MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  zringlpirlem3 Structured version   Unicode version

Theorem zringlpirlem3 18699
Description: Lemma for zringlpir 18700. All elements of a nonzero ideal of integers are divided by the least one. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Jan-2015.) (Revised by AV, 9-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
zringlpirlem.i  |-  ( ph  ->  I  e.  (LIdeal ` ring )
)
zringlpirlem.n0  |-  ( ph  ->  I  =/=  { 0 } )
zringlpirlem.g  |-  G  =  sup ( ( I  i^i  NN ) ,  RR ,  `'  <  )
zringlpirlem.x  |-  ( ph  ->  X  e.  I )
Assertion
Ref Expression
zringlpirlem3  |-  ( ph  ->  G  ||  X )

Proof of Theorem zringlpirlem3
StepHypRef Expression
1 zringlpirlem.i . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  I  e.  (LIdeal ` ring )
)
2 zringbas 18689 . . . . . . . . . 10  |-  ZZ  =  ( Base ` ring )
3 eqid 2454 . . . . . . . . . 10  |-  (LIdeal ` ring )  =  (LIdeal ` ring )
42, 3lidlss 18051 . . . . . . . . 9  |-  ( I  e.  (LIdeal ` ring )  ->  I  C_  ZZ )
51, 4syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  I  C_  ZZ )
6 zringlpirlem.x . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  X  e.  I )
75, 6sseldd 3490 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  X  e.  ZZ )
87zred 10965 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  X  e.  RR )
9 inss2 3705 . . . . . . . 8  |-  ( I  i^i  NN )  C_  NN
10 zringlpirlem.g . . . . . . . . 9  |-  G  =  sup ( ( I  i^i  NN ) ,  RR ,  `'  <  )
11 nnuz 11117 . . . . . . . . . . 11  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
129, 11sseqtri 3521 . . . . . . . . . 10  |-  ( I  i^i  NN )  C_  ( ZZ>= `  1 )
13 zringlpirlem.n0 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  I  =/=  { 0 } )
141, 13zringlpirlem1 18697 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( I  i^i  NN )  =/=  (/) )
15 infmssuzcl 11166 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( I  i^i  NN )  C_  ( ZZ>= `  1
)  /\  ( I  i^i  NN )  =/=  (/) )  ->  sup ( ( I  i^i 
NN ) ,  RR ,  `'  <  )  e.  ( I  i^i  NN ) )
1612, 14, 15sylancr 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  sup ( ( I  i^i  NN ) ,  RR ,  `'  <  )  e.  ( I  i^i 
NN ) )
1710, 16syl5eqel 2546 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  G  e.  ( I  i^i  NN ) )
189, 17sseldi 3487 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  G  e.  NN )
1918nnrpd 11257 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  G  e.  RR+ )
20 modlt 11988 . . . . . 6  |-  ( ( X  e.  RR  /\  G  e.  RR+ )  -> 
( X  mod  G
)  <  G )
218, 19, 20syl2anc 659 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( X  mod  G
)  <  G )
227, 18zmodcld 11998 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( X  mod  G
)  e.  NN0 )
2322nn0red 10849 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( X  mod  G
)  e.  RR )
2418nnred 10546 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  G  e.  RR )
2523, 24ltnled 9721 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( X  mod  G )  <  G  <->  -.  G  <_  ( X  mod  G
) ) )
2621, 25mpbid 210 . . . 4  |-  ( ph  ->  -.  G  <_  ( X  mod  G ) )
277zcnd 10966 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  X  e.  CC )
2818nncnd 10547 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  G  e.  CC )
