MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ressbas2 Structured version   Unicode version

Theorem ressbas2 14560
Description: Base set of a structure restriction. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ressbas.r  |-  R  =  ( Ws  A )
ressbas.b  |-  B  =  ( Base `  W
)
Assertion
Ref Expression
ressbas2  |-  ( A 
C_  B  ->  A  =  ( Base `  R
) )

Proof of Theorem ressbas2
StepHypRef Expression
1 df-ss 3472 . . 3  |-  ( A 
C_  B  <->  ( A  i^i  B )  =  A )
21biimpi 194 . 2  |-  ( A 
C_  B  ->  ( A  i^i  B )  =  A )
3 ressbas.b . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  W
)
4 fvex 5862 . . . . 5  |-  ( Base `  W )  e.  _V
53, 4eqeltri 2525 . . . 4  |-  B  e. 
_V
65ssex 4577 . . 3  |-  ( A 
C_  B  ->  A  e.  _V )
7 ressbas.r . . . 4  |-  R  =  ( Ws  A )
87, 3ressbas 14559 . . 3  |-  ( A  e.  _V  ->  ( A  i^i  B )  =  ( Base `  R
) )
96, 8syl 16 . 2  |-  ( A 
C_  B  ->  ( A  i^i  B )  =  ( Base `  R
) )
102, 9eqtr3d 2484 1  |-  ( A 
C_  B  ->  A  =  ( Base `  R
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1381    e. wcel 1802   _Vcvv 3093    i^i cin 3457    C_ wss 3458   ` cfv 5574  (class class class)co 6277   Basecbs 14504   ↾s cress 14505
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1603  ax-4 1616  ax-5 1689  ax-6 1732  ax-7 1774  ax-8 1804  ax-9 1806  ax-10 1821  ax-11 1826  ax-12 1838  ax-13 1983  ax-ext 2419  ax-sep 4554  ax-nul 4562  ax-pow 4611  ax-pr 4672  ax-un 6573  ax-cnex 9546  ax-resscn 9547  ax-1cn 9548  ax-icn 9549  ax-addcl 9550  ax-addrcl 9551  ax-mulcl 9552  ax-mulrcl 9553  ax-i2m1 9558  ax-1ne0 9559  ax-rrecex 9562  ax-cnre 9563
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 973  df-3an 974  df-tru 1384  df-ex 1598  df-nf 1602  df-sb 1725  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2427  df-cleq 2433  df-clel 2436  df-nfc 2591  df-ne 2638  df-ral 2796  df-rex 2797  df-reu 2798  df-rab 2800  df-v 3095  df-sbc 3312  df-csb 3418  df-dif 3461  df-un 3463  df-in 3465  df-ss 3472  df-pss 3474  df-nul 3768  df-if 3923  df-pw 3995  df-sn 4011  df-pr 4013  df-tp 4015  df-op 4017  df-uni 4231  df-iun 4313  df-br 4434  df-opab 4492  df-mpt 4493  df-tr 4527  df-eprel 4777  df-id 4781  df-po 4786  df-so 4787  df-fr 4824  df-we 4826  df-ord 4867  df-on 4868  df-lim 4869  df-suc 4870  df-xp 4991  df-rel 4992  df-cnv 4993  df-co 4994  df-dm 4995  df-rn 4996  df-res 4997  df-ima 4998  df-iota 5537  df-fun 5576  df-fn 5577  df-f 5578  df-f1 5579  df-fo 5580  df-f1o 5581  df-fv 5582  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-om 6682  df-recs 7040  df-rdg 7074  df-nn 10538  df-ndx 14507  df-slot 14508  df-base 14509  df-sets 14510  df-ress 14511
This theorem is referenced by:  rescbas  15070  fullresc  15089  resssetc  15288  yoniso  15423  gsumress  15772  issubmnd  15817  ress0g  15818  submnd0  15819  submbas  15855  resmhm  15859  subgbas  16074  issubg2  16085  resghm  16152  submod  16458  ringidss  17093  unitgrpbas  17183  isdrng2  17274  drngmcl  17277  drngid2  17280  isdrngd  17289  islss3  17473  lsslss  17475  lsslsp  17529  reslmhm  17566  issubassa  17841  resspsrbas  17938  mplbas  17954  mplbasOLD  17956  ressmplbas  17986  evlssca  18059  mpfconst  18067  mpfind  18073  ply1bas  18102  ressply1bas  18138  evls1sca  18228  xrs1mnd  18324  xrs10  18325  xrs1cmn  18326  xrge0subm  18327  xrge0cmn  18328  cnmsubglem  18348  nn0srg  18354  rge0srg  18355  zringbas  18362  zrngbas  18368  dvdsrz  18375  zlpirlem1  18381  zlpirlem3  18383  expghm  18396  expghmOLD  18397  cnmsgnbas  18481  psgnghm  18483  rebase  18509  dsmmbase  18633  dsmmval2  18634  lsslindf  18732  lsslinds  18733  islinds3  18736  m2cpmrngiso  19126  ressusp  20634  imasdsf1olem  20742  xrge0gsumle  21204  xrge0tsms  21205  cmsss  21655  minveclem3a  21708  efabl  22802  efsubm  22803  qrngbas  23669  ressplusf  27504  ressnm  27505  ressprs  27509  ressmulgnn  27537  ressmulgnn0  27538  xrge0tsmsd  27641  ress1r  27645  xrge0slmod  27700  prsssdm  27765  ordtrestNEW  27769  ordtrest2NEW  27771  xrge0iifmhm  27787  esumpfinvallem  27946  prdsbnd2  30259  cnpwstotbnd  30261  repwsmet  30298  rrnequiv  30299  mzpmfpOLD  30648  islssfg  30984  lnmlsslnm  30995  pwssplit4  31003  cntzsdrg  31120  deg1mhm  31136  cnfldsrngbas  32291  issubmgm2  32312  submgmbas  32318  resmgmhm  32320  lcdvbase  37022
  Copyright terms: Public domain W3C validator