Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prmirred Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem prmirred 19662
 Description: The irreducible elements of ℤ are exactly the prime numbers (and their negatives). (Contributed by Mario Carneiro, 5-Dec-2014.) (Revised by AV, 10-Jun-2019.)
Hypothesis
Ref Expression
prmirred.i 𝐼 = (Irred‘ℤring)
Assertion
Ref Expression
prmirred (𝐴𝐼 ↔ (𝐴 ∈ ℤ ∧ (abs‘𝐴) ∈ ℙ))

Proof of Theorem prmirred
StepHypRef Expression
1 prmirred.i . . 3 𝐼 = (Irred‘ℤring)
2 zringbas 19643 . . 3 ℤ = (Base‘ℤring)
31, 2irredcl 18527 . 2 (𝐴𝐼𝐴 ∈ ℤ)
4 elnn0 11171 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℕ0 ↔ (𝐴 ∈ ℕ ∨ 𝐴 = 0))
5 ax-1 6 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℕ → (𝐴𝐼𝐴 ∈ ℕ))
6 zringring 19640 . . . . . . . . . . 11 ring ∈ Ring
7 zring0 19647 . . . . . . . . . . . 12 0 = (0g‘ℤring)
81, 7irredn0 18526 . . . . . . . . . . 11 ((ℤring ∈ Ring ∧ 𝐴𝐼) → 𝐴 ≠ 0)
96, 8mpan 702 . . . . . . . . . 10 (𝐴𝐼𝐴 ≠ 0)
109necon2bi 2812 . . . . . . . . 9 (𝐴 = 0 → ¬ 𝐴𝐼)
1110pm2.21d 117 . . . . . . . 8 (𝐴 = 0 → (𝐴𝐼𝐴 ∈ ℕ))
125, 11jaoi 393 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℕ ∨ 𝐴 = 0) → (𝐴𝐼𝐴 ∈ ℕ))
134, 12sylbi 206 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℕ0 → (𝐴𝐼𝐴 ∈ ℕ))
14 prmnn 15226 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℙ → 𝐴 ∈ ℕ)
1514a1i 11 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℕ0 → (𝐴 ∈ ℙ → 𝐴 ∈ ℕ))
161prmirredlem 19660 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℕ → (𝐴𝐼𝐴 ∈ ℙ))
1716a1i 11 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℕ0 → (𝐴 ∈ ℕ → (𝐴𝐼𝐴 ∈ ℙ)))
1813, 15, 17pm5.21ndd 368 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℕ0 → (𝐴𝐼𝐴 ∈ ℙ))
19 nn0re 11178 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℝ)
20 nn0ge0 11195 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝐴)
2119, 20absidd 14009 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℕ0 → (abs‘𝐴) = 𝐴)
2221eleq1d 2672 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℕ0 → ((abs‘𝐴) ∈ ℙ ↔ 𝐴 ∈ ℙ))
2318, 22bitr4d 270 . . . 4 (𝐴 ∈ ℕ0 → (𝐴𝐼 ↔ (abs‘𝐴) ∈ ℙ))
2423adantl 481 . . 3 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → (𝐴𝐼 ↔ (abs‘𝐴) ∈ ℙ))
251prmirredlem 19660 . . . . . 6 (-𝐴 ∈ ℕ → (-𝐴𝐼 ↔ -𝐴 ∈ ℙ))
2625adantl 481 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ -𝐴 ∈ ℕ) → (-𝐴𝐼 ↔ -𝐴 ∈ ℙ))
27 eqid 2610 . . . . . . . . 9 (invg‘ℤring) = (invg‘ℤring)
281, 27, 2irrednegb 18534 . . . . . . . 8 ((ℤring ∈ Ring ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝐴𝐼 ↔ ((invg‘ℤring)‘𝐴) ∈ 𝐼))
296, 28mpan 702 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℤ → (𝐴𝐼 ↔ ((invg‘ℤring)‘𝐴) ∈ 𝐼))
30 zsubrg 19618 . . . . . . . . . . 11 ℤ ∈ (SubRing‘ℂfld)
31 subrgsubg 18609 . . . . . . . . . . 11 (ℤ ∈ (SubRing‘ℂfld) → ℤ ∈ (SubGrp‘ℂfld))
3230, 31ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 ℤ ∈ (SubGrp‘ℂfld)
33 df-zring 19638 . . . . . . . . . . 11 ring = (ℂflds ℤ)
34 eqid 2610 . . . . . . . . . . 11 (invg‘ℂfld) = (invg‘ℂfld)
3533, 34, 27subginv 17424 . . . . . . . . . 10 ((ℤ ∈ (SubGrp‘ℂfld) ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → ((invg‘ℂfld)‘𝐴) = ((invg‘ℤring)‘𝐴))
3632, 35mpan 702 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℤ → ((invg‘ℂfld)‘𝐴) = ((invg‘ℤring)‘𝐴))
