MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  zringlpirlem3 Structured version   Unicode version

Theorem zringlpirlem3 18306
Description: Lemma for zringlpir 18307. All elements of a nonzero ideal of integers are divided by the least one. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Jan-2015.) (Revised by AV, 9-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
zringlpirlem.i  |-  ( ph  ->  I  e.  (LIdeal ` ring )
)
zringlpirlem.n0  |-  ( ph  ->  I  =/=  { 0 } )
zringlpirlem.g  |-  G  =  sup ( ( I  i^i  NN ) ,  RR ,  `'  <  )
zringlpirlem.x  |-  ( ph  ->  X  e.  I )
Assertion
Ref Expression
zringlpirlem3  |-  ( ph  ->  G  ||  X )

Proof of Theorem zringlpirlem3
StepHypRef Expression
1 zringlpirlem.i . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  I  e.  (LIdeal ` ring )
)
2 zringbas 18290 . . . . . . . . . 10  |-  ZZ  =  ( Base ` ring )
3 eqid 2467 . . . . . . . . . 10  |-  (LIdeal ` ring )  =  (LIdeal ` ring )
42, 3lidlss 17656 . . . . . . . . 9  |-  ( I  e.  (LIdeal ` ring )  ->  I  C_  ZZ )
51, 4syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  I  C_  ZZ )
6 zringlpirlem.x . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  X  e.  I )
75, 6sseldd 3505 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  X  e.  ZZ )
87zred 10966 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  X  e.  RR )
9 inss2 3719 . . . . . . . 8  |-  ( I  i^i  NN )  C_  NN
10 zringlpirlem.g . . . . . . . . 9  |-  G  =  sup ( ( I  i^i  NN ) ,  RR ,  `'  <  )
11 nnuz 11117 . . . . . . . . . . 11  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
129, 11sseqtri 3536 . . . . . . . . . 10  |-  ( I  i^i  NN )  C_  ( ZZ>= `  1 )
13 zringlpirlem.n0 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  I  =/=  { 0 } )
141, 13zringlpirlem1 18304 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( I  i^i  NN )  =/=  (/) )
15 infmssuzcl 11165 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( I  i^i  NN )  C_  ( ZZ>= `  1
)  /\  ( I  i^i  NN )  =/=  (/) )  ->  sup ( ( I  i^i 
NN ) ,  RR ,  `'  <  )  e.  ( I  i^i  NN ) )
1612, 14, 15sylancr 663 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  sup ( ( I  i^i  NN ) ,  RR ,  `'  <  )  e.  ( I  i^i 
NN ) )
1710, 16syl5eqel 2559 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  G  e.  ( I  i^i  NN ) )
189, 17sseldi 3502 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  G  e.  NN )
1918nnrpd 11255 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  G  e.  RR+ )
20 modlt 11974 . . . . . 6  |-  ( ( X  e.  RR  /\  G  e.  RR+ )  -> 
( X  mod  G
)  <  G )
218, 19, 20syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( X  mod  G
)  <  G )
227, 18zmodcld 11984 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( X  mod  G
)  e.  NN0 )
2322nn0red 10853 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( X  mod  G
)  e.  RR )
2418nnred 10551 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  G  e.  RR )
2523, 24ltnled 9731 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( X  mod  G )  <  G  <->  -.  G  <_  ( X  mod  G
) ) )
2621, 25mpbid 210 . . . 4  |-  ( ph  ->  -.  G  <_  ( X  mod  G ) )
277zcnd 10967 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  X  e.  CC )
2818nncnd 10552 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  G  e.  CC )
298, 18nndivred 10584 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( X  /  G
)  e.  RR )
3029flcld 11903 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( |_ `  ( X  /  G ) )  e.  ZZ )
3130zcnd 10967 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( |_ `  ( X  /  G ) )  e.  CC )
3228, 31mulcld 9616 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( G  x.  ( |_ `  ( X  /  G ) ) )  e.  CC )
3327, 32negsubd 9936 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( X  +  -u ( G  x.  ( |_ `  ( X  /  G ) ) ) )  =  ( X  -  ( G  x.  ( |_ `  ( X  /  G ) ) ) ) )
3430znegcld 10968 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  -> 
-u ( |_ `  ( X  /  G
) )  e.  ZZ )
3534zcnd 10967 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  -> 
-u ( |_ `  ( X  /  G
) )  e.  CC )
3635, 28mulcomd 9617 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( -u ( |_
`  ( X  /  G ) )  x.  G )  =  ( G  x.  -u ( |_ `  ( X  /  G ) ) ) )
3728, 31mulneg2d 10010 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( G  x.  -u ( |_ `  ( X  /  G ) ) )  =  -u ( G  x.  ( |_ `  ( X  /  G ) ) ) )
3836, 37eqtrd 2508 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( -u ( |_
`  ( X  /  G ) )  x.  G )  =  -u ( G  x.  ( |_ `  ( X  /  G ) ) ) )
3938oveq2d 6300 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( X  +  (
-u ( |_ `  ( X  /  G
) )  x.  G
) )  =  ( X  +  -u ( G  x.  ( |_ `  ( X  /  G
) ) ) ) )
40 modval 11966 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( X  e.  RR  /\  G  e.  RR+ )  -> 
( X  mod  G
)  =  ( X  -  ( G  x.  ( |_ `  ( X  /  G ) ) ) ) )
418, 19, 40syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( X  mod  G
)  =  ( X  -  ( G  x.  ( |_ `  ( X  /  G ) ) ) ) )
4233, 39, 413eqtr4rd 2519 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( X  mod  G
)  =  ( X  +  ( -u ( |_ `  ( X  /  G ) )  x.  G ) ) )
43 zringrng 18287 . . . . . . . . . . 11  |-ring  e.  Ring
4443a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->ring  e. 
Ring )
451, 13, 10zringlpirlem2 18305 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  G  e.  I )
46 zringmulr 18293 . . . . . . . . . . . 12  |-  x.  =  ( .r ` ring )
473, 2, 46lidlmcl 17664 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( (ring  e.  Ring  /\  I  e.  (LIdeal ` ring ) )  /\  ( -u ( |_ `  ( X  /  G ) )  e.  ZZ  /\  G  e.  I ) )  -> 
( -u ( |_ `  ( X  /  G
) )  x.  G
)  e.  I )
4844, 1, 34, 45, 47syl22anc 1229 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( -u ( |_
`  ( X  /  G ) )  x.  G )  e.  I
)
49 zringplusg 18291 . . . . . . . . . . 11  |-  +  =  ( +g  ` ring )
503, 49lidlacl 17660 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( (ring  e.  Ring  /\  I  e.  (LIdeal ` ring ) )  /\  ( X  e.  I  /\  ( -u ( |_ `  ( X  /  G
) )  x.  G
)  e.  I ) )  ->  ( X  +  ( -u ( |_ `  ( X  /  G ) )  x.  G ) )  e.  I )
5144, 1, 6, 48, 50syl22anc 1229 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( X  +  (
-u ( |_ `  ( X  /  G
) )  x.  G
) )  e.  I
)
5242, 51eqeltrd 2555 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( X  mod  G
)  e.  I )
5352adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( X  mod  G )  e.  NN )  ->  ( X  mod  G )  e.  I )
54 simpr 461 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( X  mod  G )  e.  NN )  ->  ( X  mod  G )  e.  NN )
5553, 54elind 3688 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( X  mod  G )  e.  NN )  ->  ( X  mod  G )  e.  ( I  i^i  NN ) )
56 infmssuzle 11164 . . . . . 6  |-  ( ( ( I  i^i  NN )  C_  ( ZZ>= `  1
)  /\  ( X  mod  G )  e.  ( I  i^i  NN ) )  ->  sup (
( I  i^i  NN ) ,  RR ,  `'  <  )  <_  ( X  mod  G ) )
5712, 55, 56sylancr 663 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( X  mod  G )  e.  NN )  ->  sup ( ( I  i^i  NN ) ,  RR ,  `'  <  )  <_  ( X  mod  G ) )
5810, 57syl5eqbr 4480 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( X  mod  G )  e.  NN )  ->  G  <_  ( X  mod  G ) )
5926, 58mtand 659 . . 3  |-  ( ph  ->  -.  ( X  mod  G )  e.  NN )
60 elnn0 10797 . . . 4  |-  ( ( X  mod  G )  e.  NN0  <->  ( ( X  mod  G )  e.  NN  \/  ( X  mod  G )  =  0 ) )
6122, 60sylib 196 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( X  mod  G )  e.  NN  \/  ( X  mod  G )  =  0 ) )
62 orel1 382 . . 3  |-  ( -.  ( X  mod  G
)  e.  NN  ->  ( ( ( X  mod  G )  e.  NN  \/  ( X  mod  G )  =  0 )  -> 
( X  mod  G
)  =  0 ) )
6359, 61, 62sylc 60 . 2  |-  ( ph  ->  ( X  mod  G
)  =  0 )
64 dvdsval3 13851 . . 3  |-  ( ( G  e.  NN  /\  X  e.  ZZ )  ->  ( G  ||  X  <->  ( X  mod  G )  =  0 ) )
6518, 7, 64syl2anc 661 . 2  |-  ( ph  ->  ( G  ||  X  <->  ( X  mod  G )  =  0 ) )
6663, 65mpbird 232 1  |-  ( ph  ->  G  ||  X )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767    =/= wne 2662    i^i cin 3475    C_ wss 3476   (/)c0 3785   {csn 4027   class class class wbr 4447   `'ccnv 4998   ` cfv 5588  (class class class)co 6284   supcsup 7900   RRcr 9491   0cc0 9492   1c1 9493    + caddc 9495    x. cmul 9497    < clt 9628    <_ cle 9629    - cmin 9805   -ucneg 9806    / cdiv 10206   NNcn 10536   NN0cn0 10795   ZZcz 10864   ZZ>=cuz 11082   RR+crp 11220   |_cfl 11895    mod cmo 11964    || cdivides 13847   Ringcrg 17000  LIdealclidl 17616  ℤringzring 18284
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576  ax-cnex 9548  ax-resscn 9549  ax-1cn 9550  ax-icn 9551  ax-addcl 9552  ax-addrcl 9553  ax-mulcl 9554  ax-mulrcl 9555  ax-mulcom 9556  ax-addass 9557  ax-mulass 9558  ax-distr 9559  ax-i2m1 9560  ax-1ne0 9561  ax-1rid 9562  ax-rnegex 9563  ax-rrecex 9564  ax-cnre 9565  ax-pre-lttri 9566  ax-pre-lttrn 9567  ax-pre-ltadd 9568  ax-pre-mulgt0 9569  ax-pre-sup 9570  ax-addf 9571  ax-mulf 9572
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-riota 6245  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-om 6685  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-1o 7130  df-oadd 7134  df-er 7311  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-fin 7520  df-sup 7901  df-pnf 9630  df-mnf 9631  df-xr 9632  df-ltxr 9633  df-le 9634  df-sub 9807  df-neg 9808  df-div 10207  df-nn 10537  df-2 10594  df-3 10595  df-4 10596  df-5 10597  df-6 10598  df-7 10599  df-8 10600  df-9 10601  df-10 10602  df-n0 10796  df-z 10865  df-dec 10977  df-uz 11083  df-rp 11221  df-fz 11673  df-fl 11897  df-mod 11965  df-seq 12076  df-exp 12135  df-cj 12895  df-re 12896  df-im 12897  df-sqrt 13031  df-abs 13032  df-dvds 13848  df-struct 14492  df-ndx 14493  df-slot 14494  df-base 14495  df-sets 14496  df-ress 14497  df-plusg 14568  df-mulr 14569  df-starv 14570  df-sca 14571  df-vsca 14572  df-ip 14573  df-tset 14574  df-ple 14575  df-ds 14577  df-unif 14578  df-0g 14697  df-mnd 15732  df-grp 15867  df-minusg 15868  df-sbg 15869  df-subg 16003  df-cmn 16606  df-mgp 16944  df-ur 16956  df-rng 17002  df-cring 17003  df-subrg 17227  df-lmod 17314  df-lss 17379  df-sra 17618  df-rgmod 17619  df-lidl 17620  df-cnfld 18220  df-zring 18285
This theorem is referenced by:  zringlpir  18307
  Copyright terms: Public domain W3C validator