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Theorem pcbc 14267
Description: Calculate the prime count of a binomial coefficient. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Mar-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 21-May-2014.)
Assertion
Ref Expression
pcbc  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N )  /\  P  e.  Prime )  -> 
( P  pCnt  ( N  _C  K ) )  =  sum_ k  e.  ( 1 ... N ) ( ( |_ `  ( N  /  ( P ^ k ) ) )  -  ( ( |_ `  ( ( N  -  K )  /  ( P ^
k ) ) )  +  ( |_ `  ( K  /  ( P ^ k ) ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    P, k    k, N    k, K

Proof of Theorem pcbc
StepHypRef Expression
1 simp3 993 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N )  /\  P  e.  Prime )  ->  P  e.  Prime )
2 nnnn0 10791 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  NN0 )
323ad2ant1 1012 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N )  /\  P  e.  Prime )  ->  N  e.  NN0 )
4 faccl 12318 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ! `
 N )  e.  NN )
53, 4syl 16 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N )  /\  P  e.  Prime )  -> 
( ! `  N
)  e.  NN )
65nnzd 10954 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N )  /\  P  e.  Prime )  -> 
( ! `  N
)  e.  ZZ )
75nnne0d 10569 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N )  /\  P  e.  Prime )  -> 
( ! `  N
)  =/=  0 )
8 fznn0sub 11705 . . . . . 6  |-  ( K  e.  ( 0 ... N )  ->  ( N  -  K )  e.  NN0 )
983ad2ant2 1013 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N )  /\  P  e.  Prime )  -> 
( N  -  K
)  e.  NN0 )
10 faccl 12318 . . . . 5  |-  ( ( N  -  K )  e.  NN0  ->  ( ! `
 ( N  -  K ) )  e.  NN )
119, 10syl 16 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N )  /\  P  e.  Prime )  -> 
( ! `  ( N  -  K )
)  e.  NN )
12 elfznn0 11759 . . . . . 6  |-  ( K  e.  ( 0 ... N )  ->  K  e.  NN0 )
13123ad2ant2 1013 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N )  /\  P  e.  Prime )  ->  K  e.  NN0 )
14 faccl 12318 . . . . 5  |-  ( K  e.  NN0  ->  ( ! `
 K )  e.  NN )
1513, 14syl 16 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N )  /\  P  e.  Prime )  -> 
( ! `  K
)  e.  NN )
1611, 15nnmulcld 10572 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N )  /\  P  e.  Prime )  -> 
( ( ! `  ( N  -  K
) )  x.  ( ! `  K )
)  e.  NN )
17 pcdiv 14224 . . 3  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  (
( ! `  N
)  e.  ZZ  /\  ( ! `  N )  =/=  0 )  /\  ( ( ! `  ( N  -  K
) )  x.  ( ! `  K )
)  e.  NN )  ->  ( P  pCnt  ( ( ! `  N
)  /  ( ( ! `  ( N  -  K ) )  x.  ( ! `  K ) ) ) )  =  ( ( P  pCnt  ( ! `  N ) )  -  ( P  pCnt  ( ( ! `  ( N  -  K ) )  x.  ( ! `  K ) ) ) ) )
181, 6, 7, 16, 17syl121anc 1228 . 2  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N )  /\  P  e.  Prime )  -> 
( P  pCnt  (
( ! `  N
)  /  ( ( ! `  ( N  -  K ) )  x.  ( ! `  K ) ) ) )  =  ( ( P  pCnt  ( ! `  N ) )  -  ( P  pCnt  ( ( ! `  ( N  -  K ) )  x.  ( ! `  K ) ) ) ) )
19 bcval2 12338 . . . 4  |-  ( K  e.  ( 0 ... N )  ->  ( N  _C  K )  =  ( ( ! `  N )  /  (
( ! `  ( N  -  K )
)  x.  ( ! `
 K ) ) ) )
20193ad2ant2 1013 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N )  /\  P  e.  Prime )  -> 
( N  _C  K
)  =  ( ( ! `  N )  /  ( ( ! `
 ( N  -  K ) )  x.  ( ! `  K
) ) ) )
2120oveq2d 6291 . 2  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N )  /\  P  e.  Prime )  -> 
( P  pCnt  ( N  _C  K ) )  =  ( P  pCnt  ( ( ! `  N
)  /  ( ( ! `  ( N  -  K ) )  x.  ( ! `  K ) ) ) ) )
22 fzfid 12039 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N )  /\  P  e.  Prime )  -> 
( 1 ... N
)  e.  Fin )
23 nnre 10532 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  RR )
24233ad2ant1 1012 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N )  /\  P  e.  Prime )  ->  N  e.  RR )
2524adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N )  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  ( 1 ... N ) )  ->  N  e.  RR )
26 simpl3 996 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N )  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  ( 1 ... N ) )  ->  P  e.  Prime )
27 prmnn 14068 . . . . . . . . 9  |-  ( P  e.  Prime  ->  P  e.  NN )
2826, 27syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N )  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  ( 1 ... N ) )  ->  P  e.  NN )
29 elfznn 11703 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  ( 1 ... N )  ->  k  e.  NN )
3029nnnn0d 10841 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  ( 1 ... N )  ->  k  e.  NN0 )
3130adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N )  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  ( 1 ... N ) )  ->  k  e.  NN0 )
3228, 31nnexpcld 12286 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N )  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( P ^
k )  e.  NN )
3325, 32nndivred 10573 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N )  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( N  / 
( P ^ k
) )  e.  RR )
3433flcld 11892 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N )  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( |_ `  ( N  /  ( P ^ k ) ) )  e.  ZZ )
3534zcnd 10956 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N )  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( |_ `  ( N  /  ( P ^ k ) ) )  e.  CC )
3613nn0red 10842 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N )  /\  P  e.  Prime )  ->  K  e.  RR )
3724, 36resubcld 9976 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N )  /\  P  e.  Prime )  -> 
( N  -  K
)  e.  RR )
3837adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N )  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( N  -  K )  e.  RR )
3938, 32nndivred 10573 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N )  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( ( N  -  K )  / 
( P ^ k
) )  e.  RR )
4039flcld 11892 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N )  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( |_ `  ( ( N  -  K )  /  ( P ^ k ) ) )  e.  ZZ )
4140zcnd 10956 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N )  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( |_ `  ( ( N  -  K )  /  ( P ^ k ) ) )  e.  CC )
4236adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N )  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  ( 1 ... N ) )  ->  K  e.  RR )
4342, 32nndivred 10573 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N )  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( K  / 
( P ^ k
) )  e.  RR )
4443flcld 11892 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N )  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( |_ `  ( K  /  ( P ^ k ) ) )  e.  ZZ )
4544zcnd 10956 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N )  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( |_ `  ( K  /  ( P ^ k ) ) )  e.  CC )
4641, 45addcld 9604 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N )  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( ( |_
`  ( ( N  -  K )  / 
( P ^ k
) ) )  +  ( |_ `  ( K  /  ( P ^
k ) ) ) )  e.  CC )
4722, 35, 46fsumsub 13552 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N )  /\  P  e.  Prime )  ->  sum_ k  e.  ( 1 ... N ) ( ( |_ `  ( N  /  ( P ^
k ) ) )  -  ( ( |_
`  ( ( N  -  K )  / 
( P ^ k
) ) )  +  ( |_ `  ( K  /  ( P ^
k ) ) ) ) )  =  (
sum_ k  e.  ( 1 ... N ) ( |_ `  ( N  /  ( P ^
k ) ) )  -  sum_ k  e.  ( 1 ... N ) ( ( |_ `  ( ( N  -  K )  /  ( P ^ k ) ) )  +  ( |_
`  ( K  / 
( P ^ k
) ) ) ) ) )
483nn0zd 10953 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N )  /\  P  e.  Prime )  ->  N  e.  ZZ )
49 uzid 11085 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  ( ZZ>= `  N )
)
