  df-nn 10577  df-2 10635  df-3 10636  df-n0 10837  df-z 10906  df-uz 11128  df-q 11228  df-rp 11266  df-fz 11727  df-fzo 11855  df-fl 11966  df-mod 12035  df-seq 12152  df-exp 12211  df-fac 12398  df-bc 12425  df-hash 12453  df-cj 13081  df-re 13082  df-im 13083  df-sqrt 13217  df-abs 13218  df-clim 13460  df-sum 13658  df-dvds 14196  df-gcd 14354  df-prm 14427  df-pc 14570
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