Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lgsqrlem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lgsqrlem1 24871
 Description: Lemma for lgsqr 24876. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lgsqr.y 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑃)
lgsqr.s 𝑆 = (Poly1𝑌)
lgsqr.b 𝐵 = (Base‘𝑆)
lgsqr.d 𝐷 = ( deg1𝑌)
lgsqr.o 𝑂 = (eval1𝑌)
lgsqr.e = (.g‘(mulGrp‘𝑆))
lgsqr.x 𝑋 = (var1𝑌)
lgsqr.m = (-g𝑆)
lgsqr.u 1 = (1r𝑆)
lgsqr.t 𝑇 = ((((𝑃 − 1) / 2) 𝑋) 1 )
lgsqr.l 𝐿 = (ℤRHom‘𝑌)
lgsqr.1 (𝜑𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}))
lgsqrlem1.3 (𝜑𝐴 ∈ ℤ)
lgsqrlem1.4 (𝜑 → ((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = (1 mod 𝑃))
Assertion
Ref Expression
lgsqrlem1 (𝜑 → ((𝑂𝑇)‘(𝐿𝐴)) = (0g𝑌))

Proof of Theorem lgsqrlem1
StepHypRef Expression
1 lgsqr.t . . . . 5 𝑇 = ((((𝑃 − 1) / 2) 𝑋) 1 )
21fveq2i 6106 . . . 4 (𝑂𝑇) = (𝑂‘((((𝑃 − 1) / 2) 𝑋) 1 ))
32fveq1i 6104 . . 3 ((𝑂𝑇)‘(𝐿𝐴)) = ((𝑂‘((((𝑃 − 1) / 2) 𝑋) 1 ))‘(𝐿𝐴))
4 lgsqr.o . . . . 5 𝑂 = (eval1𝑌)
5 lgsqr.s . . . . 5 𝑆 = (Poly1𝑌)
6 eqid 2610 . . . . 5 (Base‘𝑌) = (Base‘𝑌)
7 lgsqr.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝑆)
8 lgsqr.1 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}))
98eldifad 3552 . . . . . . . 8 (𝜑𝑃 ∈ ℙ)
10 lgsqr.y . . . . . . . . 9 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑃)
1110znfld 19728 . . . . . . . 8 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑌 ∈ Field)
129, 11syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝑌 ∈ Field)
13 fldidom 19126 . . . . . . 7 (𝑌 ∈ Field → 𝑌 ∈ IDomn)
1412, 13syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑌 ∈ IDomn)
15 isidom 19125 . . . . . . 7 (𝑌 ∈ IDomn ↔ (𝑌 ∈ CRing ∧ 𝑌 ∈ Domn))
1615simplbi 475 . . . . . 6 (𝑌 ∈ IDomn → 𝑌 ∈ CRing)
1714, 16syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑌 ∈ CRing)
18 crngring 18381 . . . . . . . . 9 (𝑌 ∈ CRing → 𝑌 ∈ Ring)
1917, 18syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑌 ∈ Ring)
20 lgsqr.l . . . . . . . . 9 𝐿 = (ℤRHom‘𝑌)
2120zrhrhm 19679 . . . . . . . 8 (𝑌 ∈ Ring → 𝐿 ∈ (ℤring RingHom 𝑌))
2219, 21syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝐿 ∈ (ℤring RingHom 𝑌))
23 zringbas 19643 . . . . . . . 8 ℤ = (Base‘ℤring)
2423, 6rhmf 18549 . . . . . . 7 (𝐿 ∈ (ℤring RingHom 𝑌) → 𝐿:ℤ⟶(Base‘𝑌))
2522, 24syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝐿:ℤ⟶(Base‘𝑌))
26 lgsqrlem1.3 . . . . . 6 (𝜑𝐴 ∈ ℤ)
2725, 26ffvelrnd 6268 . . . . 5 (𝜑 → (𝐿𝐴) ∈ (Base‘𝑌))
28 lgsqr.x . . . . . . . 8 𝑋 = (var1𝑌)
294, 28, 6, 5, 7, 17, 27evl1vard 19522 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑋𝐵 ∧ ((𝑂𝑋)‘(𝐿𝐴)) = (𝐿𝐴)))
30 lgsqr.e . . . . . . 7 = (.g‘(mulGrp‘𝑆))
31 eqid 2610 . . . . . . 7 (.g‘(mulGrp‘𝑌)) = (.g‘(mulGrp‘𝑌))
