MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  islinds3 Structured version   Unicode version

Theorem islinds3 19161
Description: A subset is linearly independent iff it is a basis of its span. (Contributed by Stefan O'Rear, 25-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
islinds3.b  |-  B  =  ( Base `  W
)
islinds3.k  |-  K  =  ( LSpan `  W )
islinds3.x  |-  X  =  ( Ws  ( K `  Y ) )
islinds3.j  |-  J  =  (LBasis `  X )
Assertion
Ref Expression
islinds3  |-  ( W  e.  LMod  ->  ( Y  e.  (LIndS `  W
)  <->  Y  e.  J
) )

Proof of Theorem islinds3
StepHypRef Expression
1 islinds3.b . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  W
)
21linds1 19137 . . . 4  |-  ( Y  e.  (LIndS `  W
)  ->  Y  C_  B
)
32a1i 11 . . 3  |-  ( W  e.  LMod  ->  ( Y  e.  (LIndS `  W
)  ->  Y  C_  B
) )
4 eqid 2402 . . . . . . 7  |-  ( Base `  X )  =  (
Base `  X )
54linds1 19137 . . . . . 6  |-  ( Y  e.  (LIndS `  X
)  ->  Y  C_  ( Base `  X ) )
6 islinds3.x . . . . . . 7  |-  X  =  ( Ws  ( K `  Y ) )
76, 1ressbasss 14900 . . . . . 6  |-  ( Base `  X )  C_  B
85, 7syl6ss 3454 . . . . 5  |-  ( Y  e.  (LIndS `  X
)  ->  Y  C_  B
)
98adantr 463 . . . 4  |-  ( ( Y  e.  (LIndS `  X )  /\  (
( LSpan `  X ) `  Y )  =  (
Base `  X )
)  ->  Y  C_  B
)
109a1i 11 . . 3  |-  ( W  e.  LMod  ->  ( ( Y  e.  (LIndS `  X )  /\  (
( LSpan `  X ) `  Y )  =  (
Base `  X )
)  ->  Y  C_  B
) )
11 simpl 455 . . . . . . . 8  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  Y  C_  B )  ->  W  e.  LMod )
12 eqid 2402 . . . . . . . . 9  |-  ( LSubSp `  W )  =  (
LSubSp `  W )
13 islinds3.k . . . . . . . . 9  |-  K  =  ( LSpan `  W )
141, 12, 13lspcl 17942 . . . . . . . 8  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  Y  C_  B )  ->  ( K `  Y )  e.  ( LSubSp `  W )
)
151, 13lspssid 17951 . . . . . . . 8  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  Y  C_  B )  ->  Y  C_  ( K `  Y
) )
16 eqid 2402 . . . . . . . . 9  |-  ( LSpan `  X )  =  (
LSpan `  X )
176, 13, 16, 12lsslsp 17981 . . . . . . . 8  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  ( K `  Y )  e.  ( LSubSp `  W )  /\  Y  C_  ( K `
 Y ) )  ->  ( K `  Y )  =  ( ( LSpan `  X ) `  Y ) )
1811, 14, 15, 17syl3anc 1230 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  Y  C_  B )  ->  ( K `  Y )  =  ( ( LSpan `  X ) `  Y
) )
191, 13lspssv 17949 . . . . . . . 8  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  Y  C_  B )  ->  ( K `  Y )  C_  B )
206, 1ressbas2 14899 . . . . . . . 8  |-  ( ( K `  Y ) 
C_  B  ->  ( K `  Y )  =  ( Base `  X
) )
2119, 20syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  Y  C_  B )  ->  ( K `  Y )  =  ( Base `  X
) )
2218, 21eqtr3d 2445 . . . . . 6  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  Y  C_  B )  ->  (
( LSpan `  X ) `  Y )  =  (
Base `  X )
)
2322biantrud 505 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  Y  C_  B )  ->  ( Y  e.  (LIndS `  W
)  <->  ( Y  e.  (LIndS `  W )  /\  ( ( LSpan `  X
) `  Y )  =  ( Base `  X
) ) ) )
2412, 6lsslinds 19158 . . . . . . . 8  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  ( K `  Y )  e.  ( LSubSp `  W )  /\  Y  C_  ( K `
 Y ) )  ->  ( Y  e.  (LIndS `  X )  <->  Y  e.  (LIndS `  W
) ) )
2511, 14, 15, 24syl3anc 1230 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  Y  C_  B )  ->  ( Y  e.  (LIndS `  X
)  <->  Y  e.  (LIndS `  W ) ) )
2625bicomd 201 . . . . . 6  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  Y  C_  B )  ->  ( Y  e.  (LIndS `  W
)  <->  Y  e.  (LIndS `  X ) ) )
2726anbi1d 703 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  Y  C_  B )  ->  (
( Y  e.  (LIndS `  W )  /\  (
( LSpan `  X ) `  Y )  =  (
Base `  X )
)  <->  ( Y  e.  (LIndS `  X )  /\  ( ( LSpan `  X
) `  Y )  =  ( Base `  X
) ) ) )
2823, 27bitrd 253 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  Y  C_  B )  ->  ( Y  e.  (LIndS `  W
)  <->  ( Y  e.  (LIndS `  X )  /\  ( ( LSpan `  X
) `  Y )  =  ( Base `  X
) ) ) )
2928ex 432 . . 3  |-  ( W  e.  LMod  ->  ( Y 
C_  B  ->  ( Y  e.  (LIndS `  W
)  <->  ( Y  e.  (LIndS `  X )  /\  ( ( LSpan `  X
) `  Y )  =  ( Base `  X
) ) ) ) )
303, 10, 29pm5.21ndd 352 . 2  |-  ( W  e.  LMod  ->  ( Y  e.  (LIndS `  W
)  <->  ( Y  e.  (LIndS `  X )  /\  ( ( LSpan `  X
) `  Y )  =  ( Base `  X
) ) ) )
31 islinds3.j . . 3  |-  J  =  (LBasis `  X )
324, 31, 16islbs4 19159 . 2  |-  ( Y  e.  J  <->  ( Y  e.  (LIndS `  X )  /\  ( ( LSpan `  X
) `  Y )  =  ( Base `  X
) ) )
3330, 32syl6bbr 263 1  |-  ( W  e.  LMod  ->  ( Y  e.  (LIndS `  W
)  <->  Y  e.  J
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    = wceq 1405    e. wcel 1842    C_ wss 3414   ` cfv 5569  (class class class)co 6278   Basecbs 14841   ↾s cress 14842   LModclmod 17832   LSubSpclss 17898   LSpanclspn 17937  LBasisclbs 18040  LIndSclinds 19132
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4507  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574  ax-cnex 9578  ax-resscn 9579  ax-1cn 9580  ax-icn 9581  ax-addcl 9582  ax-addrcl 9583  ax-mulcl 9584  ax-mulrcl 9585  ax-mulcom 9586  ax-addass 9587  ax-mulass 9588  ax-distr 9589  ax-i2m1 9590  ax-1ne0 9591  ax-1rid 9592  ax-rnegex 9593  ax-rrecex 9594  ax-cnre 9595  ax-pre-lttri 9596  ax-pre-lttrn 9597  ax-pre-ltadd 9598  ax-pre-mulgt0 9599
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2759  df-rex 2760  df-reu 2761  df-rmo 2762  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-csb 3374  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-pss 3430  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-tp 3977  df-op 3979  df-uni 4192  df-int 4228  df-iun 4273  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4490  df-eprel 4734  df-id 4738  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-we 4784  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-pred 5367  df-ord 5413  df-on 5414  df-lim 5415  df-suc 5416  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-f1 5574  df-fo 5575  df-f1o 5576  df-fv 5577  df-riota 6240  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-om 6684  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-wrecs 7013  df-recs 7075  df-rdg 7113  df-er 7348  df-en 7555  df-dom 7556  df-sdom 7557  df-pnf 9660  df-mnf 9661  df-xr 9662  df-ltxr 9663  df-le 9664  df-sub 9843  df-neg 9844  df-nn 10577  df-2 10635  df-3 10636  df-4 10637  df-5 10638  df-6 10639  df-ndx 14844  df-slot 14845  df-base 14846  df-sets 14847  df-ress 14848  df-plusg 14922  df-sca 14925  df-vsca 14926  df-0g 15056  df-mgm 16196  df-sgrp 16235  df-mnd 16245  df-grp 16381  df-minusg 16382  df-sbg 16383  df-subg 16522  df-mgp 17462  df-ur 17474  df-ring 17520  df-lmod 17834  df-lss 17899  df-lsp 17938  df-lbs 18041  df-lindf 19133  df-linds 19134
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator