Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lcdvbase Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lcdvbase 35900
 Description: Vector base set of a dual vector space of functionals with closed kernels. (Contributed by NM, 13-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lcdvbase.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
lcdvbase.o = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
lcdvbase.c 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
lcdvbase.v 𝑉 = (Base‘𝐶)
lcdvbase.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
lcdvbase.f 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
lcdvbase.l 𝐿 = (LKer‘𝑈)
lcdvbase.b 𝐵 = {𝑓𝐹 ∣ ( ‘( ‘(𝐿𝑓))) = (𝐿𝑓)}
lcdvbase.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
Assertion
Ref Expression
lcdvbase (𝜑𝑉 = 𝐵)
Distinct variable groups:   𝑓,𝐹   𝑓,𝐾   𝑓,𝑊
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓)   𝐵(𝑓)   𝐶(𝑓)   𝑈(𝑓)   𝐻(𝑓)   𝐿(𝑓)   (𝑓)   𝑉(𝑓)

Proof of Theorem lcdvbase
StepHypRef Expression
1 lcdvbase.v . . 3 𝑉 = (Base‘𝐶)
2 lcdvbase.h . . . . 5 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
3 lcdvbase.o . . . . 5 = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
4 lcdvbase.c . . . . 5 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
5 lcdvbase.u . . . . 5 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
6 lcdvbase.f . . . . 5 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
7 lcdvbase.l . . . . 5 𝐿 = (LKer‘𝑈)
8 eqid 2610 . . . . 5 (LDual‘𝑈) = (LDual‘𝑈)
9 lcdvbase.k . . . . 5 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
10 lcdvbase.b . . . . 5 𝐵 = {𝑓𝐹 ∣ ( ‘( ‘(𝐿𝑓))) = (𝐿𝑓)}
112, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10lcdval2 35897 . . . 4 (𝜑𝐶 = ((LDual‘𝑈) ↾s 𝐵))
1211fveq2d 6107 . . 3 (𝜑 → (Base‘𝐶) = (Base‘((LDual‘𝑈) ↾s 𝐵)))
131, 12syl5eq 2656 . 2 (𝜑𝑉 = (Base‘((LDual‘𝑈) ↾s 𝐵)))
14 ssrab2 3650 . . . . 5 {𝑓𝐹 ∣ ( ‘( ‘(𝐿𝑓))) = (𝐿𝑓)} ⊆ 𝐹
1510, 14eqsstri 3598 . . . 4 𝐵𝐹
16 eqid 2610 . . . . 5 (Base‘(LDual‘𝑈)) = (Base‘(LDual‘𝑈))
172, 5, 9dvhlmod 35417 . . . . 5 (𝜑𝑈 ∈ LMod)
186, 8, 16, 17ldualvbase 33431 . . . 4 (𝜑 → (Base‘(LDual‘𝑈)) = 𝐹)
1915, 18syl5sseqr 3617 . . 3 (𝜑𝐵 ⊆ (Base‘(LDual‘𝑈)))
20 eqid 2610 . . . 4 ((LDual‘𝑈) ↾s 𝐵) = ((LDual‘𝑈) ↾s 𝐵)
2120, 16ressbas2 15758 . . 3 (𝐵 ⊆ (Base‘(LDual‘𝑈)) → 𝐵 = (Base‘((LDual‘𝑈) ↾s 𝐵)))
2219, 21syl 17 . 2 (𝜑𝐵 = (Base‘((LDual‘𝑈) ↾s 𝐵)))
2313, 22eqtr4d 2647 1 (𝜑𝑉 = 𝐵)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  {crab 2900   ⊆ wss 3540  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  Basecbs 15695   ↾s cress 15696  LModclmod 18686  LFnlclfn 33362  LKerclk 33390  LDualcld 33428  HLchlt 33655  LHypclh 34288  DVecHcdvh 35385  ocHcoch 35654  LCDualclcd 35893 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-riotaBAD 33257 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-iin 4458  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-of 6795  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-tpos 7239  df-undef 7286  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-sca 15784  df-vsca 15785  df-0g 15925  df-preset 16751  df-poset 16769  df-plt 16781  df-lub 16797  df-glb 16798  df-join 16799  df-meet 16800  df-p0 16862  df-p1 16863  df-lat 16869  df-clat 16931  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-grp 17248  df-minusg 17249  df-mgp 18313  df-ur 18325  df-ring 18372  df-oppr 18446  df-dvdsr 18464  df-unit 18465  df-invr 18495  df-dvr 18506  df-drng 18572  df-lmod 18688  df-lvec 18924  df-ldual 33429  df-oposet 33481  df-ol 33483  df-oml 33484  df-covers 33571  df-ats 33572  df-atl 33603  df-cvlat 33627  df-hlat 33656  df-llines 33802  df-lplanes 33803  df-lvols 33804  df-lines 33805  df-psubsp 33807  df-pmap 33808  df-padd 34100  df-lhyp 34292  df-laut 34293  df-ldil 34408  df-ltrn 34409  df-trl 34464  df-tendo 35061  df-edring 35063  df-dvech 35386  df-lcdual 35894 This theorem is referenced by:  lcdvbasess  35901  lcdlss2N  35927  lcdlsp  35928  hvmap1o2  36072
 Copyright terms: Public domain W3C validator