Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  esumpfinvallem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem esumpfinvallem 29463
 Description: Lemma for esumpfinval 29464. (Contributed by Thierry Arnoux, 28-Jun-2017.)
Assertion
Ref Expression
esumpfinvallem ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) → (ℂfld Σg 𝐹) = ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg 𝐹))

Proof of Theorem esumpfinvallem
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fex 6394 . . . 4 ((𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞) ∧ 𝐴𝑉) → 𝐹 ∈ V)
21ancoms 468 . . 3 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) → 𝐹 ∈ V)
3 ovex 6577 . . . 4 (ℂflds (0[,)+∞)) ∈ V
43a1i 11 . . 3 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) → (ℂflds (0[,)+∞)) ∈ V)
5 ovex 6577 . . . 4 (ℝ*𝑠s (0[,)+∞)) ∈ V
65a1i 11 . . 3 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) → (ℝ*𝑠s (0[,)+∞)) ∈ V)
7 rge0ssre 12151 . . . . . . 7 (0[,)+∞) ⊆ ℝ
8 ax-resscn 9872 . . . . . . 7 ℝ ⊆ ℂ
97, 8sstri 3577 . . . . . 6 (0[,)+∞) ⊆ ℂ
10 eqid 2610 . . . . . . 7 (ℂflds (0[,)+∞)) = (ℂflds (0[,)+∞))
11 cnfldbas 19571 . . . . . . 7 ℂ = (Base‘ℂfld)
1210, 11ressbas2 15758 . . . . . 6 ((0[,)+∞) ⊆ ℂ → (0[,)+∞) = (Base‘(ℂflds (0[,)+∞))))
139, 12ax-mp 5 . . . . 5 (0[,)+∞) = (Base‘(ℂflds (0[,)+∞)))
14 icossxr 12129 . . . . . 6 (0[,)+∞) ⊆ ℝ*
15 eqid 2610 . . . . . . 7 (ℝ*𝑠s (0[,)+∞)) = (ℝ*𝑠s (0[,)+∞))
16 xrsbas 19581 . . . . . . 7 * = (Base‘ℝ*𝑠)
1715, 16ressbas2 15758 . . . . . 6 ((0[,)+∞) ⊆ ℝ* → (0[,)+∞) = (Base‘(ℝ*𝑠s (0[,)+∞))))
1814, 17ax-mp 5 . . . . 5 (0[,)+∞) = (Base‘(ℝ*𝑠s (0[,)+∞)))
1913, 18eqtr3i 2634 . . . 4 (Base‘(ℂflds (0[,)+∞))) = (Base‘(ℝ*𝑠s (0[,)+∞)))
2019a1i 11 . . 3 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) → (Base‘(ℂflds (0[,)+∞))) = (Base‘(ℝ*𝑠s (0[,)+∞))))
21 simprl 790 . . . . 5 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(ℂflds (0[,)+∞))) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(ℂflds (0[,)+∞))))) → 𝑥 ∈ (Base‘(ℂflds (0[,)+∞))))
2221, 13syl6eleqr 2699 . . . 4 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(ℂflds (0[,)+∞))) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(ℂflds (0[,)+∞))))) → 𝑥 ∈ (0[,)+∞))
23 simprr 792 . . . . 5 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(ℂflds (0[,)+∞))) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(ℂflds (0[,)+∞))))) → 𝑦 ∈ (Base‘(ℂflds (0[,)+∞))))
2423, 13syl6eleqr 2699 . . . 4 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(ℂflds (0[,)+∞))) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(ℂflds (0[,)+∞))))) → 𝑦 ∈ (0[,)+∞))
25 ge0addcl 12155 . . . . 5 ((𝑥 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ (0[,)+∞))
26 ovex 6577 . . . . . . 7 (0[,)+∞) ∈ V
27 cnfldadd 19572 . . . . . . . 8 + = (+g‘ℂfld)
2810, 27ressplusg 15818 . . . . . . 7 ((0[,)+∞) ∈ V → + = (+g‘(ℂflds (0[,)+∞))))
2926, 28ax-mp 5 . . . . . 6 + = (+g‘(ℂflds (0[,)+∞)))
3029oveqi 6562 . . . . 5 (𝑥 + 𝑦) = (𝑥(+g‘(ℂflds (0[,)+∞)))𝑦)
3125, 30, 133eltr3g 2704 . . . 4 ((𝑥 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) → (𝑥(+g‘(ℂflds (0[,)+∞)))𝑦) ∈ (Base‘(ℂflds (0[,)+∞))))
3222, 24, 31syl2anc 691 . . 3 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(ℂflds (0[,)+∞))) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(ℂflds (0[,)+∞))))) → (𝑥(+g‘(ℂflds (0[,)+∞)))𝑦) ∈ (Base‘(ℂflds (0[,)+∞))))
33 simpl 472 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) → 𝑥 ∈ (0[,)+∞))
347, 33sseldi 3566 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) → 𝑥 ∈ ℝ)
35 simpr 476 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) → 𝑦 ∈ (0[,)+∞))
367, 35sseldi 3566 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) → 𝑦 ∈ ℝ)
37 rexadd 11937 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 +𝑒 𝑦) = (𝑥 + 𝑦))
3837eqcomd 2616 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 + 𝑦) = (𝑥 +𝑒 𝑦))
3934, 36, 38syl2anc 691 . . . . 5 ((𝑥 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) → (𝑥 + 𝑦) = (𝑥 +𝑒 𝑦))
40 xrsadd 19582 . . . . . . . 8 +𝑒 = (+g‘ℝ*𝑠)
4115, 40ressplusg 15818 . . . . . . 7 ((0[,)+∞) ∈ V → +𝑒 = (+g‘(ℝ*𝑠s (0[,)+∞))))
4226, 41ax-mp 5 . . . . . 6 +𝑒 = (+g‘(ℝ*𝑠s (0[,)+∞)))
4342oveqi 6562 . . . . 5 (𝑥 +𝑒 𝑦) = (𝑥(+g‘(ℝ*𝑠s (0[,)+∞)))𝑦)
4439, 30, 433eqtr3g 2667 . . . 4 ((𝑥 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) → (𝑥(+g‘(ℂflds (0[,)+∞)))𝑦) = (𝑥(+g‘(ℝ*𝑠s (0[,)+∞)))𝑦))
4522, 24, 44syl2anc 691 . . 3 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(ℂflds (0[,)+∞))) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(ℂflds (0[,)+∞))))) → (𝑥(+g‘(ℂflds (0[,)+∞)))𝑦) = (𝑥(+g‘(ℝ*𝑠s (0[,)+∞)))𝑦))
46 simpr 476 . . . 4 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) → 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞))
47 ffun 5961 . . . 4 (𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞) → Fun 𝐹)
4846, 47syl 17 . . 3 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) → Fun 𝐹)
49 frn 5966 . . . . 5 (𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞) → ran 𝐹 ⊆ (0[,)+∞))
5046, 49syl 17 . . . 4 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) → ran 𝐹 ⊆ (0[,)+∞))
5150, 13syl6sseq 3614 . . 3 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) → ran 𝐹 ⊆ (Base‘(ℂflds (0[,)+∞))))
522, 4, 6, 20, 32, 45, 48, 51gsumpropd2 17097 . 2 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) → ((ℂflds (0[,)+∞)) Σg 𝐹) = ((ℝ*𝑠s (0[,)+∞)) Σg 𝐹))
53 cnfldex 19570 . . . 4 fld ∈ V
5453a1i 11 . . 3 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) → ℂfld ∈ V)
55 simpl 472 . . 3 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) → 𝐴𝑉)
569a1i 11 . . 3 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) → (0[,)+∞) ⊆ ℂ)
57 0e0icopnf 12153 . . . 4 0 ∈ (0[,)+∞)
5857a1i 11 . . 3 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) → 0 ∈ (0[,)+∞))
59 simpr 476 . . . . 5 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 𝑥 ∈ ℂ)
6059addid2d 10116 . . . 4 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (0 + 𝑥) = 𝑥)
6159addid1d 10115 . . . 4 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝑥 + 0) = 𝑥)
6260, 61jca 553 . . 3 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((0 + 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 + 0) = 𝑥))
6311, 27, 10, 54, 55, 56, 46, 58, 62gsumress 17099 . 2 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) → (ℂfld Σg 𝐹) = ((ℂflds (0[,)+∞)) Σg 𝐹))
64 xrge0base 29016 . . 3 (0[,]+∞) = (Base‘(ℝ*𝑠s (0[,]+∞)))
65 xrge0plusg 29018 . . 3 +𝑒 = (+g‘(ℝ*𝑠s (0[,]+∞)))
