MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  minveclem3a Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem minveclem3a 23006
Description: Lemma for minvec 23015. 𝐷 is a complete metric when restricted to 𝑌. (Contributed by Mario Carneiro, 7-May-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
minvec.x 𝑋 = (Base‘𝑈)
minvec.m = (-g𝑈)
minvec.n 𝑁 = (norm‘𝑈)
minvec.u (𝜑𝑈 ∈ ℂPreHil)
minvec.y (𝜑𝑌 ∈ (LSubSp‘𝑈))
minvec.w (𝜑 → (𝑈s 𝑌) ∈ CMetSp)
minvec.a (𝜑𝐴𝑋)
minvec.j 𝐽 = (TopOpen‘𝑈)
minvec.r 𝑅 = ran (𝑦𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴 𝑦)))
minvec.s 𝑆 = inf(𝑅, ℝ, < )
minvec.d 𝐷 = ((dist‘𝑈) ↾ (𝑋 × 𝑋))
Assertion
Ref Expression
minveclem3a (𝜑 → (𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (CMet‘𝑌))
Distinct variable groups:   𝑦,   𝑦,𝐴   𝑦,𝐽   𝑦,𝑁   𝜑,𝑦   𝑦,𝑅   𝑦,𝑈   𝑦,𝑋   𝑦,𝑌   𝑦,𝐷   𝑦,𝑆

Proof of Theorem minveclem3a
StepHypRef Expression
1 minvec.w . . 3 (𝜑 → (𝑈s 𝑌) ∈ CMetSp)
2 eqid 2610 . . . 4 (Base‘(𝑈s 𝑌)) = (Base‘(𝑈s 𝑌))
3 eqid 2610 . . . 4 ((dist‘(𝑈s 𝑌)) ↾ ((Base‘(𝑈s 𝑌)) × (Base‘(𝑈s 𝑌)))) = ((dist‘(𝑈s 𝑌)) ↾ ((Base‘(𝑈s 𝑌)) × (Base‘(𝑈s 𝑌))))
42, 3cmscmet 22951 . . 3 ((𝑈s 𝑌) ∈ CMetSp → ((dist‘(𝑈s 𝑌)) ↾ ((Base‘(𝑈s 𝑌)) × (Base‘(𝑈s 𝑌)))) ∈ (CMet‘(Base‘(𝑈s 𝑌))))
51, 4syl 17 . 2 (𝜑 → ((dist‘(𝑈s 𝑌)) ↾ ((Base‘(𝑈s 𝑌)) × (Base‘(𝑈s 𝑌)))) ∈ (CMet‘(Base‘(𝑈s 𝑌))))
6 minvec.d . . . 4 𝐷 = ((dist‘𝑈) ↾ (𝑋 × 𝑋))
76reseq1i 5313 . . 3 (𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) = (((dist‘𝑈) ↾ (𝑋 × 𝑋)) ↾ (𝑌 × 𝑌))
8 minvec.y . . . . . . 7 (𝜑𝑌 ∈ (LSubSp‘𝑈))
9 minvec.x . . . . . . . 8 𝑋 = (Base‘𝑈)
10 eqid 2610 . . . . . . . 8 (LSubSp‘𝑈) = (LSubSp‘𝑈)
119, 10lssss 18758 . . . . . . 7 (𝑌 ∈ (LSubSp‘𝑈) → 𝑌𝑋)
128, 11syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑌𝑋)
13 xpss12 5148 . . . . . 6 ((𝑌𝑋𝑌𝑋) → (𝑌 × 𝑌) ⊆ (𝑋 × 𝑋))
1412, 12, 13syl2anc 691 . . . . 5 (𝜑 → (𝑌 × 𝑌) ⊆ (𝑋 × 𝑋))
1514resabs1d 5348 . . . 4 (𝜑 → (((dist‘𝑈) ↾ (𝑋 × 𝑋)) ↾ (𝑌 × 𝑌)) = ((dist‘𝑈) ↾ (𝑌 × 𝑌)))
16 eqid 2610 . . . . . . 7 (𝑈s 𝑌) = (𝑈s 𝑌)
17 eqid 2610 . . . . . . 7 (dist‘𝑈) = (dist‘𝑈)
1816, 17ressds 15896 . . . . . 6 (𝑌 ∈ (LSubSp‘𝑈) → (dist‘𝑈) = (dist‘(𝑈s 𝑌)))
198, 18syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (dist‘𝑈) = (dist‘(𝑈s 𝑌)))
2016, 9ressbas2 15758 . . . . . . 7 (𝑌𝑋𝑌 = (Base‘(𝑈s 𝑌)))
2112, 20syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑌 = (Base‘(𝑈s 𝑌)))
2221sqxpeqd 5065 . . . . 5 (𝜑 → (𝑌 × 𝑌) = ((Base‘(𝑈s 𝑌)) × (Base‘(𝑈s 𝑌))))
2319, 22reseq12d 5318 . . . 4 (𝜑 → ((dist‘𝑈) ↾ (𝑌 × 𝑌)) = ((dist‘(𝑈s 𝑌)) ↾ ((Base‘(𝑈s 𝑌)) × (Base‘(𝑈s 𝑌)))))
2415, 23eqtrd 2644 . . 3 (𝜑 → (((dist‘𝑈) ↾ (𝑋 × 𝑋)) ↾ (𝑌 × 𝑌)) = ((dist‘(𝑈s 𝑌)) ↾ ((Base‘(𝑈s 𝑌)) × (Base‘(𝑈s 𝑌)))))
257, 24syl5eq 2656 . 2 (𝜑 → (𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) = ((dist‘(𝑈s 𝑌)) ↾ ((Base‘(𝑈s 𝑌)) × (Base‘(𝑈s 𝑌)))))
2621fveq2d 6107 . 2 (𝜑 → (CMet‘𝑌) = (CMet‘(Base‘(𝑈s 𝑌))))
275, 25, 263eltr4d 2703 1 (𝜑 → (𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (CMet‘𝑌))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1475  wcel 1977  wss 3540  cmpt 4643   × cxp 5036  ran crn 5039  cres 5040  cfv 5804  (class class class)co 6549  infcinf 8230  cr 9814   < clt 9953  Basecbs 15695  s cress 15696  distcds 15777  TopOpenctopn 15905  -gcsg 17247  LSubSpclss 18753  normcnm 22191  ℂPreHilccph 22774  CMetcms 22860  CMetSpccms 22937
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-dec 11370  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-ds 15791  df-lss 18754  df-cms 22940
This theorem is referenced by:  minveclem3  23008  minveclem4a  23009
  Copyright terms: Public domain W3C validator