MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nndivred Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem nndivred 10686
Description: A positive integer is one or greater. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
nndivred.1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
nndivred.2  |-  ( ph  ->  B  e.  NN )
Assertion
Ref Expression
nndivred  |-  ( ph  ->  ( A  /  B
)  e.  RR )

Proof of Theorem nndivred
StepHypRef Expression
1 nndivred.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
2 nndivred.2 . 2  |-  ( ph  ->  B  e.  NN )
3 nndivre 10673 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  NN )  ->  ( A  /  B
)  e.  RR )
41, 2, 3syl2anc 671 1  |-  ( ph  ->  ( A  /  B
)  e.  RR )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1898  (class class class)co 6315   RRcr 9564    / cdiv 10297   NNcn 10637
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1680  ax-4 1693  ax-5 1769  ax-6 1816  ax-7 1862  ax-8 1900  ax-9 1907  ax-10 1926  ax-11 1931  ax-12 1944  ax-13 2102  ax-ext 2442  ax-sep 4539  ax-nul 4548  ax-pow 4595  ax-pr 4653  ax-un 6610  ax-resscn 9622  ax-1cn 9623  ax-icn 9624  ax-addcl 9625  ax-addrcl 9626  ax-mulcl 9627  ax-mulrcl 9628  ax-mulcom 9629  ax-addass 9630  ax-mulass 9631  ax-distr 9632  ax-i2m1 9633  ax-1ne0 9634  ax-1rid 9635  ax-rnegex 9636  ax-rrecex 9637  ax-cnre 9638  ax-pre-lttri 9639  ax-pre-lttrn 9640  ax-pre-ltadd 9641  ax-pre-mulgt0 9642
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3or 992  df-3an 993  df-tru 1458  df-ex 1675  df-nf 1679  df-sb 1809  df-eu 2314  df-mo 2315  df-clab 2449  df-cleq 2455  df-clel 2458  df-nfc 2592  df-ne 2635  df-nel 2636  df-ral 2754  df-rex 2755  df-reu 2756  df-rmo 2757  df-rab 2758  df-v 3059  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-pss 3432  df-nul 3744  df-if 3894  df-pw 3965  df-sn 3981  df-pr 3983  df-tp 3985  df-op 3987  df-uni 4213  df-iun 4294  df-br 4417  df-opab 4476  df-mpt 4477  df-tr 4512  df-eprel 4764  df-id 4768  df-po 4774  df-so 4775  df-fr 4812  df-we 4814  df-xp 4859  df-rel 4860  df-cnv 4861  df-co 4862  df-dm 4863  df-rn 4864  df-res 4865  df-ima 4866  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6277  df-ov 6318  df-oprab 6319  df-mpt2 6320  df-om 6720  df-wrecs 7054  df-recs 7116  df-rdg 7154  df-er 7389  df-en 7596  df-dom 7597  df-sdom 7598  df-pnf 9703  df-mnf 9704  df-xr 9705  df-ltxr 9706  df-le 9707  df-sub 9888  df-neg 9889  df-div 10298  df-nn 10638
This theorem is referenced by:  bcp1nk  12534  reeftcl  14178  efcllem  14181  eftlub  14212  eirrlem  14305  dvdsmod  14411  bitsfzo  14458  bitsmod  14459  bitscmp  14461  bitsuz  14497  bezoutlem3OLD  14554  bezoutlem3  14557  hashdvds  14772  prmdiv  14782  odzdvds  14789  odzdvdsOLD  14795  pcfaclem  14892  pcfac  14893  pcbc  14894  pockthlem  14898  prmreclem4  14912  odmod  17244  zringlpirlem3OLD  19104  zringlpirlem3  19106  prmirredlem  19113  lebnumii  22046  ovoliunlem1  22504  uniioombllem4  22593  dyadss  22601  dyaddisjlem  22602  dyadmaxlem  22604  opnmbllem  22608  mbfi1fseqlem1  22722  mbfi1fseqlem3  22724  mbfi1fseqlem4  22725  mbfi1fseqlem5  22726  mbfi1fseqlem6  22727  aaliou3lem9  23355  taylthlem2  23378  advlogexp  23649  leibpilem2  23916  leibpi  23917  leibpisum  23918  birthdaylem3  23928  amgmlem  23964  fsumharmonic  23986  lgamgulmlem2  24004  lgamgulmlem3  24005  lgamgulmlem4  24006  lgamgulmlem6  24008  lgamcvg2  24029  regamcl  24035  basellem4  24059  dvdsflf1o  24165  fsumfldivdiaglem  24167  logexprlim  24202  pcbcctr  24253  bcp1ctr  24256  bposlem2  24262  bposlem6  24266  lgseisenlem4  24329  lgseisen  24330  lgsquadlem1  24331  lgsquadlem2  24332  chebbnd1lem3  24358  chtppilimlem1  24360  vmadivsum  24369  vmadivsumb  24370  rplogsumlem1  24371  rplogsumlem2  24372  rpvmasumlem  24374  dchrisumlem1  24376  dchrvmasumlem1  24382  dchrvmasum2lem  24383  dchrvmasum2if  24384  dchrvmasumlem2  24385  dchrvmasumlem3  24386  dchrvmasumiflem1  24388  dchrvmasumiflem2  24389  rpvmasum2  24399  dchrisum0lem1  24403  dchrmusumlem  24409  dirith2  24415  mudivsum  24417  mulogsumlem  24418  mulogsum  24419  mulog2sumlem1  24421  mulog2sumlem2  24422  mulog2sumlem3  24423  vmalogdivsum2  24425  vmalogdivsum  24426  2vmadivsumlem  24427  selberglem1  24432  selberglem2  24433  selbergb  24436  selberg2b  24439  logdivbnd  24443  selberg3lem1  24444  selberg3  24446  selberg4lem1  24447  selberg4  24448  pntrsumo1  24452  pntrsumbnd  24453  pntrsumbnd2  24454  selbergr  24455  selberg3r  24456  selberg4r  24457  pntsf  24460  pntsval2  24463  pntrlog2bndlem2  24465  pntrlog2bndlem4  24467  pntrlog2bndlem5  24468  pntrlog2bndlem6  24470  pntpbnd1  24473  pntpbnd2  24474  pntibndlem2  24478  pntlemn  24487  pntlemj  24490  pntlemk  24493  pntlemo  24494  ostth2lem2  24521  subfacval2  29959  subfaclim  29960  cvmliftlem6  30062  cvmliftlem7  30063  cvmliftlem8  30064  cvmliftlem9  30065  cvmliftlem10  30066  faclimlem1  30428  faclimlem2  30429  faclim2  30433  poimirlem29  32014  opnmbllem0  32021  pellexlem2  35719  hashnzfz2  36714  hashnzfzclim  36715  stoweidlem11  37909  stoweidlem26  37924  stoweidlem42  37941  stoweidlem59  37958  etransclem23  38160
  Copyright terms: Public domain W3C validator