66 ovex 6577 . . . . 5 (0[,]+∞) ∈ V
67 ressress 15765 . . . . 5 (((0[,]+∞) ∈ V ∧ (0[,)+∞) ∈ V) → ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ↾s (0[,)+∞)) = (ℝ*𝑠s ((0[,]+∞) ∩ (0[,)+∞))))
6866, 26, 67mp2an 704 . . . 4 ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ↾s (0[,)+∞)) = (ℝ*𝑠s ((0[,]+∞) ∩ (0[,)+∞)))
69 incom 3767 . . . . . 6 ((0[,]+∞) ∩ (0[,)+∞)) = ((0[,)+∞) ∩ (0[,]+∞))
70 icossicc 12131 . . . . . . 7 (0[,)+∞) ⊆ (0[,]+∞)
71 dfss 3555 . . . . . . 7 ((0[,)+∞) ⊆ (0[,]+∞) ↔ (0[,)+∞) = ((0[,)+∞) ∩ (0[,]+∞)))
7270, 71mpbi 219 . . . . . 6 (0[,)+∞) = ((0[,)+∞) ∩ (0[,]+∞))
7369, 72eqtr4i 2635 . . . . 5 ((0[,]+∞) ∩ (0[,)+∞)) = (0[,)+∞)
7473oveq2i 6560 . . . 4 (ℝ*𝑠s ((0[,]+∞) ∩ (0[,)+∞))) = (ℝ*𝑠s (0[,)+∞))
7568, 74eqtr2i 2633 . . 3 (ℝ*𝑠s (0[,)+∞)) = ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ↾s (0[,)+∞))
76 ovex 6577 . . . 4 (ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ V
7776a1i 11 . . 3 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) → (ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ V)
7870a1i 11 . . 3 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) → (0[,)+∞) ⊆ (0[,]+∞))
79 iccssxr 12127 . . . . . 6 (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
80 simpr 476 . . . . . 6 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (0[,]+∞)) → 𝑥 ∈ (0[,]+∞))
8179, 80sseldi 3566 . . . . 5 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (0[,]+∞)) → 𝑥 ∈ ℝ*)
82 xaddid2 11947 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℝ* → (0 +𝑒 𝑥) = 𝑥)
8381, 82syl 17 . . . 4 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (0[,]+∞)) → (0 +𝑒 𝑥) = 𝑥)
84 xaddid1 11946 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℝ* → (𝑥 +𝑒 0) = 𝑥)
8581, 84syl 17 . . . 4 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (0[,]+∞)) → (𝑥 +𝑒 0) = 𝑥)
8683, 85jca 553 . . 3 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (0[,]+∞)) → ((0 +𝑒 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 +𝑒 0) = 𝑥))
8764, 65, 75, 77, 55, 78, 46, 58, 86gsumress 17099 . 2 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) → ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg 𝐹) = ((ℝ*𝑠s (0[,)+∞)) Σg 𝐹))
8852, 63, 873eqtr4d 2654 1 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) → (ℂfld Σg 𝐹) = ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg 𝐹))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  Vcvv 3173   ∩ cin 3539   ⊆ wss 3540  ran crn 5039  Fun wfun 5798  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  ℂcc 9813  ℝcr 9814  0cc0 9815   + caddc 9818  +∞cpnf 9950  ℝ*cxr 9952   +𝑒 cxad 11820  [,)cico 12048  [,]cicc 12049  Basecbs 15695   ↾s cress 15696  +gcplusg 15768   Σg cgsu 15924  ℝ*𝑠cxrs 15983  ℂfldccnfld 19567 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-addf 9894 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-xadd 11823  df-ico 12052  df-icc 12053  df-fz 12198  df-seq 12664  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-starv 15783  df-tset 15787  df-ple 15788  df-ds 15791  df-unif 15792  df-0g 15925  df-gsum 15926  df-xrs 15985  df-cnfld 19568 This theorem is referenced by:  esumpfinval  29464  esumpfinvalf  29465  esumpcvgval  29467  esumcvg  29475
 Copyright terms: Public domain W3C validator