MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nndivred Structured version   Unicode version

Theorem nndivred 10591
Description: A positive integer is one or greater. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
nndivred.1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
nndivred.2  |-  ( ph  ->  B  e.  NN )
Assertion
Ref Expression
nndivred  |-  ( ph  ->  ( A  /  B
)  e.  RR )

Proof of Theorem nndivred
StepHypRef Expression
1 nndivred.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
2 nndivred.2 . 2  |-  ( ph  ->  B  e.  NN )
3 nndivre 10578 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  NN )  ->  ( A  /  B
)  e.  RR )
41, 2, 3syl2anc 661 1  |-  ( ph  ->  ( A  /  B
)  e.  RR )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1804  (class class class)co 6281   RRcr 9494    / cdiv 10213   NNcn 10543
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571  ax-pre-mulgt0 9572
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rmo 2801  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-iun 4317  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-om 6686  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-er 7313  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-sub 9812  df-neg 9813  df-div 10214  df-nn 10544
This theorem is referenced by:  bcp1nk  12377  reeftcl  13792  efcllem  13795  eftlub  13826  eirrlem  13919  dvdsmod  14025  bitsfzo  14067  bitsmod  14068  bitscmp  14070  bitsuz  14106  bezoutlem3  14160  hashdvds  14287  prmdiv  14297  odzdvds  14304  pcfaclem  14399  pcfac  14400  pcbc  14401  pockthlem  14405  prmreclem4  14419  odmod  16549  zringlpirlem3  18489  zlpirlem3  18494  prmirredlem  18501  prmirredlemOLD  18504  lebnumii  21444  ovoliunlem1  21891  uniioombllem4  21973  dyadss  21981  dyaddisjlem  21982  dyadmaxlem  21984  opnmbllem  21988  mbfi1fseqlem1  22100  mbfi1fseqlem3  22102  mbfi1fseqlem4  22103  mbfi1fseqlem5  22104  mbfi1fseqlem6  22105  aaliou3lem9  22724  taylthlem2  22747  advlogexp  23014  leibpilem2  23250  leibpi  23251  leibpisum  23252  birthdaylem3  23261  amgmlem  23297  fsumharmonic  23319  basellem4  23335  dvdsflf1o  23441  fsumfldivdiaglem  23443  logexprlim  23478  pcbcctr  23529  bcp1ctr  23532  bposlem2  23538  bposlem6  23542  lgseisenlem4  23605  lgseisen  23606  lgsquadlem1  23607  lgsquadlem2  23608  chebbnd1lem3  23634  chtppilimlem1  23636  vmadivsum  23645  vmadivsumb  23646  rplogsumlem1  23647  rplogsumlem2  23648  rpvmasumlem  23650  dchrisumlem1  23652  dchrvmasumlem1  23658  dchrvmasum2lem  23659  dchrvmasum2if  23660  dchrvmasumlem2  23661  dchrvmasumlem3  23662  dchrvmasumiflem1  23664  dchrvmasumiflem2  23665  rpvmasum2  23675  dchrisum0lem1  23679  dchrmusumlem  23685  dirith2  23691  mudivsum  23693  mulogsumlem  23694  mulogsum  23695  mulog2sumlem1  23697  mulog2sumlem2  23698  mulog2sumlem3  23699  vmalogdivsum2  23701  vmalogdivsum  23702  2vmadivsumlem  23703  selberglem1  23708  selberglem2  23709  selbergb  23712  selberg2b  23715  logdivbnd  23719  selberg3lem1  23720  selberg3  23722  selberg4lem1  23723  selberg4  23724  pntrsumo1  23728  pntrsumbnd  23729  pntrsumbnd2  23730  selbergr  23731  selberg3r  23732  selberg4r  23733  pntsf  23736  pntsval2  23739  pntrlog2bndlem2  23741  pntrlog2bndlem4  23743  pntrlog2bndlem5  23744  pntrlog2bndlem6  23746  pntpbnd1  23749  pntpbnd2  23750  pntibndlem2  23754  pntlemn  23763  pntlemj  23766  pntlemk  23769  pntlemo  23770  ostth2lem2  23797  lgamgulmlem2  28550  lgamgulmlem3  28551  lgamgulmlem4  28552  lgamgulmlem6  28554  lgamcvg2  28575  regamcl  28581  subfacval2  28609  subfaclim  28610  cvmliftlem6  28713  cvmliftlem7  28714  cvmliftlem8  28715  cvmliftlem9  28716  cvmliftlem10  28717  faclimlem1  29144  faclimlem2  29145  faclim2  29149  opnmbllem0  30026  pellexlem2  30742  hashnzfz2  31202  hashnzfzclim  31203  stoweidlem11  31747  stoweidlem26  31762  stoweidlem42  31778  stoweidlem59  31795
  Copyright terms: Public domain W3C validator