MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nndivred Unicode version

Theorem nndivred 10004
Description: A natural number is one or greater. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
nndivred.1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
nndivred.2  |-  ( ph  ->  B  e.  NN )
Assertion
Ref Expression
nndivred  |-  ( ph  ->  ( A  /  B
)  e.  RR )

Proof of Theorem nndivred
StepHypRef Expression
1 nndivred.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
2 nndivred.2 . 2  |-  ( ph  ->  B  e.  NN )
3 nndivre 9991 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  NN )  ->  ( A  /  B
)  e.  RR )
41, 2, 3syl2anc 643 1  |-  ( ph  ->  ( A  /  B
)  e.  RR )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1721  (class class class)co 6040   RRcr 8945    / cdiv 9633   NNcn 9956
This theorem is referenced by:  bcp1nk  11563  reeftcl  12632  efcllem  12635  eftlub  12665  eirrlem  12758  dvdsmod  12861  bitsfzo  12902  bitsmod  12903  bitscmp  12905  bitsuz  12941  bezoutlem3  12995  hashdvds  13119  prmdiv  13129  odzdvds  13136  pcfaclem  13222  pcfac  13223  pcbc  13224  pockthlem  13228  prmreclem4  13242  odmod  15139  zlpirlem3  16725  prmirredlem  16728  lebnumii  18944  ovoliunlem1  19351  uniioombllem4  19431  dyadss  19439  dyaddisjlem  19440  dyadmaxlem  19442  opnmbllem  19446  mbfi1fseqlem1  19560  mbfi1fseqlem3  19562  mbfi1fseqlem4  19563  mbfi1fseqlem5  19564  mbfi1fseqlem6  19565  aaliou3lem9  20220  taylthlem2  20243  advlogexp  20499  leibpilem2  20734  leibpi  20735  leibpisum  20736  birthdaylem3  20745  amgmlem  20781  fsumharmonic  20803  basellem4  20819  dvdsflf1o  20925  fsumfldivdiaglem  20927  logexprlim  20962  pcbcctr  21013  bcp1ctr  21016  bposlem2  21022  bposlem6  21026  lgseisenlem4  21089  lgseisen  21090  lgsquadlem1  21091  lgsquadlem2  21092  chebbnd1lem3  21118  chtppilimlem1  21120  vmadivsum  21129  vmadivsumb  21130  rplogsumlem1  21131  rplogsumlem2  21132  rpvmasumlem  21134  dchrisumlem1  21136  dchrvmasumlem1  21142  dchrvmasum2lem  21143  dchrvmasum2if  21144  dchrvmasumlem2  21145  dchrvmasumlem3  21146  dchrvmasumiflem1  21148  dchrvmasumiflem2  21149  rpvmasum2  21159  dchrisum0lem1  21163  dchrmusumlem  21169  dirith2  21175  mudivsum  21177  mulogsumlem  21178  mulogsum  21179  mulog2sumlem1  21181  mulog2sumlem2  21182  mulog2sumlem3  21183  vmalogdivsum2  21185  vmalogdivsum  21186  2vmadivsumlem  21187  selberglem1  21192  selberglem2  21193  selbergb  21196  selberg2b  21199  logdivbnd  21203  selberg3lem1  21204  selberg3  21206  selberg4lem1  21207  selberg4  21208  pntrsumo1  21212  pntrsumbnd  21213  pntrsumbnd2  21214  selbergr  21215  selberg3r  21216  selberg4r  21217  pntsf  21220  pntsval2  21223  pntrlog2bndlem2  21225  pntrlog2bndlem4  21227  pntrlog2bndlem5  21228  pntrlog2bndlem6  21230  pntpbnd1  21233  pntpbnd2  21234  pntibndlem2  21238  pntlemn  21247  pntlemj  21250  pntlemk  21253  pntlemo  21254  ostth2lem2  21281  lgamgulmlem2  24767  lgamgulmlem3  24768  lgamgulmlem4  24769  lgamgulmlem6  24771  lgamcvg2  24792  regamcl  24798  subfacval2  24826  subfaclim  24827  cvmliftlem6  24930  cvmliftlem7  24931  cvmliftlem8  24932  cvmliftlem9  24933  cvmliftlem10  24934  faclimlem1  25310  faclimlem2  25311  faclimlem3  25312  faclim  25313  iprodfac  25314  faclim2  25315  mblfinlem  26143  pellexlem2  26783  stoweidlem11  27627  stoweidlem26  27642  stoweidlem42  27658  stoweidlem59  27675
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-er 6864  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957
  Copyright terms: Public domain W3C validator