37 zcn 11259 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℂ)
38 cnfldneg 19591 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℂ → ((invg‘ℂfld)‘𝐴) = -𝐴)
3937, 38syl 17 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℤ → ((invg‘ℂfld)‘𝐴) = -𝐴)
4036, 39eqtr3d 2646 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℤ → ((invg‘ℤring)‘𝐴) = -𝐴)
4140eleq1d 2672 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℤ → (((invg‘ℤring)‘𝐴) ∈ 𝐼 ↔ -𝐴𝐼))
4229, 41bitrd 267 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℤ → (𝐴𝐼 ↔ -𝐴𝐼))
4342adantr 480 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ -𝐴 ∈ ℕ) → (𝐴𝐼 ↔ -𝐴𝐼))
44 zre 11258 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℝ)
4544adantr 480 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ -𝐴 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℝ)
46 nnnn0 11176 . . . . . . . . . 10 (-𝐴 ∈ ℕ → -𝐴 ∈ ℕ0)
4746nn0ge0d 11231 . . . . . . . . 9 (-𝐴 ∈ ℕ → 0 ≤ -𝐴)
4847adantl 481 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ -𝐴 ∈ ℕ) → 0 ≤ -𝐴)
4945le0neg1d 10478 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ -𝐴 ∈ ℕ) → (𝐴 ≤ 0 ↔ 0 ≤ -𝐴))
5048, 49mpbird 246 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ -𝐴 ∈ ℕ) → 𝐴 ≤ 0)
5145, 50absnidd 14000 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ -𝐴 ∈ ℕ) → (abs‘𝐴) = -𝐴)
5251eleq1d 2672 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ -𝐴 ∈ ℕ) → ((abs‘𝐴) ∈ ℙ ↔ -𝐴 ∈ ℙ))
5326, 43, 523bitr4d 299 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ -𝐴 ∈ ℕ) → (𝐴𝐼 ↔ (abs‘𝐴) ∈ ℙ))
5453adantrl 748 . . 3 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ -𝐴 ∈ ℕ)) → (𝐴𝐼 ↔ (abs‘𝐴) ∈ ℙ))
55 elznn0nn 11268 . . . 4 (𝐴 ∈ ℤ ↔ (𝐴 ∈ ℕ0 ∨ (𝐴 ∈ ℝ ∧ -𝐴 ∈ ℕ)))
5655biimpi 205 . . 3 (𝐴 ∈ ℤ → (𝐴 ∈ ℕ0 ∨ (𝐴 ∈ ℝ ∧ -𝐴 ∈ ℕ)))
5724, 54, 56mpjaodan 823 . 2 (𝐴 ∈ ℤ → (𝐴𝐼 ↔ (abs‘𝐴) ∈ ℙ))
583, 57biadan2 672 1 (𝐴𝐼 ↔ (𝐴 ∈ ℤ ∧ (abs‘𝐴) ∈ ℙ))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∨ wo 382   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780   class class class wbr 4583  ‘cfv 5804  ℂcc 9813  ℝcr 9814  0cc0 9815   ≤ cle 9954  -cneg 10146  ℕcn 10897  ℕ0cn0 11169  ℤcz 11254  abscabs 13822  ℙcprime 15223  invgcminusg 17246  SubGrpcsubg 17411  Ringcrg 18370  Irredcir 18463  SubRingcsubrg 18599  ℂfldccnfld 19567  ℤringzring 19637 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893  ax-addf 9894  ax-mulf 9895 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-tpos 7239  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-sup 8231  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-rp 11709  df-fz 12198  df-seq 12664  df-exp 12723  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-dvds 14822  df-prm 15224  df-gz 15472  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-starv 15783  df-tset 15787  df-ple 15788  df-ds 15791  df-unif 15792  df-0g 15925  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-grp 17248  df-minusg 17249  df-subg 17414  df-cmn 18018  df-mgp 18313  df-ur 18325  df-ring 18372  df-cring 18373  df-oppr 18446  df-dvdsr 18464  df-unit 18465  df-irred 18466  df-invr 18495  df-dvr 18506  df-drng 18572  df-subrg 18601  df-cnfld 19568  df-zring 19638 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator