Theorem islssfg 36658

Description: Property of a finitely generated left (sub-)module. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
islssfg.x	⊢ 𝑋 = (𝑊 ↾s 𝑈)
islssfg.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
islssfg.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
islssfg	⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (𝑋 ∈ LFinGen ↔ ∃𝑏 ∈ 𝒫 𝑈(𝑏 ∈ Fin ∧ (𝑁‘𝑏) = 𝑈)))

Distinct variable groups:   𝑊,𝑏   𝑋,𝑏   𝑆,𝑏   𝑈,𝑏   𝑁,𝑏

Proof of Theorem islssfg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2610	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
2		islssfg.s	. . . . . . 7 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
3	1, 2	lssss 18758	. . . . . 6 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑆 → 𝑈 ⊆ (Base‘𝑊))
4		islssfg.x	. . . . . . 7 ⊢ 𝑋 = (𝑊 ↾s 𝑈)
5	4, 1	ressbas2 15758	. . . . . 6 ⊢ (𝑈 ⊆ (Base‘𝑊) → 𝑈 = (Base‘𝑋))
6	3, 5	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑆 → 𝑈 = (Base‘𝑋))
7	6	pweqd 4113	. . . 4 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑆 → 𝒫 𝑈 = 𝒫 (Base‘𝑋))
8	7	rexeqdv 3122	. . 3 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑆 → (∃𝑏 ∈ 𝒫 𝑈(𝑏 ∈ Fin ∧ ((LSpan‘𝑋)‘𝑏) = (Base‘𝑋)) ↔ ∃𝑏 ∈ 𝒫 (Base‘𝑋)(𝑏 ∈ Fin ∧ ((LSpan‘𝑋)‘𝑏) = (Base‘𝑋))))
9	8	adantl 481	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (∃𝑏 ∈ 𝒫 𝑈(𝑏 ∈ Fin ∧ ((LSpan‘𝑋)‘𝑏) = (Base‘𝑋)) ↔ ∃𝑏 ∈ 𝒫 (Base‘𝑋)(𝑏 ∈ Fin ∧ ((LSpan‘𝑋)‘𝑏) = (Base‘𝑋))))
10		elpwi 4117	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 ∈ 𝒫 𝑈 → 𝑏 ⊆ 𝑈)
11		islssfg.n	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
12		eqid 2610	. . . . . . . 8 ⊢ (LSpan‘𝑋) = (LSpan‘𝑋)
13	4, 11, 12, 2	lsslsp 18836	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ⊆ 𝑈) → (𝑁‘𝑏) = ((LSpan‘𝑋)‘𝑏))
14	13	3expa 1257	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ 𝑏 ⊆ 𝑈) → (𝑁‘𝑏) = ((LSpan‘𝑋)‘𝑏))
15	10, 14	sylan2 490	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ 𝑏 ∈ 𝒫 𝑈) → (𝑁‘𝑏) = ((LSpan‘𝑋)‘𝑏))
16	6	ad2antlr 759	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ 𝑏 ∈ 𝒫 𝑈) → 𝑈 = (Base‘𝑋))
17	15, 16	eqeq12d 2625	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ 𝑏 ∈ 𝒫 𝑈) → ((𝑁‘𝑏) = 𝑈 ↔ ((LSpan‘𝑋)‘𝑏) = (Base‘𝑋)))
18	17	anbi2d 736	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ 𝑏 ∈ 𝒫 𝑈) → ((𝑏 ∈ Fin ∧ (𝑁‘𝑏) = 𝑈) ↔ (𝑏 ∈ Fin ∧ ((LSpan‘𝑋)‘𝑏) = (Base‘𝑋))))
19	18	rexbidva 3031	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (∃𝑏 ∈ 𝒫 𝑈(𝑏 ∈ Fin ∧ (𝑁‘𝑏) = 𝑈) ↔ ∃𝑏 ∈ 𝒫 𝑈(𝑏 ∈ Fin ∧ ((LSpan‘𝑋)‘𝑏) = (Base‘𝑋))))
20	4, 2	lsslmod 18781	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → 𝑋 ∈ LMod)
21		eqid 2610	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑋) = (Base‘𝑋)
22	21, 12	islmodfg 36657	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ LMod → (𝑋 ∈ LFinGen ↔ ∃𝑏 ∈ 𝒫 (Base‘𝑋)(𝑏 ∈ Fin ∧ ((LSpan‘𝑋)‘𝑏) = (Base‘𝑋))))
23	20, 22	syl 17	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (𝑋 ∈ LFinGen ↔ ∃𝑏 ∈ 𝒫 (Base‘𝑋)(𝑏 ∈ Fin ∧ ((LSpan‘𝑋)‘𝑏) = (Base‘𝑋))))
24	9, 19, 23	3bitr4rd 300	1 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (𝑋 ∈ LFinGen ↔ ∃𝑏 ∈ 𝒫 𝑈(𝑏 ∈ Fin ∧ (𝑁‘𝑏) = 𝑈)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ∃wrex 2897   ⊆ wss 3540  𝒫 cpw 4108  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  Fincfn 7841  Basecbs 15695   ↾_s cress 15696  LModclmod 18686  LSubSpclss 18753  LSpanclspn 18792  LFinGenclfig 36655

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-sca 15784  df-vsca 15785  df-0g 15925  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-grp 17248  df-minusg 17249  df-sbg 17250  df-subg 17414  df-mgp 18313  df-ur 18325  df-ring 18372  df-lmod 18688  df-lss 18754  df-lsp 18793  df-lfig 36656

This theorem is referenced by:  islssfg2  36659  lmhmfgsplit  36674