MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nndivred Structured version   Unicode version

Theorem nndivred 10357
Description: A positive integer is one or greater. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
nndivred.1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
nndivred.2  |-  ( ph  ->  B  e.  NN )
Assertion
Ref Expression
nndivred  |-  ( ph  ->  ( A  /  B
)  e.  RR )

Proof of Theorem nndivred
StepHypRef Expression
1 nndivred.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
2 nndivred.2 . 2  |-  ( ph  ->  B  e.  NN )
3 nndivre 10344 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  NN )  ->  ( A  /  B
)  e.  RR )
41, 2, 3syl2anc 654 1  |-  ( ph  ->  ( A  /  B
)  e.  RR )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1755  (class class class)co 6080   RRcr 9268    / cdiv 9980   NNcn 10309
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1594  ax-4 1605  ax-5 1669  ax-6 1707  ax-7 1727  ax-8 1757  ax-9 1759  ax-10 1774  ax-11 1779  ax-12 1791  ax-13 1942  ax-ext 2414  ax-sep 4401  ax-nul 4409  ax-pow 4458  ax-pr 4519  ax-un 6361  ax-resscn 9326  ax-1cn 9327  ax-icn 9328  ax-addcl 9329  ax-addrcl 9330  ax-mulcl 9331  ax-mulrcl 9332  ax-mulcom 9333  ax-addass 9334  ax-mulass 9335  ax-distr 9336  ax-i2m1 9337  ax-1ne0 9338  ax-1rid 9339  ax-rnegex 9340  ax-rrecex 9341  ax-cnre 9342  ax-pre-lttri 9343  ax-pre-lttrn 9344  ax-pre-ltadd 9345  ax-pre-mulgt0 9346
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 959  df-3an 960  df-tru 1365  df-ex 1590  df-nf 1593  df-sb 1700  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2420  df-cleq 2426  df-clel 2429  df-nfc 2558  df-ne 2598  df-nel 2599  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2964  df-sbc 3176  df-csb 3277  df-dif 3319  df-un 3321  df-in 3323  df-ss 3330  df-pss 3332  df-nul 3626  df-if 3780  df-pw 3850  df-sn 3866  df-pr 3868  df-tp 3870  df-op 3872  df-uni 4080  df-iun 4161  df-br 4281  df-opab 4339  df-mpt 4340  df-tr 4374  df-eprel 4619  df-id 4623  df-po 4628  df-so 4629  df-fr 4666  df-we 4668  df-ord 4709  df-on 4710  df-lim 4711  df-suc 4712  df-xp 4833  df-rel 4834  df-cnv 4835  df-co 4836  df-dm 4837  df-rn 4838  df-res 4839  df-ima 4840  df-iota 5369  df-fun 5408  df-fn 5409  df-f 5410  df-f1 5411  df-fo 5412  df-f1o 5413  df-fv 5414  df-riota 6039  df-ov 6083  df-oprab 6084  df-mpt2 6085  df-om 6466  df-recs 6818  df-rdg 6852  df-er 7089  df-en 7299  df-dom 7300  df-sdom 7301  df-pnf 9407  df-mnf 9408  df-xr 9409  df-ltxr 9410  df-le 9411  df-sub 9584  df-neg 9585  df-div 9981  df-nn 10310
This theorem is referenced by:  bcp1nk  12076  reeftcl  13342  efcllem  13345  eftlub  13375  eirrlem  13468  dvdsmod  13572  bitsfzo  13613  bitsmod  13614  bitscmp  13616  bitsuz  13652  bezoutlem3  13706  hashdvds  13832  prmdiv  13842  odzdvds  13849  pcfaclem  13942  pcfac  13943  pcbc  13944  pockthlem  13948  prmreclem4  13962  odmod  16028  zringlpirlem3  17746  zlpirlem3  17751  prmirredlem  17758  prmirredlemOLD  17761  lebnumii  20379  ovoliunlem1  20826  uniioombllem4  20907  dyadss  20915  dyaddisjlem  20916  dyadmaxlem  20918  opnmbllem  20922  mbfi1fseqlem1  21034  mbfi1fseqlem3  21036  mbfi1fseqlem4  21037  mbfi1fseqlem5  21038  mbfi1fseqlem6  21039  aaliou3lem9  21700  taylthlem2  21723  advlogexp  21984  leibpilem2  22220  leibpi  22221  leibpisum  22222  birthdaylem3  22231  amgmlem  22267  fsumharmonic  22289  basellem4  22305  dvdsflf1o  22411  fsumfldivdiaglem  22413  logexprlim  22448  pcbcctr  22499  bcp1ctr  22502  bposlem2  22508  bposlem6  22512  lgseisenlem4  22575  lgseisen  22576  lgsquadlem1  22577  lgsquadlem2  22578  chebbnd1lem3  22604  chtppilimlem1  22606  vmadivsum  22615  vmadivsumb  22616  rplogsumlem1  22617  rplogsumlem2  22618  rpvmasumlem  22620  dchrisumlem1  22622  dchrvmasumlem1  22628  dchrvmasum2lem  22629  dchrvmasum2if  22630  dchrvmasumlem2  22631  dchrvmasumlem3  22632  dchrvmasumiflem1  22634  dchrvmasumiflem2  22635  rpvmasum2  22645  dchrisum0lem1  22649  dchrmusumlem  22655  dirith2  22661  mudivsum  22663  mulogsumlem  22664  mulogsum  22665  mulog2sumlem1  22667  mulog2sumlem2  22668  mulog2sumlem3  22669  vmalogdivsum2  22671  vmalogdivsum  22672  2vmadivsumlem  22673  selberglem1  22678  selberglem2  22679  selbergb  22682  selberg2b  22685  logdivbnd  22689  selberg3lem1  22690  selberg3  22692  selberg4lem1  22693  selberg4  22694  pntrsumo1  22698  pntrsumbnd  22699  pntrsumbnd2  22700  selbergr  22701  selberg3r  22702  selberg4r  22703  pntsf  22706  pntsval2  22709  pntrlog2bndlem2  22711  pntrlog2bndlem4  22713  pntrlog2bndlem5  22714  pntrlog2bndlem6  22716  pntpbnd1  22719  pntpbnd2  22720  pntibndlem2  22724  pntlemn  22733  pntlemj  22736  pntlemk  22739  pntlemo  22740  ostth2lem2  22767  lgamgulmlem2  26863  lgamgulmlem3  26864  lgamgulmlem4  26865  lgamgulmlem6  26867  lgamcvg2  26888  regamcl  26894  subfacval2  26922  subfaclim  26923  cvmliftlem6  27026  cvmliftlem7  27027  cvmliftlem8  27028  cvmliftlem9  27029  cvmliftlem10  27030  faclimlem1  27395  faclimlem2  27396  faclimlem3  27397  faclim  27398  iprodfac  27399  faclim2  27400  opnmbllem0  28268  pellexlem2  29013  stoweidlem11  29649  stoweidlem26  29664  stoweidlem42  29680  stoweidlem59  29697
  Copyright terms: Public domain W3C validator