MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  zringlpirlem3 Structured version   Unicode version

Theorem zringlpirlem3 17910
Description: Lemma for zringlpir 17911. All elements of a nonzero ideal of integers are divided by the least one. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Jan-2015.) (Revised by AV, 9-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
zringlpirlem.i  |-  ( ph  ->  I  e.  (LIdeal ` ring )
)
zringlpirlem.n0  |-  ( ph  ->  I  =/=  { 0 } )
zringlpirlem.g  |-  G  =  sup ( ( I  i^i  NN ) ,  RR ,  `'  <  )
zringlpirlem.x  |-  ( ph  ->  X  e.  I )
Assertion
Ref Expression
zringlpirlem3  |-  ( ph  ->  G  ||  X )

Proof of Theorem zringlpirlem3
StepHypRef Expression
1 zringlpirlem.i . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  I  e.  (LIdeal ` ring )
)
2 zringbas 17894 . . . . . . . . . 10  |-  ZZ  =  ( Base ` ring )
3 eqid 2443 . . . . . . . . . 10  |-  (LIdeal ` ring )  =  (LIdeal ` ring )
42, 3lidlss 17296 . . . . . . . . 9  |-  ( I  e.  (LIdeal ` ring )  ->  I  C_  ZZ )
51, 4syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  I  C_  ZZ )
6 zringlpirlem.x . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  X  e.  I )
75, 6sseldd 3362 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  X  e.  ZZ )
87zred 10752 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  X  e.  RR )
9 inss2 3576 . . . . . . . 8  |-  ( I  i^i  NN )  C_  NN
10 zringlpirlem.g . . . . . . . . 9  |-  G  =  sup ( ( I  i^i  NN ) ,  RR ,  `'  <  )
11 nnuz 10901 . . . . . . . . . . 11  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
129, 11sseqtri 3393 . . . . . . . . . 10  |-  ( I  i^i  NN )  C_  ( ZZ>= `  1 )
13 zringlpirlem.n0 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  I  =/=  { 0 } )
141, 13zringlpirlem1 17908 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( I  i^i  NN )  =/=  (/) )
15 infmssuzcl 10943 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( I  i^i  NN )  C_  ( ZZ>= `  1
)  /\  ( I  i^i  NN )  =/=  (/) )  ->  sup ( ( I  i^i 
NN ) ,  RR ,  `'  <  )  e.  ( I  i^i  NN ) )
1612, 14, 15sylancr 663 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  sup ( ( I  i^i  NN ) ,  RR ,  `'  <  )  e.  ( I  i^i 
NN ) )
1710, 16syl5eqel 2527 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  G  e.  ( I  i^i  NN ) )
189, 17sseldi 3359 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  G  e.  NN )
1918nnrpd 11031 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  G  e.  RR+ )
20 modlt 11723 . . . . . 6  |-  ( ( X  e.  RR  /\  G  e.  RR+ )  -> 
( X  mod  G
)  <  G )
218, 19, 20syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( X  mod  G
)  <  G )
227, 18zmodcld 11733 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( X  mod  G
)  e.  NN0 )
2322nn0red 10642 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( X  mod  G
)  e.  RR )
2418nnred 10342 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  G  e.  RR )
2523, 24ltnled 9526 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( X  mod  G )  <  G  <->  -.  G  <_  ( X  mod  G
) ) )
2621, 25mpbid 210 . . . 4  |-  ( ph  ->  -.  G  <_  ( X  mod  G ) )
277zcnd 10753 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  X  e.  CC )
2818nncnd 10343 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  G  e.  CC )
298, 18nndivred 10375 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( X  /  G
)  e.  RR )
3029flcld 11653 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( |_ `  ( X  /  G ) )  e.  ZZ )
3130zcnd 10753 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( |_ `  ( X  /  G ) )  e.  CC )
3228, 31mulcld 9411 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( G  x.  ( |_ `  ( X  /  G ) ) )  e.  CC )
3327, 32negsubd 9730 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( X  +  -u ( G  x.  ( |_ `  ( X  /  G ) ) ) )  =  ( X  -  ( G  x.  ( |_ `  ( X  /  G ) ) ) ) )
3430znegcld 10754 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  -> 
-u ( |_ `  ( X  /  G
) )  e.  ZZ )
3534zcnd 10753 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  -> 
-u ( |_ `  ( X  /  G
) )  e.  CC )
3635, 28mulcomd 9412 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( -u ( |_
`  ( X  /  G ) )  x.  G )  =  ( G  x.  -u ( |_ `  ( X  /  G ) ) ) )
3728, 31mulneg2d 9803 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( G  x.  -u ( |_ `  ( X  /  G ) ) )  =  -u ( G  x.  ( |_ `  ( X  /  G ) ) ) )
3836, 37eqtrd 2475 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( -u ( |_
`  ( X  /  G ) )  x.  G )  =  -u ( G  x.  ( |_ `  ( X  /  G ) ) ) )
3938oveq2d 6112 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( X  +  (
-u ( |_ `  ( X  /  G
) )  x.  G
) )  =  ( X  +  -u ( G  x.  ( |_ `  ( X  /  G
) ) ) ) )
40 modval 11715 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( X  e.  RR  /\  G  e.  RR+ )  -> 
( X  mod  G
)  =  ( X  -  ( G  x.  ( |_ `  ( X  /  G ) ) ) ) )
418, 19, 40syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( X  mod  G
)  =  ( X  -  ( G  x.  ( |_ `  ( X  /  G ) ) ) ) )
4233, 39, 413eqtr4rd 2486 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( X  mod  G
)  =  ( X  +  ( -u ( |_ `  ( X  /  G ) )  x.  G ) ) )
43 zringrng 17891 . . . . . . . . . . 11  |-ring  e.  Ring
4443a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->ring  e. 
