MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lsslss Structured version   Unicode version

Theorem lsslss 17733
Description: The subspaces of a subspace are the smaller subspaces. (Contributed by Stefan O'Rear, 12-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lsslss.x  |-  X  =  ( Ws  U )
lsslss.s  |-  S  =  ( LSubSp `  W )
lsslss.t  |-  T  =  ( LSubSp `  X )
Assertion
Ref Expression
lsslss  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  S )  ->  ( V  e.  T  <->  ( V  e.  S  /\  V  C_  U ) ) )

Proof of Theorem lsslss
StepHypRef Expression
1 lsslss.x . . . 4  |-  X  =  ( Ws  U )
2 lsslss.s . . . 4  |-  S  =  ( LSubSp `  W )
31, 2lsslmod 17732 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  S )  ->  X  e.  LMod )
4 eqid 2457 . . . 4  |-  ( Xs  V )  =  ( Xs  V )
5 eqid 2457 . . . 4  |-  ( Base `  X )  =  (
Base `  X )
6 lsslss.t . . . 4  |-  T  =  ( LSubSp `  X )
74, 5, 6islss3 17731 . . 3  |-  ( X  e.  LMod  ->  ( V  e.  T  <->  ( V  C_  ( Base `  X
)  /\  ( Xs  V
)  e.  LMod )
) )
83, 7syl 16 . 2  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  S )  ->  ( V  e.  T  <->  ( V  C_  ( Base `  X
)  /\  ( Xs  V
)  e.  LMod )
) )
9 eqid 2457 . . . . . . 7  |-  ( Base `  W )  =  (
Base `  W )
109, 2lssss 17709 . . . . . 6  |-  ( U  e.  S  ->  U  C_  ( Base `  W
) )
1110adantl 466 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  S )  ->  U  C_  ( Base `  W
) )
121, 9ressbas2 14701 . . . . 5  |-  ( U 
C_  ( Base `  W
)  ->  U  =  ( Base `  X )
)
1311, 12syl 16 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  S )  ->  U  =  ( Base `  X
) )
1413sseq2d 3527 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  S )  ->  ( V  C_  U  <->  V  C_  ( Base `  X ) ) )
1514anbi1d 704 . 2  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  S )  ->  (
( V  C_  U  /\  ( Xs  V )  e.  LMod ) 
<->  ( V  C_  ( Base `  X )  /\  ( Xs  V )  e.  LMod ) ) )
16 sstr2 3506 . . . . . . 7  |-  ( V 
C_  U  ->  ( U  C_  ( Base `  W
)  ->  V  C_  ( Base `  W ) ) )
1711, 16mpan9 469 . . . . . 6  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  S )  /\  V  C_  U
)  ->  V  C_  ( Base `  W ) )
1817biantrurd 508 . . . . 5  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  S )  /\  V  C_  U
)  ->  ( ( Ws  V )  e.  LMod  <->  ( V  C_  ( Base `  W
)  /\  ( Ws  V
)  e.  LMod )
) )
191oveq1i 6306 . . . . . . 7  |-  ( Xs  V )  =  ( ( Ws  U )s  V )
20 ressabs 14709 . . . . . . . 8  |-  ( ( U  e.  S  /\  V  C_  U )  -> 
( ( Ws  U )s  V )  =  ( Ws  V ) )
2120adantll 713 . . . . . . 7  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  S )  /\  V  C_  U
)  ->  ( ( Ws  U )s  V )  =  ( Ws  V ) )
2219, 21syl5eq 2510 . . . . . 6  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  S )  /\  V  C_  U
)  ->  ( Xs  V
)  =  ( Ws  V ) )
2322eleq1d 2526 . . . . 5  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  S )  /\  V  C_  U
)  ->  ( ( Xs  V )  e.  LMod  <->  ( Ws  V )  e.  LMod ) )
24 eqid 2457 . . . . . . 7  |-  ( Ws  V )  =  ( Ws  V )
2524, 9, 2islss3 17731 . . . . . 6  |-  ( W  e.  LMod  ->  ( V  e.  S  <->  ( V  C_  ( Base `  W
)  /\  ( Ws  V
)  e.  LMod )
) )
2625ad2antrr 725 . . . . 5  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  S )  /\  V  C_  U
)  ->  ( V  e.  S  <->  ( V  C_  ( Base `  W )  /\  ( Ws  V )  e.  LMod ) ) )
2718, 23, 263bitr4d 285 . . . 4  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  S )  /\  V  C_  U
)  ->  ( ( Xs  V )  e.  LMod  <->  V  e.  S ) )
2827pm5.32da 641 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  S )  ->  (
( V  C_  U  /\  ( Xs  V )  e.  LMod ) 
<->  ( V  C_  U  /\  V  e.  S
) ) )
29 ancom 450 . . 3  |-  ( ( V  C_  U  /\  V  e.  S )  <->  ( V  e.  S  /\  V  C_  U ) )
3028, 29syl6bb 261 . 2  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  S )  ->  (
( V  C_  U  /\  ( Xs  V )  e.  LMod ) 
<->  ( V  e.  S  /\  V  C_  U ) ) )
318, 15, 303bitr2d 281 1  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  S )  ->  ( V  e.  T  <->  ( V  e.  S  /\  V  C_  U ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1395    e. wcel 1819    C_ wss 3471   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   Basecbs 14643   ↾s cress 14644   LModclmod 17638   LSubSpclss 17704
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-er 7329  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-4 10617  df-5 10618  df-6 10619  df-ndx 14646  df-slot 14647  df-base 14648  df-sets 14649  df-ress 14650  df-plusg 14724  df-sca 14727  df-vsca 14728  df-0g 14858  df-mgm 15998  df-sgrp 16037  df-mnd 16047  df-grp 16183  df-minusg 16184  df-sbg 16185  df-subg 16324  df-mgp 17268  df-ur 17280  df-ring 17326  df-lmod 17640  df-lss 17705
This theorem is referenced by:  lsslsp  17787  mplbas2  18260  mplbas2OLD  18261  mplind  18293  lnmlsslnm  31189  lmhmlnmsplit  31195  lcdlss  37447
  Copyright terms: Public domain W3C validator