Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lsslss Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lsslss 18782
 Description: The subspaces of a subspace are the smaller subspaces. (Contributed by Stefan O'Rear, 12-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lsslss.x 𝑋 = (𝑊s 𝑈)
lsslss.s 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lsslss.t 𝑇 = (LSubSp‘𝑋)
Assertion
Ref Expression
lsslss ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) → (𝑉𝑇 ↔ (𝑉𝑆𝑉𝑈)))

Proof of Theorem lsslss
StepHypRef Expression
1 lsslss.x . . . 4 𝑋 = (𝑊s 𝑈)
2 lsslss.s . . . 4 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
31, 2lsslmod 18781 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) → 𝑋 ∈ LMod)
4 eqid 2610 . . . 4 (𝑋s 𝑉) = (𝑋s 𝑉)
5 eqid 2610 . . . 4 (Base‘𝑋) = (Base‘𝑋)
6 lsslss.t . . . 4 𝑇 = (LSubSp‘𝑋)
74, 5, 6islss3 18780 . . 3 (𝑋 ∈ LMod → (𝑉𝑇 ↔ (𝑉 ⊆ (Base‘𝑋) ∧ (𝑋s 𝑉) ∈ LMod)))
83, 7syl 17 . 2 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) → (𝑉𝑇 ↔ (𝑉 ⊆ (Base‘𝑋) ∧ (𝑋s 𝑉) ∈ LMod)))
9 eqid 2610 . . . . . . 7 (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
109, 2lssss 18758 . . . . . 6 (𝑈𝑆𝑈 ⊆ (Base‘𝑊))
1110adantl 481 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) → 𝑈 ⊆ (Base‘𝑊))
121, 9ressbas2 15758 . . . . 5 (𝑈 ⊆ (Base‘𝑊) → 𝑈 = (Base‘𝑋))
1311, 12syl 17 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) → 𝑈 = (Base‘𝑋))
1413sseq2d 3596 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) → (𝑉𝑈𝑉 ⊆ (Base‘𝑋)))
1514anbi1d 737 . 2 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) → ((𝑉𝑈 ∧ (𝑋s 𝑉) ∈ LMod) ↔ (𝑉 ⊆ (Base‘𝑋) ∧ (𝑋s 𝑉) ∈ LMod)))
16 sstr2 3575 . . . . . . 7 (𝑉𝑈 → (𝑈 ⊆ (Base‘𝑊) → 𝑉 ⊆ (Base‘𝑊)))
1711, 16mpan9 485 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) ∧ 𝑉𝑈) → 𝑉 ⊆ (Base‘𝑊))
1817biantrurd 528 . . . . 5 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) ∧ 𝑉𝑈) → ((𝑊s 𝑉) ∈ LMod ↔ (𝑉 ⊆ (Base‘𝑊) ∧ (𝑊s 𝑉) ∈ LMod)))
191oveq1i 6559 . . . . . . 7 (𝑋s 𝑉) = ((𝑊s 𝑈) ↾s 𝑉)
20 ressabs 15766 . . . . . . . 8 ((𝑈𝑆𝑉𝑈) → ((𝑊s 𝑈) ↾s 𝑉) = (𝑊s 𝑉))
2120adantll 746 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) ∧ 𝑉𝑈) → ((𝑊s 𝑈) ↾s 𝑉) = (𝑊s 𝑉))
2219, 21syl5eq 2656 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) ∧ 𝑉𝑈) → (𝑋s 𝑉) = (𝑊s 𝑉))
2322eleq1d 2672 . . . . 5 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) ∧ 𝑉𝑈) → ((𝑋s 𝑉) ∈ LMod ↔ (𝑊s 𝑉) ∈ LMod))
24 eqid 2610 . . . . . . 7 (𝑊s 𝑉) = (𝑊s 𝑉)
2524, 9, 2islss3 18780 . . . . . 6 (𝑊 ∈ LMod → (𝑉𝑆 ↔ (𝑉 ⊆ (Base‘𝑊) ∧ (𝑊s 𝑉) ∈ LMod)))
2625ad2antrr 758 . . . . 5 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) ∧ 𝑉𝑈) → (𝑉𝑆 ↔ (𝑉 ⊆ (Base‘𝑊) ∧ (𝑊s 𝑉) ∈ LMod)))
2718, 23, 263bitr4d 299 . . . 4 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) ∧ 𝑉𝑈) → ((𝑋s 𝑉) ∈ LMod ↔ 𝑉𝑆))
2827pm5.32da 671 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) → ((𝑉𝑈 ∧ (𝑋s 𝑉) ∈ LMod) ↔ (𝑉𝑈𝑉𝑆)))
29 ancom 465 . . 3 ((𝑉𝑈𝑉𝑆) ↔ (𝑉𝑆𝑉𝑈))
3028, 29syl6bb 275 . 2 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) → ((𝑉𝑈 ∧ (𝑋s 𝑉) ∈ LMod) ↔ (𝑉𝑆𝑉𝑈)))
318, 15, 303bitr2d 295 1 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) → (𝑉𝑇 ↔ (𝑉𝑆𝑉𝑈)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ⊆ wss 3540  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  Basecbs 15695   ↾s cress 15696  LModclmod 18686  LSubSpclss 18753 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-sca 15784  df-vsca 15785  df-0g 15925  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-grp 17248  df-minusg 17249  df-sbg 17250  df-subg 17414  df-mgp 18313  df-ur 18325  df-ring 18372  df-lmod 18688  df-lss 18754 This theorem is referenced by:  lsslsp  18836  mplbas2  19291  mplind  19323  lcdlss  35926  lnmlsslnm  36669  lmhmlnmsplit  36675
 Copyright terms: Public domain W3C validator