298, 18nndivred 10580 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( X  /  G
)  e.  RR )
3029flcld 11916 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( |_ `  ( X  /  G ) )  e.  ZZ )
3130zcnd 10966 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( |_ `  ( X  /  G ) )  e.  CC )
3228, 31mulcld 9605 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( G  x.  ( |_ `  ( X  /  G ) ) )  e.  CC )
3327, 32negsubd 9928 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( X  +  -u ( G  x.  ( |_ `  ( X  /  G ) ) ) )  =  ( X  -  ( G  x.  ( |_ `  ( X  /  G ) ) ) ) )
3430znegcld 10967 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  -> 
-u ( |_ `  ( X  /  G
) )  e.  ZZ )
3534zcnd 10966 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  -> 
-u ( |_ `  ( X  /  G
) )  e.  CC )
3635, 28mulcomd 9606 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( -u ( |_
`  ( X  /  G ) )  x.  G )  =  ( G  x.  -u ( |_ `  ( X  /  G ) ) ) )
3728, 31mulneg2d 10006 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( G  x.  -u ( |_ `  ( X  /  G ) ) )  =  -u ( G  x.  ( |_ `  ( X  /  G ) ) ) )
3836, 37eqtrd 2495 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( -u ( |_
`  ( X  /  G ) )  x.  G )  =  -u ( G  x.  ( |_ `  ( X  /  G ) ) ) )
3938oveq2d 6286 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( X  +  (
-u ( |_ `  ( X  /  G
) )  x.  G
) )  =  ( X  +  -u ( G  x.  ( |_ `  ( X  /  G
) ) ) ) )
40 modval 11980 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( X  e.  RR  /\  G  e.  RR+ )  -> 
( X  mod  G
)  =  ( X  -  ( G  x.  ( |_ `  ( X  /  G ) ) ) ) )
418, 19, 40syl2anc 659 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( X  mod  G
)  =  ( X  -  ( G  x.  ( |_ `  ( X  /  G ) ) ) ) )
4233, 39, 413eqtr4rd 2506 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( X  mod  G
)  =  ( X  +  ( -u ( |_ `  ( X  /  G ) )  x.  G ) ) )
43 zringring 18686 . . . . . . . . . . 11  |-ring  e.  Ring
4443a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->ring  e. 
Ring )
451, 13, 10zringlpirlem2 18698 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  G  e.  I )
46 zringmulr 18692 . . . . . . . . . . . 12  |-  x.  =  ( .r ` ring )
473, 2, 46lidlmcl 18060 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( (ring  e.  Ring  /\  I  e.  (LIdeal ` ring ) )  /\  ( -u ( |_ `  ( X  /  G ) )  e.  ZZ  /\  G  e.  I ) )  -> 
( -u ( |_ `  ( X  /  G
) )  x.  G
)  e.  I )
4844, 1, 34, 45, 47syl22anc 1227 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( -u ( |_
`  ( X  /  G ) )  x.  G )  e.  I
)
49 zringplusg 18690 . . . . . . . . . . 11  |-  +  =  ( +g  ` ring )
503, 49lidlacl 18055 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( (ring  e.  Ring  /\  I  e.  (LIdeal ` ring ) )  /\  ( X  e.  I  /\  ( -u ( |_ `  ( X  /  G
) )  x.  G
)  e.  I ) )  ->  ( X  +  ( -u ( |_ `  ( X  /  G ) )  x.  G ) )  e.  I )
5144, 1, 6, 48, 50syl22anc 1227 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( X  +  (
-u ( |_ `  ( X  /  G
) )  x.  G
) )  e.  I
)
5242, 51eqeltrd 2542 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( X  mod  G
)  e.  I )
5352adantr 463 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( X  mod  G )  e.  NN )  ->  ( X  mod  G )  e.  I )
54 simpr 459 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( X  mod  G )  e.  NN )  ->  ( X  mod  G )  e.  NN )
5553, 54elind 3674 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( X  mod  G )  e.  NN )  ->  ( X  mod  G )  e.  ( I  i^i  NN ) )
56 infmssuzle 11165 . . . . . 6  |-  ( ( ( I  i^i  NN )  C_  ( ZZ>= `  1
)  /\  ( X  mod  G )  e.  ( I  i^i  NN ) )  ->  sup (
( I  i^i  NN ) ,  RR ,  `'  <  )  <_  ( X  mod  G ) )
5712, 55, 56sylancr 661 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( X  mod  G )  e.  NN )  ->  sup ( ( I  i^i  NN ) ,  RR ,  `'  <  )  <_  ( X  mod  G ) )
5810, 57syl5eqbr 4472 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( X  mod  G )  e.  NN )  ->  G  <_  ( X  mod  G ) )
5926, 58mtand 657 . . 3  |-  ( ph  ->  -.  ( X  mod  G )  e.  NN )
60 elnn0 10793 . . . 4  |-  ( ( X  mod  G )  e.  NN0  <->  ( ( X  mod  G )  e.  NN  \/  ( X  mod  G )  =  0 ) )
6122, 60sylib 196 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( X  mod  G )  e.  NN  \/  ( X  mod  G )  =  0 ) )
62 orel1 380 . . 3  |-  ( -.  ( X  mod  G
)  e.  NN  ->  ( ( ( X  mod  G )  e.  NN  \/  ( X  mod  G )  =  0 )  -> 
( X  mod  G
)  =  0 ) )
6359, 61, 62sylc 60 . 2  |-  ( ph  ->  ( X  mod  G
)  =  0 )
64 dvdsval3 14074 . . 3  |-  ( ( G  e.  NN  /\  X  e.  ZZ )  ->  ( G  ||  X  <->  ( X  mod  G )  =  0 ) )
6518, 7, 64syl2anc 659 . 2  |-  ( ph  ->  ( G  ||  X  <->  ( X  mod  G )  =  0 ) )
6663, 65mpbird 232 1  |-  ( ph  ->  G  ||  X )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 366    /\ wa 367    = wceq 1398    e. wcel 1823    =/= wne 2649    i^i cin 3460    C_ wss 3461   (/)c0 3783   {csn 4016   class class class wbr 4439   `'ccnv 4987   ` cfv 5570  (class class class)co 6270   supcsup 7892   RRcr 9480   0cc0 9481   1c1 9482    + caddc 9484    x. cmul 9486    < clt 9617    <_ cle 9618    - cmin 9796   -ucneg 9797    / cdiv 10202   NNcn 10531   NN0cn0 10791   ZZcz 10860   ZZ>=cuz 11082   RR+crp 11221   |_cfl 11908    mod cmo 11978    || cdvds 14070   Ringcrg 17393  LIdealclidl 18011  ℤringzring 18683
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558  ax-pre-sup 9559  ax-addf 9560  ax-mulf 9561
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-int 4272  df-iun 4317  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-om 6674  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-oadd 7126  df-er 7303  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-fin 7513  df-sup 7893  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-div 10203  df-nn 10532  df-2 10590  df-3 10591  df-4 10592  df-5 10593  df-6 10594  df-7 10595  df-8 10596  df-9 10597  df-10 10598  df-n0 10792  df-z 10861  df-dec 10977  df-uz 11083  df-rp 11222  df-fz 11676  df-fl 11910  df-mod 11979  df-seq 12090  df-exp 12149  df-cj 13014  df-re 13015  df-im 13016  df-sqrt 13150  df-abs 13151  df-dvds 14071  df-struct 14718  df-ndx 14719  df-slot 14720  df-base 14721  df-sets 14722  df-ress 14723  df-plusg 14797  df-mulr 14798  df-starv 14799  df-sca 14800  df-vsca 14801  df-ip 14802  df-tset 14803  df-ple 14804  df-ds 14806  df-unif 14807  df-0g 14931  df-mgm 16071  df-sgrp 16110  df-mnd 16120  df-grp 16256  df-minusg 16257  df-sbg 16258  df-subg 16397  df-cmn 16999  df-mgp 17337  df-ur 17349  df-ring 17395  df-cring 17396  df-subrg 17622  df-lmod 17709  df-lss 17774  df-sra 18013  df-rgmod 18014  df-lidl 18015  df-cnfld 18616  df-zring 18684
This theorem is referenced by:  zringlpir  18700
  Copyright terms: Public domain W3C validator