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Theorem pcbc 13965
Description: Calculate the prime count of a binomial coefficient. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Mar-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 21-May-2014.)
Assertion
Ref Expression
pcbc  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N )  /\  P  e.  Prime )  -> 
( P  pCnt  ( N  _C  K ) )  =  sum_ k  e.  ( 1 ... N ) ( ( |_ `  ( N  /  ( P ^ k ) ) )  -  ( ( |_ `  ( ( N  -  K )  /  ( P ^
k ) ) )  +  ( |_ `  ( K  /  ( P ^ k ) ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    P, k    k, N    k, K

Proof of Theorem pcbc
StepHypRef Expression
1 simp3 990 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N )  /\  P  e.  Prime )  ->  P  e.  Prime )
2 nnnn0 10589 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  NN0 )
323ad2ant1 1009 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N )  /\  P  e.  Prime )  ->  N  e.  NN0 )
4 faccl 12064 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ! `
 N )  e.  NN )
53, 4syl 16 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N )  /\  P  e.  Prime )  -> 
( ! `  N
)  e.  NN )
65nnzd 10749 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N )  /\  P  e.  Prime )  -> 
( ! `  N
)  e.  ZZ )
75nnne0d 10369 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N )  /\  P  e.  Prime )  -> 
( ! `  N
)  =/=  0 )
8 fznn0sub 11490 . . . . . 6  |-  ( K  e.  ( 0 ... N )  ->  ( N  -  K )  e.  NN0 )
983ad2ant2 1010 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N )  /\  P  e.  Prime )  -> 
( N  -  K
)  e.  NN0 )
10 faccl 12064 . . . . 5  |-  ( ( N  -  K )  e.  NN0  ->  ( ! `
 ( N  -  K ) )  e.  NN )
119, 10syl 16 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N )  /\  P  e.  Prime )  -> 
( ! `  ( N  -  K )
)  e.  NN )
12 elfznn0 11484 . . . . . 6  |-  ( K  e.  ( 0 ... N )  ->  K  e.  NN0 )
13123ad2ant2 1010 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N )  /\  P  e.  Prime )  ->  K  e.  NN0 )
14 faccl 12064 . . . . 5  |-  ( K  e.  NN0  ->  ( ! `
 K )  e.  NN )
1513, 14syl 16 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N )  /\  P  e.  Prime )  -> 
( ! `  K
)  e.  NN )
1611, 15nnmulcld 10372 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N )  /\  P  e.  Prime )  -> 
( ( ! `  ( N  -  K
) )  x.  ( ! `  K )
)  e.  NN )
17 pcdiv 13922 . . 3  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  (
( ! `  N
)  e.  ZZ  /\  ( ! `  N )  =/=  0 )  /\  ( ( ! `  ( N  -  K
) )  x.  ( ! `  K )
)  e.  NN )  ->  ( P  pCnt  ( ( ! `  N
)  /  ( ( ! `  ( N  -  K ) )  x.  ( ! `  K ) ) ) )  =  ( ( P  pCnt  ( ! `  N ) )  -  ( P  pCnt  ( ( ! `  ( N  -  K ) )  x.  ( ! `  K ) ) ) ) )
181, 6, 7, 16, 17syl121anc 1223 . 2  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N )  /\  P  e.  Prime )  -> 
( P  pCnt  (
( ! `  N
)  /  ( ( ! `  ( N  -  K ) )  x.  ( ! `  K ) ) ) )  =  ( ( P  pCnt  ( ! `  N ) )  -  ( P  pCnt  ( ( ! `  ( N  -  K ) )  x.  ( ! `  K ) ) ) ) )
19 bcval2 12084 . . . 4  |-  ( K  e.  ( 0 ... N )  ->  ( N  _C  K )  =  ( ( ! `  N )  /  (
( ! `  ( N  -  K )
)  x.  ( ! `
 K ) ) ) )
20193ad2ant2 1010 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N )  /\  P  e.  Prime )  -> 
( N  _C  K
)  =  ( ( ! `  N )  /  ( ( ! `
 ( N  -  K ) )  x.  ( ! `  K
) ) ) )
2120oveq2d 6110 . 2  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N )  /\  P  e.  Prime )  -> 
( P  pCnt  ( N  _C  K ) )  =  ( P  pCnt  ( ( ! `  N
)  /  ( ( ! `  ( N  -  K ) )  x.  ( ! `  K ) ) ) ) )
22 fzfid 11798 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N )  /\  P  e.  Prime )  -> 
( 1 ... N
)  e.  Fin )
23 nnre 10332 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  RR )
24233ad2ant1 1009 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N )  /\  P  e.  Prime )  ->  N  e.  RR )
2524adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N )  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  ( 1 ... N ) )  ->  N  e.  RR )
26 simpl3 993 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N )  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  ( 1 ... N ) )  ->  P  e.  Prime )
27 prmnn 13769 . . . . . . . . 9  |-  ( P  e.  Prime  ->  P  e.  NN )
2826, 27syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N )  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  ( 1 ... N ) )  ->  P  e.  NN )
29 elfznn 11481 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  ( 1 ... N )  ->  k  e.  NN )
3029nnnn0d 10639 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  ( 1 ... N )  ->  k  e.  NN0 )
3130adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N )  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  ( 1 ... N ) )  ->  k  e.  NN0 )
3228, 31nnexpcld 12032 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N )  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( P ^
k )  e.  NN )
3325, 32nndivred 10373 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N )  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( N  / 
( P ^ k
) )  e.  RR )
3433flcld 11651 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N )  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( |_ `  ( N  /  ( P ^ k ) ) )  e.  ZZ )
3534zcnd 10751 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N )  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( |_ `  ( N  /  ( P ^ k ) ) )  e.  CC )
3613nn0red 10640 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N )  /\  P  e.  Prime )  ->  K  e.  RR )
3724, 36resubcld 9779 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N )  /\  P  e.  Prime )  -> 
( N  -  K
)  e.  RR )
3837adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N )  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( N  -  K )  e.  RR )
3938, 32nndivred 10373 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N )  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( ( N  -  K )  / 
( P ^ k
) )  e.  RR )
4039flcld 11651 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N )  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( |_ `  ( ( N  -  K )  /  ( P ^ k ) ) )  e.  ZZ )
4140zcnd 10751 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N )  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( |_ `  ( ( N  -  K )  /  ( P ^ k ) ) )  e.  CC )
4236adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N )  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  ( 1 ... N ) )  ->  K  e.  RR )
