Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mplbaspropd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mplbaspropd 19428
 Description: Property deduction for polynomial base set. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Mar-2015.) (Proof shortened by AV, 19-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
psrplusgpropd.b1 (𝜑𝐵 = (Base‘𝑅))
psrplusgpropd.b2 (𝜑𝐵 = (Base‘𝑆))
psrplusgpropd.p ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑥(+g𝑅)𝑦) = (𝑥(+g𝑆)𝑦))
Assertion
Ref Expression
mplbaspropd (𝜑 → (Base‘(𝐼 mPoly 𝑅)) = (Base‘(𝐼 mPoly 𝑆)))
Distinct variable groups:   𝜑,𝑦,𝑥   𝑥,𝐵,𝑦   𝑦,𝑅,𝑥   𝑦,𝑆,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐼(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem mplbaspropd
Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 psrplusgpropd.b1 . . . . . . 7 (𝜑𝐵 = (Base‘𝑅))
2 psrplusgpropd.b2 . . . . . . 7 (𝜑𝐵 = (Base‘𝑆))
31, 2eqtr3d 2646 . . . . . 6 (𝜑 → (Base‘𝑅) = (Base‘𝑆))
43psrbaspropd 19426 . . . . 5 (𝜑 → (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) = (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑆)))
54adantr 480 . . . 4 ((𝜑𝐼 ∈ V) → (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) = (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑆)))
6 psrplusgpropd.p . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑥(+g𝑅)𝑦) = (𝑥(+g𝑆)𝑦))
71, 2, 6grpidpropd 17084 . . . . . 6 (𝜑 → (0g𝑅) = (0g𝑆))
87breq2d 4595 . . . . 5 (𝜑 → (𝑎 finSupp (0g𝑅) ↔ 𝑎 finSupp (0g𝑆)))
98adantr 480 . . . 4 ((𝜑𝐼 ∈ V) → (𝑎 finSupp (0g𝑅) ↔ 𝑎 finSupp (0g𝑆)))
105, 9rabeqbidv 3168 . . 3 ((𝜑𝐼 ∈ V) → {𝑎 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) ∣ 𝑎 finSupp (0g𝑅)} = {𝑎 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑆)) ∣ 𝑎 finSupp (0g𝑆)})
11 eqid 2610 . . . 4 (𝐼 mPoly 𝑅) = (𝐼 mPoly 𝑅)
12 eqid 2610 . . . 4 (𝐼 mPwSer 𝑅) = (𝐼 mPwSer 𝑅)
13 eqid 2610 . . . 4 (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) = (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅))
14 eqid 2610 . . . 4 (0g𝑅) = (0g𝑅)
15 eqid 2610 . . . 4 (Base‘(𝐼 mPoly 𝑅)) = (Base‘(𝐼 mPoly 𝑅))
1611, 12, 13, 14, 15mplbas 19250 . . 3 (Base‘(𝐼 mPoly 𝑅)) = {𝑎 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) ∣ 𝑎 finSupp (0g𝑅)}
17 eqid 2610 . . . 4 (𝐼 mPoly 𝑆) = (𝐼 mPoly 𝑆)
18 eqid 2610 . . . 4 (𝐼 mPwSer 𝑆) = (𝐼 mPwSer 𝑆)
19 eqid 2610 . . . 4 (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑆)) = (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑆))
20 eqid 2610 . . . 4 (0g𝑆) = (0g𝑆)
21 eqid 2610 . . . 4 (Base‘(𝐼 mPoly 𝑆)) = (Base‘(𝐼 mPoly 𝑆))
2217, 18, 19, 20, 21mplbas 19250 . . 3 (Base‘(𝐼 mPoly 𝑆)) = {𝑎 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑆)) ∣ 𝑎 finSupp (0g𝑆)}
2310, 16, 223eqtr4g 2669 . 2 ((𝜑𝐼 ∈ V) → (Base‘(𝐼 mPoly 𝑅)) = (Base‘(𝐼 mPoly 𝑆)))
24 reldmmpl 19248 . . . . . 6 Rel dom mPoly
2524ovprc1 6582 . . . . 5 𝐼 ∈ V → (𝐼 mPoly 𝑅) = ∅)
2624ovprc1 6582 . . . . 5 𝐼 ∈ V → (𝐼 mPoly 𝑆) = ∅)
2725, 26eqtr4d 2647 . . . 4 𝐼 ∈ V → (𝐼 mPoly 𝑅) = (𝐼 mPoly 𝑆))
2827fveq2d 6107 . . 3 𝐼 ∈ V → (Base‘(𝐼 mPoly 𝑅)) = (Base‘(𝐼 mPoly 𝑆)))
2928adantl 481 . 2 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐼 ∈ V) → (Base‘(𝐼 mPoly 𝑅)) = (Base‘(𝐼 mPoly 𝑆)))
3023, 29pm2.61dan 828 1 (𝜑 → (Base‘(𝐼 mPoly 𝑅)) = (Base‘(𝐼 mPoly 𝑆)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  {crab 2900  Vcvv 3173  ∅c0 3874   class class class wbr 4583  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549   finSupp cfsupp 8158  Basecbs 15695  +gcplusg 15768  0gc0g 15923   mPwSer cmps 19172   mPoly cmpl 19174 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-of 6795  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-supp 7183  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-fsupp 8159  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-sca 15784  df-vsca 15785  df-tset 15787  df-0g 15925  df-psr 19177  df-mpl 19179 This theorem is referenced by:  ply1baspropd  19434  mdegpropd  23648
 Copyright terms: Public domain W3C validator