MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ressbas2 Structured version   Unicode version

Theorem ressbas2 14535
Description: Base set of a structure restriction. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ressbas.r  |-  R  =  ( Ws  A )
ressbas.b  |-  B  =  ( Base `  W
)
Assertion
Ref Expression
ressbas2  |-  ( A 
C_  B  ->  A  =  ( Base `  R
) )

Proof of Theorem ressbas2
StepHypRef Expression
1 df-ss 3483 . . 3  |-  ( A 
C_  B  <->  ( A  i^i  B )  =  A )
21biimpi 194 . 2  |-  ( A 
C_  B  ->  ( A  i^i  B )  =  A )
3 ressbas.b . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  W
)
4 fvex 5867 . . . . 5  |-  ( Base `  W )  e.  _V
53, 4eqeltri 2544 . . . 4  |-  B  e. 
_V
65ssex 4584 . . 3  |-  ( A 
C_  B  ->  A  e.  _V )
7 ressbas.r . . . 4  |-  R  =  ( Ws  A )
87, 3ressbas 14534 . . 3  |-  ( A  e.  _V  ->  ( A  i^i  B )  =  ( Base `  R
) )
96, 8syl 16 . 2  |-  ( A 
C_  B  ->  ( A  i^i  B )  =  ( Base `  R
) )
102, 9eqtr3d 2503 1  |-  ( A 
C_  B  ->  A  =  ( Base `  R
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1374    e. wcel 1762   _Vcvv 3106    i^i cin 3468    C_ wss 3469   ` cfv 5579  (class class class)co 6275   Basecbs 14479   ↾s cress 14480
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-pss 3485  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-tp 4025  df-op 4027  df-uni 4239  df-iun 4320  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-tr 4534  df-eprel 4784  df-id 4788  df-po 4793  df-so 4794  df-fr 4831  df-we 4833  df-ord 4874  df-on 4875  df-lim 4876  df-suc 4877  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-ov 6278  df-oprab 6279  df-mpt2 6280  df-om 6672  df-recs 7032  df-rdg 7066  df-nn 10526  df-ndx 14482  df-slot 14483  df-base 14484  df-sets 14485  df-ress 14486
This theorem is referenced by:  rescbas  15048  fullresc  15067  resssetc  15266  yoniso  15401  issubmnd  15755  ress0g  15756  submnd0  15757  submbas  15789  resmhm  15793  gsumress  15813  subgbas  15993  issubg2  16004  resghm  16071  submod  16378  rngidss  17005  unitgrpbas  17092  isdrng2  17182  drngmcl  17185  drngid2  17188  isdrngd  17197  islss3  17381  lsslss  17383  lsslsp  17437  reslmhm  17474  issubassa  17737  resspsrbas  17834  mplbas  17850  mplbasOLD  17852  ressmplbas  17882  evlssca  17955  mpfconst  17963  mpfind  17969  ply1bas  17998  ressply1bas  18034  evls1sca  18124  xrs1mnd  18217  xrs10  18218  xrs1cmn  18219  xrge0subm  18220  xrge0cmn  18221  cnmsubglem  18241  nn0srg  18247  rge0srg  18248  zringbas  18255  zrngbas  18261  dvdsrz  18268  zlpirlem1  18274  zlpirlem3  18276  expghm  18289  expghmOLD  18290  cnmsgnbas  18374  psgnghm  18376  rebase  18402  dsmmbase  18526  dsmmval2  18527  lsslindf  18625  lsslinds  18626  islinds3  18629  m2cpmrngiso  19019  ressusp  20496  imasdsf1olem  20604  xrge0gsumle  21066  xrge0tsms  21067  cmsss  21517  minveclem3a  21570  qrngbas  23525  ressplusf  27286  ressnm  27287  ressprs  27291  ressmulgnn  27319  ressmulgnn0  27320  xrge0tsmsd  27424  ress1r  27428  xrge0slmod  27483  prsssdm  27521  ordtrestNEW  27525  ordtrest2NEW  27527  xrge0iifmhm  27543  esumpfinvallem  27706  prdsbnd2  29881  cnpwstotbnd  29883  repwsmet  29920  rrnequiv  29921  mzpmfpOLD  30271  islssfg  30609  lnmlsslnm  30620  pwssplit4  30628  cntzsdrg  30745  deg1mhm  30761  lcdvbase  36265
  Copyright terms: Public domain W3C validator