MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ressbas2 Structured version   Unicode version

Theorem ressbas2 14250
Description: Base set of a structure restriction. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ressbas.r  |-  R  =  ( Ws  A )
ressbas.b  |-  B  =  ( Base `  W
)
Assertion
Ref Expression
ressbas2  |-  ( A 
C_  B  ->  A  =  ( Base `  R
) )

Proof of Theorem ressbas2
StepHypRef Expression
1 df-ss 3363 . . 3  |-  ( A 
C_  B  <->  ( A  i^i  B )  =  A )
21biimpi 194 . 2  |-  ( A 
C_  B  ->  ( A  i^i  B )  =  A )
3 ressbas.b . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  W
)
4 fvex 5722 . . . . 5  |-  ( Base `  W )  e.  _V
53, 4eqeltri 2513 . . . 4  |-  B  e. 
_V
65ssex 4457 . . 3  |-  ( A 
C_  B  ->  A  e.  _V )
7 ressbas.r . . . 4  |-  R  =  ( Ws  A )
87, 3ressbas 14249 . . 3  |-  ( A  e.  _V  ->  ( A  i^i  B )  =  ( Base `  R
) )
96, 8syl 16 . 2  |-  ( A 
C_  B  ->  ( A  i^i  B )  =  ( Base `  R
) )
102, 9eqtr3d 2477 1  |-  ( A 
C_  B  ->  A  =  ( Base `  R
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1369    e. wcel 1756   _Vcvv 2993    i^i cin 3348    C_ wss 3349   ` cfv 5439  (class class class)co 6112   Basecbs 14195   ↾s cress 14196
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4434  ax-nul 4442  ax-pow 4491  ax-pr 4552  ax-un 6393  ax-cnex 9359  ax-resscn 9360  ax-1cn 9361  ax-icn 9362  ax-addcl 9363  ax-addrcl 9364  ax-mulcl 9365  ax-mulrcl 9366  ax-i2m1 9371  ax-1ne0 9372  ax-rrecex 9375  ax-cnre 9376
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rab 2745  df-v 2995  df-sbc 3208  df-csb 3310  df-dif 3352  df-un 3354  df-in 3356  df-ss 3363  df-pss 3365  df-nul 3659  df-if 3813  df-pw 3883  df-sn 3899  df-pr 3901  df-tp 3903  df-op 3905  df-uni 4113  df-iun 4194  df-br 4314  df-opab 4372  df-mpt 4373  df-tr 4407  df-eprel 4653  df-id 4657  df-po 4662  df-so 4663  df-fr 4700  df-we 4702  df-ord 4743  df-on 4744  df-lim 4745  df-suc 4746  df-xp 4867  df-rel 4868  df-cnv 4869  df-co 4870  df-dm 4871  df-rn 4872  df-res 4873  df-ima 4874  df-iota 5402  df-fun 5441  df-fn 5442  df-f 5443  df-f1 5444  df-fo 5445  df-f1o 5446  df-fv 5447  df-ov 6115  df-oprab 6116  df-mpt2 6117  df-om 6498  df-recs 6853  df-rdg 6887  df-nn 10344  df-ndx 14198  df-slot 14199  df-base 14200  df-sets 14201  df-ress 14202
This theorem is referenced by:  rescbas  14763  fullresc  14782  resssetc  14981  yoniso  15116  issubmnd  15470  ress0g  15471  submnd0  15472  submbas  15504  resmhm  15508  gsumress  15528  subgbas  15706  issubg2  15717  resghm  15784  submod  16089  rngidss  16693  unitgrpbas  16780  isdrng2  16864  drngmcl  16867  drngid2  16870  isdrngd  16879  islss3  17062  lsslss  17064  lsslsp  17118  reslmhm  17155  issubassa  17417  resspsrbas  17509  mplbas  17525  mplbasOLD  17527  ressmplbas  17557  evlssca  17630  mpfconst  17638  mpfind  17644  ply1bas  17673  ressply1bas  17705  evls1sca  17780  xrs1mnd  17873  xrs10  17874  xrs1cmn  17875  xrge0subm  17876  xrge0cmn  17877  cnmsubglem  17897  nn0srg  17903  rge0srg  17904  zringbas  17911  zrngbas  17917  dvdsrz  17924  zlpirlem1  17930  zlpirlem3  17932  expghm  17945  expghmOLD  17946  cnmsgnbas  18030  psgnghm  18032  rebase  18058  dsmmbase  18182  dsmmval2  18183  lsslindf  18281  lsslinds  18282  islinds3  18285  ressusp  19862  imasdsf1olem  19970  xrge0gsumle  20432  xrge0tsms  20433  cmsss  20883  minveclem3a  20936  qrngbas  22890  ressplusf  26133  ressnm  26134  ressprs  26138  ressmulgnn  26166  ressmulgnn0  26167  xrge0tsmsd  26275  ress1r  26279  xrge0slmod  26334  prsssdm  26369  ordtrestNEW  26373  ordtrest2NEW  26375  xrge0iifmhm  26391  esumpfinvallem  26545  prdsbnd2  28720  cnpwstotbnd  28722  repwsmet  28759  rrnequiv  28760  mzpmfpOLD  29110  islssfg  29449  lnmlsslnm  29460  pwssplit4  29468  cntzsdrg  29585  deg1mhm  29601  mat2cnstpmatrngiso  31105  lcdvbase  35334
  Copyright terms: Public domain W3C validator