5048, 49syl 16 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N )  /\  P  e.  Prime )  ->  N  e.  ( ZZ>= `  N ) )
51 pcfac 14266 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  N  e.  ( ZZ>= `  N )  /\  P  e.  Prime )  ->  ( P  pCnt  ( ! `  N ) )  = 
sum_ k  e.  ( 1 ... N ) ( |_ `  ( N  /  ( P ^
k ) ) ) )
523, 50, 1, 51syl3anc 1223 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N )  /\  P  e.  Prime )  -> 
( P  pCnt  ( ! `  N )
)  =  sum_ k  e.  ( 1 ... N
) ( |_ `  ( N  /  ( P ^ k ) ) ) )
5313nn0ge0d 10844 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N )  /\  P  e.  Prime )  -> 
0  <_  K )
5424, 36subge02d 10133 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N )  /\  P  e.  Prime )  -> 
( 0  <_  K  <->  ( N  -  K )  <_  N ) )
5553, 54mpbid 210 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N )  /\  P  e.  Prime )  -> 
( N  -  K
)  <_  N )
5613nn0zd 10953 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N )  /\  P  e.  Prime )  ->  K  e.  ZZ )
5748, 56zsubcld 10960 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N )  /\  P  e.  Prime )  -> 
( N  -  K
)  e.  ZZ )
58 eluz 11084 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  -  K
)  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( N  e.  (
ZZ>= `  ( N  -  K ) )  <->  ( N  -  K )  <_  N
) )
5957, 48, 58syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N )  /\  P  e.  Prime )  -> 
( N  e.  (
ZZ>= `  ( N  -  K ) )  <->  ( N  -  K )  <_  N
) )
6055, 59mpbird 232 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N )  /\  P  e.  Prime )  ->  N  e.  ( ZZ>= `  ( N  -  K
) ) )
61 pcfac 14266 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  -  K
)  e.  NN0  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( N  -  K
) )  /\  P  e.  Prime )  ->  ( P  pCnt  ( ! `  ( N  -  K
) ) )  = 
sum_ k  e.  ( 1 ... N ) ( |_ `  (
( N  -  K
)  /  ( P ^ k ) ) ) )
629, 60, 1, 61syl3anc 1223 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N )  /\  P  e.  Prime )  -> 
( P  pCnt  ( ! `  ( N  -  K ) ) )  =  sum_ k  e.  ( 1 ... N ) ( |_ `  (
( N  -  K
)  /  ( P ^ k ) ) ) )
63 elfzuz3 11674 . . . . . . . 8  |-  ( K  e.  ( 0 ... N )  ->  N  e.  ( ZZ>= `  K )
)
64633ad2ant2 1013 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N )  /\  P  e.  Prime )  ->  N  e.  ( ZZ>= `  K ) )
65 pcfac 14266 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  N  e.  ( ZZ>= `  K )  /\  P  e.  Prime )  ->  ( P  pCnt  ( ! `  K ) )  = 
sum_ k  e.  ( 1 ... N ) ( |_ `  ( K  /  ( P ^
k ) ) ) )
6613, 64, 1, 65syl3anc 1223 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N )  /\  P  e.  Prime )  -> 
( P  pCnt  ( ! `  K )
)  =  sum_ k  e.  ( 1 ... N
) ( |_ `  ( K  /  ( P ^ k ) ) ) )
6762, 66oveq12d 6293 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N )  /\  P  e.  Prime )  -> 
( ( P  pCnt  ( ! `  ( N  -  K ) ) )  +  ( P 
pCnt  ( ! `  K ) ) )  =  ( sum_ k  e.  ( 1 ... N
) ( |_ `  ( ( N  -  K )  /  ( P ^ k ) ) )  +  sum_ k  e.  ( 1 ... N
) ( |_ `  ( K  /  ( P ^ k ) ) ) ) )
6811nnzd 10954 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N )  /\  P  e.  Prime )  -> 
( ! `  ( N  -  K )
)  e.  ZZ )
6911nnne0d 10569 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N )  /\  P  e.  Prime )  -> 
( ! `  ( N  -  K )
)  =/=  0 )
7015nnzd 10954 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N )  /\  P  e.  Prime )  -> 
( ! `  K
)  e.  ZZ )
7115nnne0d 10569 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N )  /\  P  e.  Prime )  -> 
( ! `  K
)  =/=  0 )
72 pcmul 14223 . . . . . 6  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  (
( ! `  ( N  -  K )
)  e.  ZZ  /\  ( ! `  ( N  -  K ) )  =/=  0 )  /\  ( ( ! `  K )  e.  ZZ  /\  ( ! `  K
)  =/=  0 ) )  ->  ( P  pCnt  ( ( ! `  ( N  -  K
) )  x.  ( ! `  K )
) )  =  ( ( P  pCnt  ( ! `  ( N  -  K ) ) )  +  ( P  pCnt  ( ! `  K ) ) ) )