32 oddprm 15353 . . . . . . . . 9 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ)
338, 32syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ)
3433nnnn0d 11228 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ0)
354, 5, 6, 7, 17, 27, 29, 30, 31, 34evl1expd 19530 . . . . . 6 (𝜑 → ((((𝑃 − 1) / 2) 𝑋) ∈ 𝐵 ∧ ((𝑂‘(((𝑃 − 1) / 2) 𝑋))‘(𝐿𝐴)) = (((𝑃 − 1) / 2)(.g‘(mulGrp‘𝑌))(𝐿𝐴))))
36 zringmpg 19659 . . . . . . . . . . . 12 ((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ) = (mulGrp‘ℤring)
37 eqid 2610 . . . . . . . . . . . 12 (mulGrp‘𝑌) = (mulGrp‘𝑌)
3836, 37rhmmhm 18545 . . . . . . . . . . 11 (𝐿 ∈ (ℤring RingHom 𝑌) → 𝐿 ∈ (((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ) MndHom (mulGrp‘𝑌)))
3922, 38syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐿 ∈ (((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ) MndHom (mulGrp‘𝑌)))
4036, 23mgpbas 18318 . . . . . . . . . . 11 ℤ = (Base‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ))
41 eqid 2610 . . . . . . . . . . 11 (.g‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ)) = (.g‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ))
4240, 41, 31mhmmulg 17406 . . . . . . . . . 10 ((𝐿 ∈ (((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ) MndHom (mulGrp‘𝑌)) ∧ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ) → (𝐿‘(((𝑃 − 1) / 2)(.g‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ))𝐴)) = (((𝑃 − 1) / 2)(.g‘(mulGrp‘𝑌))(𝐿𝐴)))
4339, 34, 26, 42syl3anc 1318 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐿‘(((𝑃 − 1) / 2)(.g‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ))𝐴)) = (((𝑃 − 1) / 2)(.g‘(mulGrp‘𝑌))(𝐿𝐴)))
44 zsubrg 19618 . . . . . . . . . . . . . 14 ℤ ∈ (SubRing‘ℂfld)
45 eqid 2610 . . . . . . . . . . . . . . 15 (mulGrp‘ℂfld) = (mulGrp‘ℂfld)
4645subrgsubm 18616 . . . . . . . . . . . . . 14 (ℤ ∈ (SubRing‘ℂfld) → ℤ ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘ℂfld)))
4744, 46mp1i 13 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ℤ ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘ℂfld)))
48 eqid 2610 . . . . . . . . . . . . . 14 (.g‘(mulGrp‘ℂfld)) = (.g‘(mulGrp‘ℂfld))
49 eqid 2610 . . . . . . . . . . . . . 14 ((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ) = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ)
5048, 49, 41submmulg 17409 . . . . . . . . . . . . 13 ((ℤ ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘ℂfld)) ∧ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ) → (((𝑃 − 1) / 2)(.g‘(mulGrp‘ℂfld))𝐴) = (((𝑃 − 1) / 2)(.g‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ))𝐴))
5147, 34, 26, 50syl3anc 1318 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (((𝑃 − 1) / 2)(.g‘(mulGrp‘ℂfld))𝐴) = (((𝑃 − 1) / 2)(.g‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ))𝐴))
