Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mplbas Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mplbas 19250
 Description: Base set of the set of multivariate polynomials. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jan-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.) (Revised by AV, 25-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mplval.p 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
mplval.s 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
mplval.b 𝐵 = (Base‘𝑆)
mplval.z 0 = (0g𝑅)
mplbas.u 𝑈 = (Base‘𝑃)
Assertion
Ref Expression
mplbas 𝑈 = {𝑓𝐵𝑓 finSupp 0 }
Distinct variable groups:   𝐵,𝑓   𝑓,𝐼   𝑅,𝑓   0 ,𝑓
Allowed substitution hints:   𝑃(𝑓)   𝑆(𝑓)   𝑈(𝑓)

Proof of Theorem mplbas
StepHypRef Expression
1 mplbas.u . 2 𝑈 = (Base‘𝑃)
2 ssrab2 3650 . . 3 {𝑓𝐵𝑓 finSupp 0 } ⊆ 𝐵
3 mplval.p . . . . 5 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
4 mplval.s . . . . 5 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
5 mplval.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝑆)
6 mplval.z . . . . 5 0 = (0g𝑅)
7 eqid 2610 . . . . 5 {𝑓𝐵𝑓 finSupp 0 } = {𝑓𝐵𝑓 finSupp 0 }
83, 4, 5, 6, 7mplval 19249 . . . 4 𝑃 = (𝑆s {𝑓𝐵𝑓 finSupp 0 })
98, 5ressbas2 15758 . . 3 ({𝑓𝐵𝑓 finSupp 0 } ⊆ 𝐵 → {𝑓𝐵𝑓 finSupp 0 } = (Base‘𝑃))
102, 9ax-mp 5 . 2 {𝑓𝐵𝑓 finSupp 0 } = (Base‘𝑃)
111, 10eqtr4i 2635 1 𝑈 = {𝑓𝐵𝑓 finSupp 0 }
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   = wceq 1475  {crab 2900   ⊆ wss 3540   class class class wbr 4583  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549   finSupp cfsupp 8158  Basecbs 15695  0gc0g 15923   mPwSer cmps 19172   mPoly cmpl 19174 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-nn 10898  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-psr 19177  df-mpl 19179 This theorem is referenced by:  mplelbas  19251  mplval2  19252  mplbasss  19253  mplsubglem2  19257  ressmplbas2  19276  mplbaspropd  19428
 Copyright terms: Public domain W3C validator