MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mplbaspropd Structured version   Unicode version

Theorem mplbaspropd 17666
Description: Property deduction for polynomial base set. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Mar-2015.) (Proof shortened by AV, 19-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
psrplusgpropd.b1  |-  ( ph  ->  B  =  ( Base `  R ) )
psrplusgpropd.b2  |-  ( ph  ->  B  =  ( Base `  S ) )
psrplusgpropd.p  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( x ( +g  `  R ) y )  =  ( x ( +g  `  S ) y ) )
Assertion
Ref Expression
mplbaspropd  |-  ( ph  ->  ( Base `  (
I mPoly  R ) )  =  ( Base `  (
I mPoly  S ) ) )
Distinct variable groups:    ph, y, x   
x, B, y    y, R, x    y, S, x
Allowed substitution hints:    I( x, y)

Proof of Theorem mplbaspropd
Dummy variable  a is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 psrplusgpropd.b1 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  B  =  ( Base `  R ) )
2 psrplusgpropd.b2 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  B  =  ( Base `  S ) )
31, 2eqtr3d 2472 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( Base `  R
)  =  ( Base `  S ) )
43psrbaspropd 17664 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( Base `  (
I mPwSer  R ) )  =  ( Base `  (
I mPwSer  S ) ) )
54adantr 465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  I  e.  _V )  ->  ( Base `  ( I mPwSer  R ) )  =  ( Base `  ( I mPwSer  S ) ) )
6 psrplusgpropd.p . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( x ( +g  `  R ) y )  =  ( x ( +g  `  S ) y ) )
71, 2, 6grpidpropd 15439 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 0g `  R
)  =  ( 0g
`  S ) )
87breq2d 4299 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( a finSupp  ( 0g
`  R )  <->  a finSupp  ( 0g
`  S ) ) )
98adantr 465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  I  e.  _V )  ->  ( a finSupp 
( 0g `  R
)  <->  a finSupp  ( 0g `  S ) ) )
105, 9rabeqbidv 2962 . . 3  |-  ( (
ph  /\  I  e.  _V )  ->  { a  e.  ( Base `  (
I mPwSer  R ) )  |  a finSupp  ( 0g `  R ) }  =  { a  e.  (
Base `  ( I mPwSer  S ) )  |  a finSupp 
( 0g `  S
) } )
11 eqid 2438 . . . 4  |-  ( I mPoly 
R )  =  ( I mPoly  R )
12 eqid 2438 . . . 4  |-  ( I mPwSer  R )  =  ( I mPwSer  R )
13 eqid 2438 . . . 4  |-  ( Base `  ( I mPwSer  R ) )  =  ( Base `  ( I mPwSer  R ) )
14 eqid 2438 . . . 4  |-  ( 0g
`  R )  =  ( 0g `  R
)
15 eqid 2438 . . . 4  |-  ( Base `  ( I mPoly  R ) )  =  ( Base `  ( I mPoly  R ) )
1611, 12, 13, 14, 15mplbas 17480 . . 3  |-  ( Base `  ( I mPoly  R ) )  =  { a  e.  ( Base `  (
I mPwSer  R ) )  |  a finSupp  ( 0g `  R ) }
17 eqid 2438 . . . 4  |-  ( I mPoly 
S )  =  ( I mPoly  S )
18 eqid 2438 . . . 4  |-  ( I mPwSer  S )  =  ( I mPwSer  S )
19 eqid 2438 . . . 4  |-  ( Base `  ( I mPwSer  S ) )  =  ( Base `  ( I mPwSer  S ) )
20 eqid 2438 . . . 4  |-  ( 0g
`  S )  =  ( 0g `  S
)
21 eqid 2438 . . . 4  |-  ( Base `  ( I mPoly  S ) )  =  ( Base `  ( I mPoly  S ) )
