MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nndivred Structured version   Unicode version

Theorem nndivred 10501
Description: A positive integer is one or greater. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
nndivred.1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
nndivred.2  |-  ( ph  ->  B  e.  NN )
Assertion
Ref Expression
nndivred  |-  ( ph  ->  ( A  /  B
)  e.  RR )

Proof of Theorem nndivred
StepHypRef Expression
1 nndivred.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
2 nndivred.2 . 2  |-  ( ph  ->  B  e.  NN )
3 nndivre 10488 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  NN )  ->  ( A  /  B
)  e.  RR )
41, 2, 3syl2anc 659 1  |-  ( ph  ->  ( A  /  B
)  e.  RR )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1826  (class class class)co 6196   RRcr 9402    / cdiv 10123   NNcn 10452
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1626  ax-4 1639  ax-5 1712  ax-6 1755  ax-7 1798  ax-8 1828  ax-9 1830  ax-10 1845  ax-11 1850  ax-12 1862  ax-13 2006  ax-ext 2360  ax-sep 4488  ax-nul 4496  ax-pow 4543  ax-pr 4601  ax-un 6491  ax-resscn 9460  ax-1cn 9461  ax-icn 9462  ax-addcl 9463  ax-addrcl 9464  ax-mulcl 9465  ax-mulrcl 9466  ax-mulcom 9467  ax-addass 9468  ax-mulass 9469  ax-distr 9470  ax-i2m1 9471  ax-1ne0 9472  ax-1rid 9473  ax-rnegex 9474  ax-rrecex 9475  ax-cnre 9476  ax-pre-lttri 9477  ax-pre-lttrn 9478  ax-pre-ltadd 9479  ax-pre-mulgt0 9480
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1402  df-ex 1621  df-nf 1625  df-sb 1748  df-eu 2222  df-mo 2223  df-clab 2368  df-cleq 2374  df-clel 2377  df-nfc 2532  df-ne 2579  df-nel 2580  df-ral 2737  df-rex 2738  df-reu 2739  df-rmo 2740  df-rab 2741  df-v 3036  df-sbc 3253  df-csb 3349  df-dif 3392  df-un 3394  df-in 3396  df-ss 3403  df-pss 3405  df-nul 3712  df-if 3858  df-pw 3929  df-sn 3945  df-pr 3947  df-tp 3949  df-op 3951  df-uni 4164  df-iun 4245  df-br 4368  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-tr 4461  df-eprel 4705  df-id 4709  df-po 4714  df-so 4715  df-fr 4752  df-we 4754  df-ord 4795  df-on 4796  df-lim 4797  df-suc 4798  df-xp 4919  df-rel 4920  df-cnv 4921  df-co 4922  df-dm 4923  df-rn 4924  df-res 4925  df-ima 4926  df-iota 5460  df-fun 5498  df-fn 5499  df-f 5500  df-f1 5501  df-fo 5502  df-f1o 5503  df-fv 5504  df-riota 6158  df-ov 6199  df-oprab 6200  df-mpt2 6201  df-om 6600  df-recs 6960  df-rdg 6994  df-er 7229  df-en 7436  df-dom 7437  df-sdom 7438  df-pnf 9541  df-mnf 9542  df-xr 9543  df-ltxr 9544  df-le 9545  df-sub 9720  df-neg 9721  df-div 10124  df-nn 10453
This theorem is referenced by:  bcp1nk  12297  reeftcl  13812  efcllem  13815  eftlub  13846  eirrlem  13939  dvdsmod  14045  bitsfzo  14087  bitsmod  14088  bitscmp  14090  bitsuz  14126  bezoutlem3  14180  hashdvds  14307  prmdiv  14317  odzdvds  14324  pcfaclem  14419  pcfac  14420  pcbc  14421  pockthlem  14425  prmreclem4  14439  odmod  16687  zringlpirlem3  18617  prmirredlem  18623  lebnumii  21551  ovoliunlem1  21998  uniioombllem4  22080  dyadss  22088  dyaddisjlem  22089  dyadmaxlem  22091  opnmbllem  22095  mbfi1fseqlem1  22207  mbfi1fseqlem3  22209  mbfi1fseqlem4  22210  mbfi1fseqlem5  22211  mbfi1fseqlem6  22212  aaliou3lem9  22831  taylthlem2  22854  advlogexp  23123  leibpilem2  23388  leibpi  23389  leibpisum  23390  birthdaylem3  23400  amgmlem  23436  fsumharmonic  23458  basellem4  23474  dvdsflf1o  23580  fsumfldivdiaglem  23582  logexprlim  23617  pcbcctr  23668  bcp1ctr  23671  bposlem2  23677  bposlem6  23681  lgseisenlem4  23744  lgseisen  23745  lgsquadlem1  23746  lgsquadlem2  23747  chebbnd1lem3  23773  chtppilimlem1  23775  vmadivsum  23784  vmadivsumb  23785  rplogsumlem1  23786  rplogsumlem2  23787  rpvmasumlem  23789  dchrisumlem1  23791  dchrvmasumlem1  23797  dchrvmasum2lem  23798  dchrvmasum2if  23799  dchrvmasumlem2  23800  dchrvmasumlem3  23801  dchrvmasumiflem1  23803  dchrvmasumiflem2  23804  rpvmasum2  23814  dchrisum0lem1  23818  dchrmusumlem  23824  dirith2  23830  mudivsum  23832  mulogsumlem  23833  mulogsum  23834  mulog2sumlem1  23836  mulog2sumlem2  23837  mulog2sumlem3  23838  vmalogdivsum2  23840  vmalogdivsum  23841  2vmadivsumlem  23842  selberglem1  23847  selberglem2  23848  selbergb  23851  selberg2b  23854  logdivbnd  23858  selberg3lem1  23859  selberg3  23861  selberg4lem1  23862  selberg4  23863  pntrsumo1  23867  pntrsumbnd  23868  pntrsumbnd2  23869  selbergr  23870  selberg3r  23871  selberg4r  23872  pntsf  23875  pntsval2  23878  pntrlog2bndlem2  23880  pntrlog2bndlem4  23882  pntrlog2bndlem5  23883  pntrlog2bndlem6  23885  pntpbnd1  23888  pntpbnd2  23889  pntibndlem2  23893  pntlemn  23902  pntlemj  23905  pntlemk  23908  pntlemo  23909  ostth2lem2  23936  lgamgulmlem2  28761  lgamgulmlem3  28762  lgamgulmlem4  28763  lgamgulmlem6  28765  lgamcvg2  28786  regamcl  28792  subfacval2  28820  subfaclim  28821  cvmliftlem6  28924  cvmliftlem7  28925  cvmliftlem8  28926  cvmliftlem9  28927  cvmliftlem10  28928  faclimlem1  29334  faclimlem2  29335  faclim2  29339  opnmbllem0  30215  pellexlem2  30931  hashnzfz2  31394  hashnzfzclim  31395  stoweidlem11  31959  stoweidlem26  31974  stoweidlem42  31990  stoweidlem59  32007  etransclem23  32206
  Copyright terms: Public domain W3C validator