4342, 32nndivred 10373 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N )  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( K  / 
( P ^ k
) )  e.  RR )
4443flcld 11651 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N )  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( |_ `  ( K  /  ( P ^ k ) ) )  e.  ZZ )
4544zcnd 10751 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N )  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( |_ `  ( K  /  ( P ^ k ) ) )  e.  CC )
4641, 45addcld 9408 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N )  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( ( |_
`  ( ( N  -  K )  / 
( P ^ k
) ) )  +  ( |_ `  ( K  /  ( P ^
k ) ) ) )  e.  CC )
4722, 35, 46fsumsub 13258 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N )  /\  P  e.  Prime )  ->  sum_ k  e.  ( 1 ... N ) ( ( |_ `  ( N  /  ( P ^
k ) ) )  -  ( ( |_
`  ( ( N  -  K )  / 
( P ^ k
) ) )  +  ( |_ `  ( K  /  ( P ^
k ) ) ) ) )  =  (
sum_ k  e.  ( 1 ... N ) ( |_ `  ( N  /  ( P ^
k ) ) )  -  sum_ k  e.  ( 1 ... N ) ( ( |_ `  ( ( N  -  K )  /  ( P ^ k ) ) )  +  ( |_
`  ( K  / 
( P ^ k
) ) ) ) ) )
483nn0zd 10748 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N )  /\  P  e.  Prime )  ->  N  e.  ZZ )
49 uzid 10878 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  ( ZZ>= `  N )
)
5048, 49syl 16 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N )  /\  P  e.  Prime )  ->  N  e.  ( ZZ>= `  N ) )
51 pcfac 13964 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  N  e.  ( ZZ>= `  N )  /\  P  e.  Prime )  ->  ( P  pCnt  ( ! `  N ) )  = 
sum_ k  e.  ( 1 ... N ) ( |_ `  ( N  /  ( P ^
k ) ) ) )
523, 50, 1, 51syl3anc 1218 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N )  /\  P  e.  Prime )  -> 
( P  pCnt  ( ! `  N )
)  =  sum_ k  e.  ( 1 ... N
) ( |_ `  ( N  /  ( P ^ k ) ) ) )
5313nn0ge0d 10642 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N )  /\  P  e.  Prime )  -> 
0  <_  K )
5424, 36subge02d 9934 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N )  /\  P  e.  Prime )  -> 
( 0  <_  K  <->  ( N  -  K )  <_  N ) )
5553, 54mpbid 210 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N )  /\  P  e.  Prime )  -> 
( N  -  K
)  <_  N )
5613nn0zd 10748 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N )  /\  P  e.  Prime )  ->  K  e.  ZZ )
5748, 56zsubcld 10755 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N )  /\  P  e.  Prime )  -> 
( N  -  K
)  e.  ZZ )
58 eluz 10877 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  -  K
)  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( N  e.  (
ZZ>= `  ( N  -  K ) )  <->  ( N  -  K )  <_  N
) )
5957, 48, 58syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N )  /\  P  e.  Prime )  -> 
( N  e.  (
ZZ>= `  ( N  -  K ) )  <->  ( N  -  K )  <_  N
) )
6055, 59mpbird 232 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N )  /\  P  e.  Prime )  ->  N  e.  ( ZZ>= `  ( N  -  K
) ) )
61 pcfac 13964 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  -  K
)  e.  NN0  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( N  -  K
) )  /\  P  e.  Prime )  ->  ( P  pCnt  ( ! `  ( N  -  K
) ) )  = 
sum_ k  e.  ( 1 ... N ) ( |_ `  (
( N  -  K
)  /  ( P ^ k ) ) ) )
629, 60, 1, 61syl3anc 1218 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N )  /\  P  e.  Prime )  -> 
( P  pCnt  ( ! `  ( N  -  K ) ) )  =  sum_ k  e.  ( 1 ... N ) ( |_ `  (
( N  -  K
)  /  ( P ^ k ) ) ) )
63 elfzuz3 11453 . . . . . . . 8  |-  ( K  e.  ( 0 ... N )  ->  N  e.  ( ZZ>= `  K )
)
64633ad2ant2 1010 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N )  /\  P  e.  Prime )  ->  N  e.  ( ZZ>= `  K ) )
65 pcfac 13964 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  N  e.  ( ZZ>= `  K )  /\  P  e.  Prime )  ->  ( P  pCnt  ( ! `  K ) )  = 
sum_ k  e.  ( 1 ... N ) ( |_ `  ( K  /  ( P ^
k ) ) ) )
6613, 64, 1, 65syl3anc 1218 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N )  /\  P  e.  Prime )  -> 
( P  pCnt  ( ! `  K )
)  =  sum_ k  e.  ( 1 ... N
) ( |_ `  ( K  /  ( P ^ k ) ) ) )
6762, 66oveq12d 6112 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N )  /\  P  e.  Prime )  -> 
( ( P  pCnt  ( ! `  ( N  -  K ) ) )  +  ( P 
pCnt  ( ! `  K ) ) )  =  ( sum_ k  e.  ( 1 ... N
) ( |_ `  ( ( N  -  K )  /  ( P ^ k ) ) )  +  sum_ k  e.  ( 1 ... N
) ( |_ `  ( K  /  ( P ^ k ) ) ) ) )
6811nnzd 10749 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N )  /\  P  e.  Prime )  -> 
( ! `  ( N  -  K )
)  e.  ZZ )
6911nnne0d 10369 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N )  /\  P  e.  Prime )  -> 
( ! `  ( N  -  K )
)  =/=  0 )
7015nnzd 10749 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N )  /\  P  e.  Prime )  -> 
( ! `  K
)  e.  ZZ )
7115nnne0d 10369 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N )  /\  P  e.  Prime )  -> 
( ! `  K
)  =/=  0 )
72 pcmul 13921 . . . . . 6  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  (
( ! `  ( N  -  K )
)  e.  ZZ  /\  ( ! `  ( N  -  K ) )  =/=  0 )  /\  ( ( ! `  K )  e.  ZZ  /\  ( ! `  K
)  =/=  0 ) )  ->  ( P  pCnt  ( ( ! `  ( N  -  K
) )  x.  ( ! `  K )
) )  =  ( ( P  pCnt  ( ! `  ( N  -  K ) ) )  +  ( P  pCnt  ( ! `  K ) ) ) )
731, 68, 69, 70, 71, 72syl122anc 1227 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N )  /\  P  e.  Prime )  -> 
( P  pCnt  (
( ! `  ( N  -  K )
)  x.  ( ! `
 K ) ) )  =  ( ( P  pCnt  ( ! `  ( N  -  K
) ) )  +  ( P  pCnt  ( ! `  K )
) ) )
7422, 41, 45fsumadd 13218 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N )  /\  P  e.  Prime )  ->  sum_ k  e.  ( 1 ... N ) ( ( |_ `  (
( N  -  K
)  /  ( P ^ k ) ) )  +  ( |_
`  ( K  / 
( P ^ k
) ) ) )  =  ( sum_ k  e.  ( 1 ... N
) ( |_ `  ( ( N  -  K )  /  ( P ^ k ) ) )  +  sum_ k  e.  ( 1 ... N
) ( |_ `  ( K  /  ( P ^ k ) ) ) ) )
7567, 73, 743eqtr4d 2485 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N )  /\  P  e.  Prime )  -> 
( P  pCnt  (
( ! `  ( N  -  K )
)  x.  ( ! `
 K ) ) )  =  sum_ k  e.  ( 1 ... N
) ( ( |_
`  ( ( N  -  K )  / 
( P ^ k
) ) )  +  ( |_ `  ( K  /  ( P ^
k ) ) ) ) )
7652, 75oveq12d 6112 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N )  /\  P  e.  Prime )  -> 
( ( P  pCnt  ( ! `  N ) )  -  ( P 
pCnt  ( ( ! `
 ( N  -  K ) )  x.  ( ! `  K
) ) ) )  =  ( sum_ k  e.  ( 1 ... N
) ( |_ `  ( N  /  ( P ^ k ) ) )  -  sum_ k  e.  ( 1 ... N
) ( ( |_
`  ( ( N  -  K )  / 
( P ^ k
) ) )  +  ( |_ `  ( K  /  ( P ^
k ) ) ) ) ) )
7747, 76eqtr4d 2478 . 2  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N )  /\  P  e.  Prime )  ->  sum_ k  e.  ( 1 ... N ) ( ( |_ `  ( N  /  ( P ^
k ) ) )  -  ( ( |_
`  ( ( N  -  K )  / 
( P ^ k
) ) )  +  ( |_ `  ( K  /  ( P ^
k ) ) ) ) )  =  ( ( P  pCnt  ( ! `  N )
)  -  ( P 
pCnt  ( ( ! `
 ( N  -  K ) )  x.  ( ! `  K
) ) ) ) )
7818, 21, 773eqtr4d 2485 1  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N )  /\  P  e.  Prime )  -> 
( P  pCnt  ( N  _C  K ) )  =  sum_ k  e.  ( 1 ... N ) ( ( |_ `  ( N  /  ( P ^ k ) ) )  -  ( ( |_ `  ( ( N  -  K )  /  ( P ^
k ) ) )  +  ( |_ `  ( K  /  ( P ^ k ) ) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756    =/= wne 2609   class class class wbr 4295   ` cfv 5421  (class class class)co 6094   RRcr 9284   0cc0 9285   1c1 9286    + caddc 9288    x. cmul 9290    <_ cle 9422    - cmin 9598    / cdiv 9996   NNcn 10325   NN0cn0 10582   ZZcz 10649   ZZ>=cuz 10864   ...cfz 11440   |_cfl 11643   ^cexp 11868   !cfa 12054    _C cbc 12081   sum_csu 13166   Primecprime 13766    pCnt cpc 13906
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4406  ax-sep 4416  ax-nul 4424  ax-pow 4473  ax-pr 4534  ax-un 6375  ax-inf2 7850  ax-cnex 9341  ax-resscn 9342  ax-1cn 9343  ax-icn 9344  ax-addcl 9345  ax-addrcl 9346  ax-mulcl 9347  ax-mulrcl 9348  ax-mulcom 9349  ax-addass 9350  ax-mulass 9351  ax-distr 9352  ax-i2m1 9353  ax-1ne0 9354  ax-1rid 9355  ax-rnegex 9356  ax-rrecex 9357  ax-cnre 9358  ax-pre-lttri 9359  ax-pre-lttrn 9360  ax-pre-ltadd 9361  ax-pre-mulgt0 9362  ax-pre-sup 9363
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2571  df-ne 2611  df-nel 2612  df-ral 2723  df-rex 2724  df-reu 2725  df-rmo 2726  df-rab 2727  df-v 2977  df-sbc 3190  df-csb 3292  df-dif 3334  df-un 3336  df-in 3338  df-ss 3345  df-pss 3347  df-nul 3641  df-if 3795  df-pw 3865  df-sn 3881  df-pr 3883  df-tp 3885  df-op 3887  df-uni 4095  df-int 4132  df-iun 4176  df-br 4296  df-opab 4354  df-mpt 4355  df-tr 4389  df-eprel 4635  df-id 4639  df-po 4644  df-so 4645  df-fr 4682  df-se 4683  df-we 4684  df-ord 4725  df-on 4726  df-lim 4727  df-suc 4728  df-xp 4849  df-rel 4850  df-cnv 4851  df-co 4852  df-dm 4853  df-rn 4854  df-res 4855  df-ima 4856  df-iota 5384  df-fun 5423  df-fn 5424  df-f 5425  df-f1 5426  df-fo 5427  df-f1o 5428  df-fv 5429  df-isom 5430  df-riota 6055  df-ov 6097  df-oprab 6098  df-mpt2 6099  df-om 6480  df-1st 6580  df-2nd 6581  df-recs 6835  df-rdg 6869  df-1o 6923  df-2o 6924  df-oadd 6927  df-er 7104  df-en 7314  df-dom 7315  df-sdom 7316  df-fin 7317  df-sup 7694  df-oi 7727  df-card 8112  df-pnf 9423  df-mnf 9424  df-xr 9425  df-ltxr 9426  df-le 9427  df-sub 9600  df-neg 9601  df-div 9997  df-nn 10326  df-2 10383  df-3 10384  df-n0 10583  df-z 10650  df-uz 10865  df-q 10957  df-rp 10995  df-fz 11441  df-fzo 11552  df-fl 11645  df-mod 11712  df-seq 11810  df-exp 11869  df-fac 12055  df-bc 12082  df-hash 12107  df-cj 12591  df-re 12592  df-im 12593  df-sqr 12727  df-abs 12728  df-clim 12969  df-sum 13167  df-dvds 13539  df-gcd 13694  df-prm 13767  df-pc 13907
This theorem is referenced by:  pcbcctr  22618
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