2217, 18, 19, 20, 21mplbas 17480 . . 3  |-  ( Base `  ( I mPoly  S ) )  =  { a  e.  ( Base `  (
I mPwSer  S ) )  |  a finSupp  ( 0g `  S ) }
2310, 16, 223eqtr4g 2495 . 2  |-  ( (
ph  /\  I  e.  _V )  ->  ( Base `  ( I mPoly  R ) )  =  ( Base `  ( I mPoly  S ) ) )
24 reldmmpl 17477 . . . . . 6  |-  Rel  dom mPoly
2524ovprc1 6114 . . . . 5  |-  ( -.  I  e.  _V  ->  ( I mPoly  R )  =  (/) )
2624ovprc1 6114 . . . . 5  |-  ( -.  I  e.  _V  ->  ( I mPoly  S )  =  (/) )
2725, 26eqtr4d 2473 . . . 4  |-  ( -.  I  e.  _V  ->  ( I mPoly  R )  =  ( I mPoly  S ) )
2827fveq2d 5690 . . 3  |-  ( -.  I  e.  _V  ->  (
Base `  ( I mPoly  R ) )  =  (
Base `  ( I mPoly  S ) ) )
2928adantl 466 . 2  |-  ( (
ph  /\  -.  I  e.  _V )  ->  ( Base `  ( I mPoly  R
) )  =  (
Base `  ( I mPoly  S ) ) )
3023, 29pm2.61dan 789 1  |-  ( ph  ->  ( Base `  (
I mPoly  R ) )  =  ( Base `  (
I mPoly  S ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   {crab 2714   _Vcvv 2967   (/)c0 3632   class class class wbr 4287   ` cfv 5413  (class class class)co 6086   finSupp cfsupp 7612   Basecbs 14166   +g cplusg 14230   0gc0g 14370   mPwSer cmps 17395   mPoly cmpl 17397
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-rep 4398  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367  ax-cnex 9330  ax-resscn 9331  ax-1cn 9332  ax-icn 9333  ax-addcl 9334  ax-addrcl 9335  ax-mulcl 9336  ax-mulrcl 9337  ax-mulcom 9338  ax-addass 9339  ax-mulass 9340  ax-distr 9341  ax-i2m1 9342  ax-1ne0 9343  ax-1rid 9344  ax-rnegex 9345  ax-rrecex 9346  ax-cnre 9347  ax-pre-lttri 9348  ax-pre-lttrn 9349  ax-pre-ltadd 9350  ax-pre-mulgt0 9351
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2715  df-rex 2716  df-reu 2717  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-pss 3339  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-tp 3877  df-op 3879  df-uni 4087  df-int 4124  df-iun 4168  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-tr 4381  df-eprel 4627  df-id 4631  df-po 4636  df-so 4637  df-fr 4674  df-we 4676  df-ord 4717  df-on 4718  df-lim 4719  df-suc 4720  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-riota 6047  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-of 6315  df-om 6472  df-1st 6572  df-2nd 6573  df-supp 6686  df-recs 6824  df-rdg 6858  df-1o 6912  df-oadd 6916  df-er 7093  df-map 7208  df-en 7303  df-dom 7304  df-sdom 7305  df-fin 7306  df-fsupp 7613  df-pnf 9412  df-mnf 9413  df-xr 9414  df-ltxr 9415  df-le 9416  df-sub 9589  df-neg 9590  df-nn 10315  df-2 10372  df-3 10373  df-4 10374  df-5 10375  df-6 10376  df-7 10377  df-8 10378  df-9 10379  df-n0 10572  df-z 10639  df-uz 10854  df-fz 11430  df-struct 14168  df-ndx 14169  df-slot 14170  df-base 14171  df-sets 14172  df-ress 14173  df-plusg 14243  df-mulr 14244  df-sca 14246  df-vsca 14247  df-tset 14249  df-0g 14372  df-psr 17400  df-mpl 17402
This theorem is referenced by:  ply1baspropd  17673  mdegpropd  21530
  Copyright terms: Public domain W3C validator