MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  islinds3 Structured version   Unicode version

Theorem islinds3 18633
Description: A subset is linearly independent iff it is a basis of its span. (Contributed by Stefan O'Rear, 25-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
islinds3.b  |-  B  =  ( Base `  W
)
islinds3.k  |-  K  =  ( LSpan `  W )
islinds3.x  |-  X  =  ( Ws  ( K `  Y ) )
islinds3.j  |-  J  =  (LBasis `  X )
Assertion
Ref Expression
islinds3  |-  ( W  e.  LMod  ->  ( Y  e.  (LIndS `  W
)  <->  Y  e.  J
) )

Proof of Theorem islinds3
StepHypRef Expression
1 islinds3.b . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  W
)
21linds1 18609 . . . 4  |-  ( Y  e.  (LIndS `  W
)  ->  Y  C_  B
)
32a1i 11 . . 3  |-  ( W  e.  LMod  ->  ( Y  e.  (LIndS `  W
)  ->  Y  C_  B
) )
4 eqid 2467 . . . . . . 7  |-  ( Base `  X )  =  (
Base `  X )
54linds1 18609 . . . . . 6  |-  ( Y  e.  (LIndS `  X
)  ->  Y  C_  ( Base `  X ) )
6 islinds3.x . . . . . . 7  |-  X  =  ( Ws  ( K `  Y ) )
76, 1ressbasss 14540 . . . . . 6  |-  ( Base `  X )  C_  B
85, 7syl6ss 3516 . . . . 5  |-  ( Y  e.  (LIndS `  X
)  ->  Y  C_  B
)
98adantr 465 . . . 4  |-  ( ( Y  e.  (LIndS `  X )  /\  (
( LSpan `  X ) `  Y )  =  (
Base `  X )
)  ->  Y  C_  B
)
109a1i 11 . . 3  |-  ( W  e.  LMod  ->  ( ( Y  e.  (LIndS `  X )  /\  (
( LSpan `  X ) `  Y )  =  (
Base `  X )
)  ->  Y  C_  B
) )
11 simpl 457 . . . . . . . 8  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  Y  C_  B )  ->  W  e.  LMod )
12 eqid 2467 . . . . . . . . 9  |-  ( LSubSp `  W )  =  (
LSubSp `  W )
13 islinds3.k . . . . . . . . 9  |-  K  =  ( LSpan `  W )
141, 12, 13lspcl 17402 . . . . . . . 8  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  Y  C_  B )  ->  ( K `  Y )  e.  ( LSubSp `  W )
)
151, 13lspssid 17411 . . . . . . . 8  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  Y  C_  B )  ->  Y  C_  ( K `  Y
) )
16 eqid 2467 . . . . . . . . 9  |-  ( LSpan `  X )  =  (
LSpan `  X )
176, 13, 16, 12lsslsp 17441 . . . . . . . 8  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  ( K `  Y )  e.  ( LSubSp `  W )  /\  Y  C_  ( K `
 Y ) )  ->  ( K `  Y )  =  ( ( LSpan `  X ) `  Y ) )
1811, 14, 15, 17syl3anc 1228 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  Y  C_  B )  ->  ( K `  Y )  =  ( ( LSpan `  X ) `  Y
) )
191, 13lspssv 17409 . . . . . . . 8  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  Y  C_  B )  ->  ( K `  Y )  C_  B )
206, 1ressbas2 14539 . . . . . . . 8  |-  ( ( K `  Y ) 
C_  B  ->  ( K `  Y )  =  ( Base `  X
) )
2119, 20syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  Y  C_  B )  ->  ( K `  Y )  =  ( Base `  X
) )
2218, 21eqtr3d 2510 . . . . . 6  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  Y  C_  B )  ->  (
( LSpan `  X ) `  Y )  =  (
Base `  X )
)
2322biantrud 507 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  Y  C_  B )  ->  ( Y  e.  (LIndS `  W
)  <->  ( Y  e.  (LIndS `  W )  /\  ( ( LSpan `  X
) `  Y )  =  ( Base `  X
) ) ) )
2412, 6lsslinds 18630 . . . . . . . 8  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  ( K `  Y )  e.  ( LSubSp `  W )  /\  Y  C_  ( K `
 Y ) )  ->  ( Y  e.  (LIndS `  X )  <->  Y  e.  (LIndS `  W
) ) )
2511, 14, 15, 24syl3anc 1228 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  Y  C_  B )  ->  ( Y  e.  (LIndS `  X
)  <->  Y  e.  (LIndS `  W ) ) )
2625bicomd 201 . . . . . 6  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  Y  C_  B )  ->  ( Y  e.  (LIndS `  W
)  <->  Y  e.  (LIndS `  X ) ) )
2726anbi1d 704 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  Y  C_  B )  ->  (
( Y  e.  (LIndS `  W )  /\  (
( LSpan `  X ) `  Y )  =  (
Base `  X )
)  <->  ( Y  e.  (LIndS `  X )  /\  ( ( LSpan `  X
) `  Y )  =  ( Base `  X
) ) ) )
2823, 27bitrd 253 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  Y  C_  B )  ->  ( Y  e.  (LIndS `  W
)  <->  ( Y  e.  (LIndS `  X )  /\  ( ( LSpan `  X
) `  Y )  =  ( Base `  X
) ) ) )
2928ex 434 . . 3  |-  ( W  e.  LMod  ->  ( Y 
C_  B  ->  ( Y  e.  (LIndS `  W
)  <->  ( Y  e.  (LIndS `  X )  /\  ( ( LSpan `  X
) `  Y )  =  ( Base `  X
) ) ) ) )
303, 10, 29pm5.21ndd 354 . 2  |-  ( W  e.  LMod  ->  ( Y  e.  (LIndS `  W
)  <->  ( Y  e.  (LIndS `  X )  /\  ( ( LSpan `  X
) `  Y )  =  ( Base `  X
) ) ) )
31 islinds3.j . . 3  |-  J  =  (LBasis `  X )
324, 31, 16islbs4 18631 . 2  |-  ( Y  e.  J  <->  ( Y  e.  (LIndS `  X )  /\  ( ( LSpan `  X
) `  Y )  =  ( Base `  X
) ) )
3330, 32syl6bbr 263 1  |-  ( W  e.  LMod  ->  ( Y  e.  (LIndS `  W
)  <->  Y  e.  J
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767    C_ wss 3476   ` cfv 5586  (class class class)co 6282   Basecbs 14483   ↾s cress 14484   LModclmod 17292   LSubSpclss 17358   LSpanclspn 17397  LBasisclbs 17500  LIndSclinds 18604
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-er 7308  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-nn 10533  df-2 10590  df-3 10591  df-4 10592  df-5 10593  df-6 10594  df-ndx 14486  df-slot 14487  df-base 14488  df-sets 14489  df-ress 14490  df-plusg 14561  df-sca 14564  df-vsca 14565  df-0g 14690  df-mnd 15725  df-grp 15855  df-minusg 15856  df-sbg 15857  df-subg 15990  df-mgp 16929  df-ur 16941  df-rng 16985  df-lmod 17294  df-lss 17359  df-lsp 17398  df-lbs 17501  df-lindf 18605  df-linds 18606
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator