MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nndivred Structured version   Unicode version

Theorem nndivred 10391
Description: A positive integer is one or greater. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
nndivred.1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
nndivred.2  |-  ( ph  ->  B  e.  NN )
Assertion
Ref Expression
nndivred  |-  ( ph  ->  ( A  /  B
)  e.  RR )

Proof of Theorem nndivred
StepHypRef Expression
1 nndivred.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
2 nndivred.2 . 2  |-  ( ph  ->  B  e.  NN )
3 nndivre 10378 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  NN )  ->  ( A  /  B
)  e.  RR )
41, 2, 3syl2anc 661 1  |-  ( ph  ->  ( A  /  B
)  e.  RR )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1756  (class class class)co 6112   RRcr 9302    / cdiv 10014   NNcn 10343
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4434  ax-nul 4442  ax-pow 4491  ax-pr 4552  ax-un 6393  ax-resscn 9360  ax-1cn 9361  ax-icn 9362  ax-addcl 9363  ax-addrcl 9364  ax-mulcl 9365  ax-mulrcl 9366  ax-mulcom 9367  ax-addass 9368  ax-mulass 9369  ax-distr 9370  ax-i2m1 9371  ax-1ne0 9372  ax-1rid 9373  ax-rnegex 9374  ax-rrecex 9375  ax-cnre 9376  ax-pre-lttri 9377  ax-pre-lttrn 9378  ax-pre-ltadd 9379  ax-pre-mulgt0 9380
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-nel 2623  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rmo 2744  df-rab 2745  df-v 2995  df-sbc 3208  df-csb 3310  df-dif 3352  df-un 3354  df-in 3356  df-ss 3363  df-pss 3365  df-nul 3659  df-if 3813  df-pw 3883  df-sn 3899  df-pr 3901  df-tp 3903  df-op 3905  df-uni 4113  df-iun 4194  df-br 4314  df-opab 4372  df-mpt 4373  df-tr 4407  df-eprel 4653  df-id 4657  df-po 4662  df-so 4663  df-fr 4700  df-we 4702  df-ord 4743  df-on 4744  df-lim 4745  df-suc 4746  df-xp 4867  df-rel 4868  df-cnv 4869  df-co 4870  df-dm 4871  df-rn 4872  df-res 4873  df-ima 4874  df-iota 5402  df-fun 5441  df-fn 5442  df-f 5443  df-f1 5444  df-fo 5445  df-f1o 5446  df-fv 5447  df-riota 6073  df-ov 6115  df-oprab 6116  df-mpt2 6117  df-om 6498  df-recs 6853  df-rdg 6887  df-er 7122  df-en 7332  df-dom 7333  df-sdom 7334  df-pnf 9441  df-mnf 9442  df-xr 9443  df-ltxr 9444  df-le 9445  df-sub 9618  df-neg 9619  df-div 10015  df-nn 10344
This theorem is referenced by:  bcp1nk  12114  reeftcl  13381  efcllem  13384  eftlub  13414  eirrlem  13507  dvdsmod  13611  bitsfzo  13652  bitsmod  13653  bitscmp  13655  bitsuz  13691  bezoutlem3  13745  hashdvds  13871  prmdiv  13881  odzdvds  13888  pcfaclem  13981  pcfac  13982  pcbc  13983  pockthlem  13987  prmreclem4  14001  odmod  16070  zringlpirlem3  17927  zlpirlem3  17932  prmirredlem  17939  prmirredlemOLD  17942  lebnumii  20560  ovoliunlem1  21007  uniioombllem4  21088  dyadss  21096  dyaddisjlem  21097  dyadmaxlem  21099  opnmbllem  21103  mbfi1fseqlem1  21215  mbfi1fseqlem3  21217  mbfi1fseqlem4  21218  mbfi1fseqlem5  21219  mbfi1fseqlem6  21220  aaliou3lem9  21838  taylthlem2  21861  advlogexp  22122  leibpilem2  22358  leibpi  22359  leibpisum  22360  birthdaylem3  22369  amgmlem  22405  fsumharmonic  22427  basellem4  22443  dvdsflf1o  22549  fsumfldivdiaglem  22551  logexprlim  22586  pcbcctr  22637  bcp1ctr  22640  bposlem2  22646  bposlem6  22650  lgseisenlem4  22713  lgseisen  22714  lgsquadlem1  22715  lgsquadlem2  22716  chebbnd1lem3  22742  chtppilimlem1  22744  vmadivsum  22753  vmadivsumb  22754  rplogsumlem1  22755  rplogsumlem2  22756  rpvmasumlem  22758  dchrisumlem1  22760  dchrvmasumlem1  22766  dchrvmasum2lem  22767  dchrvmasum2if  22768  dchrvmasumlem2  22769  dchrvmasumlem3  22770  dchrvmasumiflem1  22772  dchrvmasumiflem2  22773  rpvmasum2  22783  dchrisum0lem1  22787  dchrmusumlem  22793  dirith2  22799  mudivsum  22801  mulogsumlem  22802  mulogsum  22803  mulog2sumlem1  22805  mulog2sumlem2  22806  mulog2sumlem3  22807  vmalogdivsum2  22809  vmalogdivsum  22810  2vmadivsumlem  22811  selberglem1  22816  selberglem2  22817  selbergb  22820  selberg2b  22823  logdivbnd  22827  selberg3lem1  22828  selberg3  22830  selberg4lem1  22831  selberg4  22832  pntrsumo1  22836  pntrsumbnd  22837  pntrsumbnd2  22838  selbergr  22839  selberg3r  22840  selberg4r  22841  pntsf  22844  pntsval2  22847  pntrlog2bndlem2  22849  pntrlog2bndlem4  22851  pntrlog2bndlem5  22852  pntrlog2bndlem6  22854  pntpbnd1  22857  pntpbnd2  22858  pntibndlem2  22862  pntlemn  22871  pntlemj  22874  pntlemk  22877  pntlemo  22878  ostth2lem2  22905  lgamgulmlem2  27038  lgamgulmlem3  27039  lgamgulmlem4  27040  lgamgulmlem6  27042  lgamcvg2  27063  regamcl  27069  subfacval2  27097  subfaclim  27098  cvmliftlem6  27201  cvmliftlem7  27202  cvmliftlem8  27203  cvmliftlem9  27204  cvmliftlem10  27205  faclimlem1  27571  faclimlem2  27572  faclimlem3  27573  faclim  27574  iprodfac  27575  faclim2  27576  opnmbllem0  28453  pellexlem2  29197  stoweidlem11  29832  stoweidlem26  29847  stoweidlem42  29863  stoweidlem59  29880
  Copyright terms: Public domain W3C validator