5226zcnd 11359 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
53 cnfldexp 19598 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ0) → (((𝑃 − 1) / 2)(.g‘(mulGrp‘ℂfld))𝐴) = (𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)))
5452, 34, 53syl2anc 691 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (((𝑃 − 1) / 2)(.g‘(mulGrp‘ℂfld))𝐴) = (𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)))
5551, 54eqtr3d 2646 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (((𝑃 − 1) / 2)(.g‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ))𝐴) = (𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)))
5655fveq2d 6107 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐿‘(((𝑃 − 1) / 2)(.g‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ))𝐴)) = (𝐿‘(𝐴↑((𝑃 − 1) / 2))))
57 lgsqrlem1.4 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = (1 mod 𝑃))
58 prmnn 15226 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
599, 58syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑃 ∈ ℕ)
60 zexpcl 12737 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ0) → (𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) ∈ ℤ)
6126, 34, 60syl2anc 691 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) ∈ ℤ)
62 1zzd 11285 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
63 moddvds 14829 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑃 ∈ ℕ ∧ (𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → (((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = (1 mod 𝑃) ↔ 𝑃 ∥ ((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) − 1)))
6459, 61, 62, 63syl3anc 1318 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = (1 mod 𝑃) ↔ 𝑃 ∥ ((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) − 1)))
6557, 64mpbid 221 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑃 ∥ ((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) − 1))
6659nnnn0d 11228 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑃 ∈ ℕ0)
6710, 20zndvds 19717 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑃 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → ((𝐿‘(𝐴↑((𝑃 − 1) / 2))) = (𝐿‘1) ↔ 𝑃 ∥ ((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) − 1)))
6866, 61, 62, 67syl3anc 1318 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝐿‘(𝐴↑((𝑃 − 1) / 2))) = (𝐿‘1) ↔ 𝑃 ∥ ((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) − 1)))
6965, 68mpbird 246 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐿‘(𝐴↑((𝑃 − 1) / 2))) = (𝐿‘1))
70 zring1 19648 . . . . . . . . . . . 12 1 = (1r‘ℤring)
71 eqid 2610 . . . . . . . . . . . 12 (1r𝑌) = (1r𝑌)
7270, 71rhm1 18553 . . . . . . . . . . 11 (𝐿 ∈ (ℤring RingHom 𝑌) → (𝐿‘1) = (1r𝑌))
7322, 72syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐿‘1) = (1r𝑌))
7456, 69, 733eqtrd 2648 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐿‘(((𝑃 − 1) / 2)(.g‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ))𝐴)) = (1r𝑌))
7543, 74eqtr3d 2646 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((𝑃 − 1) / 2)(.g‘(mulGrp‘𝑌))(𝐿𝐴)) = (1r𝑌))
7675eqeq2d 2620 . . . . . . 7 (𝜑 → (((𝑂‘(((𝑃 − 1) / 2) 𝑋))‘(𝐿𝐴)) = (((𝑃 − 1) / 2)(.g‘(mulGrp‘𝑌))(𝐿𝐴)) ↔ ((𝑂‘(((𝑃 − 1) / 2) 𝑋))‘(𝐿𝐴)) = (1r𝑌)))
7776anbi2d 736 . . . . . 6 (𝜑 → (((((𝑃 − 1) / 2) 𝑋) ∈ 𝐵 ∧ ((𝑂‘(((𝑃 − 1) / 2) 𝑋))‘(𝐿𝐴)) = (((𝑃 − 1) / 2)(.g‘(mulGrp‘𝑌))(𝐿𝐴))) ↔ ((((𝑃 − 1) / 2) 𝑋) ∈ 𝐵 ∧ ((𝑂‘(((𝑃 − 1) / 2) 𝑋))‘(𝐿𝐴)) = (1r𝑌))))
7835, 77mpbid 221 . . . . 5 (𝜑 → ((((𝑃 − 1) / 2) 𝑋) ∈ 𝐵 ∧ ((𝑂‘(((𝑃 − 1) / 2) 𝑋))‘(𝐿𝐴)) = (1r𝑌)))
79 eqid 2610 . . . . . . 7 (algSc‘𝑆) = (algSc‘𝑆)
806, 71ringidcl 18391 . . . . . . . 8 (𝑌 ∈ Ring → (1r𝑌) ∈ (Base‘𝑌))
8119, 80syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (1r𝑌) ∈ (Base‘𝑌))
824, 5, 6, 79, 7, 17, 81, 27evl1scad 19520 . . . . . 6 (𝜑 → (((algSc‘𝑆)‘(1r𝑌)) ∈ 𝐵 ∧ ((𝑂‘((algSc‘𝑆)‘(1r𝑌)))‘(𝐿𝐴)) = (1r𝑌)))
83 lgsqr.u . . . . . . . . . 10 1 = (1r𝑆)
845, 79, 71, 83ply1scl1 19483 . . . . . . . . 9 (𝑌 ∈ Ring → ((algSc‘𝑆)‘(1r𝑌)) = 1 )
8519, 84syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((algSc‘𝑆)‘(1r𝑌)) = 1 )
8685eleq1d 2672 . . . . . . 7 (𝜑 → (((algSc‘𝑆)‘(1r𝑌)) ∈ 𝐵1𝐵))
8785fveq2d 6107 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑂‘((algSc‘𝑆)‘(1r𝑌))) = (𝑂1 ))
8887fveq1d 6105 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑂‘((algSc‘𝑆)‘(1r𝑌)))‘(𝐿𝐴)) = ((𝑂1 )‘(𝐿𝐴)))
8988eqeq1d 2612 . . . . . . 7 (𝜑 → (((𝑂‘((algSc‘𝑆)‘(1r𝑌)))‘(𝐿𝐴)) = (1r𝑌) ↔ ((𝑂1 )‘(𝐿𝐴)) = (1r𝑌)))
9086, 89anbi12d 743 . . . . . 6 (𝜑 → ((((algSc‘𝑆)‘(1r𝑌)) ∈ 𝐵 ∧ ((𝑂‘((algSc‘𝑆)‘(1r𝑌)))‘(𝐿𝐴)) = (1r𝑌)) ↔ ( 1𝐵 ∧ ((𝑂1 )‘(𝐿𝐴)) = (1r𝑌))))
9182, 90mpbid 221 . . . . 5 (𝜑 → ( 1𝐵 ∧ ((𝑂1 )‘(𝐿𝐴)) = (1r𝑌)))
92 lgsqr.m . . . . 5 = (-g𝑆)
93 eqid 2610 . . . . 5 (-g𝑌) = (-g𝑌)
944, 5, 6, 7, 17, 27, 78, 91, 92, 93evl1subd 19527 . . . 4 (𝜑 → (((((𝑃 − 1) / 2) 𝑋) 1 ) ∈ 𝐵 ∧ ((𝑂‘((((𝑃 − 1) / 2) 𝑋) 1 ))‘(𝐿𝐴)) = ((1r𝑌)(-g𝑌)(1r𝑌))))
9594simprd 478 . . 3 (𝜑 → ((𝑂‘((((𝑃 − 1) / 2) 𝑋) 1 ))‘(𝐿𝐴)) = ((1r𝑌)(-g𝑌)(1r𝑌)))
963, 95syl5eq 2656 . 2 (𝜑 → ((𝑂𝑇)‘(𝐿𝐴)) = ((1r𝑌)(-g𝑌)(1r𝑌)))
97 ringgrp 18375 . . . 4 (𝑌 ∈ Ring → 𝑌 ∈ Grp)
9819, 97syl 17 . . 3 (𝜑𝑌 ∈ Grp)
99 eqid 2610 . . . 4 (0g𝑌) = (0g𝑌)
1006, 99, 93grpsubid 17322 . . 3 ((𝑌 ∈ Grp ∧ (1r𝑌) ∈ (Base‘𝑌)) → ((1r𝑌)(-g𝑌)(1r𝑌)) = (0g𝑌))
10198, 81, 100syl2anc 691 . 2 (𝜑 → ((1r𝑌)(-g𝑌)(1r𝑌)) = (0g𝑌))
10296, 101eqtrd 2644 1 (𝜑 → ((𝑂𝑇)‘(𝐿𝐴)) = (0g𝑌))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ∖ cdif 3537  {csn 4125   class class class wbr 4583  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  ℂcc 9813  1c1 9816   − cmin 10145   / cdiv 10563  ℕcn 10897  2c2 10947  ℕ0cn0 11169  ℤcz 11254   mod cmo 12530  ↑cexp 12722   ∥ cdvds 14821  ℙcprime 15223  Basecbs 15695   ↾s cress 15696  0gc0g 15923   MndHom cmhm 17156  SubMndcsubmnd 17157  Grpcgrp 17245  -gcsg 17247  .gcmg 17363  mulGrpcmgp 18312  1rcur 18324  Ringcrg 18370  CRingccrg 18371   RingHom crh 18535  Fieldcfield 18571  SubRingcsubrg 18599  Domncdomn 19101  IDomncidom 19102  algSccascl 19132  var1cv1 19367  Poly1cpl1 19368  eval1ce1 19500  ℂfldccnfld 19567  ℤringzring 19637  ℤRHomczrh 19667  ℤ/nℤczn 19670   deg1 cdg1 23618 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893  ax-addf 9894  ax-mulf 9895 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-iin 4458  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-of 6795  df-ofr 6796  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-supp 7183  df-tpos 7239  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-er 7629  df-ec 7631  df-qs 7635  df-map 7746  df-pm 7747  df-ixp 7795  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-fsupp 8159  df-sup 8231  df-inf 8232  df-oi 8298  df-card 8648  df-cda 8873  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-xnn0 11241  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-rp 11709  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-fl 12455  df-mod 12531  df-seq 12664  df-exp 12723  df-hash 12980  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-dvds 14822  df-gcd 15055  df-prm 15224  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-starv 15783  df-sca 15784  df-vsca 15785  df-ip 15786  df-tset 15787  df-ple 15788  df-ds 15791  df-unif 15792  df-hom 15793  df-cco 15794  df-0g 15925  df-gsum 15926  df-prds 15931  df-pws 15933  df-imas 15991  df-qus 15992  df-mre 16069  df-mrc 16070  df-acs 16072  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-mhm 17158  df-submnd 17159  df-grp 17248  df-minusg 17249  df-sbg 17250  df-mulg 17364  df-subg 17414  df-nsg 17415  df-eqg 17416  df-ghm 17481  df-cntz 17573  df-cmn 18018  df-abl 18019  df-mgp 18313  df-ur 18325  df-srg 18329  df-ring 18372  df-cring 18373  df-oppr 18446  df-dvdsr 18464  df-unit 18465  df-invr 18495  df-dvr 18506  df-rnghom 18538  df-drng 18572  df-field 18573  df-subrg 18601  df-lmod 18688  df-lss 18754  df-lsp 18793  df-sra 18993  df-rgmod 18994  df-lidl 18995  df-rsp 18996  df-2idl 19053  df-nzr 19079  df-rlreg 19104  df-domn 19105  df-idom 19106  df-assa 19133  df-asp 19134  df-ascl 19135  df-psr 19177  df-mvr 19178  df-mpl 19179  df-opsr 19181  df-evls 19327  df-evl 19328  df-psr1 19371  df-vr1 19372  df-ply1 19373  df-evl1 19502  df-cnfld 19568  df-zring 19638  df-zrh 19671  df-zn 19674 This theorem is referenced by:  lgsqrlem2  24872  lgsqrlem3  24873
 Copyright terms: Public domain W3C validator