Theorem lnmlsslnm 36669

Description: All submodules of a Noetherian module are Noetherian. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lnmlssfg.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑀)
lnmlssfg.r	⊢ 𝑅 = (𝑀 ↾s 𝑈)

Assertion

Ref	Expression
lnmlsslnm	⊢ ((𝑀 ∈ LNoeM ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → 𝑅 ∈ LNoeM)

Proof of Theorem lnmlsslnm

Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lnmlmod 36667	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ LNoeM → 𝑀 ∈ LMod)
2		lnmlssfg.r	. . . 4 ⊢ 𝑅 = (𝑀 ↾s 𝑈)
3		lnmlssfg.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑀)
4	2, 3	lsslmod 18781	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → 𝑅 ∈ LMod)
5	1, 4	sylan 487	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ LNoeM ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → 𝑅 ∈ LMod)
6	2	oveq1i 6559	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ↾s 𝑎) = ((𝑀 ↾s 𝑈) ↾s 𝑎)
7		simplr 788	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ LNoeM ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ 𝑎 ∈ (LSubSp‘𝑅)) → 𝑈 ∈ 𝑆)
8		eqid 2610	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
9		eqid 2610	. . . . . . . . 9 ⊢ (LSubSp‘𝑅) = (LSubSp‘𝑅)
10	8, 9	lssss 18758	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 ∈ (LSubSp‘𝑅) → 𝑎 ⊆ (Base‘𝑅))
11	10	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀 ∈ LNoeM ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ 𝑎 ∈ (LSubSp‘𝑅)) → 𝑎 ⊆ (Base‘𝑅))
12		eqid 2610	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘𝑀) = (Base‘𝑀)
13	12, 3	lssss 18758	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑆 → 𝑈 ⊆ (Base‘𝑀))
14	2, 12	ressbas2 15758	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑈 ⊆ (Base‘𝑀) → 𝑈 = (Base‘𝑅))
15	13, 14	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑆 → 𝑈 = (Base‘𝑅))
16	15	ad2antlr 759	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀 ∈ LNoeM ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ 𝑎 ∈ (LSubSp‘𝑅)) → 𝑈 = (Base‘𝑅))
17	11, 16	sseqtr4d 3605	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ LNoeM ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ 𝑎 ∈ (LSubSp‘𝑅)) → 𝑎 ⊆ 𝑈)
18		ressabs 15766	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑎 ⊆ 𝑈) → ((𝑀 ↾s 𝑈) ↾s 𝑎) = (𝑀 ↾s 𝑎))
19	7, 17, 18	syl2anc 691	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ LNoeM ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ 𝑎 ∈ (LSubSp‘𝑅)) → ((𝑀 ↾s 𝑈) ↾s 𝑎) = (𝑀 ↾s 𝑎))
20	6, 19	syl5eq 2656	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ LNoeM ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ 𝑎 ∈ (LSubSp‘𝑅)) → (𝑅 ↾s 𝑎) = (𝑀 ↾s 𝑎))
21		simpll 786	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ LNoeM ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ 𝑎 ∈ (LSubSp‘𝑅)) → 𝑀 ∈ LNoeM)
22	2, 3, 9	lsslss 18782	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (𝑎 ∈ (LSubSp‘𝑅) ↔ (𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑎 ⊆ 𝑈)))
23	1, 22	sylan 487	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ LNoeM ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (𝑎 ∈ (LSubSp‘𝑅) ↔ (𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑎 ⊆ 𝑈)))
24	23	simprbda 651	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ LNoeM ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ 𝑎 ∈ (LSubSp‘𝑅)) → 𝑎 ∈ 𝑆)
25		eqid 2610	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ↾s 𝑎) = (𝑀 ↾s 𝑎)
26	3, 25	lnmlssfg 36668	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ LNoeM ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → (𝑀 ↾s 𝑎) ∈ LFinGen)
27	21, 24, 26	syl2anc 691	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ LNoeM ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ 𝑎 ∈ (LSubSp‘𝑅)) → (𝑀 ↾s 𝑎) ∈ LFinGen)
28	20, 27	eqeltrd 2688	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ LNoeM ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ 𝑎 ∈ (LSubSp‘𝑅)) → (𝑅 ↾s 𝑎) ∈ LFinGen)
29	28	ralrimiva 2949	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ LNoeM ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → ∀𝑎 ∈ (LSubSp‘𝑅)(𝑅 ↾s 𝑎) ∈ LFinGen)
30	9	islnm 36665	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ LNoeM ↔ (𝑅 ∈ LMod ∧ ∀𝑎 ∈ (LSubSp‘𝑅)(𝑅 ↾s 𝑎) ∈ LFinGen))
31	5, 29, 30	sylanbrc 695	1 ⊢ ((𝑀 ∈ LNoeM ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → 𝑅 ∈ LNoeM)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ∀wral 2896   ⊆ wss 3540  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  Basecbs 15695   ↾_s cress 15696  LModclmod 18686  LSubSpclss 18753  LFinGenclfig 36655  LNoeMclnm 36663

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-sca 15784  df-vsca 15785  df-0g 15925  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-grp 17248  df-minusg 17249  df-sbg 17250  df-subg 17414  df-mgp 18313  df-ur 18325  df-ring 18372  df-lmod 18688  df-lss 18754  df-lnm 36664

This theorem is referenced by: (None)