731, 68, 69, 70, 71, 72syl122anc 1232 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N )  /\  P  e.  Prime )  -> 
( P  pCnt  (
( ! `  ( N  -  K )
)  x.  ( ! `
 K ) ) )  =  ( ( P  pCnt  ( ! `  ( N  -  K
) ) )  +  ( P  pCnt  ( ! `  K )
) ) )
7422, 41, 45fsumadd 13510 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N )  /\  P  e.  Prime )  ->  sum_ k  e.  ( 1 ... N ) ( ( |_ `  (
( N  -  K
)  /  ( P ^ k ) ) )  +  ( |_
`  ( K  / 
( P ^ k
) ) ) )  =  ( sum_ k  e.  ( 1 ... N
) ( |_ `  ( ( N  -  K )  /  ( P ^ k ) ) )  +  sum_ k  e.  ( 1 ... N
) ( |_ `  ( K  /  ( P ^ k ) ) ) ) )
7567, 73, 743eqtr4d 2511 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N )  /\  P  e.  Prime )  -> 
( P  pCnt  (
( ! `  ( N  -  K )
)  x.  ( ! `
 K ) ) )  =  sum_ k  e.  ( 1 ... N
) ( ( |_
`  ( ( N  -  K )  / 
( P ^ k
) ) )  +  ( |_ `  ( K  /  ( P ^
k ) ) ) ) )
7652, 75oveq12d 6293 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N )  /\  P  e.  Prime )  -> 
( ( P  pCnt  ( ! `  N ) )  -  ( P 
pCnt  ( ( ! `
 ( N  -  K ) )  x.  ( ! `  K
) ) ) )  =  ( sum_ k  e.  ( 1 ... N
) ( |_ `  ( N  /  ( P ^ k ) ) )  -  sum_ k  e.  ( 1 ... N
) ( ( |_
`  ( ( N  -  K )  / 
( P ^ k
) ) )  +  ( |_ `  ( K  /  ( P ^
k ) ) ) ) ) )
7747, 76eqtr4d 2504 . 2  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N )  /\  P  e.  Prime )  ->  sum_ k  e.  ( 1 ... N ) ( ( |_ `  ( N  /  ( P ^
k ) ) )  -  ( ( |_
`  ( ( N  -  K )  / 
( P ^ k
) ) )  +  ( |_ `  ( K  /  ( P ^
k ) ) ) ) )  =  ( ( P  pCnt  ( ! `  N )
)  -  ( P 
pCnt  ( ( ! `
 ( N  -  K ) )  x.  ( ! `  K
) ) ) ) )
7818, 21, 773eqtr4d 2511 1  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N )  /\  P  e.  Prime )  -> 
( P  pCnt  ( N  _C  K ) )  =  sum_ k  e.  ( 1 ... N ) ( ( |_ `  ( N  /  ( P ^ k ) ) )  -  ( ( |_ `  ( ( N  -  K )  /  ( P ^
k ) ) )  +  ( |_ `  ( K  /  ( P ^ k ) ) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 968    = wceq 1374    e. wcel 1762    =/= wne 2655   class class class wbr 4440   ` cfv 5579  (class class class)co 6275   RRcr 9480   0cc0 9481   1c1 9482    + caddc 9484    x. cmul 9486    <_ cle 9618    - cmin 9794    / cdiv 10195   NNcn 10525   NN0cn0 10784   ZZcz 10853   ZZ>=cuz 11071   ...cfz 11661   |_cfl 11884   ^cexp 12122   !cfa 12308    _C cbc 12335   sum_csu 13457   Primecprime 14065    pCnt cpc 14208
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-rep 4551  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567  ax-inf2 8047  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558  ax-pre-sup 9559
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-fal 1380  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-nel 2658  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-pss 3485  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-tp 4025  df-op 4027  df-uni 4239  df-int 4276  df-iun 4320  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-tr 4534  df-eprel 4784  df-id 4788  df-po 4793  df-so 4794  df-fr 4831  df-se 4832  df-we 4833  df-ord 4874  df-on 4875  df-lim 4876  df-suc 4877  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-isom 5588  df-riota 6236  df-ov 6278  df-oprab 6279  df-mpt2 6280  df-om 6672  df-1st 6774  df-2nd 6775  df-recs 7032  df-rdg 7066  df-1o 7120  df-2o 7121  df-oadd 7124  df-er 7301  df-en 7507  df-dom 7508  df-sdom 7509  df-fin 7510  df-sup 7890  df-oi 7924  df-card 8309  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9796  df-neg 9797  df-div 10196  df-nn 10526  df-2 10583  df-3 10584  df-n0 10785  df-z 10854  df-uz 11072  df-q 11172  df-rp 11210  df-fz 11662  df-fzo 11782  df-fl 11886  df-mod 11953  df-seq 12064  df-exp 12123  df-fac 12309  df-bc 12336  df-hash 12361  df-cj 12882  df-re 12883  df-im 12884  df-sqr 13018  df-abs 13019  df-clim 13260  df-sum 13458  df-dvds 13837  df-gcd 13993  df-prm 14066  df-pc 14209
This theorem is referenced by:  pcbcctr  23272
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