MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nndivred Structured version   Unicode version

Theorem nndivred 10584
Description: A positive integer is one or greater. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
nndivred.1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
nndivred.2  |-  ( ph  ->  B  e.  NN )
Assertion
Ref Expression
nndivred  |-  ( ph  ->  ( A  /  B
)  e.  RR )

Proof of Theorem nndivred
StepHypRef Expression
1 nndivred.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
2 nndivred.2 . 2  |-  ( ph  ->  B  e.  NN )
3 nndivre 10571 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  NN )  ->  ( A  /  B
)  e.  RR )
41, 2, 3syl2anc 661 1  |-  ( ph  ->  ( A  /  B
)  e.  RR )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1767  (class class class)co 6284   RRcr 9491    / cdiv 10206   NNcn 10536
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576  ax-resscn 9549  ax-1cn 9550  ax-icn 9551  ax-addcl 9552  ax-addrcl 9553  ax-mulcl 9554  ax-mulrcl 9555  ax-mulcom 9556  ax-addass 9557  ax-mulass 9558  ax-distr 9559  ax-i2m1 9560  ax-1ne0 9561  ax-1rid 9562  ax-rnegex 9563  ax-rrecex 9564  ax-cnre 9565  ax-pre-lttri 9566  ax-pre-lttrn 9567  ax-pre-ltadd 9568  ax-pre-mulgt0 9569
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-riota 6245  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-om 6685  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-er 7311  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-pnf 9630  df-mnf 9631  df-xr 9632  df-ltxr 9633  df-le 9634  df-sub 9807  df-neg 9808  df-div 10207  df-nn 10537
This theorem is referenced by:  bcp1nk  12363  reeftcl  13672  efcllem  13675  eftlub  13705  eirrlem  13798  dvdsmod  13902  bitsfzo  13944  bitsmod  13945  bitscmp  13947  bitsuz  13983  bezoutlem3  14037  hashdvds  14164  prmdiv  14174  odzdvds  14181  pcfaclem  14276  pcfac  14277  pcbc  14278  pockthlem  14282  prmreclem4  14296  odmod  16376  zringlpirlem3  18306  zlpirlem3  18311  prmirredlem  18318  prmirredlemOLD  18321  lebnumii  21229  ovoliunlem1  21676  uniioombllem4  21758  dyadss  21766  dyaddisjlem  21767  dyadmaxlem  21769  opnmbllem  21773  mbfi1fseqlem1  21885  mbfi1fseqlem3  21887  mbfi1fseqlem4  21888  mbfi1fseqlem5  21889  mbfi1fseqlem6  21890  aaliou3lem9  22508  taylthlem2  22531  advlogexp  22792  leibpilem2  23028  leibpi  23029  leibpisum  23030  birthdaylem3  23039  amgmlem  23075  fsumharmonic  23097  basellem4  23113  dvdsflf1o  23219  fsumfldivdiaglem  23221  logexprlim  23256  pcbcctr  23307  bcp1ctr  23310  bposlem2  23316  bposlem6  23320  lgseisenlem4  23383  lgseisen  23384  lgsquadlem1  23385  lgsquadlem2  23386  chebbnd1lem3  23412  chtppilimlem1  23414  vmadivsum  23423  vmadivsumb  23424  rplogsumlem1  23425  rplogsumlem2  23426  rpvmasumlem  23428  dchrisumlem1  23430  dchrvmasumlem1  23436  dchrvmasum2lem  23437  dchrvmasum2if  23438  dchrvmasumlem2  23439  dchrvmasumlem3  23440  dchrvmasumiflem1  23442  dchrvmasumiflem2  23443  rpvmasum2  23453  dchrisum0lem1  23457  dchrmusumlem  23463  dirith2  23469  mudivsum  23471  mulogsumlem  23472  mulogsum  23473  mulog2sumlem1  23475  mulog2sumlem2  23476  mulog2sumlem3  23477  vmalogdivsum2  23479  vmalogdivsum  23480  2vmadivsumlem  23481  selberglem1  23486  selberglem2  23487  selbergb  23490  selberg2b  23493  logdivbnd  23497  selberg3lem1  23498  selberg3  23500  selberg4lem1  23501  selberg4  23502  pntrsumo1  23506  pntrsumbnd  23507  pntrsumbnd2  23508  selbergr  23509  selberg3r  23510  selberg4r  23511  pntsf  23514  pntsval2  23517  pntrlog2bndlem2  23519  pntrlog2bndlem4  23521  pntrlog2bndlem5  23522  pntrlog2bndlem6  23524  pntpbnd1  23527  pntpbnd2  23528  pntibndlem2  23532  pntlemn  23541  pntlemj  23544  pntlemk  23547  pntlemo  23548  ostth2lem2  23575  lgamgulmlem2  28240  lgamgulmlem3  28241  lgamgulmlem4  28242  lgamgulmlem6  28244  lgamcvg2  28265  regamcl  28271  subfacval2  28299  subfaclim  28300  cvmliftlem6  28403  cvmliftlem7  28404  cvmliftlem8  28405  cvmliftlem9  28406  cvmliftlem10  28407  faclimlem1  28773  faclimlem2  28774  faclimlem3  28775  faclim  28776  iprodfac  28777  faclim2  28778  opnmbllem0  29655  pellexlem2  30398  hashnzfz2  30854  hashnzfzclim  30855  stoweidlem11  31339  stoweidlem26  31354  stoweidlem42  31370  stoweidlem59  31387
  Copyright terms: Public domain W3C validator