Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ressmulgnn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ressmulgnn 29014
 Description: Values for the group multiple function in a restricted structure. (Contributed by Thierry Arnoux, 12-Jun-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
ressmulgnn.1 𝐻 = (𝐺s 𝐴)
ressmulgnn.2 𝐴 ⊆ (Base‘𝐺)
ressmulgnn.3 = (.g𝐺)
ressmulgnn.4 𝐼 = (invg𝐺)
Assertion
Ref Expression
ressmulgnn ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋𝐴) → (𝑁(.g𝐻)𝑋) = (𝑁 𝑋))

Proof of Theorem ressmulgnn
StepHypRef Expression
1 ressmulgnn.2 . . . 4 𝐴 ⊆ (Base‘𝐺)
2 ressmulgnn.1 . . . . 5 𝐻 = (𝐺s 𝐴)
3 eqid 2610 . . . . 5 (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
42, 3ressbas2 15758 . . . 4 (𝐴 ⊆ (Base‘𝐺) → 𝐴 = (Base‘𝐻))
51, 4ax-mp 5 . . 3 𝐴 = (Base‘𝐻)
6 eqid 2610 . . 3 (+g𝐻) = (+g𝐻)
7 eqid 2610 . . 3 (.g𝐻) = (.g𝐻)
8 fvex 6113 . . . . . 6 (Base‘𝐺) ∈ V
98, 1ssexi 4731 . . . . 5 𝐴 ∈ V
10 eqid 2610 . . . . . 6 (+g𝐺) = (+g𝐺)
112, 10ressplusg 15818 . . . . 5 (𝐴 ∈ V → (+g𝐺) = (+g𝐻))
129, 11ax-mp 5 . . . 4 (+g𝐺) = (+g𝐻)
13 seqeq2 12667 . . . 4 ((+g𝐺) = (+g𝐻) → seq1((+g𝐺), (ℕ × {𝑋})) = seq1((+g𝐻), (ℕ × {𝑋})))
1412, 13ax-mp 5 . . 3 seq1((+g𝐺), (ℕ × {𝑋})) = seq1((+g𝐻), (ℕ × {𝑋}))
155, 6, 7, 14mulgnn 17370 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋𝐴) → (𝑁(.g𝐻)𝑋) = (seq1((+g𝐺), (ℕ × {𝑋}))‘𝑁))
16 simpr 476 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋𝐴) → 𝑋𝐴)
171, 16sseldi 3566 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋𝐴) → 𝑋 ∈ (Base‘𝐺))
18 ressmulgnn.3 . . . 4 = (.g𝐺)
19 eqid 2610 . . . 4 seq1((+g𝐺), (ℕ × {𝑋})) = seq1((+g𝐺), (ℕ × {𝑋}))
203, 10, 18, 19mulgnn 17370 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐺)) → (𝑁 𝑋) = (seq1((+g𝐺), (ℕ × {𝑋}))‘𝑁))
2117, 20syldan 486 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋𝐴) → (𝑁 𝑋) = (seq1((+g𝐺), (ℕ × {𝑋}))‘𝑁))
2215, 21eqtr4d 2647 1 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋𝐴) → (𝑁(.g𝐻)𝑋) = (𝑁 𝑋))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  Vcvv 3173   ⊆ wss 3540  {csn 4125   × cxp 5036  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  1c1 9816  ℕcn 10897  seqcseq 12663  Basecbs 15695   ↾s cress 15696  +gcplusg 15768  invgcminusg 17246  .gcmg 17363 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-z 11255  df-seq 12664  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-mulg 17364 This theorem is referenced by:  ressmulgnn0  29015
 Copyright terms: Public domain W3C validator