Ring )
451, 13, 10zringlpirlem2 17909 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  G  e.  I )
46 zringmulr 17897 . . . . . . . . . . . 12  |-  x.  =  ( .r ` ring )
473, 2, 46lidlmcl 17304 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( (ring  e.  Ring  /\  I  e.  (LIdeal ` ring ) )  /\  ( -u ( |_ `  ( X  /  G ) )  e.  ZZ  /\  G  e.  I ) )  -> 
( -u ( |_ `  ( X  /  G
) )  x.  G
)  e.  I )
4844, 1, 34, 45, 47syl22anc 1219 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( -u ( |_
`  ( X  /  G ) )  x.  G )  e.  I
)
49 zringplusg 17895 . . . . . . . . . . 11  |-  +  =  ( +g  ` ring )
503, 49lidlacl 17300 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( (ring  e.  Ring  /\  I  e.  (LIdeal ` ring ) )  /\  ( X  e.  I  /\  ( -u ( |_ `  ( X  /  G
) )  x.  G
)  e.  I ) )  ->  ( X  +  ( -u ( |_ `  ( X  /  G ) )  x.  G ) )  e.  I )
5144, 1, 6, 48, 50syl22anc 1219 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( X  +  (
-u ( |_ `  ( X  /  G
) )  x.  G
) )  e.  I
)
5242, 51eqeltrd 2517 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( X  mod  G
)  e.  I )
5352adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( X  mod  G )  e.  NN )  ->  ( X  mod  G )  e.  I )
54 simpr 461 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( X  mod  G )  e.  NN )  ->  ( X  mod  G )  e.  NN )
5553, 54elind 3545 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( X  mod  G )  e.  NN )  ->  ( X  mod  G )  e.  ( I  i^i  NN ) )
56 infmssuzle 10942 . . . . . 6  |-  ( ( ( I  i^i  NN )  C_  ( ZZ>= `  1
)  /\  ( X  mod  G )  e.  ( I  i^i  NN ) )  ->  sup (
( I  i^i  NN ) ,  RR ,  `'  <  )  <_  ( X  mod  G ) )
5712, 55, 56sylancr 663 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( X  mod  G )  e.  NN )  ->  sup ( ( I  i^i  NN ) ,  RR ,  `'  <  )  <_  ( X  mod  G ) )
5810, 57syl5eqbr 4330 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( X  mod  G )  e.  NN )  ->  G  <_  ( X  mod  G ) )
5926, 58mtand 659 . . 3  |-  ( ph  ->  -.  ( X  mod  G )  e.  NN )
60 elnn0 10586 . . . 4  |-  ( ( X  mod  G )  e.  NN0  <->  ( ( X  mod  G )  e.  NN  \/  ( X  mod  G )  =  0 ) )
6122, 60sylib 196 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( X  mod  G )  e.  NN  \/  ( X  mod  G )  =  0 ) )
62 orel1 382 . . 3  |-  ( -.  ( X  mod  G
)  e.  NN  ->  ( ( ( X  mod  G )  e.  NN  \/  ( X  mod  G )  =  0 )  -> 
( X  mod  G
)  =  0 ) )
6359, 61, 62sylc 60 . 2  |-  ( ph  ->  ( X  mod  G
)  =  0 )
64 dvdsval3 13544 . . 3  |-  ( ( G  e.  NN  /\  X  e.  ZZ )  ->  ( G  ||  X  <->  ( X  mod  G )  =  0 ) )
6518, 7, 64syl2anc 661 . 2  |-  ( ph  ->  ( G  ||  X  <->  ( X  mod  G )  =  0 ) )
6663, 65mpbird 232 1  |-  ( ph  ->  G  ||  X )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756    =/= wne 2611    i^i cin 3332    C_ wss 3333   (/)c0 3642   {csn 3882   class class class wbr 4297   `'ccnv 4844   ` cfv 5423  (class class class)co 6096   supcsup 7695   RRcr 9286   0cc0 9287   1c1 9288    + caddc 9290    x. cmul 9292    < clt 9423    <_ cle 9424    - cmin 9600   -ucneg 9601    / cdiv 9998   NNcn 10327   NN0cn0 10584   ZZcz 10651   ZZ>=cuz 10866   RR+crp 10996   |_cfl 11645    mod cmo 11713    || cdivides 13540   Ringcrg 16650  LIdealclidl 17256  ℤringzring 17888
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4408  ax-sep 4418  ax-nul 4426  ax-pow 4475  ax-pr 4536  ax-un 6377  ax-cnex 9343  ax-resscn 9344  ax-1cn 9345  ax-icn 9346  ax-addcl 9347  ax-addrcl 9348  ax-mulcl 9349  ax-mulrcl 9350  ax-mulcom 9351  ax-addass 9352  ax-mulass 9353  ax-distr 9354  ax-i2m1 9355  ax-1ne0 9356  ax-1rid 9357  ax-rnegex 9358  ax-rrecex 9359  ax-cnre 9360  ax-pre-lttri 9361  ax-pre-lttrn 9362  ax-pre-ltadd 9363  ax-pre-mulgt0 9364  ax-pre-sup 9365  ax-addf 9366  ax-mulf 9367
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2573  df-ne 2613  df-nel 2614  df-ral 2725  df-rex 2726  df-reu 2727  df-rmo 2728  df-rab 2729  df-v 2979  df-sbc 3192  df-csb 3294  df-dif 3336  df-un 3338  df-in 3340  df-ss 3347  df-pss 3349  df-nul 3643  df-if 3797  df-pw 3867  df-sn 3883  df-pr 3885  df-tp 3887  df-op 3889  df-uni 4097  df-int 4134  df-iun 4178  df-br 4298  df-opab 4356  df-mpt 4357  df-tr 4391  df-eprel 4637  df-id 4641  df-po 4646  df-so 4647  df-fr 4684  df-we 4686  df-ord 4727  df-on 4728  df-lim 4729  df-suc 4730  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5386  df-fun 5425  df-fn 5426  df-f 5427  df-f1 5428  df-fo 5429  df-f1o 5430  df-fv 5431  df-riota 6057  df-ov 6099  df-oprab 6100  df-mpt2 6101  df-om 6482  df-1st 6582  df-2nd 6583  df-recs 6837  df-rdg 6871  df-1o 6925  df-oadd 6929  df-er 7106  df-en 7316  df-dom 7317  df-sdom 7318  df-fin 7319  df-sup 7696  df-pnf 9425  df-mnf 9426  df-xr 9427  df-ltxr 9428  df-le 9429  df-sub 9602  df-neg 9603  df-div 9999  df-nn 10328  df-2 10385  df-3 10386  df-4 10387  df-5 10388  df-6 10389  df-7 10390  df-8 10391  df-9 10392  df-10 10393  df-n0 10585  df-z 10652  df-dec 10761  df-uz 10867  df-rp 10997  df-fz 11443  df-fl 11647  df-mod 11714  df-seq 11812  df-exp 11871  df-cj 12593  df-re 12594  df-im 12595  df-sqr 12729  df-abs 12730  df-dvds 13541  df-struct 14181  df-ndx 14182  df-slot 14183  df-base 14184  df-sets 14185  df-ress 14186  df-plusg 14256  df-mulr 14257  df-starv 14258  df-sca 14259  df-vsca 14260  df-ip 14261  df-tset 14262  df-ple 14263  df-ds 14265  df-unif 14266  df-0g 14385  df-mnd 15420  df-grp 15550  df-minusg 15551  df-sbg 15552  df-subg 15683  df-cmn 16284  df-mgp 16597  df-ur 16609  df-rng 16652  df-cring 16653  df-subrg 16868  df-lmod 16955  df-lss 17019  df-sra 17258  df-rgmod 17259  df-lidl 17260  df-cnfld 17824  df-zring 17889
This theorem is referenced by:  zringlpir  17911
  Copyright terms: Public domain W3C validator