Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  islinds3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem islinds3 19992
 Description: A subset is linearly independent iff it is a basis of its span. (Contributed by Stefan O'Rear, 25-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
islinds3.b 𝐵 = (Base‘𝑊)
islinds3.k 𝐾 = (LSpan‘𝑊)
islinds3.x 𝑋 = (𝑊s (𝐾𝑌))
islinds3.j 𝐽 = (LBasis‘𝑋)
Assertion
Ref Expression
islinds3 (𝑊 ∈ LMod → (𝑌 ∈ (LIndS‘𝑊) ↔ 𝑌𝐽))

Proof of Theorem islinds3
StepHypRef Expression
1 islinds3.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝑊)
21linds1 19968 . . . 4 (𝑌 ∈ (LIndS‘𝑊) → 𝑌𝐵)
32a1i 11 . . 3 (𝑊 ∈ LMod → (𝑌 ∈ (LIndS‘𝑊) → 𝑌𝐵))
4 eqid 2610 . . . . . . 7 (Base‘𝑋) = (Base‘𝑋)
54linds1 19968 . . . . . 6 (𝑌 ∈ (LIndS‘𝑋) → 𝑌 ⊆ (Base‘𝑋))
6 islinds3.x . . . . . . 7 𝑋 = (𝑊s (𝐾𝑌))
76, 1ressbasss 15759 . . . . . 6 (Base‘𝑋) ⊆ 𝐵
85, 7syl6ss 3580 . . . . 5 (𝑌 ∈ (LIndS‘𝑋) → 𝑌𝐵)
98adantr 480 . . . 4 ((𝑌 ∈ (LIndS‘𝑋) ∧ ((LSpan‘𝑋)‘𝑌) = (Base‘𝑋)) → 𝑌𝐵)
109a1i 11 . . 3 (𝑊 ∈ LMod → ((𝑌 ∈ (LIndS‘𝑋) ∧ ((LSpan‘𝑋)‘𝑌) = (Base‘𝑋)) → 𝑌𝐵))
11 simpl 472 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑌𝐵) → 𝑊 ∈ LMod)
12 eqid 2610 . . . . . . . . 9 (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
13 islinds3.k . . . . . . . . 9 𝐾 = (LSpan‘𝑊)
141, 12, 13lspcl 18797 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑌𝐵) → (𝐾𝑌) ∈ (LSubSp‘𝑊))
151, 13lspssid 18806 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑌𝐵) → 𝑌 ⊆ (𝐾𝑌))
16 eqid 2610 . . . . . . . . 9 (LSpan‘𝑋) = (LSpan‘𝑋)
176, 13, 16, 12lsslsp 18836 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝐾𝑌) ∈ (LSubSp‘𝑊) ∧ 𝑌 ⊆ (𝐾𝑌)) → (𝐾𝑌) = ((LSpan‘𝑋)‘𝑌))
1811, 14, 15, 17syl3anc 1318 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑌𝐵) → (𝐾𝑌) = ((LSpan‘𝑋)‘𝑌))
191, 13lspssv 18804 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑌𝐵) → (𝐾𝑌) ⊆ 𝐵)
206, 1ressbas2 15758 . . . . . . . 8 ((𝐾𝑌) ⊆ 𝐵 → (𝐾𝑌) = (Base‘𝑋))
2119, 20syl 17 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑌𝐵) → (𝐾𝑌) = (Base‘𝑋))
2218, 21eqtr3d 2646 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑌𝐵) → ((LSpan‘𝑋)‘𝑌) = (Base‘𝑋))
2322biantrud 527 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑌𝐵) → (𝑌 ∈ (LIndS‘𝑊) ↔ (𝑌 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ ((LSpan‘𝑋)‘𝑌) = (Base‘𝑋))))
2412, 6lsslinds 19989 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝐾𝑌) ∈ (LSubSp‘𝑊) ∧ 𝑌 ⊆ (𝐾𝑌)) → (𝑌 ∈ (LIndS‘𝑋) ↔ 𝑌 ∈ (LIndS‘𝑊)))
2511, 14, 15, 24syl3anc 1318 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑌𝐵) → (𝑌 ∈ (LIndS‘𝑋) ↔ 𝑌 ∈ (LIndS‘𝑊)))
2625bicomd 212 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑌𝐵) → (𝑌 ∈ (LIndS‘𝑊) ↔ 𝑌 ∈ (LIndS‘𝑋)))
2726anbi1d 737 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑌𝐵) → ((𝑌 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ ((LSpan‘𝑋)‘𝑌) = (Base‘𝑋)) ↔ (𝑌 ∈ (LIndS‘𝑋) ∧ ((LSpan‘𝑋)‘𝑌) = (Base‘𝑋))))
2823, 27bitrd 267 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑌𝐵) → (𝑌 ∈ (LIndS‘𝑊) ↔ (𝑌 ∈ (LIndS‘𝑋) ∧ ((LSpan‘𝑋)‘𝑌) = (Base‘𝑋))))
2928ex 449 . . 3 (𝑊 ∈ LMod → (𝑌𝐵 → (𝑌 ∈ (LIndS‘𝑊) ↔ (𝑌 ∈ (LIndS‘𝑋) ∧ ((LSpan‘𝑋)‘𝑌) = (Base‘𝑋)))))
303, 10, 29pm5.21ndd 368 . 2 (𝑊 ∈ LMod → (𝑌 ∈ (LIndS‘𝑊) ↔ (𝑌 ∈ (LIndS‘𝑋) ∧ ((LSpan‘𝑋)‘𝑌) = (Base‘𝑋))))
31 islinds3.j . . 3 𝐽 = (LBasis‘𝑋)
324, 31, 16islbs4 19990 . 2 (𝑌𝐽 ↔ (𝑌 ∈ (LIndS‘𝑋) ∧ ((LSpan‘𝑋)‘𝑌) = (Base‘𝑋)))
3330, 32syl6bbr 277 1 (𝑊 ∈ LMod → (𝑌 ∈ (LIndS‘𝑊) ↔ 𝑌𝐽))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ⊆ wss 3540  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  Basecbs 15695   ↾s cress 15696  LModclmod 18686  LSubSpclss 18753  LSpanclspn 18792  LBasisclbs 18895  LIndSclinds 19963 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-sca 15784  df-vsca 15785  df-0g 15925  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-grp 17248  df-minusg 17249  df-sbg 17250  df-subg 17414  df-mgp 18313  df-ur 18325  df-ring 18372  df-lmod 18688  df-lss 18754  df-lsp 18793  df-lbs 18896  df-lindf 19964  df-linds 19965 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator