Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lnmlsslnm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lnmlsslnm 36669
 Description: All submodules of a Noetherian module are Noetherian. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lnmlssfg.s 𝑆 = (LSubSp‘𝑀)
lnmlssfg.r 𝑅 = (𝑀s 𝑈)
Assertion
Ref Expression
lnmlsslnm ((𝑀 ∈ LNoeM ∧ 𝑈𝑆) → 𝑅 ∈ LNoeM)

Proof of Theorem lnmlsslnm
Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lnmlmod 36667 . . 3 (𝑀 ∈ LNoeM → 𝑀 ∈ LMod)
2 lnmlssfg.r . . . 4 𝑅 = (𝑀s 𝑈)
3 lnmlssfg.s . . . 4 𝑆 = (LSubSp‘𝑀)
42, 3lsslmod 18781 . . 3 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) → 𝑅 ∈ LMod)
51, 4sylan 487 . 2 ((𝑀 ∈ LNoeM ∧ 𝑈𝑆) → 𝑅 ∈ LMod)
62oveq1i 6559 . . . . 5 (𝑅s 𝑎) = ((𝑀s 𝑈) ↾s 𝑎)
7 simplr 788 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ LNoeM ∧ 𝑈𝑆) ∧ 𝑎 ∈ (LSubSp‘𝑅)) → 𝑈𝑆)
8 eqid 2610 . . . . . . . . 9 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
9 eqid 2610 . . . . . . . . 9 (LSubSp‘𝑅) = (LSubSp‘𝑅)
108, 9lssss 18758 . . . . . . . 8 (𝑎 ∈ (LSubSp‘𝑅) → 𝑎 ⊆ (Base‘𝑅))
1110adantl 481 . . . . . . 7 (((𝑀 ∈ LNoeM ∧ 𝑈𝑆) ∧ 𝑎 ∈ (LSubSp‘𝑅)) → 𝑎 ⊆ (Base‘𝑅))
12 eqid 2610 . . . . . . . . . 10 (Base‘𝑀) = (Base‘𝑀)
1312, 3lssss 18758 . . . . . . . . 9 (𝑈𝑆𝑈 ⊆ (Base‘𝑀))
142, 12ressbas2 15758 . . . . . . . . 9 (𝑈 ⊆ (Base‘𝑀) → 𝑈 = (Base‘𝑅))
1513, 14syl 17 . . . . . . . 8 (𝑈𝑆𝑈 = (Base‘𝑅))
1615ad2antlr 759 . . . . . . 7 (((𝑀 ∈ LNoeM ∧ 𝑈𝑆) ∧ 𝑎 ∈ (LSubSp‘𝑅)) → 𝑈 = (Base‘𝑅))
1711, 16sseqtr4d 3605 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ LNoeM ∧ 𝑈𝑆) ∧ 𝑎 ∈ (LSubSp‘𝑅)) → 𝑎𝑈)
18 ressabs 15766 . . . . . 6 ((𝑈𝑆𝑎𝑈) → ((𝑀s 𝑈) ↾s 𝑎) = (𝑀s 𝑎))
197, 17, 18syl2anc 691 . . . . 5 (((𝑀 ∈ LNoeM ∧ 𝑈𝑆) ∧ 𝑎 ∈ (LSubSp‘𝑅)) → ((𝑀s 𝑈) ↾s 𝑎) = (𝑀s 𝑎))
206, 19syl5eq 2656 . . . 4 (((𝑀 ∈ LNoeM ∧ 𝑈𝑆) ∧ 𝑎 ∈ (LSubSp‘𝑅)) → (𝑅s 𝑎) = (𝑀s 𝑎))
21 simpll 786 . . . . 5 (((𝑀 ∈ LNoeM ∧ 𝑈𝑆) ∧ 𝑎 ∈ (LSubSp‘𝑅)) → 𝑀 ∈ LNoeM)
222, 3, 9lsslss 18782 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) → (𝑎 ∈ (LSubSp‘𝑅) ↔ (𝑎𝑆𝑎𝑈)))
231, 22sylan 487 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ LNoeM ∧ 𝑈𝑆) → (𝑎 ∈ (LSubSp‘𝑅) ↔ (𝑎𝑆𝑎𝑈)))
2423simprbda 651 . . . . 5 (((𝑀 ∈ LNoeM ∧ 𝑈𝑆) ∧ 𝑎 ∈ (LSubSp‘𝑅)) → 𝑎𝑆)
25 eqid 2610 . . . . . 6 (𝑀s 𝑎) = (𝑀s 𝑎)
263, 25lnmlssfg 36668 . . . . 5 ((𝑀 ∈ LNoeM ∧ 𝑎𝑆) → (𝑀s 𝑎) ∈ LFinGen)
2721, 24, 26syl2anc 691 . . . 4 (((𝑀 ∈ LNoeM ∧ 𝑈𝑆) ∧ 𝑎 ∈ (LSubSp‘𝑅)) → (𝑀s 𝑎) ∈ LFinGen)
2820, 27eqeltrd 2688 . . 3 (((𝑀 ∈ LNoeM ∧ 𝑈𝑆) ∧ 𝑎 ∈ (LSubSp‘𝑅)) → (𝑅s 𝑎) ∈ LFinGen)
2928ralrimiva 2949 . 2 ((𝑀 ∈ LNoeM ∧ 𝑈𝑆) → ∀𝑎 ∈ (LSubSp‘𝑅)(𝑅s 𝑎) ∈ LFinGen)
309islnm 36665 . 2 (𝑅 ∈ LNoeM ↔ (𝑅 ∈ LMod ∧ ∀𝑎 ∈ (LSubSp‘𝑅)(𝑅s 𝑎) ∈ LFinGen))
315, 29, 30sylanbrc 695 1 ((𝑀 ∈ LNoeM ∧ 𝑈𝑆) → 𝑅 ∈ LNoeM)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ∀wral 2896   ⊆ wss 3540  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  Basecbs 15695   ↾s cress 15696  LModclmod 18686  LSubSpclss 18753  LFinGenclfig 36655  LNoeMclnm 36663 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-sca 15784  df-vsca 15785  df-0g 15925  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-grp 17248  df-minusg 17249  df-sbg 17250  df-subg 17414  df-mgp 18313  df-ur 18325  df-ring 18372  df-lmod 18688  df-lss 18754  df-lnm 36664 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator